Athénée Royal d'uccle 1. Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h

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1 Athénée Royal d'uccle 1 Cours de Mathématique 5 ème année Les bases pour les math 6h A.Droesbeke Version : 015

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3 Table des matières I Algèbre 1 1 Rappel du cours de 3 ème Les exposants Les monômes Les polynômes Dénition et propriétés Opérations de base sur les polynômes Egalité de deux polynômes Addition Soustraction Multiplication Division d'un polynôme par un polynôme La division euclidienne des polynômes Division polynôme d'un par un binôme de la forme (x a) : méthode d'horner 6 La loi du reste Factorisation Méthodes Méthode des diviseurs binômes (méthode dite du "désespoir!!") Fractions rationnelles Simplication des fractions rationnelles Addition et soustraction des fractions rationnelles Produit de fractions rationnelles Quotient de deux fractions Exercices Le premier degré 13.1 Equation du premier degré Dénition Principes d'équivalence Cas particulier Equation réductible au premier degré Equation produit i

4 ii TABLE DES MATIÈRES.. Règle du produit nul Exemples Inéquation du premier degré Dénition Principes d'équivalence Notation des solutions d'une inéquation Cas particuliers Inéquations réductibles au premier degré Dénition Signe d'une expression du premier degré Tableau de signe Résolution d'une inéquation réductible au premier degré Cas particuliers Valeurs absolues Dénition Propriétés Expressions avec valeurs absolues Equations du premier degré avec valeurs absolues Inéquation du premier degré avec valeurs absolues Exercices Solutions Equations et inéquations second degré Equations du second degré Dénition Résolution de l'équation second degré Discussion des solutions de l'équation du second degré Exemples Somme et produit des racines Trinôme du second degré Dénition Factorisation du trinôme du second degré Signe du trinôme du second degré Exemples Inéquations du second degré et inéquations réductibles au second degré Dénition Exemple Exercices

5 TABLE DES MATIÈRES iii 4 Les fonctions Introduction Dénitions Dénition Vocabulaire important Caractérisation d'une fonction Tableaux de valeurs Forme analytique Graphe d'une fonction Caractéristiques des fonctions Domaine de dénition Image d'une fonction Notation d'une fonction Antécédents Zéros d'une fonction Parité Périodicité Croissance, décroissance, maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle Exemples Premier exemple : lecture graphique de fonction Deuxième exemple : étude algébrique de fonction Troisième exemple : étude complète de fonction Fonctions de base Manipulations graphiques de fonctions Opérations agissant sur la variable Opérations agissant sur la fonction Autres opérations En résumé Exemple complet Exercices La fonction du second degré Dénition Caractéristiques de la fonction du second degré Graphe de la fonction du second degré Caractéristiques de la fonction du second degré Lien entre le signe d'une fonction du second degré et la position de la parabole par rapport à l'axe Ox Exercices

6 iv TABLE DES MATIÈRES II Géométrie 93 6 Calcul vectoriel dans le plan Dénitions Opérations sur les vecteurs Vecteurs égaux Vecteurs opposés Somme de vecteurs Vecteurs consécutifs Vecteurs quelconques Vecteurs entre même origine Diérence entre deux vecteurs Produit d'un vecteur par un réel Propriétés des opérations sur les vecteurs Vecteurs particuliers Vecteurs parallèles Points colinéaires Combinaison linéaire de vecteurs Exercices Vecteurs et composantes Base du plan Expression d'un vecteur dans un repère orthonormé Opérations sur les vecteurs et composantes Egalité de vecteurs Somme de vecteurs Produit d'un vecteur par un réel Vecteurs opposés Composantes d'un vecteur quelconque Exercices Le produit scalaire Dénition Nouvelle dénition du produit scalaire Cas particuliers Vecteurs alignés Vecteurs opposés Vecteurs perpendiculaires Produit scalaire dans un repère orthonormé Applications Norme d'un vecteur Angle entre deux vecteurs Exercices

7 TABLE DES MATIÈRES v 9 Les droites Lieux géométriques Equations de droite Equation vectorielle de droite Equations paramétriques de droite Equation cartésienne de droite Signication graphique des paramètres d'une droite Equations implicites de droites Droites particulières Droite parallèle à l'axe Ox Droite parallèle à l'axe Oy Droite passant par l'origine des axes Condition d'appartenance d'un point à une droite Angles entre une droite et l'axe Ox Intersection de droites Parallélisme de droites Perpendicularité de droites Distances Distance entre deux points Distance entre un point et une droite En pratique Exercices III Trigonométrie Trigonométrie dans le triangle rectangle Dénitions et rappels Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle Propriétés des nombres trigonométriques Liens entre le sinus, le cosinus et la tangente Nombres trigonométriques d'angles complémentaires Relation fondamentale de la trigonométrie Exercices Solutions Le cercle trigonométrique Dénition Valeurs particulières des angles et quadrants Nombres trigonométriques d'un angle orienté Cosinus et sinus

8 TABLE DES MATIÈRES Tangente et cotangente Signe des nombres trigonométriques Valeurs particulières de nombres trigonométriques Identités trigonométriques Relations fondamentales Identité trigonométrique Exercices Angles remarquables et associés Angles remarquables Valeurs particulières des nombres trigonométriques Nombres trigonométriques de π Nombres trigonométriques de π Nombres trigonométriques de π En résumé Angles associés Rappel : valeur principale Angles supplémentaires Angles antisupplémentaires Angles opposés Angles complémentaires Exercices

9 TABLE DES MATIÈRES

10 Première partie Algèbre 1

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12 Chapitre 1 Rappel du cours de 3 ème 1.1 Les exposants Si a, b R 0 et m, n Z, on peut écrire : Par contre, on ne pourra en aucun cas écrire : a m.a n = a m+n a m a = n am n (a m ) n = a m.n a n = 1 a n a 0 = 1 (a.b) m = a m.b m (a + b) m = a m + b m 1. Les monômes Dénition: Un monôme est le produit d'un réel, appelé coecient, par une partie littérale, produit de puissances, à exposants naturels, d'inconnues représentées par les lettres x, y, z,... Le degré d'un monôme par rapport à une inconnue est l'exposant de cette inconnue. Exemple: 5x y 3 est un monôme en x et y, 5 est le coecient ( partie numérique ) et x y 3 est la partie littérale dont x et y sont les inconnues. C'est un monôme du deuxième degré par rapport à x et du troisième degré par rapport à y. Dénition: Des monômes semblables sont des monômes ayant même partie littérale. Exemple: 5x y 3, x y 3 et 10y 3 x sont des monômes semblables. 3

13 4 CHAPITRE 1. RAPPEL DU COURS DE 3 ème 1.3 Les polynômes Dénition et propriétés Dénition: Un polynôme est une somme de monômes. Exemple: 5x 4 y 3 3x est un polynôme composé des monômes 5x 4 y 3 et 3x. Propriétés: ˆ Un polynôme en une seule variable est une somme de monômes en cette variable. ˆ Tout monôme est un polynôme. ˆ Un polynôme est dit réduit lorsqu'il ne comporte plus de monômes semblables. ˆ Un binôme est un polynôme réduit comprenant deux termes. Un trinôme est un polynôme réduit comprenant trois termes. Un quadrinôme est un polynôme réduit comprenant quatre termes. ˆ Le degré d'un polynôme réduit est le plus grand exposant de la variable dans ce polynôme. ˆ Un polynôme est dit ordonné par rapport aux puissances décroissantes (croissantes) de la variable si les exposants des puissances de cette variable sont placés en ordre décroissant ( croissant ). ˆ Un polynôme réduit de degré n est complet lorsque la variable y gure à toutes les puissances égales ou inférieures à n y compris le terme de degré 0 en la variable, appelé le terme indépendant de la variable. Dénition: La valeur numérique de P (x) pour x = a est notée P (a) et est la valeur du polynôme lorsque l'on remplace x par a et que l'on réduit l'expression obtenue. Exemple: Si P (x) = 3x 5x + 3 alors P () = = Opérations de base sur les polynômes Remarque préliminaire: D'une manière générale, on appliquera les règles connues du calcul dans R puisque chaque polynôme est une écriture littérale de réels. Egalité de deux polynômes Deux polynômes réduits sont égaux si et seulement si les termes de même degré ont des coecients égaux. Addition On applique l'associativité et la commutativité de l'addition dans R et on additionne les termes semblables. Exemple: (x 3 +3x 5)+(5x 5x+1) = x 3 +(3x +5x ) 5x+( 5+1) = x 3 +8x 5x 4

14 1.3. LES POLYNÔMES 5 Soustraction On applique la propriété : "l'opposé d'une somme de réels égale la somme des opposés " (c'està-dire que l'on peut enlever les parenthèses en changeant les signes de chaque terme du polynôme à soustraire) et on procède ensuite comme pour la somme. Exemple: (x 3 +3x 5) (5x 5x+1) = x 3 +3x 5 5x +5x 1 = x 3 +3x 5x +5x 5 1 = x 3 x + 5x 6 Multiplication On applique les propriétés du produit : "multiplier les coecients et ensuite les termes littéraux, on applique ensuite la distributivité de la multiplication par rapport à l'addition dans R et on additionne ensuite les termes semblables." Exemple: (x 3 + 3x 5)(x + ) = x 4 + 3x 3 5x + 4x 3 + 6x 10 = x 4 + 7x 3 + 6x 5x Division d'un polynôme par un polynôme La division euclidienne des polynômes Dénition: Eectuer la division euclidienne du polynôme P (x) par le polynôme D(x), c'est déterminer les polynômes quotient Q(x) et reste R(x) tels que P (x) = D(x).Q(x) + R(x) Le polynôme P (x) est appelé le polynôme dividende. Le polynôme D(x) est appelé le polynôme diviseur. Remarques: ˆ les degrés de ces polynômes répondent à l'égalité suivante : d P (x) = d D(x) + d Q(x) ˆ si P (x) = D(x).Q(x), on dit que le polynôme P (x) est divisible par le polynôme D(x) ; dans ce cas, R(x) = 0. La méthode pratique de division d'un polynôme par un polynôme est basée sur celle de la division écrite d'un nombre par un nombre. Pour diviser un polynôme P (x) par un polynôme D(x) : ˆ on réduit et on ordonne par ordre décroissant des puissances de la variable, les deux polynômes ˆ on complète le polynôme P (x) ˆ on eectue la division et on arrête lorsque le reste a un degré inférieur à celui de D(x).

15 6 CHAPITRE 1. RAPPEL DU COURS DE 3 ème Exemple: On cherche à diviser x 4 x 3 + x + 1 par x On peut écrire : x 4 x 3 +x +1 x (x 4 x ) x x + x 3 +x ( x 3 +x) x x (x 4) x +5 x 4 x 3 + x + 1 = (x x + )(x ) + ( x + 5) Division polynôme d'un par un binôme de la forme (x a) : méthode d'horner Dénition: Quand on divise un polynôme P (x) par un binôme de la forme (x a), on sait que d D(x) = 1, d R(x) = 0 et d Q(x) = d P (x) 1 avec P (x) = (x a).q(x) + r puisque R(x) est constant on le note alors r. La recherche du quotient d'un polynôme par (x a) peut se faire par la méthode dite d'horner 1. Cette méthode est expliquée sur l'exemple suivant. Avant de noter les coecients de P (x) dans le tableau, il ne faut pas oublier de l'ordonner et de le compléter si nécessaire par des termes de coecients nuls. Exemple: (x 4 3x 3 + x + 5) : (x ) = (x 4 3x 3 + 0x + x + 5) : (x ) et donc On peut écrire : { Q(x) = x 3 x x et r = 1 x 4 3x 3 + x + 5 = (x 3 x x )(x ) + 1 Remarques: ˆ La méthode de la division euclidienne peut également être utilisée. On utilise pour cela la disposition pratique de la division euclidienne de deux polynômes (voir 1.3.3) ˆ Le reste de la division par la méthode d'horner est toujours une constante. 1. William Georges Horner, mathématicien anglais,

16 1.4. FACTORISATION 7 La loi du reste Dénition: Le reste de la division d'un polynôme P (x) par un binôme de la forme (x a) est la valeur numérique de ce polynôme pour x = a. On a donc : r = P (a) Dénition: Un polynôme P (x) est divisible par un binôme de la forme (x a) si le reste de la division de P (x) par (x a) est nul, c'est-à-dire si la valeur numérique de P (x) pour x = a est nulle ou P (a) = Factorisation Dénition: Factoriser une somme, c'est la transformer en un produit de facteurs Méthodes Nous rappelons ici les principales méthodes vues en 3 ème. ˆ Mise en évidence simple : lorsque tous les termes d'un polynôme ont un facteur commun, on commence toujours par mettre ce facteur commun en évidence ; ˆ Mise en évidence double : après une mise en évidence dans chaque groupe, apparaît un facteur commun qui peut, à son tour, être mis en évidence ; ˆ Factorisation et produits remarquables Binôme : Formules importantes: a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) On démontre ces formules en développant complètement, par double distributivité, les seconds membres Trinôme : Formules importantes: a ab + b = (a b) a + ab + b = (a + b) Remarque : il faut toujours vérier que le double produit soit présent dans cette somme (diérence). Quadrinôme cube parfait : Formules importantes: a 3 + 3a b + 3ab + b 3 = (a + b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3 = (a b) 3 On démontre ces formules en observant que (a) 3 = (a).(a) ˆ Méthode de groupement Groupement deux à deux Groupement de trois termes d'un quadrinôme : ces trois termes forment un trinôme carré parfait et ce trinôme carré parfait forme, avec le quatrième, terme une diérence de deux carrés.

17 8 CHAPITRE 1. RAPPEL DU COURS DE 3 ème 1.4. Méthode des diviseurs binômes (méthode dite du "désespoir!!") Dans le cas où les méthodes précédentes n'avoutissent pas, on peut utiliser la méthode des diviseurs binômes. Pour factoriser par la méthode des diviseurs binômes, on se souviendra que : ˆ Loi du reste : le reste de la division d'un polynôme P (x) par un binôme de la forme (x a) est la valeur numérique de ce polynôme pour x = a ˆ Un polynôme P (x) est divisible par un binôme de la forme (x a) si le reste de la division de P (x) par (x a) est nul, c'est-à-dire si la valeur numérique de P (x) pour x = a est nulle ou P (a) = 0 ˆ Si un polynôme P (x) est divisible par un binôme de la forme (x a), alors il pourra s'écrire sous la forme d'un produit du type (x a).q(x) ˆ Pour factoriser un polynôme P (x), on peut rechercher un facteur de la forme (x a) par lequel il est divisible. Dans ce cas, le nombre a est nécessairement diviseur du terme indépendant de P (x). Exemple: On cherche à factoriser le polynôme P (x) = x 3 x 5x + 6. Aucune des techniques développées ci-dessus n'est applicable. On recherche alors les diviseurs du terme indépendant : div6 = {±1, ±, ±3, ±6}. On évalue ensuite la valeur du polynôme P (x) pour ces diérentes valeurs. On obtient P (1) = 0. Le polynôme est donc divisible par (x 1). En eectuant la division d'horner, on obtient : On peut donc écrire : P (x) = (x 1)(x x 6). En eectuant la même démarche pour le polynôme Q(x) = x x 6, on obtient : P (x) = (x 1)(x 3)(x + ) Un résumé des diérentes méthodes de factorisation est présenté en n de chapitre. 1.5 Fractions rationnelles Dénition: Une fraction rationnelle est une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont des polynômes. N(x) D(x) Remarque importante: Pour qu'une fraction existe, il faut que son dénominateur soit non nul. C'est la raison pour laquelle, lorsqu'on se trouve en présence d'une fraction rationnelle, il est indispensable d'énoncer les conditions d'existence de cette fraction. Rechercher les conditions d'existence consiste à trouver les valeurs de la variable susceptibles d'annuler le dénominateur. 5 Exemple: Pour que la fraction 1 x existe, il faut imposer que 1 x 0, c'est-à-dire x 1

18 1.5. FRACTIONS RATIONNELLES Simplication des fractions rationnelles Pour simplier une fraction rationnelle ˆ on factorise les polynômes de son N(x) et de son D(x) ; ˆ on énonce la (les) condition(s) d'existence de cette fraction ; ˆ on divise N(x) et D(x) par leur(s) facteur(s) commun(s). Exemples: ˆ x 9 (x )(x 3) = x + 3 x ˆ x + 5x + 6 x + 6x + 9 avec les C.E. x et x 3 = (x + 3)(x + ) (x + 3) = x + x + 3 avec la C.E. x Addition et soustraction des fractions rationnelles Pour additionner ou soustraire des fractions rationnelles : ˆ on factorise les N(x) et D(x) de chaque fraction on multiplie les fractions ; ˆ on énonce la (les) condition(s) d'existence de cette fraction ; ˆ on simplie les fractions ; ˆ on réduit les fractions au même dénominateur ; ˆ on additionne ou soustrait les numérateurs ; ˆ on simplie la fraction obtenue. 3 Exemple: x (x ) + (x 1) = = x (x )(x 1) avec les C.E. x 1 et x 7x 10 (x 1)(x ) Produit de fractions rationnelles Pour multiplier des fractions rationnelles : ˆ on factorise les N(x) et D(x) de chaque fraction ˆ on énonce la (les) condition(s) d'existence de cette fraction ; ˆ on multiplie les numérateurs et les dénominateurs des fractions ; ˆ on simplie le résultat obtenu. Exemple: x y x 3 (x y)(x + y) x 3 = x x y x x y avec les C.E. x 0 et x y = (x + y)x Quotient de deux fractions Pour diviser deux fractions : ˆ on factorise les N(x) et D(x) de chaque fraction on multiplie les fractions ; ˆ on énonce la (les) condition(s) d'existence de cette fraction ; ˆ on multiplie la première fraction par l'inverse de la deuxième. x 3 x + x Exemple: x x(x 1) x = 4x 4 4(x 1)(x + 1) x(x 1) = x(x 1) 4(x 1)(x + 1). 1 x(x 1) 1 = 8(x + 1) avec les C.E. x 1, x 1 et x 0

19 10 CHAPITRE 1. RAPPEL DU COURS DE 3 ème Résumé des méthodes de factorisation Binôme Mise en évidence a b = (a b)(a + b) a 3 b 3 = (a b)(a + ab + b ) a 3 + b 3 = (a + b)(a ab + b ) Trinôme Mise en évidence a + ab + b = (a + b) a ab + b = (a b) Quadrinôme Mise en évidence a 3 + 3a b + 3ab + b 3 = (a + b) 3 a 3 3a b + 3ab b 3 = (a b) 3 Groupement - et mise en évidence Groupement 3-1, apparition d'un carré parfait et ensuite d'une diérence de deux carrés

20 1.6. EXERCICES Exercices 1. Simplier les expressions suivantes en ne laissant aucun exposant négatif (a, b, c, x, y, z R 0 ). ( (a) 1 ) ( a3 b 4 ) 5 ab3 c ( 5 ) a7 (d) 3(xy) z. ab 5ab xy.15z (b) 18a 5 b 3 4a b 7 (c) 30x8 y 3 z 4 0.5x y 5 z. (a) Développer (b) Si Réduire et ordonner la réponse. déterminer la valeur de P ( 1). ( ) 1 (e) ( 3abc). 7 a4 b 9a 4 b 1 ) ( ) (f) ( 3x 1 7x ( y 14yz 3.. y 3z P 1 (x) = (x 3) + 3( x)( + x) x (4x 1) P (x) = 3x(5x 4 4x 3 + 7) (x 1) (c) Calculer (P (x) Q(x)).R(x) et P (x) Q(x).R(x) si P (x) = 3x 4 5x + 6, Q(x) = 7x + 3x 1 et R(x) = x 3 3. Soient les polynômes P 1 (x) = x x5 6x 4 + 3x 3 5x + et P (x) = x 1. Déterminer le reste et le quotient de la division de P 1 (x) par P (x) 4. Sans eectuer la division, déterminer le reste des divisions suivantes (a) (x + x 6) (x + 4) (b) ( 5x + 7x + 3) (x 7) (c) (x 5x + 6) (x 3) 5. Déterminer la valeur de t pour que le reste de la division soit -5. (x 3x t) (x ) x 4 ) 3

