Les mathématiques appliquées de la finance

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1 Les mathématiques appliquées de la finance Utiliser le hasard pour annuler le risque Emmanuel Temam Université Paris 7 19 mars 2007 Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

2 Un peu d histoire Origine de la finance moderne: Bachelier (1900) à l origine de la naissance des processus stochastiques (variables aléatoires dépendants du temps X t (ω)) et de la couverture de risque en finance. La théorie mathématique des processus se développe au long du XXème siècle avec Kolmogorov et Itô parmi d autres. Côté finance, la théorie de Bachelier fut oubliée jusqu en 1973 et les travaux de Black, Scholes et Merton. Contexte macro-économique des années 1970: la déréglementation des marchés financiers (ex: taux de change, taux d intérêt, etc...) entraîne une hausse des risques pour les entreprises: celles-ci sont prêtes à payer pour transférer ce risque. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

3 La finance en univers certain Idée fondamentale: la valeur de l argent évolue au cours du temps Xe à t =0 X(1 + r)e à t =1 X(1 + r) n e à t = n X (1+r) n e à t =0 X (1+r) n 1 e à t = n 1 Xe à t = n La valeur actuelle du flux X échangé à t = n est X (1+r) n Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

4 Exemple d application Un exemple d application: le calcul des crédits. Un étudiant emprunte 1000epour acheter un ordinateur. La banque lui propose un crédit avec comme caractéristiques: taux d intérêt: r =0.25%. Durée: 2 ans=24 mois Mensualité constante M. Comment la banque calcule la mensualité M que vous allez verser? Elle égalise les flux futurs Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

5 Calcul de la mensualité d un crédit 1000 = M 1+r + M (1+r) M (1+r) 24. Somme versée par la banque en t =0 Valeur actuelle de la somme versée par l étudiant à la première mensualité Valeur actuelle de la somme versée par l étudiant à la deuxième mensualité Valeur actuelle de la somme versée par l étudiant à la dernière mensualité Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

6 Conclusion On en déduit 1000 = M = 24 k=1 M 1 (1 + r) (24+1) = M (1 + r) 24 r 1000r 42.98e 1 (1 + r) (24+1) Quand tout est déterminé: pas de problème Si r est inconnu, on ne peut plus rien calculer a priori: il y a risque de taux. Il existe d autres risques: risque de change, risque de contrepartie, etc... Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

7 Notion d arbitrage Définition Une opportunité d arbitrage est une stratégie financière permettant, pour un coût initial nul, d acquérir une richesse certaine dans une date future. Une banque X propose un livret à 4% par an. Une banque Y propose un crédit à 3% par an. Pour 100e emprunté en t =0, on doit rembourser 103 et on gagne 104 avec le livret au bout d un an: on fait dans tous les cas un profit de 1e, sans mise initiale. Hypothèse d AOA: on suppose qu il y a absence d opportunité d arbitrage sur les marchés financiers. L hypothèse d AOA implique que si deux flux futurs X T et Y T sont égaux alors ils ont le même prix à la date 0: X 0 = Y 0. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

8 Les options d achat L option d achat (call) sur S: Deux intervenants: l acheteur et le vendeur. L acheteur a le droit (et non l obligation) d acheter à la date T une unité d un actif S au prix K déterminé aujourd hui. Le vendeur reçoit en échange une prime P aujourd hui. Prix ou Valeur de l option A la date 0, la valeur de l option est P (la valeur de l actif à cette date est notée S 0 ). A la date T, deux cas Si S T K, l acheteur achète à K une unité d actif à l aide de l option. La valeur de cet actif est S T. La valeur de l option est S T K. Si S T K, l acheteur n utilise pas son option. La valeur de l option est 0. Conclusion: la valeur de l option à la date T est (S T K) +. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

9 Applications de l AOA L hypothèse d absence d opportunités d arbitrage implique que En effet, si P>S 0 : P S 0. On vend l option, on achète une unité d actif risqué. Profit = P S 0 > 0. A la date T on dispose de S T et on doit fournir à l acheteur de l option (S T K) +. Finalement Profit =(P S 0 )+(S T (S T K) + ) P S 0 > 0. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

10 Un exemple: transfert du risque de change Considérons la société Airbus: elle vend ses avions en dollar et sa comptabilité est en euro. Or, si le prix est fixé à la vente, la somme ne sera versée qu à la livraison (ou au moins une partie) Problématique: comment prévoir le montant d euros que recevra Airbus à la livraison? Donnons un exemple: on suppose que le prix d un avion soit de 300M$ payable dans T =5ans. Aujourd hui, S 0 = 1$ pour avoir 1e. Si il n y a pas de risque, le taux de change n évolue pas et Airbus reçoit 5 ans plus tard: M$= 300 Me. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

