I. Opérations de base Calculs dans R : 1- Opérations dans R Activité 1 Compléter : 3 1 1) + =... 2 4 3 On dit que est la. de 2 et 1 4 (3 2 et 1 sont les de cette ) 4 3 2 3 2) =... ; On dit que est la de 4 4 4 et 2 4 3) 3 =... 2 On dit que est le. de 3et 2 (3 et sont les.. de ce.) 2 4) 10 =... ; on dit que est le.. de 10 par En général: Soit et deux réels : Leur somme est : Leur différence est : Leur produit est : Si 0, ils ont pour quotient : Les opérations dans R sont l addition, la soustraction, la multiplication et la division. Activité 2 On donne la figure ci-contre : Vérifier la commutativité et l associativité de l addition dans R à travers le calcul de de différentes manières. L addition dans R : Est commutative : + = + pour tous réels et Est associative : ( + ) + = + ( + ) = + + (, R) Admet un élément neutre, c est : + 0 = 0 + =, pour tout R Exemple : 4 + 0 = 0 + 4 = 4 Tout élément de R admet un opposé noté : tel que : + ( ) = Exemple : + ( ) = + = 0 M. Wissem Fligène Page 1
Remarques: 1- La multiplication est associative et commutative dans R Pour tous réels, et : = ( ) = ( ) = 2- Le réel 1 est l élément neutre pour la multiplication : Pour tout réel : 1 = 1 = 3- Tout réel non nul admet un inverse noté : tel que = 4- * = + ( ) * ( ) = * = ( ) (la soustraction n est pas commutative) et sont deux réels, simplifier les expressions suivantes : = 3 2 (2 + ) + 3 + ( ) = ( 2) + (2 ) + 2( ) = 2 A faire : Exercice 1 page 163 2- Calcul dans R Activité 1 Calculer : ) 4 2 + 3 2 8 3 + 18 ) 2 3 9 4 ) 3 4 3 4 2 ) 2 1 2 7 2,,, et R tels que : 0 et 0 + = + = = = = = 1 = ( R ) = (, R ) = é à.. =. 1) 3 2 + 2 4 20 3 3 2) 13 4 49 8 ; 2 ; 2 3 2 ; 8 7 2 4 M. Wissem Fligène Page 2
II. Calcul avec des puissances : 1- Définition : Activité 1 Calculer = 4 4 4 4 4 = = 3 2 3 2 3 2 le nombre = 4 4 4 4 4 (c est le produit de cinq facteurs chacun d eux est égal à 4) et on le notera : = et on lit «4 puissance» ou «4 exposant». 4 est la base et est l exposant. = se lit «au carré» ou «exposant 2» = se lit «au cube» ou «exposant 3» Définition: Soit un réel et un entier naturel distinct de 0 et de 1 La puissance nième de est le réel noté : et défini par : =. = Si R, = ( 3) ( 3) = 2 2 2 = = 2- Règles du calcul avec les puissances : Activité 2 Compléter : é à Donc 2 2 = 2 = 2 Donc (3 ) = 3 = 3 M. Wissem Fligène Page 3
Donc (2 3) =, R ; Z = 1 = = = = = 2 = = = ( ) = ( ) = Donc = = = 1) Soient et deux réels non nuls. On pose = ( ) et = ( ) ( ) Simplifier et puis et 2) Calculer : 2 ; ( 2) ; A faire : Exercice page 163 III. Valeur absolue : 1- Définition : Activité 1 ; ; Soit une droite munie d un repère (, ) avec = 1 1- Placer les points A, B, C et D d abscisses respectives 2, 2, et 2- Comparer : a- et b- et 3- Expliquer les résultats trouvés ; 1- Soit un point M d abscisse d une droite munie d un repère (, ) avec = 1, la valeur absolue de est la. Et on note : = 2- Pour tout réel ; = M. Wissem Fligène Page 4
