CHAPITRE 6 Les vecteurs

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "CHAPITRE 6 Les vecteurs"

Transcription

1 A/ Vecteurs Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs CHAPITRE 6 Les vecteurs 1) Définition et exemples a) Définition Soient deux points A et B. On appelle vecteur AB "la flèche" allant de A à B. Plus précisément, ce qui caractérisera ce vecteur, c'est sa longueur (la longueur AB), sa direction (la droite (AB)), et son sens (de A vers B). On peut donc dire qu'un vecteur est défini par un réel (sa longueur), une droite (sa direction) et un sens. Il en résulte immédiatement que deux vecteurs sont égaux lorsqu'ils ont même direction, même sens et même longueur. Un vecteur u peut donc être représenté à partir de n'importe quel point A du plan, le point B étant alors le point situé sur la parallèle en B à la direction de u, à une distance égale à la longueur de u et du côté indiqué par le sens de u. b) Exemples Soit A, B, C et D des points du plan : Tracer les vecteurs AB, BC, DC, et donner leurs caractéristiques. Modèle : DE, qui a pour longueur DE, pour direction (DE) et pour sens "de D à E". c) Vecteurs particuliers - Le vecteur nul 0, qui est le seul vecteur ayant une longueur égale à zéro. En effet, ayant une longueur nulle, il ne peut avoir ni sens ni direction. - Le vecteur opposé à AB a même direction, même longueur et sens contraire que AB. C'est donc le vecteur BA. On note BA= AB. Page 1/7

2 d) Parallélogrammes Cours de Mathématiques Classe de Seconde Chapitre 6 Les Vecteurs Soient A et D deux points distincts (c'est-à-dire que AD 0), et soient B et C tels que AB= DC 0. Alors, ABCD est un parallélogramme. (démontrez-le!) La réciproque est vraie aussi : Si ABCD est un parallélogramme, alors AB= DC. (démontrez-le!) En résumé : ABCD parallélogramme <=> AB= DC <=> AC = DB (<=> veut dire "équivaut à") 2) Coordonnées d'un vecteur a) Définition Plaçons nous dans un repère (O, I, J) quelconque. Soit un vecteur u et traçons un vecteur égal à u à partir de l'origine O. Si l'on appelle M l'extrémité de ce vecteur, les coordonnées de u seront par définition celles de ce point M. Exemple : b) Calcul des coordonnées d'un vecteur Soit le vecteur AB, avec A(x 1 ; y 1 ) et B(x 2 ; y 2 ). Les coordonnées de AB seront x 2 - x 1 et y 2 - y 1, soit AB (x 2 - x 1 ; y 2 y 1 ). Page 2/7

3 En effet : Soit M le point tel que OM = AB : le quadrilatère OMBA est un parallélogramme (voir le 1d). Le milieu de [AM] est donc égal au milieu de [OB], ce qui s'écrit, en appelant x et y les coordonnées de M : x 1 x 2 = 0 x 2 donc x x 2 1 =x 2 d ' où x= x 2 x 1 y 1 y 2 = 0 y 2 donc y y 2 1 = y 2 d ' où y= y 2 y 1 c) Longueur d'un vecteur, et, CQFD. Dans un repère orthonormé, on peut utiliser la formule de la longueur du segment [AB] pour calculer la longueur du vecteur AB (notée AB ), soit, avec les mêmes notations que ci-dessus : AB = AB = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 = x 2 y 2. 3) Addition et soustraction a) Définition 1 La somme de deux vecteurs u et v, notée u v, se définit ainsi : Soit A un point, on trace AB= u puis BC= v et AC sera égal à u v. Page 3/7

