Chapitre 7 Proportionnalité.

Transcription

1 Chapitre 7 Proportionnalité. Voir 5 ème, chapitres 5 et 7 ; 4 ème, chapitres 4, 5 et 12. I) Pourcentages, indices A) Augmentation (ou diminution) Eemple : Le pri d un objet est passé de à 14. Calculer le pourcentage d augmentation. Ancien pri ( ) Nouveau pri ( ) 14 p Donc, p = 14 D où, le pourcentage d augmentation est de 12 %. Autre méthode : Ancien pri ( ) 14 = 1,5. Augmentation ( ) 1,5 t = = 12. Donc, t = 1,5 = 12. B) Groupes et effectifs Eemple : (réunion de deu groupes) Sur les élèves de 4 ème A, il a 2 filles. % des filles et 75 % des garçons participent à un concours de maths. Calculer le pourcentage d élèves de 4 ème A qui participent au concours. Nombre d élèves qui participent au concours : 75 Filles, 2 = 2,4 =. Garçons, ( 2) = 12,75 = 9. Donc 17 élèves sur participent au concours. Calcul du pourcentage : 17 53,1 =. D où, les participants au concours représentent environ 53 % des 4 èmes A. Attention! Ce n est pas la moenne des pourcentages ( 75) 2 = 57,5. C) Indice Définition et méthode : Pour visualiser plus facilement l évolution d un phénomène, on associe à chaque donnée un nombre appelé indice. On attribue l indice à la valeur d une année que l on choisit comme année de base. On calcule l indice correspondant au valeurs des autres années en considérant que ces valeurs et les indices associés sont proportionnels. Chaque nouvelle valeur calculée est appelée l indice de base en (année de base) pour l année (année concernée) easmaths.free.fr Page 1 sur 5

2 Lorsqu un indice annuel de base est défini pour une année, l écart entre chacun des indices et donne le pourcentage d augmentation ou de diminution (selon le signe de la différence) depuis l année de base. Eemples : Indice : du coût de la construction (ICC), F en 1953 ; des pri à la consommation (IPC), base en 199 ; des chiffres d affaires (ICA), base en 2 ; de la production industrielle (IPI), base en 2 ; II) Représentation graphique Dans un repère du plan, un graphique représentant une situation de proportionnalité est constitué de points alignés avec l'origine du repère. Si les points d une représentation graphique sont alignés avec l origine du repère, alors ils représentent une situation de proportionnalité. Si l on représente graphiquement une situation de proportionnalité, alors les points sont alignés avec l origine du repère. (Propriété admise.) Eemple : Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, «en fonction» de. Grandeur Grandeur 2 Les points sont alignés avec l origine du repère. = 2 = =, La relation de proportionnalité entre les valeurs de et celles de est =,. 2 Contre-eemples : Représenter graphiquement, dans un repère orthogonal, «en fonction» de Les points sont alignés sur une droite qui ne passe pas par l origine du repère easmaths.free.fr Page 2 sur 5

3 / =, mais 15/ =,6 D où les valeurs de ne sont pas proportionnelles à celles de. Les points ne sont pas alignés. 2/ =,2 mais / =,5 D où non-proportionnalité. Attention! Les deu aes doivent être gradués à partir de pour pouvoir utiliser la propriété. III) Vitesse moenne Le coefficient de proportionnalité d un mouvement uniforme est la vitesse constante du mobile. Cette nouvelle grandeur est dite «grandeur quotient». C est la distance parcourue par unité de temps. Définition : La vitesse moenne v d un mobile est le quotient de la distance d parcourue par la durée (ou temps) t du parcours : v = d t Conséquences : d = vt et t = d v Unités usuelles de vitesse : L unité dans laquelle est eprimée une vitesse est composée à partir des unités de distance et de durée. Si d est en kilomètres (km) et t en heures (h), alors v est en «kilomètres par heure» que l on note km/h ou km.h 1. On utilise également les «mètres par seconde», notés m/s ou m.s 1. Remarque : Une consommation (L/km), un débit (m 3 /s), une masse volumique (g/cm 3 ), un «pri au kilo» ( /kg) et un tau de change ( /$) sont d autres grandeurs quotients. Eemples : 1. Un mobile parcourt 155, km en 2 h 1. Calculer sa vitesse moenne. d = 155, km et t = 2 h 1 min = 2 h 1/6 h = 2 h,3 h = 2,3 h. Attention! Si la division ne tombe pas juste, on conserve l écriture fractionnaire. Sa vitesse moenne est de : v = d = 155,km = 67,5 km/h ou v = 67,5km = 675m = 1,75 m/s t 2,3h 1h 36s (Cela ne signifie pas qu il se déplace à la vitesse constante de 67,5 km/h, mais que chaque heure il parcourt en moenne 67,5 km.) Autre méthode : 2 h 1 min = 2 6 min 2 min = 13 min easmaths.free.fr Page 3 sur 5

4 Durée du parcours (min) 13 6 Distance parcourue (km) 155, d Donc, d = 155, 6 13 = 67,5. A partir de la vitesse moenne, on peut calculer : La durée d un parcours de 357,75 km, t = d 357,75 km = = 5,3 h = 5 h,3 6 min = 5 h 1 min. v 67,5 km/h La distance parcourue en 27 min, d = v t = 67,5 km/h 27 h = 67,5 km/h,45 h = 3,375 km Calculer la vitesse moenne d'un trajet sur un parcours de 6 km, où l'aller se parcourt à 2 km.h 1 et le retour à 3 km.h 1. (Trajet en deu étapes.) Durée totale : t 1 = 6 km / 2 km/h = 3 h, t 2 = 6 km / 3 km/h = 2 h, d où t = 3 h 2 h = 5 h Distance totale : d = 6 km 6 km = 12 km Donc la vitesse moenne est v = 12 km/5 h = 24 km/h. IV) Agrandissement, réduction Définition : Dans un agrandissement ou une réduction (reproduction «à l échelle»), les longueurs de la figure initiale et les longueurs correspondantes de la figure obtenue sont proportionnelles. Propriété et définition : Dans un agrandissement ou une réduction de rapport k > (ou à l échelle k), les longueurs sont multipliées par k. Le nombre k est appelé le facteur (ou coefficient) d agrandissement (k > 1) ou de réduction ( < k < 1). Propriétés : (conservation) Dans un agrandissement ou une réduction, les angles (et donc la perpendicularité) et le parallélisme sont conservés. Eemples : 1. EF = 3 4 AB, FG = 3 4 BC, GH = 3 4 CD, HE = 3 4 DA et < 3 4 < 1. A D EFG = ABC, FGH = BCD, GHE = CDA et HEF = DAB. B C Donc, A B C D est une réduction de coefficient,75 de E H ABCD. F G 2. Cas particulier de la configuration de Thalès [ch. 4 II)] : (Propriété) Le triangle AMN est une réduction du triangle ABC. Toutes les longueurs de ABC sont multipliées par un même nombre <k<1. AM = k AB, AN = k AC et MN = k BC. Les mesures des angles de la figure sont inchangées. AMN = ABC et ANM = ACB easmaths.free.fr Page 4 sur 5

5 Le triangle ABC est un agrandissement du triangle AMN. Toutes les longueurs du triangle AMN sont multipliées par un même nombre k > 1 AB = k AM, AC = k AN et BC = k MN. Les mesures des angles de la figure sont inchangées. ABC = AMN et ACB = ANM easmaths.free.fr Page 5 sur 5