SUITES NUMÉRIQUES Table des matières I Définition et génération d une suite I1 Notion de suite numérique I Modes de génération d une suite II Suites arithmétiques 3 II1 Définition 3 II Calcul du terme de rangn 4 II3 Somme desnpremiers termes 4 III Suites géométriques 5 III1 Définition 5 III Calcul du terme de rangn 6 III3 Somme desnpremiers termes 6 La notion de suite est indissociable des procédures itératives utilisées dès l Antiquité pour trouver des approximations de nombres irrationnels ou de grandeurs à mesurer : surfaces, volumes Les suites furent assez tôt utilisées de façon théoriques pour élaborer des solutions à des problèmes divers Aujourd hui, la théorie des suites fournit un cadre de modélisation pour les autes sciences : économiques, biologie, écologie, physique -1-
I Définition et génération d une suite I1 Notion de suite numérique Il arrive que l on demande, lors de tests psychotechniques par exemple, de compléter "logiquement" une suite de nombres Exemple 1 1,, 4, 8, 16, 3, 64, 18, suite des puissances de ou suite géométrique de raison, 1, 4, 9, 16, 5, 36, 49, 64, suite des carrés, 3, 1, 5, 9, 13, 17, 1, 5, suite arithmétique de raison 4, 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, suite de Fibonacci En mathématiques, une suiteuest une liste ordonnée de nombres réels : les éléments de cette liste sont appelés termes de la suiteu, et sont tous repérés par leur rang dans la liste ; ainsi le premier terme est souvent notéu 0, le secondu 1 et ainsi de suite u = ( u 0 ; u 1 ; u ; ; u n 1 ; u n ; u n+1 ; ) Définition 1 Une suiteuest une fonction définie sur N A chaque entier naturelnon associe un nombre réelu n de la suiteu = (u n ) n N Exemple Soitu = (u n ) n N, la suite qui à chaque entier naturel non nul associe son inverse : u 1 = 1,u = 1,u 3 = 1 3,,u n = 1, (on remarque qu ici la suite commence à l indice 1) n I Modes de génération d une suite Une suite peut être engendrée de deux manières : Définition Une suite (u n ) n N est définie de manière explicite lorsque chaque termeu n est défini en fonction de son rang n, indépendamment des autres termes : u n =f(n) oùfdésigne une fonction Cette relation permet de calculer n importe quel terme de la suite Exemple 3 Soit (u n ) n N la suite définie paru n = 5 + 7n : u 0 = 5 + 7 0 = 5, u 1 = 5 + 7 1 =, u = 5 + 7 = 9, u 6 = 5 + 7 6 = 37 --
Définition 3 Une suite (u n ) n N est définie par récurrence lorsque l on connait son premier terme et une relation de la forme : u n+1 =f(u n ) oùfdésigne une fonction Cette relation de récurrence permet de calculer un terme de la suite à partir du terme précédent Exemple 4 { u0 = 3 Soit (u n ) n N la suite définie par : u n+1 = u n + 1 : u 1 = u 0 + 1 = 3+1 = 5, u = u 1 + 1 = ( 5) + 1 = 11, u 3 = u + 1 = 11 + 1 = 1 L inconvénient dans cet exemple est que des termes "éloignés" du début de la suite sont difficiles d accès : pour calculeru 100 il faut, a priori, calculer tous les termes précédents, jusqu àu 99!! II Suites arithmétiques II1 Définition Définition 4 Une suite (u n ) n N est arithmétique s il existe un réelrappelé raison de la suite tel que pour tout entier natureln: u n+1 =u n +r Autrement dit, on passe d un terme de la suite au suivant en ajoutant toujours le même nombrer Exemple 5 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier termeu { 0 = 5 et de raisonr= u0 = 5 La définition de la suite (u n ) n N par récurrence est u n+1 = u n : u 1 =u 0 = 5 = 3, u =u 1 = 3 = 1, u 3 =u = 1 = 1 Exemple 6 5 ; 8 ; 11 ; 14 est une suite arithmétique de premier terme 5 de raison 3, 9 ; 7 ; 5 ; 3 ; 1 ; 1 est une suite arithmétique de premier terme 1 de raison -3-