4 L'égalité AB BC= AC est appelée la relation de Chasles. Remarque : Soient u et v deux vecteurs différents non nuls et de direction différente. Soit A un point, soit B tel que AB= u, D tel que AD= v et C tel que AC = u v. ABCD est un parallélogramme, car puisque AB= u et AC = u v, on aura BC= v= AD! b) Définition 2 La différence u v de deux vecteurs est la somme de u et de l'opposé de v. u v= u v. En particulier, u u= 0 car AB BA= AA (relation de Chasles) et AA= 0 car AA est de longueur nulle. c) Propriétés soit u (a ; b) et v (c ; d), on aura u + v = w (a + c ; b + d). Pour additionner deux vecteurs on additionne leurs coordonnées. De même, u - v = d (a - c ; b d). Pour soustraire deux vecteurs on soustrait leurs coordonnées. d) Règles de calcul. u v = u v. u v w= u v w. u v w = u v w. u v w = u v w B/ Produit d'un vecteur par un réel 1) Définition Soit u un vecteur et k un réel. Le produit k u de u par k est un vecteur de même direction que u, de longueur k fois la longueur de u, et de sens identique à u si k > 0, contraire si k < 0. Page 4/7

5 En particulier, k 0 = 0 et 0 u = 0 quelque soit k et u. u i v j u=3 v i = 2 j 2) Propriété Si on a u (a ; b), on aura : k u (ka ; kb). 3) Règles de calcul Soit k un réel et u un vecteur. a) k u= 0 si et seulement si k=0 ou u= 0 b) k u v =k u k v c) k l u=k u l u d) k l u = kl u e) 1 u= u 4) Exemples a) 2 AB AB 3 = AB= 5 3 AB. b) 3 AB 3 BC =3 AB BC =3 AC. c) AM 5 = 0 équivaut à AM = 0 équivaut à A=M d) 5 2 AB 5 =2 AB e) AB 4 AB= 5 4 AB=1 AB= AB f) x 2 i =x i 2 i g) 3 2 CD 2 DA =6 CA h) 5 AB 4 BC= AB 4 AC C) Colinéarité de deux vecteurs 1) Définition Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'ils ont la même direction. Si u= AB et v= CD, cela veut dire que (AB) // (CD). Théorème : u et v colinéaires équivaut à "il existe un réel k non nul tel que u=k v " On peut aussi écrire, en abrégé : u et v colinéaires <=> k R * u=k v ( signifie "il existe", veut dire "appartient à", R * signifie l'ensemble des réels sauf 0, et veut dire "tel que") Page 5/7

6 Démonstration : - Sens réciproque <= : si u=k v, par définition du produit par un réel, u et v auront la même direction, donc seront colinéaires. - Sens direct => : Si u et v sont colinéaires, soit A un point : On trace le vecteur AB= u et le vecteur AC= v. u et v sont colinéaires, donc (AB) // (AC) or ces droites ont A en commun donc (AB) = (AC) et A, B et C sont colinéaires sur la droite (AB). Premier cas : B A C A est entre B et C. Soit k= AB AC On aura AB= k AC, en effet : - AB= AB AC AC - AB et AC sont de sens opposés - AB et AC ont même direction (AB). - (-k) est donc la solution. Deuxième cas : A B C On aura AB=k AC, car - AB= AB AC AC - AB et AC ont même sens et même direction : k est donc la solution. 2) Parallélisme et colinéarité Théorèmes : a) (AB) // (CD) <=> Il existe k réel non nul tel que AB=k CD b) A, B et C alignés <=> Il existe k réel non nul tel que AB=k AC Démonstration a) (AB) // (CD) <=> AB et CD colinéaires <=> AB=k CD b) A, B et C alignés <=> AB et AC colinéaires <=> AB=k AC 3) Colinéarité et coordonnées a) Théorème : Deux vecteurs non nuls u (x ; y) et v (x' ; y') sont colinéaires si et seulement si : xy' x'y = 0 Démonstration : u et v sont colinéaires si et seulement s'il existe un réel k # 0 tel que u=k v, ce qui équivaut à "x = k x' et y = k y'". - Sens direct : Si x' = 0, on aura x = 0, d'où xy' x'y = 0. Page 6/7