21 1 CHAPITRE 1. RAPPEL DU COURS DE 3 ème 6. Factoriser les expressions suivantes (a) 15a 7 b 10a 5 b 3 (b) y(b a) + x(a b) (c) 45x 3 y 4 z x 5 y z 90x 4 y 3 z (d) 5a (b ) + 15a( b) (e) 1 9 x (f) 5x + 30x + 9 (g) (a 1) 1 (h) a 4 a + 1 (i) 81a (j) 49x (x y) (k) x 5 8x x (l) a 4 a 3 + a (m) x + 3x + (n) x 6 + 4x 3 (o) x 3 + x 5x 6 (p) x 4 7x x 17x + 6 (q) 8x x y + 54xy + 7y 3 (r) 7x 3 108x y + 144xy 64y 3 (s) a 3 a b + ab b 3 (t) 0, 008x 3 0, 048x y+0, 096xy 0, 064y 3 (u) 40x x x (v) a 6 b 6 (w) x 6 7y 3 (x) 8a 3 b 6 1a b + 6ab 4 (y) 18a 5 b a b 4 (z) 64a 6 + 4a4 b + 3a b + 1 8b 3 7. Compléter (a) (...)(4x 6x + 9) = 8x (b) (9x + 15x + 5)(...) = 7x 3 15 (c) (...)(11x + 66x + 36) = 1331x 3 16 (d) (x 3 )(...) = x 9 8 (e) (3x 3 + x)(...) = 7x 9 + 8x 3 8. Développer les expressions suivantes : (a) (a + b) 3 (b) (x 3z) 3 ( x ) 3 (c) 3 z (d) ( a b + b ) 3 3a (e) (x 3) 3 (4x + 1) (f) x (3x 1) + (x 4) 3 (g) (x 4x + )(x 3) (x 1) 3 9. Réduire les expressions suivantes : (a) x + 1 x 3 4x + x 1 x 3 + 4x 1 x 4 (b) x + 8x + 7 5x x 1 x + x + 1 (c) (d) a + a a + a 15 a + 7a + 10 a + 10a + 5 ( ) x 6 x 3 x + 6x + 9 4x 4x 1 x + 4x + 4.x x 3 9x

22 Chapitre Le premier degré.1 Equation du premier degré.1.1 Dénition Dénition: Une équation du premier degré dans R est une égalité dans laquelle l'inconnue réelle apparaît au premier degré. Résoudre une équation du premier degré consiste à trouver la valeur de l'inconnue vériant l'égalité. Exemple: 3x 5 = x Principes d'équivalence Dénition: ˆ Ajouter (ou soustraire) un même réel aux deux membres d'une équation, la transforme en une équation équivalente à la première..1.3 Cas particulier a = b a ± c = b ± c ˆ Multiplier (ou diviser) par un même nombre non nul les deux membres d'une équation, la transforme en une équation équivalente à la première. a = b a.c = b.c ˆ Equation impossible : une équation impossible est une équation du style 0.x = a où a R 0. C'est une équation dont il est impossible de trouver la solution (S = φ) ˆ Equation indéterminée : une équation indéterminée est une équation du type 0.x = 0. Cette équation est toujours vraie, quelle que soit la valeur de x. Elle possède une innité de solutions (S = R). 13

23 14 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ. Equation réductible au premier degré Dénition: Une équation réductible au premier degré est une équation qui, par des transformations algébriques, peut se ramener à une équation du premier degré...1 Equation produit Une équation réductible au premier degré est une équation qui, à priori, ne se présente pas comme une équation du premier degré mais bien comme ˆ une équation de degré supérieur ; ˆ une équation où apparaissent une ou plusieurs fractions rationnelles. La technique de résolution de ce genre d'équation est toujours la même et est composée des étapes suivantes : ˆ établissement des conditions d'existence des dénominateurs éventuels des fractions rationnelles ; ˆ égalisation d'un des membres de l'équation à zéro ; ˆ factorisation du membre non nul de l'équation (mise en évidence, produit remarquable, méthode des diviseurs binômes,...). Une fois l'expression factorisée, on arrive à une équation du style P (x).q(x).r(x)...z(x) = 0 où P (x), Q(x), R(x),..., Z(x) sont des polynômes du premier degré en x... Règle du produit nul Dénition: La règle du produit nul arme que : "Si le produit de deux nombres réels est nul (A.B = 0), alors soit A = 0, soit B = 0". Dès lors, l'expression factorisée d'une équation réductible au premier degré P (x).q(x).r(x)...z(x) = 0 se résume à : P (x) = 0 Q(x) = 0 R(x) = 0. Z(x) = 0 Dès lors, la résolution d'une équation se ramène à résoudre un certain nombre d'équation du premier degré (en utilisant les principes d'équivalence). Remarque: Equation rationnelle : Dans le cas d'une équation rationnelle, résoudre l'équation N(x) D(x) = 0 revient à résoudre l'équation a N(x) = 0 a. En eet, on a successivement N(x) D(x) = 0 D(x).N(x) = 0.D(x) N(x) = 0 D(x)

24 .3. INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ Exemples 1. Soit à résoudre l'équation x 3 + 5x 4x 3 = 0. La factorisation par la méthode des diviseurs binômes permet d'écrire l'équation sous la forme (x + 1)(x 1)(x + 3) = 0. Dès lors il faut résoudre : dont la solution est S = { 3, 1 }, 1 x + 1 = 0 x 1 = 0 x + 3 = 0 x = 1 x = 1 x = 3 Remarque: Attention à ordonner les solutions dans l'ordre croissant.. Soit à résoudre l'équation x x + 3 = x 3 x 1. (a) Les conditions d'existence des dénominateurs sont x x 3 et x 1 0 x 1. Ces valeurs devront être éventuellement rejetées des solutions obtenues. (b) On égale le second membre à zéro : x x + 3 x 3 x 1 = 0 (c) On réduit au même dénominateur et on simplie : (x )(x 1) (x 3)(x + 3) = 0 x 5x + (x 3x 9) (x + 3)(x 1) (x + 3)(x 1) x + 11 (x + 3)(x 1) = 0 (d) On élimine le dénominateur (conformément à la remarque du paragraphe..). L'équation devient : x + 11 = 0 dont la solution est x = 11 qui répond bien aux conditions d'existence. (e) S = { } 11 = 0.3 Inéquation du premier degré.3.1 Dénition Dénition: Une inéquation est une relation sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient une inconnue au premier degré. Résoudre une inéquation, c'est trouver les valeurs de cette inconnue qui rend vraie l'inégalité.

25 16 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ.3. Principes d'équivalence Comme pour les équations, la résolution des inéquations est basée sur un certains nombre de principes d'équivalence : Dénition: ˆ Si a < b et b < c alors a < c (propriétés valables pour deux inégalités de même nature) ˆ On peut ajouter (soustraire) un même nombre aux deux membres d'une inégalité sans en changer la nature : a < b a ± c < b ± c ˆ On peut multiplier (diviser) par un même nombre strictement positif les deux membres d'une inégalité sans en changer la nature : a < b a.c < b.c (c > 0) a < b a c < b c (c > 0) ˆ On peut multiplier (diviser) par un même nombre strictement négatif les deux membres d'une inégalité en changeant le sens de l'inégalité : a < b a.c > b.c (c < 0) a < b a c > b c (c < 0) ˆ On ne peut pas soustraire membre à membre deux inégalités de même sens (car une soustraction est une addition de l'opposé et la prise de l'opposé change le sens de l'inégalité). ˆ L'inégalité est compatible avec la multiplication seulement pour des nombres positifs, c'est-à-dire que l'on peut multiplier membre à membre deux inégalités constituées de nombres positifs entre deux inégalités de même sens : 0 < a < b et 0 < a < b alors 0 < aa < bb ˆ L'opposé ou l'inverse (pour des nombres de même signe) change le sens de l'inégalité : a < b a > b 0 < a < b 1 a > 1 b a < b < 0 1 a > 1 b

26 .3. INÉQUATION DU PREMIER DEGRÉ 17 Exemples: ˆ x + 3 < x 1 x + 3 x 3 < x 1 x 3 x < 4 ˆ 3x 1 > x + 3x 1 x + 1 > x + x + 1 x > 3 x > 3 x > 3 ˆ 4x 5 x + 1 4x 5 x + 5 x + 1 x + 5 5x 6 5x x Notation des solutions d'une inéquation Contrairement aux équations, les solutions d'une inéquation sont un ensemble de nombres vériant une inégalité. Sauf dans le cas d'inéquations indéterminées ou impossibles 1, les solutions seront notées sous forme d'intervalle. Un intervalle est un ensemble de nombres réels représentés par deux nombres : le plus petit et le plus grand des nombres de l'intervalle. Ces deux nombres sont entourés de crochets orientés vers l'intérieur ou l'extérieur selon que le nombre appartient ou non à l'intervalle. Les solutions d'une inéquation peuvent également être représentée sur la droite des réels. Le tableau suivant reprend tous les cas de gure possibles. x < a, a[ x a, a] a < x < b ]a, b[ a < x b ]a, b] a x < b [a, b[ a x b [a, b] x b [b, + x > b ]b, + Table.1 Solutions d'une inéquation : cas de gure 1. voir paragraphe.3.4. Cette technique est très simple et permet de résoudre très simplement les systèmes d'inéquations

27 18 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ Exemples: ˆ l'intervalle [1, 3] comprend tous les nombres réels entre 1 et 3, 1 et 3 faisant partie de l'intervalle ; ˆ l'intervalle [, 8[ comprend tous les nombres réels entre - et 8, - faisant partie de l'intervalle, 8 n'en faisant pas partie ; ˆ l'intervalle ] π, π[ comprend tous les nombres réels entre π et π, π et π ne faisant pas partie de l'intervalle. ˆ L'ensemble des nombres réels strictement positifs peu s'écrire R + 0 ou ]0, + Cas particuliers: Lorsque et + font partie de l'intervalle, on ne note pas de crochet avant ou après le symbole..3.4 Cas particuliers ˆ Inéquation impossible : une inéquation impossible est une inéquation du style O.x < 1 ou 0.x. C'est une inéquation dont il est impossible de trouver la solution (S = φ) ˆ Inéquation indéterminée : les inéquations du type 0.x < ou 3 0.x représente des vérités. Elles sont toujours vraies, quelle que soit la valeur de x. Elle possède une innité de solutions (S = R)..4 Inéquations réductibles au premier degré.4.1 Dénition Dénition: Une inéquation réductible au premier degré est une inéquation dont l'étude peut se ramener, par des transformations algébriques, à celle d'inéquations du premier degré. Résoudre une inéquation réductible au premier degré consiste à étudier le signe d'une expression algébrique du, c'est-à-dire trouver les valeurs de la variable qui donne un signe précis (positif ou négatif) à l'expression. type N(x) D(x) Exemple: Résoudre l'inéquation N(x) 0 revient à trouver les valeurs de x pour lesquelles D(x) l'expression N(x) est positive. D(x) Pour étudier le signe d'une expression, il faut donc : ˆ rendre le second membre nul ; ˆ factoriser l'expression pour transformer N(x) et D(x) en un produit de facteurs dont l'étude de signe est plus aisée. Remarque: Contrairement aux équations on ne peut absolument pas "éliminer" le dénominateur car celui-ci inuence le signe de l'expression!

28 .4. INÉQUATIONS RÉDUCTIBLES AU PREMIER DEGRÉ Signe d'une expression du premier degré Le signe d'une expression du premier degré peut être déduit du comportement de la fonction du premier degré 3. Pour rappel, la fonction du premier degré f(x) = mx + p est représentée graphiquement par une droite. La pente m traduit une fonction croissante (m > 0) ou décroissante (m < 0), comme le montre les gures suivantes. Ces droites coupent l'axe des x en x 0 = p m Ce point est la racine ou le zéro de la fonction f(x) = mx + p 4. Considérons le cas où la droite est croissante. On constate que pour les valeurs de x plus petite que x 0, les points de la droite sont situés sous l'axe des x et ont donc une ordonnée négative. Par contre, pour des valeurs de x plus grande que x 0, les ordonnées sont positives. Figure.1 Signe d'une fonction croisssante 3. Voir cours de 3 ème 4. Le zéro d'une fonction f(x) est la solution de l'équation f(x) = 0

29 0 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ Dans le cas d'une fonction décroissante, la même constatation peut être faite : pour les valeurs de x plus petite que x 0, les points de la droite sont situés au-dessus l'axe des x et ont donc une ordonnée positive. Par contre, pour des valeurs de x plus grande que x 0, les ordonnées sont négatives. Figure. Signe d'une fonction décroisssante Enn, remarquons que la seule diérence marquante entre les deux fonctions réside dans le signe de la pente. On peut donc énoncer les règles suivantes : ˆ si m > 0, la fonction du premier degré f(x) = mx + p est négative avant le zéro et positive après ; ˆ si m < 0, la fonction du premier degré f(x) = mx + p est positive avant le zéro et négative après. Dénition: Le signe d'une fonction du premier degré est le signe contraire du coecient de x avant le zéro de la fonction et le signe du coecient de x après..4.3 Tableau de signe Dénition: Un tableau de signe comprend : ˆ sur la première ligne, le(s) zéro(s) ordonné(s) de la fonction à étudier ; ˆ sur la (les) ligne(s) suivante(s) les signes pris par la fonction pour les diérentes valeurs envisagées de la variable.

30 .4. INÉQUATIONS RÉDUCTIBLES AU PREMIER DEGRÉ 1 La règle énoncée au paragraphe.4. peut se résumer à l'aide d'un tableau appelé tableau de signe. x p m mx + p signe contraire 0 signe de de m m Table. Tableau de signe de la fonction du premier degré f(x) = mx + p Exemples: ˆ Signe de f(x) = x + 3. Le zéro est x = 3 de signe correspondant est : et m est positif (m = ). Le tableau x 3 x ˆ Signe de f(x) = 4 5x. Le zéro est x = 4 5 de signe correspondant est : et m est négatif (m = 5). Le tableau x x Résolution d'une inéquation réductible au premier degré La résolution d'une inéquation quelconque (comme par exemple N(x) 0) et en particulier D(x) d'une inéquation réductible au premier degré est basée sur les propriétés des nombres réels : ˆ si le produit (quotient) de deux nombres est positif, les deux nombres sont de même signe (tous les deux positifs ou tous les deux négatifs) ; ˆ si le produit (quotient) de deux nombres est négatif, les deux nombres sont de signes contraires (un positif et un négatif). Dénition: Pour résoudre une inéquation quelconque : ˆ on pose les éventuelles conditions d'existence ; ˆ on réduit un des membres à zéro. Nous appellerons le membre non-nul E ; ˆ on factorise l'autre membre ; ˆ on détermine les zéros de chaque facteur au numérateur et au dénominateur ; ˆ on dresse un tableau de signe en y indiquant tous les zéros trouvés au point précédent et en étudiant le signe de chaque facteur du premier degré trouvé après factorisation ; ˆ on dresse le bilan de signe de E ; ˆ on repère dans le tableau de signe l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles le signe de E correspond à l'inéquation à résoudre ; ˆ on explicite la solution (selon les indications données au paragraphe.3.3)

31 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ 1 Exemple: Soit à résoudre l'inéquation x x + < x 3 ˆ Conditions d'existence : x 1, x et x 3 1 ˆ Egalisation du second membre à zéro : x x + x 3 < 0 ˆ Réduction au même dénominateur : (x + )(x 3) + (x 1)(x 3) (x 1)(x + ) (x 1)(x + )(x 3) ˆ Développement et réduction de l'expression : < 0 x x 6 + x 4x + 3 (x + x ) (x 1)(x + )(x 3) < 0 7x + 1 (x 1)(x + )(x 3) < 0 ˆ Recherche des zéros du numérateur et du dénominateur : numérateur : x = 1 7 dénominateur : x = 1, x = et x = 3 ˆ Tableau de signe complet 1 x x x x x Q(x) ˆ Solution :, [ ] 1 7, 1 [ ] 3, Cas particuliers Certaines expression mathématique gardent toujours un signe constant. Il s'agit : ˆ des constantes ; ˆ d'expressions élevées à une puissance paire Le signe d'expressions élevées à une puissance impaire est le même que le signe de l'expression sans exposant..5 Valeurs absolues.5.1 Dénition Dénition: La valeur absolue d'un nombre réel est ce nombre sans son signe. Si x représente un nombre quelconque, on a : { x si x 0 x = x si x < 0

32 .5. VALEURS ABSOLUES 3.5. Propriétés 1. a R : a 0. a, b R : a.b = a. b 3. a R, b R 0 : a = a b b 4. a, b R : a + b a + b (inégalité triangulaire).5.3 Expressions avec valeurs absolues Une expression avec valeurs absolues est une expression dans laquelle une (ou plusieurs) valeur(s) absolue(s) apparaît (apparaissent) contenant une variable. Simplier une telle expression revient à la réécrire sans les valeurs absolues en spéciant les valeurs de la variables pour lesquelles cette expression est valable. Une présentation sous forme de tableau permet de simplier le traitement de l'expression. Exemple: Soit à simplier l'expression : x + 1 x + 3 x ˆ On réécrit les diérentes valeurs absolues de l'expression en utilisant la dénition donnée au paragraphe.5.1 x + 1 si x x 1 x + 1 = (x + 1) si x + 1 < 0 x < 1 { 3 x si 3 x 0 x 3 3 x = (3 x) si 3 x < 0 x > 3 ˆ A l'aide des valeurs trouvées ci-dessus, on construit un tableau reprenant les valeurs absolues sans le signe " " x 1 3 x + 1 x 1 x + 1 x + 1 x x x x 3 x 3 x 3 x x 3 x 1 x x + 1 x x + 1 x +3 x 3 x +x 3 = 5x + = x + 4 = x ˆ On réécrit l'expression sans valeur absolue : 5x + si x 1 x + 1 x + 3 x = x + 4 si 1 < x 3 x si x > 3

33 4 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ.5.4 Equations du premier degré avec valeurs absolues Une équation avec valeurs absolues est une équation comprenant une (plusieurs) valeur(s) absolue(s). Le traitement de telles équations est basé sur la méthode développée au paragraphe.5.3. Exemple: Soit à résoudre l'équation x x = (x + ) ˆ On réécrit les diérentes valeurs absolues de l'expression en utilisant la dénition donnée au paragraphe.5.1 { x + 3 si x x 3 x + 3 = (x + 3) si x + 3 < 0 x < 3 { 1 x si 1 x 0 x 1 1 x = (1 x) si 1 x < 0 x > 1 ˆ A l'aide des valeurs trouvées ci-dessus, on construit un tableau reprenant les valeurs absolues sans le signe x -3 1 x + 3 x 3 x + 3 x x 1 x 1 x x 1 (x + ) (x + ) (x + ) (x + ) x x = x x = x x 1 = x + 4 x + 4 x + 4 4x = 6 x = 0 0.x = x = 3 x = 0 0 = ˆ On réécrit la solution des équations sans valeur absolue : x = 3 si x < 3 x x = (x + ) x = 0 si 3 x 1 0 = si x > 1 La première partie de l'équation est impossible (car x doit être inférieur à -3 et que l'équation n'est valable que si x 3), la deuxième partie de l'équation est acceptable (car 0 est bien compris entre -3 et 1), la troisième est impossible (donc toujours fausse). La solution de l'équation x x = (x + ) est donc S = {0}

34 .5. VALEURS ABSOLUES Inéquation du premier degré avec valeurs absolues Une inéquation avec valeurs absolues est une inéquation comprenant une (plusieurs) valeur(s) absolue(s). Le traitement de telles inéquations est basé sur la méthode développée au paragraphe.5.3. Exemple: Soit à résoudre l'inéquation x x < (x + ) On réécrit les di érentes valeurs absolues de l'expression en utilisant la dé nition donnée au paragraphe.5.1 x+3 si x x 3 x + 3 = (x + 3) si x + 3 < 0 x < 3 1 x si 1 x 0 x 1 1 x = (1 x) si 1 x < 0 x > 1 A l'aide des valeurs trouvées ci-dessus, on construit un tableau reprenant les valeurs absolues sans le signe -3 1 x x + 3 x 3 x+3 x+3 1 x 1 x x 1 1 x (x + ) (x + ) (x + ) (x + ) x x x+3+1 x x+3+x 1 < x + 4 < x + 4 < x + 4 4x < 6 x < 0 0.x < 3 x> x>0 0< On réécrit la solution des équations sans valeur absolue : 3 x> si x < 3 x x < (x + ) x > 0 si 3 x 1 0 < si x>1 La solution de cette inéquation peut être trouvée à l'aide de la droite des réels. Si l'on indique sur celle-ci les di érentes solutions, ainsi que les zones de validité de celles-ci, on obtient : Exemple: Les zones hachurées sont à rejeter de la solution. La solution de l'inéquation x x < (x + ) est donc : [0, 1] ] 1, + ou R+ 0

35 6 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ.6 Exercices 1. Résoudre les équations suivantes dans R (a) 1 3 ( x 11) + x 9 = 1 6 ( 5x 9) + 1 (1 5x) 4 (b) (8x + 8)x + x = (x 1)(8x 6) (c) (8 10x)(x 3) ( 6x 5)(x 3) = ( 4x )x (d) (6x + 1)(x + 3) 4(x + 3) = ( 6x)(x + 1) (e) x 8 4x x 8x = 1 4 (f) 6 5x x x 6x 3 = 3x 10 x 10 (g) + x 3 x + 5 = (h) x + x 15 = 0 (i) (x 3)(x + 1) + (4x )(3x 9) x + 6 = 0 (j) (x 5x + 8) = (x + 3x 8). Traduire les inégalités suivantes sur la droite des réels et à l'aide d'intervalles : (a) x > 7 (b) 3x 3. Résoudre les inéquations suivantes dans R (a) 3x > 14 (b) x (c) x 8 > 5x + 3 (d) x 4 1 x (e) (x 3)(4x + 5) (8x + 1)(x 7) (f) x(6x + 5) < (3x )(4x + 1) (g) x 7 4x 1 6x (h) 3 x (i) x (j) x > 3x 3x x < x x 1 (c) 3 3x 5 (d) 4 > 3x 7 (k) 1 5 ( x 1) (x 1) > 1 10 ( 5x 1) + 1 (1 3x) 3 < 7 (l) 1 4 ( x 11) (7x + 1) 1 8 ( 6x 3) + 1 (1 5x) 8 4. A l'aide d'un tableau de traduction, écrire les expressions suivantes sans valeurs absolues : (a) x x 5 (b) 1 3x 4x + 5

36 .7. SOLUTIONS 7 (c) 5x + 3x 1 x 3 5. Résoudre les équations et inéquations suivantes dans R (a) x + 3 = x + (b) x + 1 x 1 = x 3 (c) x + 5 = x + 3 (d) x x = x (e) 3x + 1 > 5 (f) x x (g) x x 5 x (h) x x + = 6. Etudier le signe des fonctions suivantes : (a) 4x 9 (b) (x 1)(x + ) (c) (7 x)(4x 49) (d) 3(4 + 3x)(x + 3) (e) 3x(1 x) 1 3x (f) x3 (x 1) (1 x) x 7. Résoudre les inéquations suivantes dans R (a) 4x 49 0 ( 3x)( + 3x) (b) < 0 x(16 9x ) (c) x + 3 x 1 x + 1 x 3 (d) x x + x x (e) x x + < x + 10 x + 3x 10 6 x x + x 8. Résoudre les systèmes suivants dans R { x 3 > 5x 1 (a) x + 4 3x { x 3 > x + 1 (b) 3x 1 x + 7 { x + x + > 0 (c) 4x + 3 < 0.7 Solutions 1.