Méthode : Pour démontrer qu une suite est arithmétique, il faut montrer que pour tout entier naturel n, la différenceu n+1 u n est un réelrconstant Exemple 7 La suite (u n ) n N définie paru n = 3n + 1 est une suite arithmétique de premier termeu 0 = 1 de raison 3 : Les trois premiers termes de la suite (u n ) sontu 0 = 1 ;u 1 = 4 etu = 7 La différenceu n+1 u n semble constante, prouvons le : u n+1 = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4, u n+1 u n = (3n + 4) (3n + 1) = 3 qui est la raison de la suite La suite (v n ) n N définie parv n =n + 1 n est pas une suite arithmétique : Les trois premiers termes de la suite (v n ) sontv 0 = 1 ;v 1 = etv = 5 La différencev n+1 v n n est donc pas constante En effet :v 1 v 0 = 1 etv v 1 = 3 II Calcul du terme de rangn Propriété 1 Soit (u n ) n N une suite arithmétique de premier termeu 0 et de raisonr Pour toutn N, on au n =u 0 +nr, Pour tousn,p N, on au n =u p + (n p)r Exemple 8 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier termeu 0 = 1 de raison 3 : Le terme de rang 50 est :u 50 =u 0 + 50 r = 1 + 50 3 = 16 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de termeu 10 = de raison 4 : Le terme de rang 50 est :u 50 =u 10 + (50 10) r = + 40 ( 4) = 158 II3 Somme des n premiers termes Propriété Somme des n premiers entiers naturels : S n = 1 + + 3 + +n = Somme de N termes consécutifs d une suite arithmétique : n(n + 1) S = nombre de termes premier terme + dernier terme -4-
Démonstration de la première partie : On additionne membre à membre les deux égalités suivantes : 1 + + 3 + + n + n 1 + n = S n n + n 1 + n + + 3 + + 1 = S n (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + + (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) = S n Autrement dit, S n =n (n + 1) et doncs n = n(n + 1) Exemple 9 Calcul de la somme des 10 premiers entiers naturels : 10(10 + 1) S 10 = 1 + + + 9 + 10 = = 55 Soit (u n ) n N la suite arithmétique de premier termeu 1 = 1 de raison : S 4 =u 1 +u +u 3 +u 4 = 4 u 1 +u 4 or,u 4 =u 1 + (4 1) r = 1 + 3 = 7, S 4 = 4 1 + 7 = 16 III III1 Suites géométriques Définition Définition 5 Une suite (u n ) n N est géométrique s il existe un réelqnon nul appelé raison de la suite tel que pour tout entier natureln: u n+1 =q u n Autrement dit, on passe d un terme de la suite au suivant en multipliant toujours par le même nombreq Exemple 10 Soit (u n ) n N, la suite géométrique de premier termeu 0 = 5 de raisonq= { u0 = 5 La définition de la suite (u n ) n N par récurrence est : u n+1 = u n u 1 = u 0 = 5 = 10, u = u 1 = ( 10) = 0, u 3 = u = 0 = 40 Exemple 11 1 ; ; 4 ; 8 ; 16 ; 3 est une suite géométrique de premier terme 1 de raison Méthode : Pour démontrer qu une suite est géométrique, il faut s assurer que pour toutn N,u n est non u n+1 nul puis montrer que pour toutn N, est un réelqconstant u n Exemple 1 Soit (u n ) n N la suite définie paru n = 3 n pour tout entier natureln,u n 0, u n+1 = 3n+1 u n 3 n = 3, u 0 = 3 0 = 1 = : la suite (u n ) n N est donc une suite géométrique de premier termeu 0 = de raison 3-5-
III Calcul du terme de rangn Propriété 3 Soit (u n ) n N une suite géométrique de premier termeu 0 de raisonq, Pour toutn N, on au n =u 0 q n, Pour tousn,p N, on au n =u p q n p Exemple 13 Soit (u n ) n N la suite géométrique de premier termeu 0 = 3 de raisonq= : Le terme de rang 5 est :u 5 =u 0 q 5 = 3 5 = 96 III3 Somme des n premiers termes Propriété 4 Somme des (n + 1) premières puissances d un nombre réel (avecq 1) : S = 1 +q +q + +q n = 1 qn+1 1 q Somme de (n + 1) termes consécutifs d une suite géométrique : 1 raisonnombre de termes S = premier terme 1 raison Exemple 14 La somme des 8 premières puissances de vaut : S = 1 + + + 8 = 1 8+1 1 = 511 EXERCICE L entreprise A dispose d une somme de 50000 euros qu elle veut faire fructifier On lui propose deux types de placement : Type I : le capital est augmenté chaque année de 5000 euros Type II : le capital est augmenté chaque année de 7% du capital de l année précédente 1 Placement de type I : on noteu n le capital en euros à la fin de lan ième année (U 0 = 50000) (a) CalculerU 1 etu (b) ExprimerU n en fonction den Placement de type II : on notev n le capital en euros à la fin de lan ième année (V 0 = 50000) (a) CalculerV 1 etv (b) Justifier que (V n ) est une suite géométrique de raison 1, 07 En déduirev n en fonction den 3 Comparaisons : quel est le type de placement le plus avantageux pour l entreprise A : (a) si elle compte retirer son argent à la fin de la 8 ième année? (b) si elle compte retirer son argent à la fin de la 1 ième année? 4 Au bout de combien d années le capital disponible représente-t-il le double du capital initial : (a) avec le placement de type I? (b) avec le placement de type II? -6-