7 Sinon, on aura k= x x ' d'où y= x x ' y' donc yx' = xy' et xy' x'y = 0. - Sens réciproque : Si x' = 0, on aura xy' = 0. Or v étant non nul, y' ne peut être égal à zéro aussi. Donc on aura x = 0. Les deux vecteurs sont alors parallèles à l'axe des ordonnées, donc colinéaires. Sinon, on aura x ' y= xy' d'où y= x x ' y ' et comme on a bien évidemment x= x x ' x', on a bien u=k v en posant k= x x ', d'où la colinéarité! b) Exemple : Parmi les vecteurs suivants, trouver ceux qui sont colinéaires : u 1 3; 5 u 2 6 ; 9 u 3 1; 3 u 4 1,5; 2,5 u 5 5 ; 15 u 6 6 ; 10 D) Exercice : vecteurs orthogonaux Soit deux vecteurs AB et AC de directions perpendiculaires (on dit alors que ces vecteurs sont orthogonaux), de coordonnées respectives (x ; y) et (x' ; y'). 1) Exprimer le vecteur BC en fonction de AB et de AC. 2) Calculer les coordonnées de BC. 3) Calculer les carrés des longueurs AB, AC et BC. 4) Écrire la relation de Pythagore dans le triangle ABC. 5) En déduire la condition nécessaire et suffisante pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux. Page 7/7

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB

Savoir que AB= CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. Connaître les coordonnées (x B x A ; y B y A ) du vecteur AB Chapitre 3 La notion de vecteurs CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Vecteurs Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur AB associé. Égalité de deux vecteurs

Plus en détail

Géométrie dans l Espace

Géométrie dans l Espace Géométrie dans l Espace Année scolaire 006/007 Table des matières 1 Vecteurs de l Espace 1.1 Extension de la notion de vecteur à l Espace............................. 1. Calcul vectoriel dans l Espace......................................

Plus en détail

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés

Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Vecteurs Géométrie dans le plan Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : notion de vecteur, transformation de points par translation et vecteurs égaux Exercice 2 : parallélogramme

Plus en détail

Géométrie vectorielle plane, cours, première S

Géométrie vectorielle plane, cours, première S Géométrie vectorielle plane, cours, première S F.Gaudon 25 septembre 2015 Table des matières 1 Géométrie vectorielle dans un repère 2 1.1 Compléments sur la colinéarité.................................

Plus en détail

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme.

Exercice 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Devoir Maison A rendre le mercredi 2 mai 2nde 1 Le plan est muni d'un repère. On donne les points, et. 1/ Soit D le point tel que ABCD est un parallélogramme. Calculer les coordonnées du point D. 2/ a)

Plus en détail

un repère orthonormé de l espace.

un repère orthonormé de l espace. Terminale S GEOMETRIE Ch 13 DANS L ESPACE. Soit ( O ; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. I) Droites et plans dans l espace : Propriété 1 : Soient A et B deux points de l espace. AB est l ensemble

Plus en détail

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège

Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Démonstration des propriétés géométriques du plan niveau collège Propriété : Si un point est sur un segment et à égale distance de ses extrémités alors ce point est le milieu du segment. Si un point est

Plus en détail

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS

DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS DEVOIR MAISON 4 : LES VECTEURS Ce devoir maison de révisions, de préparation au DS4 comporte deux pages. Vous traiterez au choix au moins la première ou la deuxième page. Exercice 1. Le plan est muni d

Plus en détail

Vecteurs. I Translation. 1. Définition :

Vecteurs. I Translation. 1. Définition : Vecteurs I Translation Soit A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation du plan qui a tout point M associe le point M tel que [AM ] et [BM] aient le même

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Produit scalaire dans l Espace

Produit scalaire dans l Espace Produit scalaire dans l Espace Christophe ROSSIGNOL Année scolaire 014/015 Table des matières 1 Produit scalaire du plan 1.1 Différentes expressions du produit scalaire............................... 1.