37 8 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ { } 170 (a) S : 33 { } 1 (b) S : 4 { } 13 (c) S : 9 { (d) S : 17 } 19 { (e) S : 1 } 6. (a) S : ] 7, + (b) S :, 3 ] ] (a) S : 3, + (b) S :, 1] (c) S :, 11 [ 4 (d) S : [ 6, + ] { (f) S : 33 } 76 { } 50 (g) S : 53 { (h) S : 3, 5 } { } 1 (i) S :, 3 (j) S : {0, 3 }, 4 (c) S : (d) S : ] 11, 13 ] 3 ] 6 3, 16 ] 3 [ (h) S :, 4 3 (i) S : ] 3 13, + (j) S :, 1 3 ] (e) S :, 8 53 (f) S :, 15 [ 31 (g) S : 5, + [ ] 134 (k) S : 31, + (l) S : [ 18 3, +

38 .7. SOLUTIONS 9 x 3 5 x + 3 x 3 x + 3 x (a) x 5 x + 5 x + 5 x 5 E(x) 3x + x + 8 3x x x 1 3x 1 3x 3x 1 (b) x + 5 4x 5 4x + 5 4x + 5 E(x) x + 6 7x 4 x 6 3 x 5 5x 5x 5x 5x (c) x 1 3x 1 3x 1 3x x 3 3 x 3 x x 3 E(x) 10x 6 6x 5. (a) S : { 53 }, 1 (e) S :, [ (b) S : {5} (c) S : { 83 } (f) S :, ], 7 ] 6. (a) (d) S : (b) (c) { 7, 8 } 3 x 3 3 x x E(x) x x x E(x) x x x x E(x) (g) S :, 7 4 (h) S : [, + (d) (e) (f) ] 4 3, + [ 4 3, + [ 1, + x x (x + 3) E(x) x 0 3 3x x x E(x) x 0 1 x (x 1) x x E(x)

39 30 CHAPITRE. LE PREMIER DEGRÉ 7. (a) S : [ 7, 7 ], (b) S :, 4 [ ] 3 [ 3, 0 (c) S :, 1[ ]3, + (d) S :, [ ]1, + (e) S :, [ ], + [ 8. (a) S :, 3 (b) S : ] 4, 8] ] [ 3 (c) S : 4, ] 3, 4 [ 3

40 Chapitre 3 Equations et inéquations second degré 3.1 Equations du second degré Dénition Dénition: Une équation du second degré est une équation du type ax + bx + c = 0 où a R 0 et b, c R 3.1. Résolution de l'équation second degré Résoudre l'équation du second degré ci-dessus, revient à trouver les valeurs de x vériant l'équation. On a successivement : ax ( + bx + c = 0 a x + b a x + c ) = 0 a x + b a x + c a = 0 puisque a R 0. Regroupons les deux premiers termes et faisons apparaître le produit remarquable (A + B) = A + AB + B. Si a = 0, l'équation est du premier degré 31

41 3 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ On a : x + b a x + c a = 0 x + b a x }{{} AB x + b a x + }{{} AB + c a = 0 ( x + b ) 4ac b + = 0 ( a 4a x + b ) b 4ac = 0 a 4a ( ) b + c ( ) b a a = 0 a Pour la simplicité de l'écriture (et des calculs futurs), posons : est appelé le discriminant 1 de l'équation du second degré. On a alors, après factorisation : ou, en appliquant la règle du produit nul : ou, en isolant x : = b 4ac (3.1.1) ( x + b ) [ a 4a = 0 ( x + b ) ] [ (. x + b ) ] + = 0 a a a a ( x + b ) a a = 0 ( x + b ) + a a = 0 x 1 = b a + a x = b a a (3.1.) (3.1.3) ou sous forme résumée : x 1 b ± x a x 1 et x sont les racines ou les solutions de l'équation du second degré. 1. On comprendra au paragraphe suivant le sens de ce terme

42 3.1. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ Discussion des solutions de l'équation du second degré Le calcul des solutions de l'équation du second degré fait apparaître le calcul de. Or le calcul d'une racine carrée ne peut s'eectuer systématiquement. Dénition: 1. Si > 0, la racine carrée existe. L'équation du second degré ax + bx + c = 0 admet deux racines réelles x 1, x = b ± a. Si = 0, la racine carrée existe également. L'équation du second degré ax + bx + c = 0 admet une racine a x 1, x = b a 3. Si < 0, la racine carrée n'existe pas. L'équation du second degré ax + bx + c = 0 n'admet aucune racine réelle b. a. qualiée de double car en réalité les deux racines x 1 et x sont identiques b. On verra dans le cours de 6 ème qu'elle possède des racines d'un autre type Cette discussion explique le nom de "discriminant " donné à Exemples 1. Soit à résoudre l'équation x 3x 4 = 0 Dans ce cas a = 1, b = 3 et c = 4. Le calcul de donne = b 4ac = ( 3) 4(1)( 4) = = 5 est positif et on a deux racines réelles. On peut alors calculer les solutions de l'équation : x 1, = ( 3) ± 5.1 = 3 ± 5 La solution est donc :S = { 1, 4} x 1, 8 = 4 = 1. Voir chapitre??

43 34 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ. Soit à résoudre l'équation 4x 1x + 9 = 0 Dans ce cas a = 4, b = 1 et c = 9. Le calcul de donne = b 4ac = ( 1) 4(4)(9) = = 0 est nul et on a une racine double. On peut alors calculer les solutions de l'équation : La solution est S = { } 3 x 1 = b a = ( 1).4 = 1 8 = 3 3. Soit à résoudre l'équation x + 5x + 7 = 0 Dans ce cas a = 1, b = 5 et c = 7. Le calcul de donne = b 4ac = (5) 4(1)(7) = 5 8 = 3 est négatif, il n'y a pas de solution réelle : S = {φ} 4. Soit à résoudre l'équation x 5x + = 0 Dans ce cas a = 1, b = 5 et c =. Le calcul de donne = b 4ac = ( 5) 4(1)() = 5 8 = 17 est positif et on a deux racines réelles. On peut alors calculer les solutions de l'équation : x 1, = ( 5) ± 17.1 = 5 ± 17 { 5 17 La solution est donc :S =, 5 + } Somme et produit des racines On cherche à évaluer la somme et le produit des racines de l'équation du second degré ax + bx + c = 0, soit S = x 1 + x et P = x 1.x

44 3.1. EQUATIONS DU SECOND DEGRÉ 35 En substituant les valeurs de x 1 et x données par les relations (3.1.) et (3.1.3), on obtient : S = b + a + b a P = b +. b a a ou, en réduisant et en utilisant les produits remarquables : S = b a P = c a Exemple: Sans utiliser, calculer les racines de l'équation x 6x 0 = 0 La somme et le produit des racines valent S = 6 = 3 P = 0 = 10 Pour trouver les nombres x 1 et x répondant à ce problème, on peut s'aider d'un tableau dans lequel on place les nombres dont le produit donne -10(P ). x 1 x x 1 + x En complétant ce tableau par une colonne contenant x 1 + x, on trouve directement les solutions : x 1 = 5 et x =. Remarque: On peut écrire l'équation du second de degré sous la forme ax ( + bx + c = 0 a x + b a x + c ) a ou encore a ( x Sx + P ) = 0 (3.1.4)

45 36 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ Application: Trouver deux nombres dont la somme vaut 11 et le produit 14. Ces deux nombres sont la solution de l'équation du second degré x 11x+14 = 0. On a : = ( 11) = 65 et x 1 11 ± 65 x Trinôme du second degré 3..1 Dénition Dénition: Le trinôme du second degré est un trinôme du type ax + bx + c où a R 0 et b, c R. 3.. Factorisation du trinôme du second degré La méthode de factorisation du diviseur binôme 3, permet d'armer que si un polynôme P (x) est divisible par (x a) alors P (a) = 0 et P (x) = (x a).q(x) où Q(x) est un polynôme dont le degré est d'une unité inférieure à celui de P (x). Nous avons vu que le trinôme du second degré peut s'écrire sous la forme P (x) = a(x Sx + P ) Nous savons, par le paragraphe précédent, que, si > 0, x 1 et x sont les solutions de l'équation du second degré P (x) = 0. En appliquant la méthode des diviseurs binômes à la parenthèse (x Sx + P ), on a : 1 S P x 1 x 1 x 1 x 1 x 0 Dès lors : P (x) = a(x x 1 )(x x ) Pour factoriser un trinôme du second degré, on calcule d'abord les racines de l'équation du second degré associée (x 1,x ). Comme discuté au paragraphe 3.1.3, la factorisation du trinôme du second degré dépend donc de 3. vue en 3 ème

46 3.. TRINÔME DU SECOND DEGRÉ 37 Dénition: 1. Si > 0, l'équation du second degré a deux racines distinctes et le trinôme se factorise sous la forme : ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ). Si = 0, l'équation du second degré a une racine double x 1 et le trinôme se factorise sous la forme : ax + bx + c = a(x x 1 )(x x 1 ) = a(x x 1 ) 3. Si < 0, l'équation du second degré n'a aucune racine réelle et le trinôme du second degré n'est pas factorisable 3..3 Signe du trinôme du second degré La factorisation du trinôme du second degré fait apparaître, en général, trois facteurs : ˆ a ˆ x x 1 ˆ x x Le signe d'un produit de facteur du premier degré a été envisagé au paragraphe.4. En ce qui concerne le second degré, dans un tableau de signe, sur chaque ligne, il sut de reprendre le signe de chacun des facteurs du trinôme pour étudier le signe global de celui-ci. Comme la factorisation du trinôme dépend de, nous envisagerons ici trois cas distincts. 1. Si > 0, le trinôme se factorise en a(x x 1 )(x x ), le tableau de signe de cette expression est 4 : x x 1 x a signe de a signe de a signe de a x x x x ax + bx + c signe de a 0 signe contraire de a 0 signe de a. Si = 0, le trinôme se factorise en a(x x 1 ), le tableau de signe de cette expression est : x x 1 a signe de a signe de a (x x 1 ) ax + bx + c signe de a 0 signe de a 3. Si < 0, le trinôme n'est pas factorisable, il ne s'annule donc jamais. Le tableau de signe de cette expression est 5 : 4. On supposera x 1 < x 5. La justication de ce tableau est moins aisée que les précédents. En eet, si un polynôme ne s'annule pas, il garde un signe constant. Montrer que x Sx + P est toujours positif ne peut se faire que sur base d'exemples. Une explication plus rigoureuse sera donnée au chapitre 5.3

47 38 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ x a signe de a x Sx + P + ax + bx + c signe de a En conclusion, on peut énoncer la règle suivante 6 : "Le signe d'un trinôme du second degré sera toujours le signe du coecient de x (a) de ce trinôme sauf éventuellement entre les racines de ce trinôme (si elles existent)" Exemples 1. Soit à étudier le signe du trinôme x 4x 6. Ce trinôme se factorise en (x 3)(x + 1) et les racines sont donc x 1 = 1 et x = 3. Le signe de ce trinôme est : x x x x 4x Soit à étudier le signe du binôme 1 3x. Ce binôme se factorise en 3(x )(x + ) et les racines sont donc x 1 = et x =. Le signe de ce trinôme est : x x x x ( 3. Soit à étudier le signe du trinôme 4x + 1x + 9. Ce trinôme se factorise en 4 x + ) 3 et la racine (double) est x 1 = 3. Le signe de ce trinôme est : x ( x ) 4x + 1x Remarque: Dans le cas de ce trinôme, un tableau de signe est inutile puisque il apparaît clairement à la factorisation qu'il est positif! 4. Soit à étudier le signe du trinôme x +5x 8. Ce trinôme n'est pas factorisable ( = 7). a étant négatif, ce trinôme est toujours négatif. On vériera que la valeur de ce trinôme pour x = 1 est -14 et, pour x =, Comme nous l'avions fait au paragraphe.4. pour le premier degré

48 3.3. INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ ET INÉQUATIONS RÉDUCTIBLES AU SECOND DEGRÉ Inéquations du second degré et inéquations réductibles au second degré Dénition Dénition: Une inéquation du second degré est une relation sous forme d'une inégalité entre deux quantités algébriques. Cette inégalité contient une inconnue au second degré. Résoudre une inéquation, c'est trouver la valeur de cette inconnue qui rend vraie l'inégalité. Une inéquation réductible au second degré est une inéquation dont l'étude peut se ramener, par des transformations algébriques, à celle d'inéquations du second degré. Résoudre une inéquations réductible au second degré consiste à étudier le signe d'une expression algébrique du type N(x) D(x) c'est-à-dire trouver les valeurs de la variable qui donne un signe précis (positif ou négatif) à l'expression. L'étude des inéquations du second degré se ramène donc à ce qui a été vu aux paragraphes.3 et.4. Pour rappel, voici la marche à suivre pour étudier le signe d'une expression mathématique : 1. On égal un des membres de l'inéquation à zéro (par soustraction membre à membre d'un des deux membres de l'inéquation). On réduit l'expression ainsi obtenue (réduction au même dénominateur et factorisation du numérateur obtenu). Remarquons qu'il est inutile de développer le dénominateur commun puisque celui-ci est déjà factorisé. 3. On transforme l'expression en un quotient de produit de facteurs dont le degré est, au plus, égal à ; 4. On recherche les zéros des diérents facteurs de ce quotient ; 5. On crée le tableau de signes comme décrit dans la section précédente ; 6. On indique dans le tableau de signe les "zones" concernées par l'inéquation (sur base de la forme obtenue au point 3) 7. On indique clairement la solution de l'inéquation à l'aide des conventions relatives à l'écriture d'intervalles de valeurs Exemple Soit à résoudre l'inéquation : Reprenons la démarche rappelée ci-dessus : 7 x x 6

49 40 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ 1. On égal un des membres de l'inéquation à zéro (par soustraction membre à membre d'un des deux membres de l'inéquation) 7 x x 6 0. On réduit l'expression ainsi obtenue (réduction au même dénominateur et factorisation du numérateur obtenu). Remarquons qu'il est inutile de développer le dénominateur commun puisque celui-ci est déjà factorisé. 6x + x 1 (x + )(1 x) 0 3. On transforme l'expression en un quotient de produit de facteurs dont le degré est, au plus, égal à. La réduction au même dénominateur a déjà apporté de tels facteurs. 4. On recherche les zéros des diérents facteurs de ce quotient ; (a) Numérateur : ˆ x = 1 ˆ x = 1 3 (b) Dénominateur : ˆ x = 1 ˆ x = 5. On crée le tableau de signes comme décrit dans la section précédente ; x x + x x x In(x) On indique dans le tableau de signe les "zones" concernées par l'inéquation (sur base de la forme obtenue au point 3) (voir le tableau de signe). 7. On indique clairement la solution de l'inéquation à l'aide des conventions relatives à l'écriture d'intervalles de valeurs. ] S :, 1 ] [ [ 1 3, Exercices 1. Résoudre les équations suivantes dans R : (a) x 4x 5 = 0 (b) x + 16x + 3 = 0 (c) x 11x + 8 = 0 (d) x + x 1 = 0 (e) 5x + 5x = 1 (f) 4x x 6 = 0 (g) 3x 6x + 4 = 0 (h) 3x 6x 3 = 0 (i) 11 3 x 7 6 = 1 x (j) x x = 0

50 3.4. EXERCICES 41. En utilisant la technique de la somme et du produit, résoudre les équations suivantes dans R : (a) x 5x + 6 = 0 (b) x 5x + 4 = 0 (c) x 4x 1 = 0 3. Déterminer deux nombres dont la somme vaut 9 et le produit Trouver, si possible, deux réels connaissant leur somme S et leur produit P (a) S = a + 1 et P = a + a (b) S = a + b 1 et P = ab b 5. Vérier que le nombre a donné est solution de l'équation proposée et en déduire l'autre solution (sans utiliser ) (a) x 3x ( + 3) = 0, a =- (b) 5x + 18 = x, a = 6. Résoudre les équations suivantes d'inconnue x (les autres lettres représentent des nombres réels non nuls) (a) (x 4c) 13c(c x) = cx (b) x ( x p ) = 1 (p rx) p r r

51 4 CHAPITRE 3. EQUATIONS ET INÉQUATIONS SECOND DEGRÉ 7. Soit l'équation x 4x 15 = 0 dont les solutions sont x et x. Sans caculer x et x, déterminer la valeur de (a) x + x (b) 1 x + 1 x (c) x x + x x 8. Les côtés d'un triangle rectangle ont pour mesure x 4, x + 3 et x 5. Trouver x. 9. Factoriser les expressions suivantes : (a) 3x + x (b) x 9x 5 (c) 3x + 11x 8 (d) 1 x 1 5 x (e) x + x Simplier les fractions suivantes après avoir posé les conditions d'existence : x x (a) x 5x + (b) x + 4x 6 x x Résoudre les inéquations suivantes dans R : (c) x + x 1 x x + 1 (a) x 4x (b) x + x 3 0 (c) 3x 4x > (d) 4x + 1 > 3x 1. Résoudre dans R (a) x x x 4 = 18 x + 3x (b) 5x x x + 3 = 90 x 9 (c) x + 1 3x + = x x 3 (d) 3x 1 x + x 1 x + 1 = 1 x x 13. Résoudre dans R (e) 1 1 x + + x x + 1 = x + 4 x x (f) x 1 x 6x + 8 x + x 8 x + 1 x x 8 + x + 1 x + 6x + 8 = (a) x(5x 16) (4x 1)( x + 6x 9) 0 (b) x 10x 14 x 3x + > 1 (c) x(x 1)(x+)+3(x+) 3x (x+) (d) 3x x 18 x 6 x > (e) 4 4x 0x 4x 1x x + (f) 6x 3 11x 3x + x + 1 6x 3 13x + x + 3 x < 0 (g) x 5x + 6 > 0 x + 4x 3 < 0 x(x 4) (h) 10x(x 3) 4x 5x + 1 > 0

52 Chapitre 4 Les fonctions 4.1 Introduction En géométrie, nous avons vu qu'une droite est un ensemble de points alignés. Dans un repère orthonormé, ces points peuvent être caractérisés de trois manières diérentes : Un tableau de valeurs Une équation Un graphe x y y = x + 3 Ces trois dénitions d'une droite permettent de déterminer le lien qui existe entre les coordonnées des points de la droite. Ils expriment tous que la coordonnée y dépend ou est fonction de la coordonnée x Dénitions 4..1 Dénition Dans le cadre de ce chapitre, nous travaillerons avec des ensembles de nombres réels. 1. On parle dans ce cas-là de fonction ane (linéaire si l'ordonnée à l'origine est nulle) 43

53 44 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Dénition: Une relation entre deux ensembles de réels est un lien entre deux nombres : un de l'ensemble de départ et un de l'ensemble d'arrivée. Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associent à tout élément de l'ensemble de départ au plus un élément de l'ensemble d'arrivée. La gure suivante représente une fonction. Figure 4.1 Dénition d'une fonction

54 4.. DÉFINITIONS 45 Par contre, la gure suivante n'est pas une fonction car x 1 est origine de deux èches. A l'élément x 1 correspond donc deux éléments de l'ensemble de départ. Les éléments de l'ensemble de départ sont généralement notés x et les éléments de l'ensemble d'arrivée y. Le lien entre les deux ensembles est noté f 4.. Vocabulaire important Dénition: Les valeurs de y sont appelées les images de x par la fonction f, les valeurs de x sont nommées les antécédents de y par la fonction f Caractérisation d'une fonction Une fonction peut être caractérisée de trois manières diérentes. Tableaux de valeurs On peut matérialiser une fonction en donnant, sous forme de tableau, l'ensemble des valeurs de l'ensemble de départ et les valeurs correspondantes de l'ensemble d'arrivée. Cependant, cette méthode est peut commode dans le cas de fonctions réelles puisque les valeurs de l'ensemble de départ sont en général en nombre inni 3.. Remarquons que, dans d'autres cours (comme le cours de physique), les éléments de l'ensemble de départ sont souvent notés t et ceux de l'ensemble d'arrivée x, v, Cette représentation est par contre fortement utilisée dans les cours scientiques.

