CHAPTER 1. Introduction

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1 CHAPTER Introduction.. Quelques notions mathématiques indispensables... Voisinage. On appelle voisinage d'un point x R tout intervalle ouvert ]x h, x + h[, avec h >, centré sur x. Une propriété P t est dite vraie au voisinage d'un point x R si et seulement si il existe h > tel que la propriété soit vraie pour tout t ]x h, x + h[. Une fonction f est dite bornée au voisinage de x R si et seulement si il existe C > tel que la propriété f t < C soit vraie au voisinage de x. Example. Soit f est une fonction dénie au voisinage de x R, continue en x et vériant f x >. Montrons que f est strictement positive au voisinage de x : comme f est continue en x, pour ɛ = fx, on peut trouver η > tel que x x < η = f x f x < fx. Donc pour x dans l'intervalle I = ]x η, x + η[, f x vérie fx < f x f x < fx donc fx < f x, et, puisque < fx, on a trouvé un voisinage I de x tel que la propriété f x > est vraie pour tout x I. Autre démonstration par l'absurde : la propriété f est positive au voisinage de x s'écrit :.. h >, x ]x h, x + h[, f x > Supposons que.. est fausse alors :.. h >, x ]x h, x + h[, f x Dans ce cas en prenant h = n, on peut trouver x n ] x n, x + n[ tel que f x n. On voit facilement que lim n x n = x et par continuité de f, on peut écrire : f x = lim n f x n ce qui est absurde. De manière analogue, on appelle voisinage de + tout intervalle ouvert de type ]A, + [. Une fonction est dite bornée au voisinage de + si et seulement si il existe une borne C > et voisinage V de + tel que x V, f x < C... Comparaison de suites et fonctions, notations de Landau. Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on notera de manière compacte lim a f de préférence à lim x a f x. Par contre aucune des deux écritures suivantes n'a de sens : lim x a f et lim a f x Definition. Fonction négligeable, dominée. Soient f et g deux fonctions de A dans R, l'ensemble A peut être une partie de R ou bien N et dans ce cas les fonctions f et g sont les suites u n = f n et v n = g n et le a dont il est question dans les énoncés à 3 ci-dessous est a = +.

2 .. QUELQUES NOTIONS MATHÉMATIQUES INDISPENSABLES On dit que la fonction f est négligeable devant la fonction g au voisinage de a, ou bien f est unpetit o de g au voisinage de a et on note f = o a gsi et seulement si f = o a g lim a f g = On dit que f est dominée par g au voisinage de a ou f est ungrand O de g au voisinage de a et on note f = O a g si et seulement si f = O a g f g est borné au voisinage de a Pour que f soit dominée par g au voisinage de a, il sut que lim a f g = l existe et soit nie. 3 Ces dénitions s'appliquent souvent pour a = et g h = h α. On omet alors l'indice et obtient : f = o h α lim h f h h α = f = O h α Example 3. f h = h α ɛ h, avec lim ɛ = f h h α C au voisinage de h = f h = h α B h, avec B borné au voisinage de Soit f x = x + x. Au voisinage de x =, on a f x = o x = O x fx fx car lim x x = et lim x x =. Au voisinage de x =, on a sin x = O x et sin x = o x car lim x sin x x = sin car lim x x x =. 3 Au voisinage de n = + comme toujours pour les suites, on a u n = n+ n = O n, car u n a pour limite, donc reste borné. n 4 u n = n ln n = o n 5 au voisinage de, sin x = x x3 6 + O x 5 sinx car lim x x x3 6 x 5 = 5! Definition 4. Fonctions équivalentes : soient f et g deux fonctions dénies au voisinage de a R. On dit que f est équivalente à g au voisinage de a et on note f x g si et seulement si f x lim x a g x = ou de manière équivalente, f a + h lim h g a + h = Example 5. Au voisinage de, les fonctions x x et x sin x sont équivalentes car lim x sin x x =