Plus en détail

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4

Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Groupe seconde chance Feuille d exercices numéro 4 Exercice 1 Ecrire un programme de construction de la figure suivante. On utilisera seulement deux mesures : le rayon du cercle est 8 cm, la largeur d

Plus en détail

Applications des nombres complexes à la géométrie

Applications des nombres complexes à la géométrie Chapitre 6 Applications des nombres complexes à la géométrie 6.1 Le plan complexe Le corps C des nombres complexes est un espace vectoriel de dimension 2 sur R. Il est donc muni d une structure naturelle

Plus en détail

L essentiel du cours

L essentiel du cours Terminale S et concours L essentiel du cours mathématiques Arithmétique - matrices Jean-Marc FITOUSSI Progress Editions Table des matières Arithmétique 01 LA DIVISIBILITÉ page 6 02 LA DIVISION EUCLIDIENNE

Plus en détail

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS

JUIN : EXERCICES DE REVISIONS . Les fonctions JUIN : EXERCICES DE REVISIONS y 30 0 0-8 -7-6 - - 0 3 4 6 7 8 x -0 - -0 0 Fonction n : f(x) = y = 30x Fonction n : f(x) = y = -x³ + 3x² + x - 3 Fonction n 3 : f3(x) = y = -x + 30 Fonction

Plus en détail

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé.

MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE. Durée de l épreuve : 2 h 00. L usage de la calculatrice est autorisé. COMPOSITION SECONDE MARS 2014 MATHEMATIQUES LYCEE STANISLAS-NICE Durée de l épreuve : 2 h 00 L usage de la calculatrice est autorisé. Toutes les réponses devront être justifiées. Exercice 1 Soit la fonction

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES

PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES Exercice n. (correction) Répondre par VRAI (V) ou FAUX (F) : Question Soient A, B et C trois points distincts du plan. PRODUIT SCALAIRE EXERCICES CORRIGES a) A, B et C sont alignés si et seulement si :

Plus en détail

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES

2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2. MATRICES ET APPLICATIONS LINÉAIRES 2.1 Définition Une matrice n m est un tableau rectangulaire de nombres (réels en général) à n lignes et m colonnes ; n et m sont les dimensions de la matrice. Notation.

Plus en détail

Repérage et vecteurs

Repérage et vecteurs Repérage et ecters Chapitre 10 page 241 Introdction : Rappels por démarrer : Page 241 I-Egalité de ecters 1- Détermination d'n ecter. Un ecter non nl est déterminé par : - sa direction ; - son sens ; -

Plus en détail

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2

212 année 2013/2014 DM de synthèse 2 22 année 20/204 DM de synthèse 2 Exercice Soit f la fonction représentée cicontre.. Donner l'ensemble de définition de la fonction f. 2. Donner l'image de 4 par f.. a. Donner un nombre qui n'a qu'un seul

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors

Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

CHAPITRE 3 Repères, points et droites

CHAPITRE 3 Repères, points et droites CHAPITRE 3 Repères, points et droites A) Repères et coordonnées des points 1) Repères Pour représenter le plan en géométrie analytique, on a besoin de définir deux axes, qu'on appelle axe des abscisses

Plus en détail

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

5 ème Chapitre 4 Triangles

5 ème Chapitre 4 Triangles 5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du

Plus en détail

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6

Brevet Juin 2007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Brevet Juin 007 Liban Corrigé Page 1 sur 6 Exercice 1 : 1) A = 500 (10 3 ),4 10 7 8 10 4 = 500 10 6 4 10 1 10 7 8 10 4 500 4 = 8 = 500 3 8 8 = 500 3 100 10 4 = 1500 10 0 + 4 = 1500 10 4 = 1,5 10 3 10 4

Plus en détail

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace

Chapitre 5 : Géométrie dans l'espace Source : site Bacamahts (G.Constantini) et Mathématiques 2 nde (Terracher) I. Règles de base de la géométrie dans l'espace Il existe une et une seule droite de l'espace passant par deux points distincts.