55 46 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Forme analytique La deuxième manière de traduire une fonction entre deux ensembles est d'écrire explicitement la relation ("formule") mathématique reliant les éléments de l'ensemble de départ et ceux de l'ensemble d'arrivée. Exemples: ˆ La fonction dénie par la relation f(x) = x + 3 permet de relier un ensemble inni de valeurs (-1,,3,...) à d'autres valeurs (1,7,9,...). ˆ La fonction f(x) = x x + 3 permet de relier un ensemble inni de valeurs (-1,,4,...) à d'autres valeurs (6,3,11,...). ˆ La fonction f(x) = ( 1 permet de relier un ensemble inni de valeurs (-1,,3,...) x à d'autres valeurs 1, 1, 1,...). Remarquons que cette fonction ne permet pas 3 d'associer un élément de l'ensemble d'arrivée à l'élément 0 de l'ensemble de départ. Graphe d'une fonction Une autre manière de représenter une fonction est de remarquer que, d'après la dénition donnée au paragraphe 4..1, une fonction peut-être vue comme un couple de valeur (x, y). Dans un plan ramené à un repère orthonormé 4, ce couple correspond aux coordonnées d'un point. L'ensemble de ces points constitue le graphe (ou graphique) de la fonction. 4.3 Caractéristiques des fonctions Nous introduirons ici les diérents éléments permettant de caractériser entièrement une fonction. Ces éléments seront abordés à la fois sous l'aspect algébrique (calcul) que sur l'aspect graphique. Des exemples complets de recherche de caractéristiques de fonctions seront détaillés à la n de ce paragraphe. 4. Deux axes perpendiculaires et une longueur de référence sur chaque axe

56 4.3. CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS Domaine de dénition Pour qu'une fonction soit dénie (existe), il faut nécessairement un lien entre l'ensemble de départ et l'ensemble d'arrivée. Dénition: Le domaine de dénition d'une fonction est l'ensemble des valeurs de l'ensemble de départ (x) qui ont une image (y) par la fonction. Algébriquement, le domaine de dénition d'une fonction est lié à l'existence du lien entre les valeurs de x et celles de y. On déterminera le domaine de dénition d'une fonction en posant des conditions d'existence. Dans le cadre du cours de 4 ème année, ces conditions d'existence seront : ˆ Les dénominateurs ne peuvent être nul. Dans le cas d'une fonction rationnelle la condition d'existence se résume à f(x) = N(x) D(x) D(x) 0 ˆ Les radicants 5 irrationnelle ne peuvent être négatif (voir le chapitre??). Dans le cas d'une fonction f(x) = R(x) la condition d'existence est R(x) 0 ˆ Les arguments 6 des tangentes et des cotangentes doivent respectivement être diérents de tan x existe si x π + kπ et cot x existe si x kπ Graphiquement, le domaine de dénition est obtenu en relevant sur l'axe Ox l'ensemble des valeurs où le graphe de la fonction existe (c'est-à-dire où il est dessiné). Dans la plupart des cas, les valeurs rejetées du domaine de dénition de la fonction s'observe par : ˆ une absence de graphe : on a alors aaire à un intervalle de valeurs rejetées du domaine ˆ un trou dans le graphe : c'est une valeur ponctuelle rejetée du domaine et symbolisée la plupart du temps par un petit cercle (o) sur le graphe de la fonction ˆ une asymptote verticale : il s'agit d'une droite verticale de laquelle le graphe de la fonction se rapproche indéniment sans jamais la toucher. Il s'agit d'une valeur ponctuelle rejetée du domaine de dénition. Le domaine de dénition d'une fonction est noté domf 5. (argument d'une racine carrée) 6. Dans certains cas, les fonctions trigonométriques ne sont étudiées que dans le cours de 6 ème année, cours à 6 heures hebdomadaires

57 48 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 4.3. Image d'une fonction Dénition: L'ensemble image d'une fonction est l'ensemble des valeurs prises par la fonction. Algébriquement, la détermination de l'ensemble image d'une fonction est quelque peu complexe et ne sera abordé que dans les cours de 5 ème (math forte). Par contre, on peut déterminer algébriquement l'image d'un nombre par une fonction. Soit a ce nombre. L'image de a par la fonction f(x) est simplement la valeur numérique de la fonction obtenue en substituant les x par a dans l'expression analytique de la fonction. Graphiquement, les images de la fonction sont lues sur l'axe Oy. Il sura de déterminer, sur cet axe, l'ensemble des valeurs prises par y. De même, l'image d'un point par la fonction est simplement l'ordonnée du point du graphe de la fonction dont l'abscisse vaut a. L'ensemble image d'une fonction est noté imf Figure 4. Image d'un nombre par une fonction Notation d'une fonction Une fonction est notée de la manière suivante : Cette notation permet de spécier : ˆ le nom de la fonction (ici f) ; ˆ le domaine de dénition ; ˆ l'ensemble image ; ˆ la variable (x) ; ˆ et la forme analytique de la fonction Exemples : f : R [ f : domf imf : x f(x) 33 1, 4 ] 33 1 h : R + R + : t t 4 : x x x 3 x +

58 4.3. CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS Antécédents Dénition: A l'inverse des images, les antécédents d'une fonction sont les valeurs de x correspondants à une valeur donnée de la fonction. Soit b cette valeur. Algébriquement, les antécédents de la fonction b par la fonction f(x) sont les solutions de l'équation f(x) = b. Graphiquement, les antécédents de b par la fonction f(x) sont les abscisses des points dont l'ordonnée vaut b. Ils sont obtenus en déterminant les abscisses des points d'intersection du graphe de la fonction avec la droite horizontale d'équation y = b. Figure 4.3 Antécédents d'un nombre par une fonction Dans l'exemple ci-dessus, les antécedents de b sont les valeurs x 1, x, x 3 et x 4. Remarque importante: D'après la dénition d'une fonction l'image d'un réel par une fonction est unique. Par contre, les antécédents d'une fonction peuvent être multiples Zéros d'une fonction Dénition: Le(s) zéro(s) d'une fonction sont les valeurs de x qui annulent la fonction. Ce sont donc les antécédents de 0 par la fonction. Algébriquement, ils sont la (les) solution(s) de l'équation f(x) = 0. Graphiquement, ce sont les points du graphe dont l'ordonnée est nulle c'est-à-dire les points d'intersection avec l'axe Ox.

59 50 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Parité Figure 4.4 Zéros d'une fonction La notion de parité d'une fonction permet de mettre en évidence d'éventuelles caractéristiques de symétrie d'une fonction. Dénition: Une fonction est paire si et seulement si x domf : f( x) = f(x) Une fonction est impaire si et seulement si x domf : f( x) = f(x) Dans tous les autres cas la fonction est quelconque. Algébriquement, on détermine si une fonction est paire ou impaire en calculant f( x) (c'està-dire que l'on remplace tous les x par x dans l'expression analytique de la fonction). Si après simplication on obtient la même forme analytique que la fonction de départ( f(x)), la fonction est paire. Si on obtient une expression analytique opposée à celle de la fonction de départ ( f(x)), elle est impaire. Graphiquement, la parité caractérise des symétries dans la fonction. Si f est paire, son graphe est symétrique par rapport à l'axe Oy. Si elle est impaire, son graphe est symétrique par rapport à l'origine des axes O. Les graphes suivants illustrent cette situation.

60 4.3. CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS 51 Fonction paire Fonction impaire Remarque: La parité traduit des symétries de la fonction. Dès lors, si le domaine de la fonction et/ou le(s) zéro(s) de la fonction ne sont pas symétriques par rapport à 0, la fonction ne pourra être ni paire ni impaire Périodicité Dénition: Une fonction est périodique si et seulement si x domf, T R : f(x + T ) = f(x). L'étude des fonctions périodiques fera l'objet du cours de 6 ème. Figure 4.5 Fonction périodique

61 5 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Croissance, décroissance, maximum, minimum d'une fonction sur un intervalle Dénitions: Soit une fonction f(x) et un intervalle [a, b] du domaine de dénition. Une fonction est croissante sur l'intervalle [a, b] si et seulement si x 1, x [a, b] : x x 1 f(x ) f(x 1 ). Une fonction est décroissante sur l'intervalle [a, b] si et seulement si x 1, x [a, b] : x x 1 f(x ) f(x 1 ). Une fonction passe par un maximum sur l'intervalle [a, b] lorsqu'elle cesse de croître pour commencer à décroître. Une fonction passe par un minimum sur l'intervalle [a, b] lorsqu'elle cesse de décroître pour commencer à croître. Remarque: Un minimum (maximum) n'est pas nécessairement le point le plus bas (haut) de la fonction. Il s'agit d'une notion "locale". Figure 4.6 Maximum et minimum, croissance et décroissance Les notions de maximum, minimum, croissance et décroissance sont souvent résumées dans un tableau de variation. Ces tableaux, forts similaires à des tableaux de signe (mais qui n'en sont pas) comportent : ˆ sur la première ligne, les valeurs de x importantes (c'est-à-dire les zéros et les maximums/minimums) ˆ sur la deuxième ligne : les valeurs de la fonction aux points importants décrits ci-dessus le comportement de la fonction (croissance ou décroissance) à l'aide de èche (, ) Dans le cas de l'exemple de la gure 4.6, le tableau de variation serait : x f(x) M m M m

62 4.3. CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS Exemples Premier exemple : lecture graphique de fonction Soit la fonction f(x) dénie par le graphe suivant. 1. Domaine de dénition : le domaine de la fonction est R. En eet, le graphe de la fonction est déni pour toutes les valeurs de x (il n'y a aucun "arrêt" dans la courbe). On écrit : domf : R. Zéro(s) : la fonction croise l'axe Ox en x =, x = 1 et x = Intersection avec l'axe Oy : la fonction croise l'axe Oy en y = 1 4. Parité : la courbe ne présente aucune symétrie, ni par rapport à l'axe Oy ni par rapport à O, elle est donc ni paire ni impaire. 5. Quelques lectures d'images : (a) On remarque tout d'abord que l'ensemble des valeurs prises par la fonction est R. En eet, la fonction peut prendre toutes les valeurs réelles possibles (lues sur l'axe Oy). On a : imf : R (b) Pour trouver l'image de -3 par la fonction, on cherche l'ordonnée du point du graphe de la fonction dont l'abscisse vaut -3. On trace une parallèle à l'axe Oy passant par l'abscisse -3 et on cherche l'ordonnée du point d'intersection de cette parallèle avec le graphe de la fonction (en dessinant une parallèle à Ox passant par ce point). On obtient f( 3) = 4 (c) Pour trouver f(4), on procède de même. On obtient f(4) = 3

63 54 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Figure 4.7 Détermination graphique de f( 3) et f(4) 6. Quelques déterminations d'antécédents : (a) Pour chercher l'(les)antécédent(s) de - par la fonction, on cherche l'(les) abscisses des points dont l'ordonnée vaut -. Pour ce faire, on trace la droite horizontale d'équation y =. Tous les points de cette droite ont une ordonnée valant -. En cherchant les abscisses des points d'intersection de cette droite avec le graphique de la fonction, on détermine l'(les)antécédent(s) de - par la fonction. Dans ce cas-ci, on trouve f(x) = x.6 (b) Pour trouver l'(les)antécédent(s) de 1 par la fonction, on procède de même. On obtient f(x) = 1 x 1.8 x 0.5 x 3.3 Figure 4.8 Détermination graphiques des antécédents de - et de 1

64 4.3. CARACTÉRISTIQUES DES FONCTIONS Deuxième exemple : étude algébrique de fonction Soit la fonction f(x) = base de sa forme analytique. x + 1 x. Déterminons les caractéristiques de cette fonction sur + x 6 1. Domaine de dénition : comme la fonction s'exprime sous forme d'une fraction, on ne peut admettre que le dénominateur soit nul. On a donc une condition d'existence qui impose : CE : x + x 6 0 Cette équation du second degré se résout conformément à ce qui a été fait au chapitre 3. On obtient { x 3 CE : x Le domaine de dénition est donc R\ { 3, }. Zéro(s) : le(s) zéro(s) de la fonction sont les valeurs de x annulant la fonction. C'est (Ce sont) la(les) solution(s) de l'équation f(x) = 0 ou, dans ce cas-ci : x + 1 x + x 6 = 0 x + 1 = 0 x = 1 Remarque : il faut bien sûr toujours vérier que le(s) zéro(s) de la fonction appartiennent au domaine de dénition de la fonction Intersection avec l'axe Oy : le point d'intersection avec l'axe Oy est le point du graphe dont l'abscisse est nulle. C'est donc f(0) qui, dans ce cas, vaut : f(0) = Parité : en raison du domaine de dénition de la fonction, la fonction n'est ni paire, ni impaire. Vérions cela par calcul. On a f( x) = ( x) + 1 ( x) + ( x) 6 f( x) = x + 1 x x 6 Cette forme de la fonction n'est ni égale à f(x) = x + 1 x + x 6 qui implique que la fonction n'est ni paire ni impaire. ni à f(x) = x + 1 x + x 6 ce 5. Un calcul d'image : l'image de - par la fonction se calcule simplement en substituant x par - dans l'expression analytique de la fonction. On obtient f( ) = 1 4 Remarque : Il est très complexe de déterminer algébriquement l'ensemble image de la fonction. Cette détermination sera réalisée dans le cadre du cours de 5 ème math 8

65 56 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 6. Un calcul d'antécédent(s) : Recherchons les antécédents de -1. Pour rappels, les antécédents de b par une fonction sont les abscisses des points dont l'ordonnée vaut b. Dans le cas de cette fonction, ce sont donc les solutions de l'équation f(x) = 1 On a successivement : x + 1 x + x 6 = 1 x + 1 x + x = 0 (x + 1) + (x + x 6) x + x 6 = 0 x + x 5 = 0 dont les solutions sont { x = 1 6 x = Troisième exemple : étude complète de fonction Considérons la fonction f(x) = x + 1 x + x 15 et son graphe. 1. Domaine de dénition : le domaine de la fonction est donné par la double condition d'existence : CE1 : x CE : x + x 15 0 Résolvons la première condition d'existence. On a x x 1

66 4.4. FONCTIONS DE BASE 57 Résolvons la seconde conditions d'existence. On a { x 3 x + x 15 0 x 5 En globalisant les deux conditions d'existence à l'aide d'une droite des réels On obtient le domaine de dénition : domf : x [ 1, 5 [ ] 5, + On remarque sur le graphique la présence d'une asymptote verticale en x = 5 ainsi que l'absence de graphe pour les valeurs de x inférieure à 1. Zéro(s) : Le(s) zéro(s) de la fonction sont les solutions de l'équation f(x) = 0. On a donc x + 1 = 0 x + 1 = 0 x = 1 On constate graphiquement que le point d'intersection avec l'axe Ox a bien une abscisse égale à Intersection avec l'axe Oy : comme f(0) = 1, on constate que l'ordonnée du point 15 d'intersection avec l'axe Oy est bien Parité : Vu l'absence de symétrie dans le domaine de dénition par rapport au point x = 0, on peut armer que la fonction n'est ni paire ni impaire, ce qui est conrmé par l'absence de symétrie dans le graphique. 4.4 Fonctions de base Dans le paragraphe suivant, nous allons être amenés à construire graphiquement des fonctions sur base de fonctions de référence. Il s'agit des fonctions : ˆ identité : f(x) = x ˆ quadratique : f(x) = x ˆ cubique : f(x) = x 3 ˆ racine carrée : f(x) = x ˆ racine cubique : f(x) = 3 x ˆ inverse : f(x) = 1 x Les graphes et les caractéristiques de ces fonctions sont repris ci-dessous. 8. à la précision de la lecture graphique prêt!!

67 58 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Graphe Caractéristiques f(x) = x ˆ Domaine : R ˆ Image : R ˆ Zéro : x = 0 ˆ Intersection avec Oy : y = 0 ˆ Fonction impaire ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) 0 f(x) = 1 x ˆ Domaine : R 0 ˆ Image : R 0 ˆ Zéro : aucun ˆ Intersection avec Oy : aucune (0 / domf) ˆ Fonction impaire ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) ± f(x) = x ˆ Domaine : R ˆ Image : R + ˆ Zéro : x = 0 ˆ Intersection avec Oy : y = 0 ˆ Fonction paire ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) 0 m

68 4.4. FONCTIONS DE BASE 59 f(x) = x 3 ˆ Domaine : R ˆ Image : R ˆ Zéro : x = 0 ˆ Intersection avec Oy : y = 0 ˆ Fonction impaire ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) 0 f(x) = x ˆ Domaine : R + ˆ Image : R + ˆ Zéro : x = 0 ˆ Intersection avec Oy : y = 0 ˆ Fonction quelconque (domaine non symétrique) ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) 0 f(x) = 3 x ˆ Domaine : R ˆ Image : R ˆ Zéro : x = 0 ˆ Intersection avec Oy : y = 0 ˆ Fonction impaire ˆ Tableau de variation : x 0 f(x) 0

69 60 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 4.5 Manipulations graphiques de fonctions Au départ des fonctions de base décrites au paragraphe 4.4, il est possible d'établir le graphe de nombreuses fonctions. Ces nouvelles fonctions sont construites à partir des fonctions de base par des opérations arithmétiques que nous limiterons, dans le cours de 4 ème à la somme, la diérence, le produit et le quotient par une constante 9. Nous distinguerons les opérations agissant sur la variable ( x) et celles agissant sur la fonction (f(x)) Opérations agissant sur la variable Les opérations agissant sur la variable n'aectent que celle-ci. Analytiquement, l'opération ne porte que sur x. Exemples: ˆ Pour construire la fonction f(x) = (x + ) au départ de x, on a rajouté à x ˆ Pour construire la fonction f(x) = 3x au départ de x, on a multiplié x par 3. Observons sur quatre exemples graphiques les eets des quatre opérations arithmétiques de base : +,,, et sur x. 10 Opération Fonction Transformation graphique +k f(x) = (x + ) Le graphe de f(x) = x est translaté horizontalement de unités parallèlement à l'axe Ox dans le sens négatif. 9. D'autres opérations seront envisagées dans le cadre du cours de 5 ème 10. En trait interrompu, la fonction de départ, en trait plein la fonction modiée

70 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 61 k f(x) = (x 1) 3 Le graphe de f(x) = x 3 est translaté horizontalement de 1 unité parallèlement à l'axe Ox dans le sens positif. t f(x) = x Le graphe de f(x) = x est étiré horizontalement d'un facteur 1 (ou les abscisses des points du graphe sont divisées par ). t f(x) = 3 x 3 Le graphe de f(x) = 3 x est étiré horizontalement d'un facteur 3 (ou les abscisses des points du graphe sont multipliées par 3).