3 .. QUELQUES NOTIONS MATHÉMATIQUES INDISPENSABLES Vitesse ou ordre de convergence. En analyse numérique, la vitesse de convergence d'une suite représente la vitesse à laquelle les termes de la suite se rapprochent de sa limite. Ce concept a une grande importance pratique car lorsque la vitesse de convergence est grande, en général peu d'itérations sont nécessaires pour donner une valeur proche de la limite. Definition 6. Soit f une fonction admettant une limite l au point a : lim a f = l. On dit que f x converge vers l avec un ordre de convergenced'au moins α ssi : f a + h = l + o h α L'ordre de convergence est la borne supérieure de l'ensemble des ordres de convergence. Definition 7. Pour une suite u n convergente de limite l, soit e n = x n l l'erreur au rang n. S'il existe C tel que on a x n+ l < C x n l, au voisinage de n = +, alors la convergence est linéaire. s'il existe une suite ɛ n qui tend vers, et telle que x n+ l < ɛ n x n l alors la convergence est super-linéaire. 3 S'il existe C tel que on a x n+ l < C x n l α, au voisinage de n = +, alors la convergence est d'ordre au moins α. La convergence d'ordre est dite quadratique, la convergence d'ordre 3 est dite cubique, la convergence d'ordre 4 est dite quartique. Example. Soit f h = +h eh h. On a lim f = car eh = + h + h + θh3 3!. On peut évaluer la vitesse de convergence en calculant e h = f h + = θ3 h < K h donc f h l = O h et la convergence est au moins 6 d'ordre linéaire u n = + n converge vers linéairement car borné...4. La formule de Taylor. un+ u n = n n+ est Definition 8. On dit qu'une fonction f dénie sur un intervalle ]a, b[ y est de classe C n+ si et seulement si f est n + fois continuement dérivable sur ]a, b[ et on note f C n+ ]a, b[ Theorem 9. soient a < b et f C n+ ]a, b[, soit x ]a, b[ et h R tel que x + h ]a, b[ alors f x + h = f x + hf x + h = k n h k k! f k x + R n h f x + + hn n! f n x + R n h Il est équivalent de dire que en+ = O e n Il est équivalent de dire que l'ordre de convergence est la borne supérieure de l'ensemble des α tels que : e n+ = O e n α

4 .. QUELQUES NOTIONS MATHÉMATIQUES INDISPENSABLES 4 dans cette écriture, la somme est appelée partie régulière de la formule et R n h est appelé le reste. Le reste admet plusieurs expressions : Formule de Taylor-Laplace ou formule de Taylor avec reste intégral: R n h = b Formule de Taylor-Lagrange : R n h = = a b t n f n+ t dt n! h n+ n +! f n+ x + θh, θ ], [ h n+ n +! f n+ ξ, ξ ]x, x + h[ ]x + h, x[ 3 Formule de Taylor-Young : c'est une autre écriture, moins précise mais souvent susante, courament utilisée : avec lim h ɛ h = 4 Inégalité de Taylor-Lagrange : R n h = o h n R n h h n+ n +! = h n ɛ h sup ]x,x+h[ f n+ Example. f x = ln x, en utilisant une formule de Taylor, pour x = on obtient : f = x, f = x, f 3 = x 3, f 4 = 6x 4 et pour k f k x = k k!x k d'où f k = k k! et enn : n ln + h = k k hk + R n k= où R n est le reste. La somme est un polynôme en h elle peut être vue comme une fonction simple qui approche la fonction plus compliquée x ln x, au voisinage de x =. Le reste R n h est alors l'erreur commise en faisant cette approximation. Elle vaut R n h = f n+ + ξ h n+, ξ [, h] n +! n+ = n h n + + ξ et en supposant h > pour xer les idées, on a + ξ > donc R n h hn+ n + Pour h =, on obtient ln = n n + R n avec R n n+. Pour calculer ln avec une précision de 8, il faut un nombre n de termes tel que : n+ < 8 soit n > + 8!!!

5 .. QUELQUES NOTIONS MATHÉMATIQUES INDISPENSABLES 5 Figure... Théorème des valeurs intermédiaires Figure... Théorème des accroissements nis..5. Théorème des valeurs intermédiaires. Theorem. Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a, b]. Pour tout γ [min I f, max I f] il existe c I tel que γ = f c..6. Théorème des accroissements nis, théorème de Rolle. Theorem. Soit f une fonction continue sue [a, b], dérivable sur ]a, b[ alors il existe ξ ]a, b[ tel que f b f a = f ξ b a Lorsque f a = f b, on a f ξ = et le théorème prend le nom de théorème de Rolle..7. Théorème de la valeur moyenne pour les intégrales: Theorem. Soient u et u deux fonctions à valeurs réelles, continues sur un intervalle [a, b], vériant v. Alors il existe un point ξ [a, b] tel que uv = u ξ v [a,b] [a,b]

6 .. ALGORITHMES Formule sommatoires. Proposition 3. Soit un entier n et S k n = i n ik la somme de puissances k-ème des n premiers entiers. On a S = n = n n + S = n = n n + n + 6 Proof. pour k > supposons S, S,..., S k connu. Pour obtenir S k on développe n n k+ i + k+ k + = i m m i= = = i= m= k+ m= k m= k + m k + m n i m i= S m + S k+ puis on lui retranche S k+ = n i= ik+, on obtient d'une part : n n W = i + k+ i k+ et d'autre part : d'où l'on tire : S k = W = i= = n + k+ k m= k + m = k + S k + k + S m k m= n + k+ i= k + m k m= S m k + m S m On a S = n et pour k = on obtient : S = n + S = nn+ pour k = : S = 3 n + 3 S 3S = 6 n n + n +.. Algorithmes... Les bases. Un algorithme est une suite d'instructions plus ou moins précises, une sorte de recette pour accomplir une tache donnée. Les algorithmes dont nous allons traiter sont des algorithmes numériques, destinés à etre exécutés sur un ordinateur de bureau PC. Au cours de ce semestre, nous utiliserons le langage Scilab ou Matlab ou Octave, qui sont très similaires.