Plus en détail

4. Géométrie analytique du plan

4. Géométrie analytique du plan GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE DU PLAN 35 4. Géométrie analytique du plan 4.1. Un peu d'histoire René Descartes (La Haye en Touraine, 31/3/1596 - Stockholm, 11/2/1650) La géométrie analytique est une approche de

Plus en détail

Repères et coordonnées. a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de,

Repères et coordonnées. a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de, I Repères et coordonnées a) repérage sur une droite Choisir un repère sur une droite, c est se donner deux points distincts O et I de, pris dans cet ordre. O est l origine du repère. Posons alors OI =

Plus en détail

Equations cartésiennes d une droite

Equations cartésiennes d une droite Equations cartésiennes d une droite I) Vecteur directeur d une droite : 1) Définition Soit (d) une droite du plan. Un vecteur directeur d une droite (d) est un vecteur non nul la même direction que la

Plus en détail

1S Modèles de rédaction Enoncés

1S Modèles de rédaction Enoncés Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC

Plus en détail

E1 :aide E3 : les quotients (ON CITERA LES. puis calculer x et y

E1 :aide E3 : les quotients (ON CITERA LES. puis calculer x et y DM Devoir maison 4 lire une abscisse placer un point d'abscisse connu convertir un nombre dans une unité donnée le triangle isocèle construction à partir d'un dessin milieu d'un segment le cercle,construction

Plus en détail

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan 1 - La translation : Les vecteurs du plan La translation qui transforme un point A en un un point B est l application qui, à chaque point D du plan, associe le point C tel que ABCD soit un parallélogramme.

Plus en détail

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME

FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME 2012 FORMULAIRE DE MATHEMATIQUES CLASSE DE TROISIEME NOUS VOUS PRESENTONS ICI UN FORMULAIRE CONTENANT LES DEFINITIONS, PROPRIETES ET THEOREMES VUS EN COURS DE MATHEMATIQUES TOUT AU LONG DE VOTRE SCOLARITE

Plus en détail

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation )

Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Projection orthogonale sur une droite du plan, projection vectorielle associée. Applications (calculs de distances et d angles, optimisation ) Introduction : On se place dans plan affine euclidien muni

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points)

PARTIE 1 : ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 points) COLLÈGE LA PRÉSENTATION BREVET BLANC Février 2010 ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES classe de 3 e Durée : 2 heures Présentation et orthographe : points Les calculatrices sont autorisées, ainsi que les instruments

Plus en détail

A. Déterminant d une matrice carrée

A. Déterminant d une matrice carrée IUT ORSAY Mesures Physiques Déterminants Initiation à la diagonalisation de matrice Cours du ème Semestre A Déterminant d une matrice carrée A-I Définitions élémentaires Si A est la matrice ( a ) on appelle

Plus en détail

Brevet Blanc n 1. Mathématiques

Brevet Blanc n 1. Mathématiques Brevet Blanc n 1 Novembre 2010 Mathématiques Durée de l'épreuve : 2h00 Le candidat répondra sur une copie L'usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. Activités

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

Solutions du Concours Fryer 2003

Solutions du Concours Fryer 2003 Concours canadien de mathématiques Une activité du Centre en mathématiques et en Université de Waterloo, Waterloo, Ontario Solutions du Concours Fryer 2003 (9 e année) (Secondaire III au Québec) pour les

Plus en détail

CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 7 21 = 7 21 = 1 3 18. Exercice n 2 : 4(3x 2) + 2(5 x) = 8 soit donc : 12 x 8 + 10 2x = 8

CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 7 21 = 7 21 = 1 3 18. Exercice n 2 : 4(3x 2) + 2(5 x) = 8 soit donc : 12 x 8 + 10 2x = 8 CORRECTION DU BREVET BLANC N 1 DE JANVIER 2010 ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice n 1 : A = 5 21 + 3 7 1 3 = 5 21 + 9 21 7 21 = 7 21 = 1 3 ; B = 2 3 + 2 7 C = - 5 12 3 2 = - 5 12 14 9 = 2 3 + 2

Plus en détail

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts

Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2. ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Collège Henri Meck lundi 4 mai 2009 Molsheim BREVET BLANC DE MATHEMATIQUES N 2 ( Extraits d'épreuves du brevet de 2007 et 2008 ) PRESENTATION 4 pts Rappel : Présenter les parties de l'épreuve sur feuilles

Plus en détail

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit..

Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir le centre du cercle circonscrit.. Correction-Exercices sur les droites remarquables 1. Construire un triangle ABC tel que AB = 5cm, BC = 6cm et AC= 8 cm et le cercle circonscrit à ce triangle Il suffit de tracer deux médiatrices pour obtenir

Plus en détail

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2

MON CAHIER DE VACANCES n 1. MATHEMATIQUES 3 ème 2 MON CAHIER DE VACANCES n 1 MATHEMATIQUES 3 ème 2 Ce cahier appartient à. Ce cahier est à rapporter le vendredi 6 Novembre 201, à Mme Viault. Les exercices sont à rédiger, sur ce livret, le plus sérieusement

Plus en détail

I Translation et égalité vectorielle.

I Translation et égalité vectorielle. I Translation et égalité vectorielle. TRNSLTIONS ET VETEURS a) Translation. éfinition : ire que le point N est l image du point N par la translation qui transforme en, signifie que le quadrilatère NN'

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

CBD =45 et comme ces angles sont adjacents, alors ABD = ABC + CBD =18+45=63.

CBD =45 et comme ces angles sont adjacents, alors ABD = ABC + CBD =18+45=63. Chapitre 6 Les angles 1) Définitions et premières propriétés a) Angles adjacents (rappel) : Deux angles sont dits "adjacents" si ils ont un côté en commun et qu'ils sont situés de part et d'autre de ce

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir

Plus en détail

CORRECTION BREVET BLANC

CORRECTION BREVET BLANC Partie numérique Exercice 1 : CORRECTION BREVET BLANC Question 1 : on teste les trois valeurs en remplaçant x par la valeur. La solution est Question 2 : Les solutions sont et -2 Question 3 : on fait deux

Plus en détail

REPERAGE DANS LE PLAN

REPERAGE DANS LE PLAN 1 sur 12 REPERAGE DANS LE PLAN I. Repère du plan Trois points distincts deux à deux O, I et J du plan forment un repère, que l on peut noter (O, I, J). L origine O et les unités OI et OJ permettent de

Plus en détail

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse

CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse CHAPITRE 7 Fonction carré et fonction inverse A) La fonction "carré" : f() = ² ) Domaine de définition Elle est définie sur ℝ complet (on peut toujours multiplier deu nombres entre eu). 2) Sens de variation

Plus en détail

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE

PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE PRODUIT SCLIRE DNS L'ESPCE Dans tout ce chapitre, les bases ou repères considérés sont orthonormés. Pour des révisions sur le produit scalaire dans le plan, voir le cours de première. 1. Définition du

Plus en détail

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites

Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux

Plus en détail

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements

3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements 3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?

Plus en détail

Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression.

Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression. Ce document regroupe les 6 devoirs à la maison proposés dans la progression. Le document a été paginé de façon à ce que chaque devoir corresponde à une page pour en faciliter l impression. Page 2... Devoir

Plus en détail

Chapitre II. Vecteurs

Chapitre II. Vecteurs Chapitre II Vecteurs 1. Colinéarité 1. Colinéarité D1 : Un vecteur est un objet mathématique caractérisé par : une longueur, une direction et un sens. D2 : On dit que deux vecteurs u = AB et v = CD. sont

Plus en détail

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points )

ACTIVITES NUMERIQUES ( 18 points ) Copie numéro :.. 4 points sont attribués pour l orthographe, le soin, les notations et la rédaction. L utilisation de la calculatrice est autorisée. NE PAS OUBLIER DE RENDRE L ANNEXE AVEC LA COPIE! ACTIVITES

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004

Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 4 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi eponentielle de paramètre λ ;

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures

Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 2011 Durée de l épreuve : 2 heures Mathématiques Contrôle commun de Seconde Mardi 01 mars 011 Durée de l épreuve : heures L usage de la calculatrice est autorisé. Aucun prêt de matériel n est toléré. La qualité de la rédaction et le soin

Plus en détail

Activités numériques

Activités numériques Sujet et correction Stéphane PASQUET, 25 juillet 2008 2008 Activités numériques Exercice On donne le programme de calcul suivant : Choisir un nombre. a) Multiplier ce nombre pas 3. b) Ajouter le carré

Plus en détail

Cours de mathématiques : Equation du second degré

Cours de mathématiques : Equation du second degré Cours de mathématiques : Equation du second degré I ) Formes de l'équation du second degré. L'équation du deuxiéme degré à une inconnue est celle où l'inconnue est élévé à la puissance de 2, sans y etre

Plus en détail

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes.