71 6 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 4.5. Opérations agissant sur la fonction Les opérations agissant sur la fonction aectent l'intégralité de celle-ci. Analytiquement, l'opération porte sur f(x) (et plus uniquement x). Exemples: ˆ Pour construire la fonction f(x) = x + 4 au départ de x, on a rajouté 4 à x (et non pas à x a ˆ Pour construire la fonction f(x) = 3 x au départ de x, on a multiplié x par 3. a. dans ce cas on aurait eu à faire à la fonction (x + 4)! Observons sur quatre exemples graphiques les eets des quatre opérations arithmétiques de base : +,,, et sur f(x). 11 Opération Fonction Transformation graphique +k f(x) = x + Le graphe de f(x) = x est translaté verticalement de unités parallèlement à l'axe Oy dans le sens positif. k f(x) = x 3 1 Le graphe de f(x) = x 3 est translaté verticalement de 1 unité parallèlement à l'axe Oy dans le sens négatif. 11. En trait interrompu, la fonction de départ, en trait plein la fonction modiée.

72 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 63 t f(x) = x Le graphe de f(x) = x est étiré verticalement d'un facteur (ou les ordonnées des points du graphe sont multipliées par ). t f(x) = x Le graphe de f(x) = 3 x est étiré verticalement d'un facteur 1 3 (ou les ordonnées des points du graphe sont divisées par 3) Autres opérations Trois autres opérations sont souvent utilisées en pratique. Il s'agit des opérations permettant : ˆ de passer de f(x) à f( x) : il s'agit d'une symétrie orthogonale d'axe Oy ˆ de passer de f(x) à f(x) : il s'agit d'une symétrie orthogonale d'axe Ox ˆ de passer de f(x) à f(x) : : il s'agit d'une symétrie orthogonale d'axe Ox des valeurs négatives de la fonction. Ces opérations sont des cas particuliers des cas décrits aux paragraphes

73 64 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS En résumé Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple f(x + k) k > 0 x une translation horizontale de k unités vers la gauche (x k, y) f(x k) k > 0 x une translation horizontale de k unités vers la droite (x + k, y)

74 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 65 Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple f(t.x) t > 1 x un étirement horizontal de facteur 1 (les abscisses sont divisées par t t, les ordonnées restent inchangées) ( x t, y ) f ( x t ) t > 1 x un étirement horizontal de facteur t (les abscisses sont multipliées par t, les ordonnées restent inchangées) (x.t, y)

75 66 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple f(x) + k k > 0 f(x) une translation verticale de k unités vers le haut (x, y + k) f(x) k k > 0 f(x) une translation verticale de k unités vers le bas (x, y k)

76 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 67 Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple t.f(x) t > 1 f(x) un étirement vertical de facteur t (les ordonnées sont multipliées par t, les abscisses restent inchangées) (x, y.t) 1 t.f(x) t > 1 f(x) un étirement vertical de facteur 1 t (les ordonnées sont divisées par t, les abscisses restent inchangées) ( x, y t )

77 68 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple f( x) x une symétrie orthogonale d'axe Oy ( x, y) f(x) f(x) une symétrie orthogonale d'axe Ox (x, y)

78 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 69 Si f(x) devient... on agit sur... alors le graphe subit... et (x, y) devient... Exemple f(x) f(x) une symétrie orthogonale d'axe Ox des parties négatives de la fonction (x, y )

79 70 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Le tableau suivant résume les notations, l'ordre et la priorité des opérations utilisées dans la représentation d'une fonction par manipulation graphique d'une fonction de base. Action sur x f(x) Ordre ➀ ➁ Priorité des opérations P EMDAS P EMDAS Opération arithmétique +k Translation horizontale (k ) Translation vertical (k ) TH(k ) TV(k ) k Translation horizontale (k ) Translation verticale(k ) TH(k ) TV(k ) t Etirement horizontal(x ( ) t, y constant) Etirement verticale (y t, x constant) 1 EH EV(t) t t Etirement horizontal(x t, y constant) Etirement verticale ( (y ) t, x constant) 1 EH(t) EV t

80 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS Exemple complet On cherche à établir le graphe de la fonction f(x) = x) ( Nous allons partir de la fonction de base f 1 (x) = x. Commençons par établir algébriquement les étapes de la transformation. Fonction On agit sur... Opération arithmétique f1(x) = x x +k (x + 1, y) f(x) = (x + 1) x.t (x, y) (x, y) devient... Transformation graphique Translation horizontale de 1 unité vers la gauche Etirement horizontal : les abscisses sont divisées par f3(x) = (x + 1) x x ( x, y) Symétrie orthogonale d'axe Oy f4(x) = (1 x) f(x).t (x, 1.y ) Etirement vertical : les ordonnées sont multipliées par 1 f5(x) = 1.(1 x) f(x) f(x) (x, y) Symétrie orthogonale d'axe Ox f6(x) = 1.(1 x) f7(x) = 1.(1 x) + 3 f8(x) = 1.(1 x) + 3 f(x) +k (x, y + 1) f(x) V.A. (x, y ) Translation verticale de 3 unité vers le haut Symétrie orthogonale d'axe Ox des valeurs négatives de la fonction

81 7 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS Voici les graphes diérentes étapes.

82 4.5. MANIPULATIONS GRAPHIQUES DE FONCTIONS 73

83 74 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS

84 4.6. EXERCICES Exercices 1. Parmi les courbes suivantes, déterminer celle qui représente une fonction.. Soit f une fonction dénie sur l'intervalle [-,4]. On connait les images de quelques points : f( 1) = 3, f(0) =, f(1) = 1, f() = 1 et f(4) =. On donne également les deux graphes suivants : (a) Quels sont les tracés qui peuvent être la représentation graphique de la fonction f? (b) Déterminer graphiquement f( ) et f(3) sur chacune des gures. 3. Soit f une fonction dénie sur l'intervalle [0,6]. On connait les images de quelques points : f(0) =, f(1) = 0, f() = 4, f(4) = 1, f(5) = 4 et f(6) = 3. On donne également les trois graphes suivants :

85 76 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS (a) Quels sont les tracés qui peuvent être la représentation graphique de la fonction f? (b) Déterminer graphiquement f(3) sur chacune des gures. 4. Soit la fonction f donnée par sa représentation graphique (a) Préciser l'intervalle sur lequel la fonction est dénie ; (b) Déterminer graphiquement les images des nombres -, 0, 1 et 3 par la fonction ; (c) Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par la fonction. 5. Soit la fonction f donnée par sa représentation graphique (a) Préciser l'intervalle sur lequel la fonction est dénie ; (b) Déterminer graphiquement les images des nombres -1,0 et par la fonction ; (c) Déterminer graphiquement les antécédents de -, -4 et par la fonction.

86 4.6. EXERCICES Soit la fonction f donnée par sa représentation graphique (a) Préciser l'intervalle sur lequel la fonction est dénie ; (b) Déterminer graphiquement les images des nombres -1, et 4 par la fonction ; (c) Déterminer graphiquement les antécédents de -3, 0 et par la fonction.

87 78 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 7. Soit la fonction f donnée par sa représentation graphique (a) Préciser l'intervalle sur lequel la fonction est dénie ; (b) Déterminer graphiquement les images des nombres -, 0 et 3 par la fonction ; (c) Déterminer graphiquement les antécédents de -3, 1 et 3 par la fonction. 8. Soit la fonction f(x) = x 3. (a) Calculer f(0), f(3), f ( ) ( 1 3 et f 5) ; (b) Calculer les images de 1, et 5 par la fonction f ; (c) Calculer l'(les) antécédent(s) de 1, et 5 par f. 9. Soit la fonction f(x) = x 3. (a) Calculer f(0), f( ), f ( 3 ) et f ( + 1 ) ; (b) Calculer les images de 0,1 et -1 par la fonction f ; (c) Calculer l'(les) antécédent(s) de 5 par f. 10. Soit la fonction f(x) = x x. (a) Calculer f(1), f( 1), f ( 3) et f ( ) ; (b) Calculer l'image de par la fonction f ; (c) 1 a-t-il un antécédent par f? 11. Soit la fonction f(x) = x x 1. (a) Calculer f(0), f(3), f( 3) et f ( 3 ) (b) Calculer l'image de -1 par la fonction f (c) Calculer l'(les) antécédent(s) de 1 par f 1. Soit la fonction f(x) = x + 9. (a) Calculer f(0), f(), f( ) et f ( 3 ) (b) Calculer l'image de 4 par la fonction f (c) Calculer l'(les) antécédent(s) de 5 par f

88 4.6. EXERCICES Soit la fonction f(x) = x 3 dénie pour x 3 ou x 3. (a) Calculer les images de, 3 et 3 par la fonction f (b) 1 a-t-il une image par la fonction? (c) Déterminer deux nombres qui ont la même image. (d) Un nombre réel strictement positif a-t-il un antécédent par f? 14. Soit la fonction f dénie par le graphe suivant : (a) Décrire les variations de la fonction f dans un tableau de variations. (b) Quel est le maximum et le minimum de la fonction f. En quelle(s) valeur(s) sont-ils atteints? 15. Soit la fonction f dénie par le graphe suivant : (a) Décrire les variations de la fonction f dans un tableau de variations. (b) Quel est le maximum et le minimum de la fonction f dans l'intervalle : i. [, 4] ii. [, 3] iii. [, 1]

89 80 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 16. Soit la fonction f dénie par le graphe suivant : (a) Décrire les variations de la fonction f dans un tableau de variations. (b) Quel est le maximum et le minimum de la fonction f dans l'intervalle : i. [0, 6] ii. [1, 4] iii. [3, 4] (c) Quelle est la valeur lue pour f()? (d) Quels sont les antécédents de -? 17. Soit la fonction f dénie par le graphe suivant : (a) Décrire les variations de la fonction f dans un tableau de variations. (b) Quelle est l'image de 0, 1,, 3 et 4 par la fonction? (c) Quels sont les antécédents de -, -1, 0 et 1?

90 4.6. EXERCICES Construire, dans un repère orthonormé convenablement choisi, un graphe possible des fonctions décrits par les tableaux de variation suivants : (a) (b) (c) x f(x) x f(x) x 4 9 f(x) m M 19. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer algébriquement ˆ le domaine de dénition ˆ le(s) zéro(s) ˆ l'intersection avec l'axe Oy ˆ la parité (a) f(x) = x + x 3 (b) f(x) = 3 x (c) f(x) = x + 1 x + 4x 5 (d) f(x) = x 5 x 3 (e) f(x) = x + 4x + 3 x + 5 (f) f(x) = x 9x Tracer le graphe de la fonction f(x) = x 4 (a) Représenter sur le graphe le(s) valeur(s) de x pour laquelle (lesquelles) f(x) est égale à -4 et expliquer algébriquement le résultat (b) Représenter sur le graphe les valeurs de x pour lesquelles f(x) est comprise entre - et 1 et expliquer algébriquement le résultat 1. Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre. (a) f(x) = x x 3 x3 (b) f(x) = x + 5 x + 1 (c) f(x) = x 3x + 5 x 3 (d) f(x) = x 5 x

91 8 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS. Déterminer si les fonctions suivantes sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre. 3. Voici le graphe de la fonction f(x) (a) Détermine f(1) (b) Quels sont le(s) zéro(s) de f(x)? (c) Déterminer le ou les réels dont l'image par f vaut 5 (d) Représenter l'ensemble des réels x tels que 0.5 f(x) 0.5

92 4.6. EXERCICES Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer algébriquement et graphiquement : (a) le domaine de dénition ; (b) le(s) zéro(s) ; (c) la parité ; (d) le signe ; (e) le tableau de variation de la fonction. (a) f(x) = x x + 3

93 84 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS (b) f(x) = x + x x (c) f(x) = x + x x 3 + x 16x 3

94 4.6. EXERCICES 85 (d) f(x) = x x + x 3 5. Pour chacune des fonctions suivantes, établir algébriquement les étapes nécessaires pour passer de la fonction de référence à la fonction nale. Dans chaque cas, on précisera si l'on agit sur la fonction, ou la variable, l'opération arithmétique, la transformation graphique associée et la traduction en terme de modication de coordonnées des points du graphe. (a) f(x) = x (b) f(x) = (e) f(x) = 1 3 3x x (c) f(x) = 3x (f) f(x) = 3 (3 4x) (d) f(x) = (x + 3) 1 (g) f(x) = 1 x En partant de fonction de base que l'on précisera, représenter les graphes fonctions suivantes. Préciser l'ensemble des étapes ainsi que les transformations du plan utilisées. (a) f(x) = x + 3 (b) f(x) = x (c) f(x) = x 3 (d) f(x) = 1 x (e) f(x) = 3 x (f) f(x) = 3(x ) + 1 ( x ) (g) f(x) = 1 1 (h) f(x) = 1 x (i) f(x) = 1 3 x 1 (j) f(x) = 3 1 x (k) f(x) = 3 (1 x)

95 86 CHAPITRE 4. LES FONCTIONS 7. On donne le graphique de la fonction f(x). On demande de résoudre graphiquement les équations et inéquations suivantes : (a) f(x) = 0 (b) f(x) = (c) f(x) < (d) f(x)

96 Chapitre 5 La fonction du second degré 5.1 Dénition Dénition: La fonction du second degré est la fonction dénie par la forme analytique où a R 0 et b, c R. f(x) = ax + bx + c Il s'agit donc, comme montré au chapitre??, d'une fonction dont le graphe est une parabole. Nous allons démontrer au paragraphe suivant que le graphe de la fonction du second degré peut-être construit à partir de la fonction f(x) = x. 5. Caractéristiques de la fonction du second degré 5..1 Graphe de la fonction du second degré La fonction du second degré peut se construire par manipulations graphiques de la fonction de base f(x) = x (voir à ce sujet le paragraphe 4.5) En eet, on peut successivement écrire : f(x) = ax ( + bx + c f(x) = a x + b a x + c ) [( a f(x) = a x + b ( ) ) b a x + + c ( ) ] b a a + a [ ( f(x) = a x + b ) ] 4ac b + a 4a [ ( f(x) = a x + b ) ] a 4a Le graphe de la fonction du second degré est donc obtenu à partir de la fonction de base f(x) = x par les manipulations graphiques suivantes 87

97 88 CHAPITRE 5. LA FONCTION DU SECOND DEGRÉ f 1 (x) = x f (x) = f 3 (x) = f 4 (x) = a ( x + b ) a ( x + b ) a 4a [ ( x + b ) ] a 4a T H T V EV (a) ( b ) a ( ) 4a Remarquons que la dernière opération (EV (a)) s'en accompagne d'une autre 1 si a < 0. Si a<0 la parabole présente donc un sommet qui est un maximum (et plus un minimum comme dans le cas de la fonction f(x) = x ) Exemple: f(x) = x x + 8. On peut écrire x x + 8 = (x 1) + 7. On peut construire cette parabole à partir de la fonction f(x) = x à l'aide des transformations suivantes : f 1 (x) = x T H(1 ) f (x) = (x 1) T V (7 ) f 3 (x) = (x 1) + 7 Figure 5.1 Construction de la parabole d'équation y = x x Symétrie orthogonale d'axe Ox

98 5.. CARACTÉRISTIQUES DE LA FONCTION DU SECOND DEGRÉ Caractéristiques de la fonction du second degré Les caractéristiques de la fonction f(x) = x transformations (voir paragraphe 4.4) subissent les mêmes S S S S(0, 0) AS x = 0 ( b ) a, 0 ( b a, ) 4a ( b a, ) 4a AS x = b a AS x = b a AS x = b a T H T V ( b ) a ( ) 4a EV (a) On peut en outre remarquer que : ˆ les zéros de la fonction sont les solutions de l'équation du second degré ax + bx + c = 0, soit x 1, = b ± a ˆ l'intersection de la parabole avec l'axe Oy est donnée par f(0) = c ce qui correspond au point de coordonnées (0; c) Représentation: La parabole représentative de la fonction du second degré peut donc se dessiner simplement en se basant sur les caractéristiques suivantes : ˆ S : ( b a, 4a ) ˆ AS x = b a ˆ Intersection avec Ox : (x 1 ; 0) et (x ; 0) ˆ Intersection avec Oy : (0; c) ˆ Si a > 0, le sommet est un minimum (la concavité de la courbe est dirigée vers le haut), si a < 0, le sommet est un maximum(la concavité de la courbe est dirigée vers le bas) Exemple: f(x) = x x 8. Les caractéristiques de cette parabole sont : ˆ S : (1, 9) ˆ AS x = 1 ˆ Intersection avec Ox : A :( ; 0) et B :(4; 0) ˆ Intersection avec Oy : C :(0; 8) ˆ a > 0 : le sommet est un minimum (la concavité est dirigée vers le haut). Le graphe de la parabole est représenté à la page suivante.. S :sommet - AS : axe de symétrie

99 90 CHAPITRE 5. LA FONCTION DU SECOND DEGRÉ

100 5.3. LIEN ENTRE LE SIGNE D'UNE FONCTION DU SECOND DEGRÉ ET LA POSITION DE LA PARA 5.3 Lien entre le signe d'une fonction du second degré et la position de la parabole par rapport à l'axe Ox Au paragraphe 3..3, nous avons établi le signe d'un trinôme du second degré en fonction du signe de. Nous pouvons désormais justier ce signe sur base du graphe de la fonction du second degré. Les diérents cas sont résumés dans le tableau suivant : a > 0 > 0 = 0 < 0 a < 0 > 0 = 0 < 0 Remarque: Ces graphes permettent de justier complètement le signe du trinôme du second degré lorsque est négatif.

101 9 CHAPITRE 5. LA FONCTION DU SECOND DEGRÉ 5.4 Exercices 1. Dessiner les paraboles suivantes après en avoir déterminé les caractéristiques : (a) y = x 3x + (b) y = x + x + 8 (c) y = x + 4x + (d) y = x + x 1 (e) y = x 1 (f) y = x 9. Donner l'équation de la parabole passant par les points (-1,0), (0,1) et (,0). 3. Déterminer m et p pour que la parabole d'équation y = x +mx+p admette un minimum en x = 1 et un zéro en x =. 4. Déterminer l'équation de la parabole qui coupe l'axe Ox au point d'abscisse et dont le sommet est (3,-). 5. Soit la famille de parabole y = mx + x + m. Chaque cas étant pris séparément, déterminer m pour que la parabole : (a) passe par le point (-1,4) ; (b) admette la droite d x + 3 = 0 comme axe de symétrie ; (c) ne coupe pas l'axe Ox (d) ait son sommet sur la droite d y = x 3 (e) ait son sommet à gauche de l'axe Oy. 6. Déterminer algébriquement et graphiquement les points d'intersection de P y = x 9 et d y x + 1 = 0 7. Construire les paraboles y = x + x et y = x + 7x + (a) Déterminer les points d'intersection des deux courbes ; (b) Résoudre algébriquement et graphiquement l'inéquation x + x < 0 (c) Résoudre algébriquement et graphiquement l'inéquation x + x x + 7x + 8. Soit P y = x + kx. Déterminer la valeur de k pour que la droite d y + x 4 = 0 soit tangente à P 9. Ecrire l'équation de la tangente à la parabole d'équation y = x x + 1 en son point d'abscisse 1. Vérier graphiquement le résultat.