7 .. ALGORITHMES 7 Figure... Structure d'un algorithme Voici un algorithme rudimentaire permettant de déterminer si un nombre est premier : Algorithm 4. [p]=estpremiern #Détermine si un entier n est premier #entrée : n N{ vrai si n est premier #sortie : p = faux sinon pour i=:n- faire si i divise n alors p=faux; break; fin si fin pour p=vrai; Tout algorithme est structuré de la manière suivante : la déclaration de la forme Algorithme [liste de variables de sortie]=nomalgorithmeliste des variables entrée #une ligne expliquant plus ou moins sommairement ce que fait l'algorithme, et ses limitations 3 #une ou plusieurs lignes décrivant en détail les variables en entrée de l'algorithme 4 #une ou plusieurs lignes décrivant en détail les variables de sorties i.e. calculées et renvoyées par l'algorithme 5 L'algorithme proprement dit. Il est impératif de respecter les règles simples : a les mots clé feront partie de l'ensemble{si, alors, sinon, fin, début, répéter, tant que, faire, pour, break, sortie,...}. Cet ensemble est extensible suivant le degré de détail de l'algorithme.

8 .. ALGORITHMES 8 b Les lignes de l'algorithme seront commentées au maximum, un commentaire commence par # ou // c Les blocs d'instructions seront indentés. Par exemple une boucle si... n si sera obligatoirement présentée de la manière suivante : si x=alors #ouverture d'un blocsi instruction#décalée indentée de deux espaces instruction#décalée indentée de deux espaces fin si #fermeture blocsi,meme niveau que l'ouverture 6 Lorsque l'algorithme est écrit, il est en général utile de calculer le nombre d'opérations qu'il consomme a On ne compte que les opérations les plus gourmandes en CPU tenant compte de la hiérarchie : tests if, while.. et accès mémoire << opérations sur les entiers << opérations sur les réels. Ainsi dans un algorithme qui ne fait que des tests et des accès mémoire algorithme de tri par exemple, on comptera le nombre de tests et d'accès mémoire, tandis que dans un algorithme qui calcule sur des réels par exemple un calcul de déterminant, le décompte des opérations ne tiendra pas compte des calculs sur les entiers et des tests. b Usuellement, on compte les additions, soustractions, multiplications et divisions dans une seule rubrique appelée opérations. c On donnera le nombre approximatif d'opérations, en fonction de la taille du problème. Par exemple, dans un calcul de déterminant, ou de valeur propre pour une matrice A R n,n, si le nombre d'opérations est N op n = 3 n3 + n 5, on donnera comme résultat N op n n3 3 ou encore N op n = O n 3. 7 On calcule également l'encombrement mémoire de l'algorithme approximatif, sans tenir compte des variables réelles ou entières simples, mais uniquement des tableaux. 8 On étudie également la constructibilité de l'algorithme. Un algorithme est dit constructible si, indépendament de la qualité des résultats, il peut se dérouler sans planter. Les cas de plantage les plus courant sont les divisions par zéro, les systèmes linéaires à matrice non inversible, les over- ow le résultat d'un calcul est supérieur aux capacités de la machine par exemple, les dépassement de capacité en tous genre matrice trop grande pour la capacité mémoire de la machine, Nécessité d'algorithmes performants. ordres de grandeur : âge de l'univers : 5 G-années =.6 sec an = = sec... L'ordinateur individuel. Nous supposerons que notre ordinateur individuel possède les caractéristiques suivantes : Son nom est Chabal Les réels double précision double sont stockés sur 8 octets octets pour long double Les entiers sont stockés sur 4 octets Go = 9 octets de mémoire vive soit environ 8 nombres réels.5 8 nombres entiers

9 .. ALGORITHMES 9 GFlops = 9 opérations en virgule ottante par seconde Ci dessous les calculs eectués sur scilab, et mon ordinateur portable : dans la réalité on est plus proche de méga-ops que de giga-ops... Exemple d'algorithme. Pourquoi les algorithmes de base ne sont-ils pas xés une fois pour toute? Certains le sont, d'autre doivent évoluer avec les progrès de la science qui les utilise. Par exemple, considérons un problème de n noeuds reliés par des ressorts, soumis à un champ de forces. Chaque noeud X i = x i, y i, z i est soumis de la part de son voisin X j = x j, y j, z j à une force élastique proportionnelle à l'allongement du ressort R ij : où X ij Φ ij X i, X j = k ij Xij X X ij ij

