Il est facile de montrer que l intersection d une famille de tribus sur un ensemble E est encore une tribu de parties de E.

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1 cours 4, le mercredi 2 février 2011 Intersection de tribus Si, sur un même ensemble, on dispose d une famille (F i ) i I de tribus, on peut considérer la famille F des parties A qui appartiennent à toutes ces tribus. n tant que sousensembles F i P(), cela s écrit F = i I F i = { A : i I, A F i }. Il est facile de montrer que l intersection d une famille de tribus sur un ensemble est encore une tribu de parties de. Si (A n ) F, il s agit de vérifier que A = n A n est encore dans F, c est-à-dire que A est élément de F i pour chaque i I ; si i est donné, on a A n F i puisque A F, et ceci pour tout n, donc A appartient à la tribu F i, ce qui achève cette partie de la preuve. On montre de même que F est stable par complémentaire et que F. Tribu engendrée par une classe de parties C P() Si on considère une classe quelconque C de parties de (par exemple : la classe O de tous les ouverts de = R), il existe au moins une tribu qui contient cette classe, à savoir la tribu P(), qui est la plus grosse tribu sur. On peut ensuite considérer (les axiomes de la théorie des ensembles le permettent) l intersection de toutes les tribus de parties de qui contiennent la classe donnée C ; on obtient ainsi une tribu, qui est clairement la plus petite tribu contenant la classe C. On l appelle la tribu engendrée par C, et on la note σ(c). Une tribu T de parties de est un sous-ensemble de P(), la famille T de toutes les tribus de parties de est un sous-ensemble T P(P()). On peut donc écrire la formule σ(c) = {A P() : T T,((C T ) (A T ))}, qui est bien une formule valide pour définir un ensemble σ(c) à partir des axiomes de la théorie des ensembles. Si est un espace topologique avec une famille d ouverts O, la tribu borélienne de est la tribu σ(o) engendrée par les ouverts de. Un cas particulièrement important sera la tribu borélienne B R de la droite réelle R (ou bien celle de la droite étendue R) ; la mesure de Lebesgue λ est une mesure σ-additive sur (R, B R ) : selon le programme officiel de cet enseignement, son existence est admise. On peut décrire dans des termes similaires le sous-espace vectoriel engendré par une partie C d un espace vectoriel, comme intersection de tous les sous-espaces qui contiennent C. Il s agit d une description par l extérieur. Mais dans le cas vectoriel, on dispose aussi d une description très simple par l intérieur, en considérant l ensemble des combinaisons linéaires de vecteurs de C. On décrit ainsi, en un seul coup, la construction de tous les éléments qui seront, nécessairement, dans tout sous-espace vectoriel contenant C, et, coup de chance, on a ainsi directement un sous-espace vectoriel, qui est donc le plus petit, le sous-espace vectoriel engendré. La description de B R par l intérieur est possible mais délicate : si une tribu contient la classe O = C 0 des ouverts, elle doit aussi contenir les G δ = C 1, qui sont les intersections dénombrables d ouverts (une classe qui, entre parenthèses, contient les fermés de R), puis la tribu doit contenir les réunions dénombrables d ensembles de la classe précédente, formant 1

2 ainsi les G δσ = C 2, puis les G δσδ = C 3, etc. Le grand malheur est que, même si on poursuit une suite infinie d opérations donnant les classes successives C 0,...,C n,..., obtenant ainsi une classe C ω = + n=0 qui regroupe tous les ensembles obtenus par une itération finie arbitraire des opérations σ et δ, cette classe ne sera toujours pas une tribu : il faut passer à C ω+1, etc. et continuer par récurrence transfinie, sans pouvoir s arrêter avant une quantité non dénombrable d opérations. Le réconfort, c est que du point de vue de la mesure, la classe G δσ suffit : tout ensemble borélien B B peut être encadré par deux ensembles A 0 B A 1 qui sont des G δσ tels que λ(b \ A 0 ) = λ(a 1 \ B) = 0. C n, Définition-Théorème (admis). On désigne par B R la tribu de parties de R engendrée par la famille des ouverts de R. Il existe une mesure λ sur (R, B R ) telle que pour tous les réels a, b avec a b on ait λ([a, b]) = b a. n particulier, λ({a}) = λ([a, a]) = 0. Comme λ est une mesure, on a aussi, par exemple, λ([a, b]) = λ({a}) + λ(]a, b]), donc λ([a, b]) = λ(]a, b]) = λ(]a, b[) = b a. On voit ainsi que pour tout intervalle I borné, on a λ(i) = l(i). Il est clair que λ(r) = +, puisque R est la réunion dénombrable des intervalles deux à deux disjoints [n, n + 1[, où n varie dans Z, qui sont tous de longueur 1, donc λ(r) = n Z1 = +. De façon analogue, on montre que λ(i) = + pour tout intervalle I non borné. Premières propriétés des mesures Si (B n ) est une suite croissante d éléments de la tribu F, posons A 0 = B 0 et A n+1 = B n+1 \ B n pour tout n 0. On voit que les (A n ) F sont deux à deux disjoints, que A 0,..., A n est une partition de B n, donc µ(b n ) = µ(a k ), k=0 et on voit que n 0B n = n 0 A n. 2