102 Deuxième partie Géométrie 93

103

104 Chapitre 6 Calcul vectoriel dans le plan 6.1 Dénitions Soient A et B deux points distincts du plan. Dénition: Le vecteur AB est une entité géométrique caractérisée par : ˆ sa direction (celle de la droite AB) ; ˆ son sens (de A vers B) ; ˆ sa longueur (ou sa norme) dénie par la distance de A à B. La norme du vecteur AB est notée AB = d(a, B) Figure 6.1 Dénition d'un vecteur Remarques: ˆ A est l'origine du vecteur et B est l'extrémité du vecteur. ˆ le vecteur nul est le vecteur dont l'origine coïncide avec l'extrémité : AA = 0 ˆ un vecteur peut également être représenté par une seule lettre minuscule (sans mentionner explicitement l'origine et l'extrémité) : u 6. Opérations sur les vecteurs 6..1 Vecteurs égaux Dénition: Deux vecteurs sont égaux s'ils ont le même sens, la même direction et la même norme. Dans la gure suivante, les vecteurs AB, u et v sont égaux. 95

105 96 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN Figure 6. Egalité de vecteur Remarque: On dit que u et v sont des représentants du vecteur AB. Propriété: Considérons quatre points A, B, C et D non alignés du plan. Si AB = DC et donc AD = BC alors ABCD est un parallélogramme et réciproquement. La démonstration de cette propriété est laissée au soin du lecteur. Cette propriété est très utile pour démontrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme. Remarque: Il faut être très attentif à la manière de nommer les sommets d'un polygone. Deux lettres consécutives dans le nom du polygone doivent être reliées par un segment. Ainsi le polygone ci-dessous sera nommé AEJG et non AJEG ou GEJA. 6.. Vecteurs opposés Dénition: Deux vecteurs sont opposés s'ils ont : ˆ même direction ; ˆ même norme ; ˆ sens opposé. On écrit alors : AB = BA

106 6.. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS Somme de vecteurs Vecteurs consécutifs Dénition: Deux vecteurs sont consécutifs si l'extrémité du premier coïncide avec l'origine du second. Dans ce cas, la somme de deux vecteurs est dénie par : AB + BC = AC Il s'agit d'un vecteur dont l'origine est l'origine du premier vecteur et l'extrémité, l'extrémité du deuxième. Cette relation est la loi de Chasles. Figure 6.3 Relation de Chasles La relation de Chasles 1 est fondamentale pour le calcul vectoriel. En eet, elle permet d'exprimer que : 1. Michel Chasles, né à Épernon (Eure-et-Loir) le 15 novembre 1793 et mort à Paris le 18 décembre 1880

107 98 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN "la somme de deux vecteurs consécutifs est un vecteur dont l'origine est l'origine du premier vecteur et l'extrémité, l'extrémité du second vecteur" (lecture de la relation de gauche à droite) mais surtout que "tout vecteur peut être décomposé en la somme de deux vecteurs consécutifs" (lecture de la relation de droite à gauche).

108 6.. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS 99 La relation de Chasles peut être généralisée à un nombre quelconque de vecteurs. Figure 6.4 Relation de Chasles généralisée Remarquons que la somme de deux vecteurs opposés donne le vecteur nul ( AB + BA = 0 ) Vecteurs quelconques Si les vecteurs sont quelconques, il sut d'utiliser la dénition des vecteurs égaux donnée au paragraphe En eet, pour eectuer la somme AB + CD, il sut de créer un vecteur BD représentant du vecteur CD. Dès lors : AB + CD = AB + BD = AD (par la relation de Chasles) Figure 6.5 Somme de deux vecteurs quelconques Remarque: On aurait tout aussi bien pu créer un vecteur A C représentant du vecteur eectuer cette somme. On aurait eu alors : AB + CD = A C + CD = A D AB pour

109 100 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN Vecteurs entre même origine Dans le cas particulier où les vecteurs ont la même origine, le principe développé au paragraphe 6..3 est toujours utilisable. Figure 6.6 Somme de deux vecteurs de même origine On construit un vecteur BB, représentant de AC ou un vecteur CB, représentant de AB. Dès lors AB + AC = AB + BB = AB ou AB + AC = AC + CB = AB. Dans les deux cas le résultat est le même Dénition: La somme de deux vecteurs de même origine est un vecteur dont l'origine est l'origine commune et l'extrémité est l'extrémité de la diagonale du parallélogramme ABB C (construite à partir de l'origine commune) Diérence entre deux vecteurs Dénition: Soustraire deux vecteurs revient à additionner au premier l'opposé du second. On a donc AB CD = AB + ( CD) = AB + DC. L'opération "diérence" revient donc au même qu'une opération "somme". Pour soustraire les vecteurs AB et CD, on construit un représentant BE du vecteur DC. Figure 6.7 Diérence entre deux vecteurs

110 6.. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS Produit d'un vecteur par un réel Considérons un vecteur AB et un nombre réel k (k R 0 ). Dénition: Le vecteur k. AB est un vecteur : ˆ de même direction que AB ; ˆ de même sens que AB si k > 0 et de sens opposé si k < 0 ; ˆ de longueur k AB. 1 Dans la gure ci-dessous, CD = AB et EF = AB Figure 6.8 Multiplication d'un vecteur par un réel Pour construire le produit d'un vecteur par un réel, on utilise le théorème de Thalès illustré ci-dessous.. vu en 3ème

111 10 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN 6..6 Propriétés des opérations sur les vecteurs Les opérations décrites dans les paragraphes précédents donnent toutes un vecteur comme résultat. On peut démontrer les propriétés suivantes concernant la somme vectorielle ( u, v, w ) ˆ le vecteur nul est neutre pour l'addition : u + 0 = 0 + u = u ˆ la somme de deux vecteurs est commutative : u + v = v + u ˆ la somme vectorielle est associative : u + v + w = ( u + v ) + w = u + ( v + w ) De même, pour la multiplication par un réel ( v, w ; a, b R 0 ) ˆ la multiplication par un vecteur est distributive sur la somme des réels : (a + b) u = a u + b u ˆ la multiplication par un réel est distributive sur la somme vectorielle : ˆ La multiplication est associative : a( u + v ) = a u + a v (ab) u = a(b u ) 6.3 Vecteurs particuliers Vecteurs parallèles Dénition: Deux vecteurs sont parallèles s'ils ont la même direction. Vectoriellement, le parallélisme s'exprime par : AB// CD k R0 AB = k. CD Cette relation est illustrée à la page suivante.

112 6.3. VECTEURS PARTICULIERS Points colinéaires Figure 6.9 Vecteurs parallèles Considérons trois points A, B et C du plan. Ces trois points dénissent trois vecteurs AB, AC et BC. Dénition: Les points A, B et C sont alignés si et seulement si : k R 0 AB = k. AC Figure 6.10 Points alignés Remarque: Cette relation est vraie pour tous les vecteurs dénis par A, B et C et ne doit être démontrée que pour deux vecteurs choisis (elle est vraie pour le 3 ème aussi) Combinaison linéaire de vecteurs Dénition: Un vecteur u est combinaison linéaire des vecteurs v et w (en abrégé combili) si et seulement si : a, b R 0 u = a. v + b. w

113 104 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN 6.4 Exercices 1. Soient deux points A et B distants de 3cm. Déterminer précisément et en justiant les constructions les vecteurs (a) AB (b) 3 AB (c) 7 AB. On donne les points A, B, C et D comme indiqués sur la gure suivante. Construire 3 un représentant des vecteurs suivants : (a) AC (b) 1 DC (c) CB + BA 1 (d) AD + BC BA 3 (e) ( DA AB) + BC (f) 5 CD (g) 3 1 BC 7AD + CA 3. La construction doit être précise. On utilisera à cet eet les outils de 3 ème (Pythagore, Thalès)

114 6.4. EXERCICES Sur la droite AB, déterminer un point C tel que (a) AC = AB (c) AC = CB (b) AC = 1 AB (d) AC = BC 3 4. Soient trois points non alignés A, B et C. Déterminer graphiquement le point X tel que : (a) AX = AB + AC (b) AX = BX + BC (c) AX = 3 BX (d) AX + 1 BX = 1 CX 4 5. Soient A, B, C et D quatre points non alignés. (a) Construire deux points P et Q tels que AP = AC + BD et AQ = AD + BC. (b) Démontrer que P et Q sont confondus 6. Etant donné les points A, B, C, P et Q tels que CP = P A et CQ = QB, démontrer que P Q = 1 AB 7. Démontrer que, dans un quadrilatère quelconque ABCD, si M est le milieu de [AD] et N le milieu de [BC] alors AB + DC MN = 8. Les droites a et b sont parallèles. Elles coupent la droite d en A et B et la droite d en A et B.(d et d sont quelconques) (a) Exprimer le vecteur A B AB en fonction de AA et BB. (b) Soit P en point de d tel que à a et à b. Exprimer P P en fonction de AA et BB. AP = 1 AB et P un point de d tel que P P est parallèle 3 9. Démontrer que si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, ce quadrilatère est une parallélogramme. 10. On donne un parallélogramme ABCD et les points M, N, P et Q respectivement milieu de AB, BC, CD et AD. Démontrer que le quadrilatère MNP Q est un parallélogramme. 11. Soit ABC un triangle et, sur le segment [BC] les points D et E tels que BD = DE = EC. Démontrer que AD + AE = AB + AC 1. Soit ABCD un parallélogramme. Démontrer que : (a) AB + CD = 0 (b) AD + AB = BC + DC 13. Soit ABC un triangle et G le centre de gravité du triangle. Démontrer que GA + GB + GC = 0

115 106 CHAPITRE 6. CALCUL VECTORIEL DANS LE PLAN

116 Chapitre 7 Vecteurs et composantes 7.1 Base du plan Pour placer un point dans un plan (surface plane) on doit nécessairement se xer deux axes non parallèles et des unités de mesure sur chacun de ces axes. Pour représenter des vecteurs dans le plan, on utilisera des vecteurs unités ( i, j )plutôt que des unités. Ces vecteurs sont tels que leur norme vaut 1 ( i = j = 1). Dénition: L'ensemble ( i, j ) est appelé base du plan. A priori, les deux axes et les vecteurs unitaires sont quelconques (comme ceux représentés à la gure suivante). Figure 7.1 Base d'un plan Cependant, il est souvent plus facile de travailler avec des axes perpendiculaires entre eux et des vecteurs unitaires de même longueur. On parle alors de repère orthonormé. Remarquons que si l'on travaille avec des angles, il faut obligatoirement travailler avec un repère orthonormé En eet, lorsque l'on travaille avec des angles, il faut connaître l'unité d'angle ( ). Or celle-ci est dénie sur base de l'angle droit! 107

117 108 CHAPITRE 7. VECTEURS ET COMPOSANTES Figure 7. Repère orthonormé 7. Expression d'un vecteur dans un repère orthonormé Dans un repère orthonormé, considérons le point P (x P, y P ). x P et y P sont les coordonnées du point P dans le repère (O, x, y). Le vecteur OP peut se décomposer en OP = OA + AP (par la loi de Chasles). Comme AP = OB, on peut écrire OP = OA + OB = xp i + yp j (puisque les coordonnées d'un point représentent un multiple de l'unité de base). Le vecteur OP peut donc être décomposé en fonction des vecteurs de base i et j. Dénition: (x P, y P ) représentent : ˆ les composantes du vecteur OP dans le repère (O, i, j ) ; ˆ les coordonnées de P, extrémité d'un vecteur dont l'origine est l'origine des axes, dans le repère (O, x, y). Figure 7.3 Composantes d'un vecteur Remarquons que la décomposition d'un vecteur en fonction des vecteurs de base est unique (à un point P correspond une et une seule paire de coordonnées).

118 7.3. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET COMPOSANTES Opérations sur les vecteurs et composantes Dans la suite du paragraphe, on considérera les vecteurs OA et OB de composantes respectives OA(x A, y A ) et OB(xB, y B ) Egalité de vecteurs La décomposition d'un vecteur en fonction des vecteurs de base étant unique, l'égalité de deux vecteurs entrainent l'égalité des composantes : Dénition: Deux vecteurs sont égaux si leurs composantes sont égales : OA = { xa = x OB B y A = y B 7.3. Somme de vecteurs La gure suivante représente la somme de deux vecteurs de même origine conformément à ce qui a été développé au paragraphe Figure 7.4 Composantes de la somme de deux vecteurs En considérant les égalités de segments représentées sur la gure on constate que :

119 110 CHAPITRE 7. VECTEURS ET COMPOSANTES Dénition: Les composantes de la somme de deux vecteurs sont la somme des composantes de chacun des vecteurs. OA + OB(xA + x B, y A + y B )

120 7.3. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET COMPOSANTES Produit d'un vecteur par un réel La gure suivante représente deux vecteurs tels que OB = k. OA. Figure 7.5 Composantes du produit d'un vecteur par un réel On constate que les triangles OAC et OBD sont semblables. Dès lors, les longueurs des côtés homologues sont proportionnelles dans un rapport k. Dénition: Les composantes du produit d'un vecteur par un réel k sont le produit des composantes de ce vecteur par le réel k. OB = k. OA OB(k.xA, k.y A ) Vecteurs opposés L'opposé d'un vecteur est égal au produit de ce vecteur par 1 : OA = 1. OA. Dénition: Les composantes de l'opposé d'un vecteur sont l'opposé des composantes du vecteur. OA( x A, y A )

121 11 CHAPITRE 7. VECTEURS ET COMPOSANTES Composantes d'un vecteur quelconque Considérons un vecteur quelconque AB. Figure 7.6 Composantes d'un vecteur quelconque D'après la loi de Chasles, ce vecteur peut être décomposé en la somme de deux vecteurs consécutifs. On a : AB = AO + OB = OA + OB = OB OA. Dénition: Les composantes d'un vecteur quelconque AB sont obtenues en eectuant la diérence entre les coordonnées de l'extrémité B et celles de l'origine A. AB(x B x A, y B y A ) Remarque: Graphiquement, les composantes du vecteur AB représente le "déplacement" à effectuer parallèlement à l'axe Ox puis parallèlement à l'axe Oy pour aller de A à B.

122 7.3. OPÉRATIONS SUR LES VECTEURS ET COMPOSANTES 113 Application: Coordonnées du milieu d'un segment. Si M est le milieu de [AB], alors on peut écrire vectoriellement : AM = 1 AB En terme de composantes, si le point M : (x M, y M ), on a : En égalant les composantes : (x M x A, y M y A ) = 1 (x B x A, y B y A ) x M x A = x B x A ou y M y A = y B y A x M = x B + x A y M = y B + y A Les coordonnées du milieu M du segment [AB] sont : ( xa + x B M :, y ) A + y B Figure 7.7 Milieu d'un segment Dénition: Les coordonnées du milieu d'un segment correspondent à la moyenne arithmétique des coordonnées des extrémités de ce segment. Généralisation: Coordonnées du centre de gravité d'un triangle. Soit le triangle ABC dont on connait les coordonnées des sommets. On peut montrer, comme précédemment, que les coordonnées du centre de gravité G du triangle sont données par : ( xa + x B + x C G :, y ) A + y B + y C

123 114 CHAPITRE 7. VECTEURS ET COMPOSANTES 7.4 Exercices 1. Dans le plan cartésien, on donne les points A ( 4, 1 ) (, B 3, 1 ), C ( 1 ) 3, 0 et D ( 3, ) (a) Calculer les composantes de AC, BC, BD, AD DB, CA 1 AD 3 (b) Déterminer les coordonnées de X et Y tels que i. AX = ii. CY = AC CB 3 1 BD + DA 3 CB 3 4 (c) Déterminer les coordonnées du point P pour que ACDP soit un parallélogramme (d) Déterminer les coordonnées du point Q pour que DCBQ soit un parallélogramme (e) Déterminer les coordonnées du point M milieu de [AB]. Déterminer la valeur de a pour que x soit parallèle à y si (a) x(, a) et y(10, 30) (b) x(, a) et y(a, 4) (c) x(a, 3) et y(a, 7) 3. On donne A(10, 3) et B( 1, 7). Déterminer les coordonnées de C, situé sur la droite AB pour que 6 AC = AB 4. Soient (O, i, j) un repère du plan et les points A(, 3), B(0, 3) et C( 3, 0) (a) Soit E le point vériant 1 BE = AB. Déterminer les coordonnées du point E ; (b) Soit F le point vériant BF = OF. Déterminer les coordonnées du point F ; 3 (c) Déterminer les composantes des vecteurs CE et CF ; (d) En déduire que les points C, E, F sont alignés 5. Soit (O, i, j), un repère orthonormal du plan. Soient les trois points A(1, 1), B(, 0), C( 3, 3). (a) Soit D le symétrique de B par rapport à A. Donner les coordonnées de D ; (b) Soit le point E( 4, 6). Montrer que les points B, C et E sont alignées puis montrer que C est le milieu de [BE]. (c) Montrer que AC et ED sont paralléles

124 Chapitre 8 Le produit scalaire 8.1 Dénition Considérons deux vecteurs a et b de même origine et faisant un angle α entre eux. Figure 8.1 Dénition du produit scalaire vaut, par déni- Dénition: Le produit scalaire des vecteurs a et b tion : a. b = a. b. cos α (8.1.1) où a représente la norme du vecteur a, c'est-à-dire la longueur du vecteur a. Le produit scalaire de deux vecteurs est, contrairement aux autres opérations sur les vecteurs vues au chapitre précédent, un nombre réel 1. Remarque: Si l'un des vecteurs est le vecteur nul, le produit scalaire est nul. 8. Nouvelle dénition du produit scalaire Considérons, dans la dénition du produit scalaire, le facteur a. cos α. Celui-ci représente la norme de la projection orthogonale du vecteur a sur le vecteur b comme le montre la gure suivante. 1. Les normes et le cosinus d'un angle sont en eet des nombres réels. par le théorème de Pythagore 115

125 116 CHAPITRE 8. LE PRODUIT SCALAIRE Dénition: Le produit scalaire de deux vecteurs est égal au produit scalaire de l'un d'eux par la projection orthogonale de l'autre sur le premier : 8.3 Cas particuliers Vecteurs alignés a. b = ab. b = a. b a où a b représente la projection orthogonale du vecteur a sur le vecteur b. Dans le cas de vecteurs alignés, l'angle entre les vecteurs vaut 0 et le produit scalaire des vecteurs a et b vaut : a. b = a. b. cos 0 a. b = a. b Remarque: Norme d'un vecteur De ce premier cas particulier, il découle que : a. a = a. a = a (8.3.1) 8.3. Vecteurs opposés Dans le cas de vecteurs opposés, l'angle entre les vecteurs vaut π et le produit scalaire des vecteurs a et b vaut : a. b = a. b. cos π a. b = a. b Vecteurs perpendiculaires Lorsque les vecteurs a et b sont perpendiculaires, l'angle entre les deux vecteurs vaut π et le produit scalaire vaut a. b = a. b. cos π a. b = 0

126 8.4. PRODUIT SCALAIRE DANS UN REPÈRE ORTHONORMÉ 117 Dénition: ˆ Le produit scalaire de deux vecteurs perpendiculaires est nul. ˆ Si le produit scalaire de deux vecteurs est nul, alors : les deux vecteurs sont perpendiculaires un des { deux vecteurs est le vecteur nul. a b a. b = 0 a. b = 0 a b ou a = 0 ou b = Produit scalaire dans un repère orthonormé Soient deux vecteurs a et b placés dans un repère orthonormé. Ces deux vecteurs peuvent être décomposés en fonction des vecteurs de base 3. On a respectivement : { a = x a. i + y a. j b = x b. i + y b. j Si l'on eectue le produit scalaire des deux vecteurs, on a respectivement : a. b = (x a. i + y a. j ).(x b. i + y b. j ) = x a. i.x b. i + x a. i.y b. j + y a. j.x b. i + y a. j.y b. j Par dénition d'un repère orthonormé, on a i. j = 0 et { i. i = i = 1 j. j = j = 1 Dès lors : a. b = x a.x b + y a.y b (8.4.1) Dénition: Le produit scalaire de deux vecteurs en repère orthonormé est donc égal à la somme du produit des composantes de ces vecteurs a. b = x a.x b + y a.y b 8.5 Applications Norme d'un vecteur D'après les relations (8.3.1) et (8.4.1), il vient successivement : 3. voir le chapitre 7 a. a = a = x a.x a + y a.y a = x a + y a

127 118 CHAPITRE 8. LE PRODUIT SCALAIRE Dénition: La norme d'un vecteur a est donnée par : a = x a + y a (8.5.1) 8.5. Angle entre deux vecteurs D'après les relations (8.1.1) et (8.4.1), il vient successivement, en tenant compte de la relation développée au paragraphe : a. b = a. b. cos α cos α = a. b a. b cos α = x a.x b + y a.y b a. b En tenant compte de la relation (8.5.1), on obtient : cos α = x a.x b + y a.y b x + a y a. x + y b b

128 8.6. EXERCICES Exercices 1. On donne le triangle ABC et H le pied de la hauteur issue de A. On donne BH = 3, CH = 5, AH = 4. Calculer les produits scalaires suivants : (a) BA BC (b) HA CA (c) AB AC (d) BC AH. On donne A(1, 4), B( 1, 0), C(3, ) et D(5, 6). Démontrer que le quadrilatère ABCD est un losange. 3. On donne les points P (, 1), Q(1, 4), R(, ) et S( 1, 1). Calculer les angles entre les vecteurs suivants : (a) OP et OQ (b) P R et P Q (c) SQ et QR Calculer ensuite les angles RQP ˆ et P SR ˆ 4. On considère un carré ABCD. On appelle : ˆ I le milieu de [AB] ; ˆ J le milieu de [BC]. Démontrer que les droites DI et AJ sont perpendiculaires. 5. OABC est un carre de coté 1 tel que ( OA, OC) = π. OAE est le triangle equilateral tel que E soit à l'intérieur de OABC. (a) Calculer les coordonnees coordonnées de B et E. (b) Calculer une mesure de l'angle entre OB et OE sans utiliser le produit scalaire. (c) Calculer le produit scalaire OB OE de deux facons. En deduire la valeur exacte de cos π 1 6. ABCD est un carre de coté a. I et J sont dénis par BI = 1 BC et DJ = 1 DC. Déterminer la mesure de l'angle IAJ. ˆ 7. Soit A(,3), B(1,1), C(4,) dans un repère orthonormé. Le triangle ABC est-il rectangle? Si oui, quel est l'angle droit?