11 Un exemple: transfert du risque de change En fait le taux évolue et on suppose que deux cas peuvent se produire: Cas 1: il faut 0.8$ pour avoir 1e donc S T =1.25. Cas 2: il faut 2$ pour avoir 1e donc S T =0.5. Si Airbus décide de s exposer au risque de change et n utilise aucune stratégie financière, l entreprise encaissera la somme de Cas 1: S T 300 M$ = 375 Me. Par rapport à un scénario sans risque, Airbus gagne = 75 Me. Cas 2: S T 300 M$ = 150 Me. Par rapport à un scénario sans risque, Airbus perd = 150Me. Supposons que le cas 1 arrive avec une probabilité p et le cas 2 avec une probabilité 1 p on a un gain moyen: E[G T ]=p 75 (1 p) 150. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

12 Produits dérivés La banque XX propose à Airbus l option ayant les propriétés suivantes: La banque s engage à échanger 300 M$ dans 5 ans contre une somme fixée aujourd hui de K=300Me. Airbus n a pas d obligation: l entreprise peut vendre ses dollars à quelqu un d autre En contrepartie Airbus verse aujourd hui une prime P de 20Me à la banque. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

13 Evolution avec produits dérivés 5 ans plus tard: Cas 1: si S T =1.25, Airbus préfère changer ses dollars directement et encaisse = 345 Me. Par rapport au scénario sans risque, Airbus gagne = 45 Me. Cas 2: si S T =0.5, Airbus utilise son contrat et encaisse = 280 Me. Par rapport au scénario sans risque, Airbus perd = 20 Me P. Soit un gain moyen de E[G T ] = 45 p 20 (1 p). Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

14 Profil de gain Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

15 Mais où est le piège? Pour Airbus ce contrat est très avantageux: Perte limitée à 20Me. Gain potentiellement illimité si le cours évolue favorablement. Pour la banque en revanche: Gain limité à 20Me. Perte potentiellement illimitée si le cours évolue défavorablement. Les mathématiques financières servent (en partie) à calculer les primes pour que la banque puisse se couvrir. Les banques peuvent ainsi offrir aux entreprises, collectivités des outils de transfert de risque. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

16 Modèle de marché Marché à une période et deux dates 0 et 1 Xe à la date 0 donne X(1 + r)e à la date 1. Soit un actif risqué S (une action, une obligation, une monnaie étrangère écrite en euro, etc...) dont l évolution est: S 0 (1 + r) S 0 S 1 = u S 0 (1 + r) S 0 S 1 = d S 0 (1 + r) S 0 IMPOSSIBLE PAR AOA d<1+r<u Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

17 Modèle de marché Stratégie du vendeur: utiliser P pour le transformer en (S 1 K) + : cela s appelle dupliquer Avec quels outils? L actif risqué S: quantité δ 0 L actif sans risque (l argent): correspond à l emprunt ou au placement d argent (quantité algébrique φ 0 ) La valeur de cette stratégie financière est donc V 0 = φ 0 + δ 0 S 0 3 équations à 3 inconnues par absence d opportunité d arbitrage: φ 0 + δ 0 S 0 = V 0 = P (1) φ 0 (1 + r)+δ 0 S 0 u = V 1 (u) =(S 0 u K) + (2) φ 0 (1 + r)+δ 0 S 0 d = V 1 (d) =(S 0 d K) + (3) Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

18 Résolution On en déduit (2) - (3): Puis Enfin δ 0 = (S 0u K) + (S 0 d K) +. S 0 (u d) u φ 0 (1 + r) =(S 0 d K) + u d (S d 0u K) + u d. P = 1 1+r Si on pose π = 1+r d u d 1+r d u (1 + r) (S 0 u K) + +(S 0 u K) +. u d u d, on peut réécrire l équation précédente (S1 K) + P = E, 1+r avec S 1 une variable aléatoire de loi Q[S 1 = S 0 u]=π =1 Q[S 1 = S 0 d]. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

19 Conclusion: prime P = E (S1 K) +, 1+r Conclusion: la prime est l espérance de la valeur du call à la date 1 actualisée sous une certaine probabilité Q. Si on pose X = S 1 S 0 S 0, E[X] =π (u 1) + (1 π) (d 1) = r. Sous cette probabilité Q le rendement de l actif risqué est le rendement de l actif sans risque (l argent). Sous cette probabilité, le rendement moyen de n importe quelle stratégie financière est r. Il s agit de la probabilité neutre au risque (ou risque-neutre). Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