Calcul matriciel ... Il est impossible de faire la somme de 2 matrices de tailles différentes. Chapitre : Calcul matriciel Spé Maths - Matrices carrées, matrices-colonnes : opérations. - Matrice inverse d une matrice carrée. - Exemples de calcul de la puissance n-ième d une matrice carrée d ordre

Plus en détail

Chapitre 2 : Vecteurs

Chapitre 2 : Vecteurs 1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS.

Terminale S Spécialité Cours : DIVISIBILITE ET CONGRUENCES DANS. A la fin de ce chapitre vous devez être capable de : connaître différents procédés pour établir une divisibilité : utilisation de la définition, utilisation d identités remarquables, disjonction des cas,

Plus en détail

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE

2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE 2 nde CORRIGE : DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES Exercice 1 : (4 points) 1. Compléter le tableau à double entrée ci-dessous. Elèves vaccinés Elèves non vaccinés Total Elèves ayant eu la grippe 14 133 147

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs

Extrait de cours maths 3e. Multiples et diviseurs Extrait de cours maths 3e I) Multiples et diviseurs Multiples et diviseurs Un multiple d'un nombre est un produit dont un des facteurs est ce nombre. Un diviseur du produit est un facteur de ce produit.

Plus en détail

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité.

On dit que M est l origine du vecteur et N son extrémité. ❶ - Vecteurs I-- Définition d un vecteur Définition : Lorsqu on choisit deux points distincts M et N dans cet ordre, on définit : - une direction : celle des droites parallèles à (MN) ; - un sens : de

Plus en détail

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/??

Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre Page 1/?? Chapitre 10 - Produit scalaire dans l espace - Barycentre 1 Produit scalaire dans le plan 1.1 Expressions et propriétés du produit scalaire Si les vecteurs u et v sont deux vecteurs colinéaires Définition

Plus en détail

Le second degré. Table des matières

Le second degré. Table des matières Le second degré Table des matières 1 La forme canonique du trinôme 1.1 Le trinôme du second degré......................... 1. Quelques exemples de formes canoniques................. 1.3 Forme canonique

Plus en détail

Chapitre 9: Vecteurs

Chapitre 9: Vecteurs Chapitre 9: Vecteurs Activité 2 p 314 : Découvrir la translation à l'aide de Géogebra I) Translation et vecteur s 1) Translation Propriété 1 (admise) : Soient A et B deu points du plan. Pour tout point

Plus en détail

Les vecteurs du plan

Les vecteurs du plan colinéaires Les vecteurs du plan Colinéarité Lycée du golfe de Saint Tropez Année 2017/2018 colinéaires 1 colinéaires Définition et première propriété Parallélisme et alignement Colinéarité et coordonnées

Plus en détail

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver.

Bref, c'est difficile, mais tout le monde doit y arriver. Bonjour à tous, les colles de mardi m'ont permis de vérifier que les notions de base du chapitre espaces vectoriels sont loin d'être acquises. Comme je vous le disais, il est essentiel d'apprendre régulièrement

Plus en détail

Les vecteurs. 1er cas : C (AB) 2ème cas : C (AB) Vocabulaire : A est l'origine et B est l'extrémité du vecteur. Représentants d'un vecteur

Les vecteurs. 1er cas : C (AB) 2ème cas : C (AB) Vocabulaire : A est l'origine et B est l'extrémité du vecteur. Représentants d'un vecteur Les vecteurs I. Translation de vecteur AB a) Définitions Définition : A et B désignent deux points du plan La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan, l'unique point D tel que

Plus en détail

Vecteurs dans le plan

Vecteurs dans le plan Vecters dans le plan 1. Définition d n vecter : (classe de seconde) Soient A et B dex points d plan. La translation transformant A en B est la transformation qi transforme tot point M en n point M tel