10 .. ALGORITHMES X ij = X j X i est la longueur à vide du ressort Rij, X ij = X j X i et Xij X est le vecteur unitaire du noeud X ij i vers le noeud X j. X ij est la longueur nale du ressort R ij donc X ij X ij est l'allongement du ressort R ij. k ij est le coecient de proportionalité. On écrit la relation d'équilibre du noeud X i soumis à la force extérieure F i xée: j Vi Φ ij X i, X j + F i =.. On voit que ce système d'équations peut s'écrire sous la forme Φ i X =, i n où les inconnues au nombre de 3n sont les positions des noeuds : X = [x, y, z ], [x, y, z ], [x n, y n, z n ] Ce modèle simple ou un modèle approchant peut rendre compte de : Un système de planètes n à 5 à condition de remplacer les forces élastiques par des forces proportionnelles à l'inverse du carré de la distance entre les noeuds. Une structure métallique comme un pont, une grue, dans ce cas, n à Une structure moléculaire, à condition de remplacer les forces élastiques par des forces adaptées proportionnelles à l'inverse de la distance ou l'inverse du carré de la distance entre les noeuds n à pour une seule molécule Un let de pêche ou de tennis n à Un morceau de tissu, une montgolère ou un parapente et dans ce cas n 3 à 6. Figure... Exemple de résultat pour le modèle de ressort

11 .. ALGORITHMES Quelques manipulations sont encore nécessaires pour approcher ce système d'équations.. par une successions de systèmes d'équations linéaires à résoudre, l'algorithme sera de la forme suivante : X donné, i = répéter assembler la matrice A i = A X i assembler le second membre b i = b X i calcul de X i+ par résolution de A i.x i+ = b i i = i + jusqu'à convergence X i est la solution Cet algorithme peut prendre de à itérations pour converger vers la solution du problème initial. Si le nombre de noeuds est N = 6 pour xer les idées, le nombre d'inconnues en 3d est n = 3N = 3 6, le nombre d'itérations de p =. Sans précaution particulière, le stockage d'une matrice A i R 3n,3n nécessite n 3 nombres réels alors que la capacité de Chabal est de 8... Il faut cent mille ordinateurs pour stocker une seule matrice! De plus, Nous verrons que la résolution d'un système linéaire de taille n, n par la méthode de factorisation de Gauss nécessite environ n3 3 opérations en virgule ottante, soit, pour itérations : opérations. A la vitesse de un GigaFlops, il faut donc T = s = 3 s ou encore 37 années 9 environ!!! Example 5. Nous verrons également en TD que le calcul d'un déterminant n n par la méthode brutale de développement suivant une colonne, conduit à un algorithme dont le temps d'exécution T et l'encombrement mémoire E sont consignés dans le tableau suivant : notez que l'âge de l'univers est d'environ 5 9 n Tn En 3e-5s.6 Mo années : 69 années Mo 3 6.9E+3 années Mo..3. Les limites de l'algorithmique Mauvais conditionnement, instabilité numérique. On parle d'instabilité si de petites erreurs initiales produisent des erreurs importantes dans la solution numérique Example 6. soit ɛ > et A ɛ = et soit à résoudre le système + ɛ x linéaire A ɛ =. La solution est x, y =, t. Si l'on change légèrement le second membre et on résoud A ɛ =, on trouve cette fois y x y + ɛ x, y =, t. Cet exemple simple montre qu'il faut rester critique et vigilant sur les résultats numériques obtenus.

12 .. ALGORITHMES Figure..3. Les premiers itérés de la suite x =.9, x n+ = f x n pour k {.8, 3.5, 3.8} k=.9 k=.9,7,8 y,5,,3,,8 5 5 x k=3.5 k=3.5,8,8,7 y,5,,,8 5 5 x k=3.8 k=3.8,9,8,8,7 y,5,,3,,8, 5 5 x..3.. Sensibilité aux conditions initiales chaos. Une étude numérique soigneuse de la suite x donné, x n+ = f x n avec f x = k.x x, pour diverses valeurs de k révèle quelques surprises. Voir la gure..3

13 .. ALGORITHMES 3 Le comportement étrange de cette suite n'est pas dû à un mauvais conditionnement ou une imprécision des calculs. Il est dû à la non linéarité de la fonction f qui induit une sensibilité extrême aux conditions initiales. Cette non linéarité porte en germe des comportement dits chaotiques qui font l'objet de recherches très actives dans le monde. L'enjeu en est en particulier la compréhension du comportement turbulent des uides à certains régimes, du comportement apparement chaotique de la croissance de certaines population, de la dérive erratique de certains établissements nanciers. Ces recherches démontrent en particulier, qu'il est impossible de prévoir le temps ou le climat à long terme, cette propriété est inscrite dans les équations mêmes.