20 Le mouvement brownien Définition Le mouvement brownien est un processus (i.e. une suite de v.a. indexée par le temps t [0,T]) issu de 0 et tel que les accroissements W t W s pour 0 s<tsuivent une loi gaussienne de moyenne 0 et de variance t s. Ainsi: W t a pour loi N (0,t) La fonction qui à t associe W t (ω) est continue. Cette même fonction est non dérivable en tout point. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

21 Le mouvement brownien et la finance Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

22 Le monde de Black, Scholes et Merton Temps continu, horizon T, t [0,T]. Couverture dynamique: A la date 0, le vendeur reçoit P = V 0. Il achète une quantité δ t d actif risqué S. Le reste est investi dans l argent (on suppose r =0ici). Aucun apport extérieur ne doit intervenir: la couverture est autofinancée. Si la valeur de la couverture est (V t ) t [0,T ] alors la variation infinitésimale satisfait: V t+dt V t = δ t (S t+dt S t ). De plus la couverture doit dupliquer le call: V T (ω) =(S T (ω) K) +. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

23 Le monde de Black, Scholes et Merton: modélisation Black, Scholes et Merton proposent S t+dt S t = S t µdt + σ(w t+dt W t ). tendance bruit aléatoire La définition du terme W t+dt W t nécessite l introduction du calcul stochastique ou calcul d Itô car le brownien n est pas à variation finie mais à variation quadratique finie. On peut ainsi définir pour une fonction f suffisamment régulière: f(t + dt, S t+dt ) f(t, S t ) = t f(t, S t )dt + s f(t, S t )(S t+dt S t ) σ2 S 2 t 2 ssf(t, S t )dt. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

24 Le monde de Black, Scholes et Merton: résolution On suppose que V t = C(t, S t ) (on peut le démontrer rigoureusement). Ces équations conduisent nécessairement à une équation aux dérivées partielles: t C(t, x)+ 1 2 σ2 x 2 2 xxc(t, x) = 0 La prime proposée par le vendeur est donc C(T,x) = max(x K, 0) P = V 0 = C(0,S 0 ). δ t = x C(t, S t ). A l aide de cette prime, le vendeur parvient dans tous les scénarios àgénérer la cible aléatoire max(s T K, 0). La prime ne dépend du modèle que par la volatilité (σ), le terme de tendance (µ) n intervient pas!! Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

25 Le monde de Black, Scholes et Merton: résolution Rappel: l arbitrage est une stratégie permet de gagner à coup sur à partir de rien. Le prix est unique par absence d opportunité d arbitrage: supposons qu un vendeur propose l option au prix V 0 >V 0 Il vend le contrat Suit la stratégie (δ t ) t [0,T ]. En T il dispose de V 0 V 0 + V T (S T K) + > 0 La stratégie δ t est la stratégie delta-neutre qui est la stratégie associée au seul prix équitable. Le prix peut également s écrire: V 0 = E Q [(S T K) + ]. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

26 Panorama des mathématiques de la finance Probabilité et calcul stochastique: application à la modélisation et aux options dites exotiques. Complexité des produits introduction de méthodes numériques. Applications des équations aux dérivées partielles (domaine largement étudié auquel la finance a fournit de nouvelles applications). Monte Carlo (calcul d espérance par répétition d expériences aléatoires): discrétisation de processus, calcul de Malliavin, problème d arrêt optimal, optimisation stochastique, etc. En retour: arbitrage a posé des problèmes ardus. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27

27 Formations en mathématiques financières Développement des mathématiques financières a eu un impact fort pour les formations de mathématiques appliquées. Universités: Paris 6 et 7 (2 Masters chacune), Dauphine, Paris 1, Marne La Vallée, Evry, etc. Grandes Ecoles: ENSAE, X, Ponts, ENSIMAG, Sup aero, ENSTA ont développés des filières mathématiques financières. Passage obligé devenir quant Modélisation (fondée notamment sur le calcul stochastique) Probabilités et analyse numériques, optimisation, algorithmique et programmation Le calcul stochastique et, par extension, les mathématiques appliquées sont devenus depuis quinze ans LA voie d accès aux métiers de la finance de marché. A l heure actuelle, c est une autoroute, l avenir dira ce qu il en est. Emmanuel Temam (Université Paris 7) Les mathématiques appliquées de la finance 19 mars / 27