Plus en détail

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2

x 8 = 0 3x - 6 = 2x + 2 3x² 6 = 2x² + 2 Partie numérique : 16 points Exercice n 1 (4 points) : Pour chaque ligne du tableau ci-dessous, 3 réponses sont proposées, mais une seule est exacte. Aucune justification n'est demandée. Écrire le numéro

Plus en détail

Cours de Mécanique du point matériel

Cours de Mécanique du point matériel Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Applications linéaires I) Applications linéaires - Généralités 1.1) Introduction L'idée d'application linéaire est intimement liée à celle d'espace vectoriel. Elle traduit la stabilité par combinaison

Plus en détail

13. Géométrie analytique

13. Géométrie analytique 13. Géométrie analytique La géométrie analytique permet de résoudre par le calcul des problèmes de géométrie. Il convient toutefois de ne pas perdre de vue que la géométrie analytique est d abord de la

Plus en détail

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS?

4N1. Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? 4N1 Nombres relatifs EST-CE QUE TU TE SOUVIENS? Remarque : pour pouvoir vraiment retenir comment on calcule avec les nombres relatifs, il est déconseillé d'utiliser une calculatrice ici. 1) Classe les

Plus en détail

Deux disques dans un carré

Deux disques dans un carré Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Vecteurs et droites. 1 Colinéarité de 2 vecteurs. 2 Equation cartésienne d une droite. 1.1 Rappels. 1.2 Lien avec les coordonnées

Vecteurs et droites. 1 Colinéarité de 2 vecteurs. 2 Equation cartésienne d une droite. 1.1 Rappels. 1.2 Lien avec les coordonnées 015 Chapitre Première S 1 Colinéarité de vecteurs 1.1 Rappels Vecteurs et droites Soient points A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) points d un repère (O, I, J ) Alors le vecteur ( AB a pour coordonnées xb

Plus en détail

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel

Sommaire. Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel Sommaire 1 Vecteurs Qu est-ce qu un vecteur du plan? Somme de vecteurs Vecteur nul - Opposé d un vecteur Produit d un vecteur par un nombre réel 2 Vecteurs colinéaires Définition Conséquences 3 Base du

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1

L2 MIEE 2012-2013 VAR Université de Rennes 1 . Sous-ensembles de R n et fonctions (suite) 1 Nappes paramétrées Si f une fonction de deux variables, son graphe est une surface incluse dans R 3 : {(x, y, f(x, y)) / (x, y) R 2 }. Une telle surface s

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

Brevet Blanc de Mathématiques ** Corrigé **

Brevet Blanc de Mathématiques ** Corrigé ** Brevet Blanc de Mathématiques ** Corrigé ** Collège Goscinny de Valdoie Le soin et la qualité de la rédaction comptent pour 4 points. L usage de la calculatrice est autorisé. Sujet et corrigé écrits avec

Plus en détail

Brevet Amérique du sud novembre 2011

Brevet Amérique du sud novembre 2011 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES (12 POINTS) Exercice 1 Cet exercice est un exercice à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Une réponse correcte rapportera 1 point. L absence

Plus en détail

Repérage et introduction aux vecteurs

Repérage et introduction aux vecteurs Chapitre 1 Repérage et introduction aux vecteurs 1.1 Repères dans le plan 1.1.1 Généralités Rappel. Un repère dont les deux axes sont perpendiculaires et ont la même unité de longueur est dit orthonormé.

Plus en détail

Cours Diagonalisation

Cours Diagonalisation Cours Diagonalisation par Pierre Veuillez 1 Objectif Pour une matrice A donnée, déterminer une matrice D diagonale et une matrice P inversible telle que A = P D P 1. Interprètation : Quelle relation reconnaît-on?

Plus en détail

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009

Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009 Diplôme National du Brevet Métropole - La Réunion - Mayotte - Session 2009 L usage de la calculatrice est autorisé, dans le cadre de la réglementation en vigueur. I - Activités numériques II - Activités

Plus en détail