3 Il en résulte que : pour toute suite croissante (B n ) d ensembles de la tribu F, on a la propriété de monotonie ( ) µ B n = limµ(b n ). n n 0 Cette propriété est le degré 0 du théorème de convergence monotone, qui sera vu au prochain cours. Si (C n ) est une suite quelconque dans F, la suite (B n ) définie par B n = C 0... C n est une suite croissante dans F, qui a la même réunion n B n que la suite (C n ), donc par monotonie de la mesure ( µ n 0 ) n B n = limµ(b n ) lim n n k=0µ(c k ) = k 0 µ(c k ). Comme n B n = n 0 C n, on obtient la propriété de sous-additivité dénombrable, ( µ n 0 ) C n µ(c k ). k 0 Un cas particulier très important est le cas des ensembles de mesure nulle : si (A i ) F est une famille finie ou dénombrable d ensembles de mesure nulle, alors leur réunion est de mesure nulle, ( ) µ A i = 0. i I On voit ainsi que pour la mesure de Lebesgue λ, qui donne une mesure nulle à tous les singletons {x}, on a λ(q) = 0. Bien sûr, ce principe ne s applique pas aux réunions qui ne sont pas dénombrables : l intervalle [0, 1] est de mesure 1 pour λ, et il est réunion des singletons {x}, x [0, 1], qui sont des ensembles de mesure nulle. II.2. Intégrale II.2.1. Fonctions étagées Définition. Soit (, F) un espace mesurable, c est-à-dire le couple d un ensemble et d une tribu F de parties de ; une fonction ϕ : R est une fonction F-étagée s il existe une partition finie π = {A 1,..., A m } de en ensembles A j de la tribu F, telle que ϕ prenne une valeur constante a j sur l ensemble A j, ϕ = a j 1 Aj. On dira que π est adaptée à la fonction étagée ϕ. Si ϕ est F-étagée et si a est une valeur réelle prise par la fonction ϕ, alors l ensemble {ϕ = a} des points x tels que ϕ(x) = a est égal à la réunion finie {Aj : a j = a} = {ϕ = a}, 3

4 donc il appartient à la tribu F. Comme dans le cas des subdivisions de la théorie de Riemann, si π = (A j ) et ρ = (B k ) sont deux partitions finies de en ensembles de F, on peut introduire la partition plus fine σ = π ρ formée des ensembles A j B k. Si ϕ et ψ sont deux fonctions F-étagées et si f est une fonction réelle quelconque sur R 2, il en résulte que la fonction est F-étagée. n particulier, sont des fonctions F-étagées. x f(ϕ(x), ψ(x)) R αϕ + βψ, ϕψ, ϕ, Donnons une mesure µ sur (, F), pour obtenir l espace mesuré (, F, µ). Si ϕ est F-étagée et représentée par ϕ = a j 1 Aj, on voudrait définir son intégrale par la somme m a jµ(a j ), mais cela est impossible dans le cas général, parce que la mesure µ peut donner la valeur + à certains ensembles, et les valeurs a j ne sont pas nécessairement de même signe, ce qui pourrait conduire à une expression indéfinissable telle que 1 (+ ) + ( 2) (+ ). On définit donc une sous-classe des fonctions étagées, la classe des fonctions F-étagées µ-intégrables ; on dit que la fonction F-étagée ϕ est µ-intégrable si pour tout réel a non nul, l ensemble {ϕ = a} (qui est dans F) est de mesure finie : a 0 µ ( {ϕ = a} ) < +. Si π = {A 1,..., A m } est adaptée à ϕ, si A i est non vide et si ϕ = a i 0 sur A i, alors A i est contenu dans {ϕ = a i }, ce qui implique que µ(a i ) µ ( {ϕ = a i } ) < +. On peut alors définir l intégrale d une telle fonction étagée par la formule ϕ dµ = a j µ(a j ) ; la valeur de l intégrale est un nombre réel : si µ(a j ) = +, alors a j = 0 et on interprète le produit 0 (+ ) comme valant 0. Montrons, par la même preuve que celle de l intégrale de Riemann, l indépendance de l intégrale par rapport au choix de la représentation de la fonction ϕ ; si on a une autre représentation, ϕ = b k 1 Bk, on obtient une partition plus fine de avec les ensembles On peut définir des réels c j,k 0 tels que C j,k = A j B k. c j,k µ(c j,k ) = a j µ(c j,k ) = b k µ(c j,k ) 4