129 10 CHAPITRE 8. LE PRODUIT SCALAIRE

130 Chapitre 9 Les droites 9.1 Lieux géométriques Un lieu géométrique est un ensemble de points répondant à une (ou plusieurs) propriété(s) géométrique(s) donnée(s). La traduction de cette (ces) propriété(s) doit toujours se faire dans un repère cartésien 1. Dans le cadre du cours de 4 ème, nous travaillerons dans le plan et le repère choisi sera systématiquement orthonormé. La traduction de la propriété aboutit à une relation entre x et y, les coordonnées des points du lieu. Dénition: L'équation d'un lieu géométrique est une relation mathématique liant les coordonnées x et y de tous les points appartenant à ce lieu. Si un point appartient au lieu, ses points ont des coordonnées vériant l'équation du lieu. 1. pas nécessairement orthonormé. Puisque l'on travaillera ici avec des angles 11

131 1 CHAPITRE 9. LES DROITES 9. Equations de droite Parmi les lieux étudiés en 3 ème gurent les droites. Dénition: Une droite est le lieu géométrique des points alignés du plan. La droite a été vue en 3 ème comme le graphe de la fonction du premier degré. Nous allons redécouvrir la droite mais, cette fois-ci, comme lieu géométrique Equation vectorielle de droite Nous avons déni une droite comme un ensemble de points alignés du plan. On exprimera qu'un point quelconque P de la droite AB appartient à celle-ci si et seulement si il est aligné avec les points A et B. Géométriquement, l'alignement de A, B et P se traduit vectoriellement 3 par : k R 0 : AP = k. AB L'équation Figure 9.1 Equation vectorielle de droite est appelée équation vectorielle de la droite AB. Le vecteur AB est le vecteur directeur de la droite AB. AP = k. AB (9..1) 9.. Equations paramétriques de droite Il est possible d'exprimer les vecteurs dans un repère orthonormé en terme de composantes. Dans un repère Oxy, les points A, B et P ont respectivement pour coordonnées A(x A, y A ), B(x B, y B ) et P (x, y) (puisque le point P représente un point quelconque de la droite dont les coordonnées sont inconnues). Les composantes des vecteurs AB et AP sont respectivement AB : (x B x A, y B y A ) AP : (x x A, y y A ) 3. Voir chapitre 6

132 9.. EQUATIONS DE DROITE 13 En substituant ces deux relations dans la relation (9..1), on obtient : (x x A, y y A ) = k.(x B x A, y B y A ) ou (x x A, y y A ) = (k(x B x A ), k(y B y A )) En égalant les composantes des deux vecteurs, on obtient ou encore { x = xa + k(x B x A ) y = y A + k(y B y A ) (9..) Les équations (9..) sont les équations paramétriques de la droite AB. Elles permettent de déterminer les coordonnées de n'importe quel point de la droite en xant une valeur au paramètre k Equation cartésienne de droite L'équation cartésienne d'une droite représente ce que l'on appelle depuis la 3 ème l'équation de la droite AB. Elle s'obtient en éliminant le paramètre k entre les deux équations (9..). On obtient : k = x x A x B x A k = y y A y B y A ou, en égalant les deux valeurs de k : ou encore y y A y B y A = x x A x B x A y y A = y B y A x B x A (x x A ) (9..3) Cette dernière relation est l'équation cartésienne de la droite AB 9..4 Signication graphique des paramètres d'une droite Posons m = y B y A x B x A (9..4) La relation (9..3) devient y y A = m (x x A ) (9..5) Nous verrons à la n de ce chapitre que c'est la forme la plus utilisée des équations de droites. En réorganisant les termes de cette équation, on obtient successivement : y = m (x x A ) + y A 4. Un paramètre est un nombre déterminé mais dont on ne connait pas la valeur à priori.

133 14 CHAPITRE 9. LES DROITES En posant y = mx + y A mx A p = y A mx A on retrouve la forme de l'équation cartésienne d'une droite vue en 3 ème : Dénition: Dans la relation : y = mx + p m est la pente de la droite a y = mx + p et p est l'ordonnée à l'origine. a. appelée parfois coecient angulaire ou coecient de direction L'ordonnée à l'origine représente l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe Oy (le point correspondant à x = 0). La signication de la pente est plus complexe à cerner. La relation (9..4) montre que la pente représente le quotient d'un accroissement 5 d'ordonnées par un accroissement d'abscisses. Si ce dernier accroissement vaut 1 (x B x A = 1), la pente représente l'accroissement d'ordonnées correspondant (m = y B y A ). La pente représente donc l'accroissement d'ordonnées correspondant à un accroissement d'abscisses unitaire. La gure suivante représente la signication géométrique des diérents paramètres de la droite. Figure 9. Signication géométrique de la pente et de l'ordonnée à l'origine 5. On entend par accroissement une diérence entre deux valeurs. Cette diérence peut être positive ou négative.

134 9.. EQUATIONS DE DROITE Equations implicites de droites L'équation d y = mx + p est appelée explicite 6. Dans certains cas, l'équation de la droite est présentée sous la forme ax + by + c = 0 qui est la forme implicite. Il est aisé de passer de la forme implicite à la forme explicite et de montrer que : m = a b p = c b 9..6 Droites particulières Droite parallèle à l'axe Ox Si la droite est parallèle à l'axe Ox, les points A et B ont la même ordonnée (y A = y B ). Figure 9.3 Droite parallèle à l'axe Ox Comme spécié au pararaphe 9.1, tous les points de la droite auront comme caractéristique que leur ordonnée vaudra toujours y A ou y B. L'équation d'une droite parallèle à l'axe Ox est donc : y = y A Remarque : La pente d'une droite parallèle à l'axe Ox vaut m = y A y A x B x A = 0 En substituant cette valeur dans la relation (9..5), on obtient immédiatement la même équation. 6. car elle permet d'expliciter (ou de déterminer) directement y dès que l'on connait x

135 16 CHAPITRE 9. LES DROITES Droite parallèle à l'axe Oy De même, si la droite est parallèle à l'axe Oy, les points A et B ont la même abscisse (x A = x B ). Figure 9.4 Droite parallèle à l'axe Oy Tous les points de la droite auront comme caractéristique que leur abscisse vaudra toujours x A ou x B. L'équation d'une droite parallèle à l'axe Oy est donc : x = x A Remarque : La pente d'une droite parallèle à l'axe Oy vaut m = y B y A x A x A ce qui est impossible à calculer. L'équation d'une droite parallèle à l'axe Oy est donc impossible à obtenir à l'aide de la forme (9..5). Droite passant par l'origine des axes Si la droite passe par l'origine, l'ordonnée à l'origine sera nulle et l'équation de la droite sera y = mx 9..7 Condition d'appartenance d'un point à une droite Comme nous l'avons vu au paragraphe 9.1, l'équation d'un lieu géométrique est une relation mathématique liant les coordonnées x et y de tous les points appartenant à ce lieu. Dès lors, si un point Q(x Q, y Q ) appartient à la droite d y = mx + p, ses coordonnées vérient l'équation de la droite et dès lors : y Q = mx Q + p

136 9.. EQUATIONS DE DROITE Angles entre une droite et l'axe Ox Reprenons la dénition de la pente de la droite donnée au paragraphe Si l'on appelle respectivement y et x les accroissements d'ordonnées et d'abscisses, on a : m = y x Figure 9.5 Angle d'une droite par rapport à l'axe Ox Dans le triangle rectangle ABC, on a tan α = y x. Dénition: La pente d'une droite est la tangente de l'angle que fait cette droite avec l'axe Ox. Remarque: Cette dénition permet d'expliquer le nom de coecient angulaire d'une droite 9..9 Intersection de droites Considérons deux droites d et d d'équations respectives d y = mx+p et d y = m x+p 7. Le point d'intersection I(x I, y I ) de ces deux droites est, par dénition, le point appartenant simultanément à la droite d et à la droite d. On a donc simultanément : { yi = mx I + p y I = m x I + p Pour trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites, il sut de résoudre 8 système d'équations 9 : { y = mx + p y = m x + p le 7. La diérenciation des droites se fait uniquement via leur pente et leur ordonnée à l'origine. 8. Les diérentes méthode de résolution de systèmes d'équations ont été vues en 3 ème et seront rappelées au cours oral. 9. Ensemble d'équations devant être vériées simultanément.

137 18 CHAPITRE 9. LES DROITES 9.3 Parallélisme de droites Si deux droites sont parallèles, l'angle qu'elles font avec l'axe Ox est identique. Elles auront donc le même coecient angulaire. Dénition: Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont la même pente. d y = mx + p // d y = m x + p m = m 9.4 Perpendicularité de droites Si deux droites sont perpendiculaires, l'angle entre leur vecteur directeur vaut π. Considérons la droite d, passant par A(x A, y A ) et B(x B, y B ) et de vecteur directeur AB et la droite d, passant par A (x A, y A ) et B (x B, y B ) et de vecteur directeur A B. Comme d et d sont perpendiculaires, on a : Figure 9.6 Droites perpendiculaires AB. A B = 0 En explicitant le produit scalaire en terme de composantes de vecteurs : ou, en réorganisant les facteurs : (x B x A )(x B x A) + (y B y A )(y B y A) = 0 y B y A x B x A = x B x A y B y A Le premier terme n'est rien d'autre que le coecient angulaire de la droite d (voir relation (9..4)) et le second, l'inverse de celui de d.

138 9.5. DISTANCES 19 Dénition: Deux droites sont perpendiculaires si et seulement si leurs pentes sont inverses et opposées. d y = mx + p d y = m x + p m = 1 m 9.5 Distances Distance entre deux points Dans le chapitre 8, on a vu que la norme d'un vecteur était donnée par : où (x a, y a ) sont les composantes du vecteur a. a = x a + y a Si l'on considère un vecteur dont l'origine est A et l'extrémité est B, la norme du vecteur AB représentera la distance entre les points A et B. En fonction de ce qui a été vu aux chapitres 7 et 8, on aura : d(a, B) = (x B x A ) + (y B y A ) Remarque: Cette relation a déjà été vue en 3 ème dans le cadre du théorème de Pythagore 9.5. Distance entre un point et une droite La distance entre un point P et une droite d est la plus courte distance entre le point P et la droite d c'est-à-dire la distance entre le point P et le pied de la perpendiculaire abaissée de P sur d, comme le montre le graphe suivant. Figure 9.7 Distance entre un point et une droite

139 130 CHAPITRE 9. LES DROITES Pour trouver la distance entre un point P et une droite d : ˆ on écrit l'équation de la droite d, perpendiculaire à d et passant par P (cf paragraphe 9.4) ; ˆ on cherche les coordonnées du point d'intersection I entre d et d (cf paragraphe 9..9) ; ˆ on calcule la distance entre P et I à l'aide de la formule vue au paragraphe : d(p, d) = d(p, I) 9.6 En pratique... Pour écrire l'équation d'une droite, on utilise, en pratique, la relation : y y A = m (x x A ) Il faut donc, pour appliquer cette relation, connaitre : ˆ un point A(x A, y A ) ˆ la pente m de la droite Pour déterminer la pente de la droite, plusieurs moyens sont possibles : ˆ on connait un deuxième point B(x B, y B ) et on utilise la relation m = y B y A x B x A ˆ on connait l'équation d'une droite parallèle à la droite cherchée d y = m x + p et on utilise la relation m = m ˆ on connait l'équation d'une droite perpendiculaire à la droite cherchée d y = m x + p et on utilise la relation m = 1 m ˆ on connait l'angle que fait la droite avec un des deux axes et on utilise la relation m = tan α où α est l'angle que fait la droite avec l'axe Ox

140 9.7. EXERCICES Exercices 1. Etablir le graphe des droites suivantes sans construire de tableaux de valeurs. On précisera clairement l'ordonnée à l'origine et la pente sur chaque graphe. (a) d y = x + 1 (b) d y = 1 x 3 (c) d x y + 1 = 0 (d) d 3x + y = (e) d x 4 = 0 (f) d 3y = 0. Pour chacune des droites suivantes, écrire son équation implicite et explicite en se basant uniquement sur la mesure de la pente et de l'ordonnée à l'origine.

141 13 CHAPITRE 9. LES DROITES 3. Vérier si les points suivants appartiennent aux droites (a) A(, 1) (b) B(0, 3) d y = x 3 d x + y = d x = 3y + 5 (c) C ( 7, ) 1 (d) D ( 8, ) Ecrire l'équation des droites suivantes. Dans chaque cas représenter la droite et préciser clairement l'ordonnée à l'origine et la pente sur chaque graphe. (a) a passant par A(1, ) et B(, 5) ; (b) b passant par A(1, ) et B(, 3) ; (c) c passant par A(1, ) et B( 3, ) ; (d) d passant par A(1, ) et B(1, 3) ; (e) e passant par A(1, ) et de pente - ; (f) f passant par A(, 5) et parallèle à la droite d y = x + 3 (g) g passant par A(, 1) et parallèle à la droite d x y + 1 = 0 (h) h passant par A(1, 3) et perpendiculaire à la droite d y = x + 3 (i) i passant par A(, 4) et perpendiculaire à la droite d x y + 1 = 0 (j) j passant par A(3, 3) et faisant un angle de 30 avec l'axe Ox (k) k passant par A(, 6) et faisant un angle de 30 avec l'axe Oy (l) l passant par A(4, 5) et parallèle à la droite passant par B( 1, 1) et C(3, ) 5. Trouver les coordonnées des points d'intersection des droites suivantes (varier les techniques de résolution des systèmes). Vérier graphiquement les résultats obtenus. { x + 3y = 10 (a) 1 3x 4y + = 0 (c) 5 x 1 4 y = (b) x + y 5 = 1 x + 5y = 0 4x 3 y = 7 6. Trouver la valeur de k tel que la droite d x ky + 6 = 0 soit perpendiculaire à la droite passant par les points A(, 3) et B(, 1). 7. Ecrire l'équation de la médiatrice du segment déni par A(7, 4) et B( 1, ) 8. Soient les trois sommets d'un triangle ABC : A( 5, 6), B( 1, 4) et C(3, ) (a) Ecrire les équations des médianes (b) Ecrire les coordonnées du centre de gravité du triangle (c) Ecrire l'équation des hauteurs (d) Déterminer les coordonnées de l'orthocentre (e) Ecrire l'équation des médiatrices du triangle (f) Déterminer les coordonnées du cercle circonscrit au triangle

142 9.7. EXERCICES Dans un triangle, on appelle droite d'euler la droite passant par le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle. (a) Déterminer le centre de gravité, l'orthocentre et le centre du cercle circonscrit au triangle déni par les sommets A(1, 1), B(, 3) et C(1, ) (b) Vérier que ces trois points sont alignés et écrire l'équation de la droite d'euler correspondante. 10. Soit l'équation (k + 1)x + ky = k 1. Cette équation est celle d'un faisceau de droite 10. (a) Déterminer k pour que cette droite soit parallèle à Ox. (b) Déterminer k pour que cette droite passe par 0. (c) Déterminer k pour que cette droite passe par (1,). (d) Montrer que cette droite passe par un point xe (indépendant de k). 11. On considère un point P (, 1) et une droite d 4x y+1 = 0. On mène par P la parallèle d 1 et la perpendiculaire d à d. Déterminer la longueur des côtés du triangle délimité par les droites d 1, d et l'axe Ox. 1. On donne les points A(, 3), B( 3, 1) et C(0, ) (a) Démontrer que le triangle ABC est isocèle. (b) Démontrer que les médianes issues de B et de C ont même longueur. 13. On donne les points A(1, ) et B(, 4) (a) Ecrire l'équation de la droite AB (b) Trouver les coordonnées du point C, intersection de AB et de l'axe des ordonnées. (c) Ecrire l'équation de la parallèle à Ox passant par C. Soit d cette droite. (d) Ecrire l'équation de la perpendiculaire à d passant par B. Soit d cette droite. (e) Trouver les coordonnées de D, intersection de d et d. (f) Ecrire l'équation de la droite d, perpendiculaire à AB et passant par D (g) Calculer les coordonnées du point E, intersection de d et de Ox. (h) Ecrire l'équation de la parallèle à AB passant par E. (i) Calculer la distance de E à B. 14. Calculer la distance de (a) A(1, 1) à B(5, 3) (b) A( 1, 5) à B(, 3) 15. Calculer la distance du point A(, 3) à la droite d 8x + 15y 4 = On donne les équations d 1 3x y 5 = 0 et d x + 3y + 7 = 0 de deux des côtés d'un rectangle dont un des sommets est A(, 1). Déterminer l'aire de ce rectangle. 17. On fait passer par le point M(4, 3) une droite qui forme avec les axes de coordonnées un triangle d'aire 4 (u.a.). Déterminer les coordonnées des points d'intersectrion de cette droite avec les axes. 10. Ce faisceau sera illustré graphiquement en classe

143 134 CHAPITRE 9. LES DROITES

144 Troisième partie Trigonométrie 135

145

146 Chapitre 10 Trigonométrie dans le triangle rectangle Remarque préliminaire : lorsque les angles sont clairement indiqués, on ne placera pas le symboleˆau dessus de leur notation. Ils seront simplement désignés par une lettre majuscule, les minuscules étant réservées aux côtés Dénitions et rappels Considérons le triangle rectangle ABC ci-dessous. Dans un triangle rectangle, on appelle : ˆ hypoténuse dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit (le côté a est opposé à l'angle A) ; ˆ côté adjacent à un angle, le côté qui avec l'hypoténuse forme l'angle géométrique considéré (le côté c pour l'angle B et le côté b pour l'angle C) ; ˆ côté opposé à un angle, le côté qui se trouve en face de l'angle considéré (le côté b pour l'angle B et le côté c pour l'angle C). De plus, en 3 ème, on a démontré le théorème de Pythagore : "Le carré de la longueur de l'hypoténuse est égale à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés " ou a = b + c Dans tout triangle rectangle, on a nécessairement a > b et a > c. 137

147 138 CHAPITRE 10. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 10. Nombres trigonométriques dans un triangle rectangle Considérons les deux triangles rectangles ABC et A B C. Les triangles ABC et A B C sont semblables (deux angles homologues identiques). On a donc : AB A B = BC B C = AC A C Dans un triangle rectangle, cette constance de rapport de longueur permet de dénir le nombre trigonométrique d'un angle. Dénition: On dénit : ˆ le sinus d'un angle comme le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle à la longueur de l'hypoténuse : sin C = AB BC = c a ˆ le cosinus d'un angle comme le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle à la longueur de l'hypoténuse : cos C = AC BC = b a ˆ la tangente d'un angle comme le rapport de la longueur du côté opposé à l'angle à la longueur du côté adjacent à l'angle : tan C = AB AC = c b Remarquons que, comme l'hypoténuse est le côte le plus long dans un triangle rectangle, le sinus et le cosinus d'un angle sont toujours des nombres inférieurs à 1. On a donc : 1 cos α 1 et 1 sin α 1

