FONCTION EXPONENTIELLE : EXERCICES

Transcription

1 FONCTION EXPONENTIELLE : EXERCICES A. Calculs algébriqus Exrcic 1 Simplifir ls xprssions suivants : a) 3 4 b) 4 4 c) ) 3 4 d) ) 3 ) 2 5 Exrcic 2 Simplifir ls xprssions suivants : 5 4) ) 2 a) b) 2 + 2) 2 2) d) 2x+1 ) 3 2x x+5 c) f) x ) 2 g) 9x 2 3x) 3 B. Équations t inéquations Exrcic 3 Résoudr ls équations suivants dansr : a) xpx)= b) xp x) = 1 c) xp2x 1)= d) x2 +x = 1 ) x x = 0 x2 +5 = x+2) 2 f) g) x + x = 0 h) 3x+1 = 2x+3 i) 2x 1=0 j) x 2x 2 2x = 0 Exrcic 4 Résoudr ls inéquations suivants dansr: a) xpx)< b) xp x) 1 c) 2x 1 > x d) x + x < 2 ) x < 1 f) x > 0 g) x > 1 h) x x > 0 i) 2x 1 0 j) x x 3 x < 0 1/5

2 C. Calculs d limits Exrcic 5 Détrminr ls limits suivants : a) lim x x b) lim c) lim x x lim x + x+1 x x x + x d) ) lim f) lim g) lim 1 x lim x + x 2x+1 x + x2 +1 h) 1 x i) lim 1 x x 0 x 0 x<0 x<0 D. Calculs d dérivés Exrcic 6 Pour chacun ds fonctions f ci-dssous, détrminr un xprssion d f x) on admt qu f st dérivabl sur R), puis donnr l sign d f x) t n déduir ls variations d la fonction f. a) f x)= x b) f x)= x 2 x 2 f x)= x2 +x c) d) f x)= x x+1 f x)= x2 +1 ) f) f x)= x ) 3x+1 g) f x)= 1 2x x h) f x)= 1 2x 1+ 2x Exrcic 7 La chaîntt 1 On appll «cosinus hyprboliqu», t on not ch ancinnmnt cosh), la fonction défini surrpar f x)= 1 2 x + x). 1. Calculr la dérivé 2 d ch, t n déduir ls variations d ch. 2. Détrminr ls limits n+ t d la fonction ch t complétr l tablau d variations. 3. Tracr la courb d la fonction ch t constatr sa form d «chaîntt». 1. La chaîntt st l nom donné à la courb obtnu n tnant un cord ntr dux xtrémités. Ls équations d la physiqu prmttnt d montrr qu ctt courb a un équation du typ y = ch x, ou plus généralmnt y = a 1 chax) où a st un constant. 2. La dérivé d la fonction ch st applé «sinus hyprboliqu» t s not sh ou sinh. 2/5

3 E. Exrcics typ BAC Exrcic 8 D après Bac S Nouvll-Calédoni 2013) Soit f la fonction dérivabl, défini sur l intrvall ]0 ; + [ par 1. Étud d un fonction auxiliair f x)= x + 1 x. a. Soit la fonction g dérivabl, défini sur [0 ; + [ par g x)= x 2 x 1. Étudir l sns d variation d la fonction g. b. Démontrr qu il xist un uniqu rél a appartnant à [0 ; + [ tl qu g a) = 0. Démontrr qu a appartint à l intrvall ]0,703; 0,704[. c. Détrminr l sign d g x) sur [0 ; + [. 2. Étud d la fonction f a. Détrminr ls limits d la fonction f n 0 t n+. b. On not f la fonction dérivé d f sur l intrvall ]0 ; + [. Démontrr qu pour tout rél strictmnt positif x, f x)= g x) x 2. c. En déduir l sns d variation d la fonction f t drssr son tablau d variation sur l intrvall ]0 ; + [. d. Démontrr qu la fonction f admt pour minimum l nombr rél m= 1 a a.. Justifir qu 3,43<m< 3,45. Exrcic 9 D après Bac S Asi 2010) Soit f la fonction défini sur l intrvall ]0 ; + [ par : f x)= 1 x 2 1 x. 1. a. Détrminr la limit d f quand x tnd vrs 0. b. Détrminr la limit d f quand x tnd vrs +. c. La courb rprésntativ d f admt-t-ll ds asympotots? Si oui, précisr lsqulls. 2. a. Démontrr qu f st dérivabl sur ]0 ; + [ t qu : pour tout x > 0, f x)= 1 x 4 1 x 2x+ 1). b. Détrminr l sign d f t n déduir l tablau d variation d f sur l intrvall ]0 ; + [. c. Démontrr qu l équation f x) = 2 admt un uniqu solution α appartnant à l intrvall ]0 ; + [. Détrminr la valur approché d α arrondi au cntièm. 3/5