5 pour tous j, k. Si C j,k est vide, on prend (par exemple) c j,k = 0, et les trois nombres à comparer sont nuls. Si C j,k n est pas vide, on y sélectionne un point x ; alors x est dans le morceau A j de la première partition, donc ϕ(x) = a j, et x est aussi dans le morceau B k de la deuxième partition, donc ϕ(x) = b k ; dans ce cas, on peut prendre c j,k = a j = b k. nsuite, on calcule ( ) c j,k µ(c j,k ) = a j µ(a j B k ) ; j,k comme les B k forment une partition de, les ensembles A j B k, k = 1,..., n, forment une partition finie de A j et µ(a j ) = µ(a j B k ). On a donc c j,k µ(c j,k ) = en travaillant dans l autre direction, on obtient ce qui prouve l indépendance. j,k c j,k µ(c j,k ) = j,k a j µ(a j ); b k µ(b k ), Proposition. Si ϕ, ψ sont F-étagées µ-intégrables, on a pour tous réels α, β (αϕ + βψ) dµ = α ϕ dµ + β ψ dµ. Si ϕ ψ, alors et ϕ dµ ϕ dµ ψ dµ ϕ dµ. Preuve. Si on a deux partitions de en ensembles (A j ) et (B k ) appartenant à la tribu F, on a vu qu on peut construire une partition plus fine en considérant les ensembles A j B k. Si on a deux fonctions F-étagées ϕ et ψ, on peut donc trouver une partition C l telle que les deux fonctions ϕ et ψ soient constantes sur les ensembles de cette partition, ce qui permet d écrire ϕ = a l 1 Cl, ψ = b l 1 Cl. Par conséquent, si α, β sont réels, on a αϕ + βψ = (αa l + βb l )1 Cl, et on peut calculer l intégrale de αϕ + βψ en utilisant cette partition (αϕ + βψ) dµ = (αa l + βb l )µ(c l ) = α 5 ϕ dµ + β ψ dµ.

6 De plus l intégrale est croissante : si ϕ ψ, alors a l b l pour tous les ensembles non vides C l et dans ce cas a l µ(c l ) b l µ(c l ) ; quand C l est vide, la mesure de C l est nulle et a l µ(c l ) = 0 = b l µ(c l ), donc ϕ ψ ϕ dµ ψ dµ. Remarque. Considérons = [0, 1], sa tribu borélienne B et la mesure de Lebesgue λ. Tous les intervalles I [0, 1] sont des boréliens de, donc toute fonction en escalier de la théorie de Riemann est une fonction B-étagée. De plus, on a l(i) = λ(i), par conséquent les intégrales sont les mêmes dans les deux théories : quand ϕ est une fonction en escalier sur [0, 1], 1 ϕ dλ = ϕ(t) dt. On pourrait définir dès maintenant une très grosse partie de l intégrale de Lebesgue en copiant ce qui a été fait pour Riemann, mais en remplaçant seulement les mots en escalier par le mot étagée. Mais on prendra un autre chemin, et ce qui aurait pu être une définition maintenant sera un résultat plus tard dans le cours : une fonction f réelle bornée définie sur l intervalle borné [0, 1] est Lebesgue-mesurable et Lebesgue-intégrable si et seulement si pour tout ε > 0, il existe deux fonctions ϕ 1, ϕ 2 qui sont B-étagées et telles que ϕ 1 f ϕ 2, [0,1] 0 ϕ 2 dλ [0,1] ϕ 1 dλ < ε. L intégrale de f est égale au sup des intégrales des ϕ 1 f, ou à l inf des intégrales des fonctions étagées ϕ 2 f. Intégrale des fonctions étagées positives Dans le cas des fonctions étagées positives on n aura plus le problème d indétermination, et on décidera d accepter la valeur +. Une fonction F-étagée positive sur peut se représenter sous la forme ϕ = a j 1 Aj où (A j ) est une partition de en ensembles de F et où les (a j ) sont des réels 0. On définit l intégrale d une fonction étagée positive par la formule ϕ dµ = a j µ(a j ) ; la valeur de l intégrale peut être +, dans le cas où un a j > 0 correspond à un ensemble A j de mesure infinie. On montre comme dans le cas réel que la valeur donnée à l intégrale ne dépend pas de la partition adaptée à ϕ. 6

7 Si ϕ et ψ sont étagées 0, on peut trouver une partition C l telle que les deux fonctions ϕ et ψ soient constantes sur les ensembles de cette partition, ce qui permet d écrire ϕ = a l 1 Cl, ψ = b l 1 Cl, a l, b l 0. Par conséquent, si α, β sont réels 0, on a αϕ + βψ = (αa l + βb l )1 Cl, et si ϕ, ψ 0, on peut calculer l intégrale de αϕ + βψ en utilisant cette partition (αϕ + βψ) dµ = α ϕ dµ + β ψ dµ. De plus l intégrale est croissante : si 0 ϕ ψ, alors 0 ϕ ψ ϕ dµ ψ dµ. 7