148 10.3. PROPRIÉTÉS DES NOMBRES TRIGONOMÉTRIQUES 139 Les dénitions de ces nombres peuvent être retenue à l'aide du moyen mnémotechnique suivant : 10.3 Propriétés des nombres trigonométriques Liens entre le sinus, le cosinus et la tangente D'après la dénition des nombres trigonométriques, on a et sin C = c a cos C = b a En eectuant le rapport de ces deux nombres, on a : qui correspond à la dénition de tan C. sin C cos C = c a b a = c a.a b = c b Dénition: La tangente d'un angle est égale au rapport entre le sinus et le cosinus de cet angle. tan α = sin α cos α Parallèlement à la tangente, on dénit également la cotangente d'un angle comme l'inverse de la tangente. On a donc : cot α = 1 tan α = cos α sin α

149 140 CHAPITRE 10. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE Nombres trigonométriques d'angles complémentaires Dans tout triangle rectangle, on a ˆB + Ĉ = 90 De plus, d'après les dénitions des nombres trigonométriques, on a : et sin B = b a cos C = b a Dénition: Le sinus d'un angle est égale au cosinus de son complémentaire et inversement Relation fondamentale de la trigonométrie Dans un triangle rectangle le théorème de Pythagore permet d'armer a = b + c En divisant les deux membres de cette relation par a, on obtient : ou encore : 1 = b a + c a sin B + cos B = 1 Dénition: L'identité fondamentale de la trigonométrie arme que : sin α + cos α = 1 En outre, si la somme de deux nombres positifs est égale à 1, il en résulte que ces deux nombres sont toujours inférieurs à 1. On retrouve donc : 1 cos α 1 et 1 sin α 1

150 10.4. EXERCICES Exercices 1. Soit un triangle ABC rectangle en A. Calculer les nombres trigonométriques de ˆB et Ĉ si : (a) AB = 3 et AC = 4 (b) AB = et BC = 6. A l'aide d'une latte et d'un compas, tracer trois angles : (a) dont le sinus vaut 5 (b) dont le cosinus vaut 3 4 (c) dont la tangente vaut 3. A l'aide de la calculatrice, calculer (a) cos 38 (b) sin( 143 ) (c) tan Trouver x si : (a) sin x = 0.35 (b) cos x = 0.65 (c) tan x =.687 (d) cot x = 0.58 (e) cos x = Soit un triangle ABC rectangle en A. Compléter le tableau suivant : cas 1 cas cas3 cas4 a 10 b 3 5 c 4 8 sin B 0.5 cos B 0.3 tan B sin C cos C tan C 6. La base d'un triangle isocèle ABC mesure 4 cm, les côtés égaux mesurent 64cm. Calculer les angles de ce triangle ainsi que la longueur de la hauteur relative à la base. 7. Une personne manoeuvrant un cerf-volant tient le l à 1 mètre au dessus du niveau du sol. Le l est tendu et forme en angle de 60 avec l'horizontale. Calculer l'altitude du cerf volant si on laisse dérouler 150 mètres de l. 8. Un avion volant à 1500m. d'altitude désire aborder une piste d'atterrissage sous un angle de 10. Calculer la distance horizontale entre l'avion et la piste au moment où il amorce la descente. 9. La gure ci-dessous représente une partie de toboggan d'une piscine. Trouver la longueur totale du toboggan. 10. Une antenne est située sur le toit d'un garage haut de 5m.A partir d'un point au sol distant de 30m d'un point situé à la verticale de l'antenne, on voit l'antenne sous un angle de 1. Trouver la hauteur de l'antenne. 11. Trouver la hauteur d'une tour sachant que son ombre s'allonge de 6m lorsque l'élévation du soleil au dessus de l'horizon passse de 50 à 3.5

151 14 CHAPITRE 10. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 1. D'un ballon dirigeable, on observe deux maisons placées dans la même direction mais dont l'une est éloignée de l'autre de 1km. Les deux rayons visuels forment avec l'horizon des angles de 0 et 35. Trouver la distance de la verticale du ballon à la maison la plus proche. 13. Une personne placée au bord d'une rivière voit sous un angle de 60 un arbre planté sur la rive opposée. Lorsqu'elle s'éloigne de 40m, l'angle n'est plus que de 0. Calculer la hauteur de l'arbre et la largeur de la rivière. 14. D'une hauteur de 18 mètres, un marin peut voir le bas d'un mât selon un angle de 4 et son sommet selon un angle de 8. Quelle est la hauteur du mât au mètre près?

152 10.5. SOLUTIONS Sur la gure suivante la personne, dont les yeux se trouvent en A à 160 cm du sol et qui se tient à 0 m de l'immeuble, voit celui-ci sous un angle ĈAD = 37. Quelle est la hauteur de l'immeuble Solutions 1. (a) BC = 5, cos ˆB = sin Ĉ = 3 5, cos Ĉ = sin ˆB = 4 5 et tan ˆB = 1 tan Ĉ = 4 3 ; (b) AC = 4, cos ˆB = sin Ĉ = 1 3, cos Ĉ = sin ˆB = 3. Cet exercice sera développé au cours oral et tan ˆB = 1 tan Ĉ = ; (a) (c) (b) 3. (a) cos(38 ) (b) sin( 143 ) 0.6 (c) tan(19 ) 0.81

153 144 CHAPITRE 10. TRIGONOMÉTRIE DANS LE TRIANGLE RECTANGLE 4. (a) x (b) x (c) x 69.6 (d) x (e) x 5. Brol laid AH = 60.46cm et  = h = 19.9m 8. d = 8507m 9. L = 3.685m 10. x = 6.79m 11. h = 4.44m 1. d = 108.5m 13. h = 18, 43m et d = 10.64m 14. h = 8.63m 15. h = 14.31m cas 1 cas cas3 cas4 a b c sin B cos B tan B sin C cos C 0.5 tan C

154 Chapitre 11 Le cercle trigonométrique 11.1 Dénition Jusqu'à présent, l'étude de la trigonométrie s'est limitée au triangle rectangle dans lequel les angles sont toujours aigus. Le cercle trigonométrique est un outil très pratique pour étudier la trigonométrie d'angles quelconques. Considérons un repère orthonormé(o, x, y). Dénition: Le cercle trigonométrique est un cercle : ˆ de centre O (l'origine du repère) ; ˆ de rayon 1 ˆ orienté positivement dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. Figure 11.1 Le cercle trigonométrique Dans le cercle trigonométrique, des angles orientés seront représentés. Pour rappel 1, pour dénir un angle orienté, il faut : 1. voir chapitre?? 145

155 146 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE ˆ un sommet ; ˆ une demi-droite origine ; ˆ une demi-droite extrémité. Dénition: Chaque angle orienté sera placé sur le cercle de la manière suivante : ˆ son sommet en O ; ˆ la demi-droite origine confondue avec la partie positive de l'axe Ox ; ˆ orienté dans le sens positif s'il est positif et dans l'autre sens s'il est négatif. Dès lors, à chaque angle correspond un et un seul point A du cercle trigonométrique (l'intersection de la demi-droite extrémité avec le cercle). 11. Valeurs particulières des angles et quadrants Le cercle trigonométrique est divisé en quatre quadrants correspondants à des angles multiples de π Figure 11. Quadrants et valeurs particulières La correspondance entre les angles et les quadrants est donnée au tableau suivant

156 11.3. NOMBRES TRIGONOMÉTRIQUES D'UN ANGLE ORIENTÉ 147 Quadrant I II III IV Angles [ 0, π [ [ π [, π [ π, 3π [ [ [ 3π, π Table 11.1 Correspondance entre les quadrants et les angles 11.3 Nombres trigonométriques d'un angle orienté Cosinus et sinus Considérons le cercle trigonométrique suivant. Figure 11.3 Cosinus et sinus d'un angle dans le cercle trigonométrique Dans le triangle rectangle OAB, on a successivement : cos α = OB OA = OB sin α = AB OA = OC OA = OC

157 148 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE puisque OA = R = 1 Dénition: Le cosinus de l'angle α est l'abscisse du point image A de l'angle α sur le cercle trigonométrique. Le sinus de l'angle α est l'ordonnée du point image A de l'angle α sur le cercle trigonométrique. Propriété: Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, tout point de ce cercle aura des coordonnées comprises entre -1 et +1. On a donc : 1 sin α 1 et 1 cos α Comme déjà spécié dans le chapitre 10. Cette relation est désormais valable pour n'importe quel angle (même obtus)

158 11.3. NOMBRES TRIGONOMÉTRIQUES D'UN ANGLE ORIENTÉ Tangente et cotangente Considérons le cercle trigonométrique suivant. Figure 11.4 Tangente et cotangente d'un angle dans le cercle trigonométrique Traçons la droite d, tangente au cercle en I. Soit P, le point d'intersection de [OA et de d. La tangente de l'angle α est le quotient de son sinus par son cosinus. On a, en eet : tan α = sin α cos α tan α = OC OB tan α = BA OB Or, les triangles OAB et OP I sont semblables. On a donc : OB OI = BA IP ou On en déduit que cos α 1 = sin α IP sin α cos α = IP Dénition: IP est donc une mesure de la tangente d'un angle 4.. Ils ont chacun trois angles égaux deux à deux. 4. Cette démonstration se généralise aisément si l'angle n'est pas dans le premier quadrant

159 150 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Traçons maintenant la droite d, tangente au cercle en J. Soit Q, le point d'intersection de [OA et de d. On démontre de la même manière que précédemment que : Dénition: JQ est une mesure de la cotangente de l'angle α 5. Le cercle suivant résume les lectures des diérents nombres trigonométriques sur le cercle. 5. Cette démonstration est laissée au soin du lecteur

160 11.3. NOMBRES TRIGONOMÉTRIQUES D'UN ANGLE ORIENTÉ Signe des nombres trigonométriques Puisque le cercle trigonométrique est placé dans un repère orthonormé, les coordonnées des points de ce cercle ont un signe. Il en est donc de même pour les nombres trigonométriques des angles (dont ces points sont les images). La gure suivante résume les signes des nombres trigonométriques en fonction du quadrant. Figure 11.5 Signes des nombres trigonométriques en fonction du quadrant Valeurs particulières de nombres trigonométriques Le tableau suivant donne les valeurs des nombres trigonométriques d'angles particuliers du cercle trigonométrique. Ces valeurs sont obtenues par simple lecture sur le cercle. α 0 π π 3π sin α cos α tan α 0 0 cot α 0 0 Table 11. Valeurs des nombres trigonométriques d'angles particuliers

161 15 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE 11.4 Identités trigonométriques Relations fondamentales Considérons le cercle trigonométrique suivant. Figure 11.6 Cosinus et sinus d'un angle dans le cercle trigonométrique Le triangle ABO est rectangle en B. On a donc, par le théorème de Pythagore : OB + AB = OA En divisant les deux membres de la relation ci-dessus par OA, on obtient : cos α + sin α = 1 (11.4.1) On retrouve la formule fondamentale de la trigonométrie déjà démontrée au chapitre 10. Cette relation est désormais valable pour n'importe quel angle (même les obtus). Deux autres formes de la relation fondamentale (11.4.1) sont fortement utilisées en trigonométrie. Divisons les deux membres de la relation cos α + sin α = 1 par cos α. On a : cos α + sin α cos α = 1 cos α ou cos α cos α + sin α cos α = 1 cos α ou encore 1 + tan α = 1 cos α On démontre de manière analogue que : 1 + cot α = 1 sin α Les relations fondamentales de la trigonométrie sont : sin α + cos α = tan α = 1 cos α 1 + cot α = 1 sin α

162 11.4. IDENTITÉS TRIGONOMÉTRIQUES Identité trigonométrique Dénition: Une identité trigonométrique est une égalité qu'il faut vérier. Vérier une identité consiste à transformer un des membres de celle-ci (en général le plus complexe) pour aboutir à l'autre. Les moyens utilisés pour transformer une expression trigonométrique sont : ˆ les dénitions de tan α et cot α ; ˆ la relation fondamentale sin α + cos α = 1 ; ˆ les techniques de factorisation traditionnelles (la mise en évidence, le groupement suivi de la mise en évidence,produits remarquables du deuxième et troisième degré,...) ˆ les techniques traditionnelles de simplication de fractions rationnelles (réduction au même dénominateur, multiplication ou division de fractions) ˆ... Remarque: Il n'est pas toujours possible de transformer simplement un membre pour aboutir à l'autre. Dans certains cas, on peut alors développer les deux membres et montrer qu'ils sont égaux. Exemple: Vérier l'identité trigonométrique suivante sin a cos a sin a + cos a + sin a + cos a sin a cos a = 1 cos a Le membre 6 le plus complexe est le premier, on le tansformera donc. ˆ I = sin a cos a sin a + cos a + sin a + cos a sin a cos a ˆ On réduit les deux fractions au même dénominateur : I = (sin a cos a) + (sin a + cos a) (sin a + cos a)(sin a cos a) ˆ On développe les produits remarquables : I = sin a sin a cos a + cos a + sin a + sin a cos a + cos a sin a cos a ˆ On simplie le numérateur I = sin a + cos a sin a cos a ˆ On met "" en évidence et on utilise la relation fondamentale de la trigonométrie (sin a + cos a = 1) I = sin a cos a 6. Pour rappel : ˆ un membre est la partie d'une relation se trouvant de part et d'autre d'un symbole d'égalité (=) ou de comparaison (<,>,...) ; ˆ un terme est un élément d'une opération d'addition (+, -) ; ˆ un facteur est un élément d'une multiplication (.).

163 154 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE Exemple: ˆ Si l'on est bloqué à cette étape, on peut développer le second membre. Cependant, l'identité remarquable de la trigonométrie peut être utilisée sous une autre forme. En eet, on a : sin a + cos a = 1 et donc sin a = 1 cos a. On a donc en substituant dans le premier membre sin a : ou et donc I = 1 cos a cos a I = 1 cos a I = II

164 11.5. EXERCICES Exercices 1. Dessiner un cercle trigonométrique de 5 cm de rayon. Dans ce cercle, placer les angles suivants et déterminer une valeurs approchées des nombres trigonométriques de ces angles 3. (a) 10 (b) -10 (c) 305 (d) 4π 3 (e) 3π 4 (f) π 5 Vérier à l'aide de la calculatrice les résultats.. Construire, dans un cercle trigonométrique de rayon 5 cm, les angles α tels que : (a) tan α = (b) cos α = 0.75 (c) cot α = 6 5 (d) sin α = 3 3. Déterminer les nombres trigonométriques de x sachant que : (a) cos x = 1 ] et x 0, π [ ; (b) sin x = 4 ] π [ 13 et x, π ; (c) tan x = et x est dans le 3 ème quadrant ; 3 (d) cot x = 3 et x est dans le ème quadrant ; (e) cos x = 1 8 et x est dans le 4ème quadrant ; 4. Si 5 tan x = 4, calculer la valeur de E = 5. Simplier les relations suivantes : ( 1 (a) tan a + 1 ) sin a cos a cot a (b) (sin a + cos a) + (sin a cos a) (c) sin 6 a + 3 sin a cos a + cos 6 a (d) 3(sin 4 a + cos 4 a) (sin 6 a + cos 6 a) 5 sin x 3 cos x sin x + cos x 6. Si x = a cos u b sin u et y = a sin u + b cos u, calculer E = x + y 7. Si x = a cos u, y = a sin u cos v et z = a sin u sin v, montrer que E = x + y + z est indépendante de u et v 8. Etablir les identités trigonométriques suivantes (a) sin 4 a cos 4 a = sin a cos a (b) tan a tan b = 1 cos a 1 cos b cos a (c) 1 tan a + sin a 1 cot a (d) tan a tan b = tan a + cot b tan b + cot a = sin a + cos a 3. Il est conseillé de faire un cercle par angle

165 156 CHAPITRE 11. LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE (e) sin a + sin a cos a + cos a cos a (f) sin3 a + cos 3 a sin a + cos a + sin3 a cos 3 a sin a cos a = (g) sin a cos b sin a sin b = 1 cot a cot b = 1 + tan a + tan a

166 Chapitre 1 Angles remarquables et associés 1.1 Angles remarquables Valeurs particulières des nombres trigonométriques Dans le chapitre précédent (11), on a pu apprendre à lire sur le cercle trigonométrique les résultats suivants : α 0 π π 3π sin α cos α tan α 0 0 cot α 0 0 Table 1.1 Valeurs des nombres trigonométriques d'angles particuliers De même, il est aisé d'y lire le signe des nombres trigonométriques Figure 1.1 Signes des nombres trigonométriques en fonction du quadrant D'autres valeurs peuvent encore être lue, pour des angles diérents des multiples de π. 157

167 158 CHAPITRE 1. ANGLES REMARQUABLES ET ASSOCIÉS 1.1. Nombres trigonométriques de π 3 Figure 1. Nombres trigonométriques de π 3 D'après la gure 1., le triangle OAI est un triangle équilatéral. La droite AH est donc à la fois hauteur, médiane et bissectrice. Il est aisé de voir que OH = 1. Dès lors : cos π 3 = 1 Comme sin x + cos x = 1, on déduit que : sin π 3 = 3 De plus, on obtient et tan π 3 = tan x = sin x cos x 3 1 cot π 3 = 1 tan π 3 = 3 = 1 3 = 1 = 3 3 3

168 1.1. ANGLES REMARQUABLES Nombres trigonométriques de π 6 Sur base des résultats précédents et en tenant compte de la relation démontrée au chapitre 10 (voir paragraphe 10.3.), on a successivement : cos π 6 = sin π 3 = 3 sin π 6 = cos π 3 = 1 tan π 6 = cot π 3 = 3 3 cot π 6 = tan π 3 = Nombres trigonométriques de π 4 Figure 1.3 Nombres trigonométriques de π 4 D'après la gure précédente, la droite OA est bissectrice de l'angle ˆ IOJ. Dès lors on a : Comme cos x + sin x = 1, on en déduit que cos π 4 = sin π 4 cos π 4 = 1 ou cos π 4 =

169 160 CHAPITRE 1. ANGLES REMARQUABLES ET ASSOCIÉS On a en outre successivement sin π 4 = tan π 4 = 1 cot π 4 = En résumé On est maintenant en mesure de compléter le tableau du paragraphe : α 0 π 6 π 4 π 3 π π 3π sin α cos α tan α cot α Table 1. Valeurs des nombres trigonométriques d'angles remarquables

170 1.. ANGLES ASSOCIÉS Angles associés Dans le paragraphe précédent, on a établi des valeurs de nombres trigonométriques d'angles remarquables ( π 6, π 4, π ). Les angles associés vont permettre d'exprimer les nombres trigonométriques d'angles quelconques (n'appartenant pas nécessairement au premier quadrant) en fonction 3 d'angles se trouvant dans le premier quadrant Rappel : valeur principale A chaque point du cercle trigonométrique, correspondent plusieurs angles qui dièrent entre eux d'un multiple de 360 (ou π (rad)). Ainsi, à un point A du cercle correspondent les angles α + k.360 (ou α + k.π), k étant un nombre entier (k Z). Ces angles étant représentés par un même point sur le cercle trigonométrique, ils auront des nombres trigonométriques égaux. Si 0 α 360 (ou 0 α π), on dit que α est la mesure principale de tous les angles représentés par le même point sur le cercle trigonométrique. On a donc : sin(α + kπ) = sin α cos(α + kπ) = cos α tan(α + kπ) = tan α cot(α + kπ) = cot α k Z 1.. Angles supplémentaires Deux angles sont supplémentaires si leur somme vaut π. Leurs points images sont symétriques par rapport à l'axe Oy. Dans ce cas : α + β = π (ou β = π α) Le cercle trigonométrique permet de voir : Figure 1.4 Angles supplémentaires sin(π α) = sin α cos(π α) = cos α tan(π α) = tan α cot(π α) = cot α

171 16 CHAPITRE 1. ANGLES REMARQUABLES ET ASSOCIÉS 1..3 Angles antisupplémentaires Deux angles sont antisupplémentaires si leur diérence vaut π. Leurs points images sont symétriques par rapport au centre O. Dans ce cas :β α = π (ouβ = π + α) Le cercle trigonométrique permet de voir : Figure 1.5 Angles antisupplémentaires sin(π + α) = sin α cos(π + α) = cos α tan(π + α) = tan α cot(π + α) = cot α 1..4 Angles opposés Deux angles sont opposés si leur somme vaut 0. Leurs points images sont symétriques par rapport à l'axe Ox. Dans ce cas, on a :β + α = 0 (ouβ = α). Figure 1.6 Angles opposés