4 Exrcic 10 D après Bac S Asi 2010) On considèr ls fonctions f t g définis pour tout rél x par : f x)= x t g x)= 1 x. Ls courbs rprésntativs d cs fonctions dans un rpèr orthogonal du plan, notés rspctivmntc f t C g, sont fournis ci-dssous C f 2 1 C g O Parti A Cs courbs smblnt admttr dux tangnts communs. Tracr aux miux cs tangnts sur la figur. Parti B Dans ctt parti, on admt l xistnc d cs tangnts communs. On notd l un d ntr lls. Ctt droit st tangnt à la courbc f au point A d absciss a t tangnt à la courbc g au point B d absciss b. 1. a. Exprimr n fonction d a l cofficint dirctur d la tangnt à la courbc f au point A. b. Exprimr n fonction d b l cofficint dirctur d la tangnt à la courbc g au point B. c. En déduir qu b= a. 2. Démontrr qu l rél a st solution d l équation 2x 1) x + 1= 0. Parti C On considèr la fonction ϕ défini surrpar ϕx)=2x 1) x a. Calculr ls limits d la fonction ϕ n t+. b. Calculr la dérivé d la fonction ϕ, puis étudir son sign. c. Drssr l tablau d variation d la fonction ϕ surr. Précisr la valur d ϕ0). 2. a. Démontrr qu l équation ϕx)=0 admt xactmnt dux solutions dansr. b. On not α la solution négativ d l équation ϕx)=0 t β la solution positiv d ctt équation. À l aid d un calculatric, donnr ls valurs d α t β arrondis au cntièm. Parti D Dans ctt parti, on démontr l xistnc d cs tangnts communs, qu l on a admis dans la parti B. On not E l point d la courbc f d absciss α t F l point d la courbc g d absciss α α st l nombr rél défini dans la parti C). 1. Démontrr qu la droit EF) st tangnt à la courbc f au point E. 2. Démontrr qu EF) st tangnt àc g au point F. 4/5

5 FONCTION EXPONENTIELLE : APPROFONDISSEMENT Exrcic 11 La fonction xponntill n Physiqu : la désintégration radioactiv L uranium-235 a un noyau radioactif. La radioactivité st un phénomèn physiqu au cours duqul, à tout instant, un fraction fix t caractéristiqu ds noyaux présnts s transform spontanémnt n d autrs atoms : on parl d désintégration. On considèr un population macroscopiqu c st-à-dir un grand quantité) d noyaux d uranium-235, t on not N t ) l nombr d noyaux d uranium xistants à l instant t. Entr dux instants t t t+ t, un quantité Qt ) d cs noyaux va s désintégrr. 1. Justifir qu l on put écrir Qt )= N t+ t ) N t )). 2. Ls physicins ont obsrvé qu la quantité Qt ) d noyaux qui s désintègrnt st proportionnll à l intrvall d tmps t t à la quantité N t ) d noyaux xistants à l instant t Ils écrivnt Qt )=λ U t N t ) où λ U st un constant caractéristiqu d l uranium). Justifir alors qu l on put écrir N t+ t ) N t ) = λ U N t ) t 3. En faisant tndr t vrs 0, ls mathématicins traduisnt ctt xprssion n : N t )= λ U N t ). Vérifir qu, si la fonction N st donné par l xprssion N t )= N 0 xp λ U t ) où N 0 st la quantité d noyaux xistants au tmps t = 0), alors la dérivé d N vérifi bin la rlation N t )= λ U N t ). Exrcic 12 Soint f t g ls fonctions définis surrpar f x)= x 1 t g x)=x x On not rspctivmnt C f t C g lurs courbs rprésntativs dans un rpèr. 1. Drssr l tablau d variations d f, n précisant ls limits n+ t n t ls asympotots évntulls à la courb C f. 2. Fair d mêm pour la fonction g. 3. En détrminant ls équations ds tangnts aux courbs C f t C g au point d absciss 0, justifir qu cs dux courbs ont un tangnt commun. 4. Soit un rél a > 0 t soit la droit d équation y = ax. Détrminr l nombr d points d intrsction ntr t C g, t précisr ls abscisss d cs) points) on pourra utilisr la fonction ln). Exrcic 13 Soit f la fonction défini surrpar f x)=6 x+1 3 2x. 1. Détrminr lim x + f x). 2. Justifir qu, pour tout x R, f x)= x 6 3 x ). En déduir lim x f x). 3. a. Justifir qu f st dérivabl surrt qu, pour tout x R, f x)=6 x x ) b. En déduir ls variations d f drssr son tablau d variations). 4. On vut détrminr l absciss du point d intrsction d la courb rprésntativ d f avc l ax Ox) ds abscisss : résoudr l équation f x)=0 t conclur on pourra utilisr la fonction ln). 5/5