= 3= 1 = Remarque: La valeur absolue d un réel est toujours Sans faire le calcul donner la valeur absolue de chacun des réels suivants : 4 ; 2 3 ; 3 ; 1 2- Règles : Activité 2 1- Trouver dans les cas suivants : = 0 ; = 3 2- Comparer et, que peut-on conclure? 3- a- Comparer et, que peut-on conclure? b- Comparer 3 2 et 3 2, que peut-on conclure? 4- calculer puis comparer 4 + ( 2) et 4 + 2 (propriétés de la valeur absolue) 1- Pour tout réel ; = 0 équivaut à. 2- Pour tout réel ; = 3- Pour tous réels et ; = 4- Pour tous réels et ; = - Pour tout réel et pour tout réel non nul ; = 6- Pour tous réels et ; + + 1- Calculer : ; 4 3 0 ; 2- Simplifier l expression = 2 3 + 3 + 2 + 1 3 3- Dans chacun des cas suivants, déterminer lorsque c est possible le réel ) = ) 3 = 3 ) = 2014 ) = 1 A faire : Exercice 11 page 163 IV. Racine carrée d un réel positif : 1- Définition : Si est un réel positif. L unique réel positif tel que ² = s appelle la. de et on note : = 49 = ; 9= M. Wissem Fligène Page
2- Règles de calcul : Activité Calculer puis comparer : 1) 4 9 4 9 2) 36 4 Que peut-on conjecturer? 1- Pour tous réels positifs et, on a : 36 4 3) ( 4) 4 = = = 2- Pour tout réel positif et tout réel strictement positif, on a : = 121 = = = ; ( 8) = = ; 81 100 = = 1- Ecrire sous la forme où et deux entiers naturels : 72 ; 27 ; 3 44 + 4 99 ; 3 + 7 2- Ecrire sans radical au dénominateur : 1 2 ; 3 2 ; 1 2 1 ; 1 3 2 3- Soit un réel positif : a- Montrer que si 1 alors ² b- Montrer que si 0 1 alors ² A faire : Exercice 8 et 9 page 163 V. Comparaison des nombres réels : Activité 1- a) Recopier et compléter par : > ; < ou = 3 1 4 0 2 3 ( 4) ( 1) 9 2 4, b) Donner le signe de chacun des nombres suivants (sans faire de calcul) 3 1 4 0 2 3 ( 4) ( 1) 9 2 4, 2- Comparer : 3 + et 4 + 3- Soit les démarches suivantes : a) Comparons 2 et On a : 2 < alors 2 < donc 2 < b) Si on a 2 < alors 2 ( 3) ( 3) donc ( 6) ( 1) c) 3 < 7 et 2 < 3 donc 3 2 7 3 alors 6 21 Quelles conjectures peut-on énoncer? 4- a) Comparer 2² et 3² puis ( ) et ( 3)² b) Que peut-on conjecturer? M. Wissem Fligène Page 6
- a) Comparer et b) Comparer 4 et 9 1) Pour tous réels et : a) équivaut à 0 b) équivaut à 0 2) Pour tous réels, et : équivaut à + + 3) a) Pour tout réel strictement positif et pour tous réels et : équivaut à b) Pour tout réel strictement négatif et pour tous réels et : équivaut à 4) Si on a,, et quatre réels positifs : et alors ) a) Pour tous réels positifs et : équivaut à ² ² b) Pour tous réels négatifs et : équivaut à ² ² 6) Pour tous réels non nuls et de même signe : équivaut à 7) Pour tous réels positifs et : équivaut à 8) et R 0 si 0 si 9) et R > 0 si < 0 si Remarque: équivaut à (l accolade remplace la conjonction " et " ) L écriture se lit : «est compris entre et» ou «est encadré par et» ( < ) 1) Comparer : a) 2 3 et 2 b) 2 7 et 3 11 2) et deux réels tels que >. Comparer : (i) 2 + 1 et 2 1 (ii) 3 et 3 3) a) Soit un réel tel que > 2. Comparer : 2 2 et 2 b) Soit un réel tel que 2 6. Encadrer : (i) 2 (ii) 2 3 (iii) VI. Intervalles de R : Activité Soit une droite munie d un repère (, ) 1) Placer sur les points et d abscisses respectives 2 et 2) Trouver quatre réels compris entre 2 et (iv) (v) 3 3) Soit = R, 2. Est-ce qu on peut trouver tous les éléments de? On note l ensemble par : = et on l appelle... et on le représente sur une droite graduée par : M. Wissem Fligène Page 7
4) Exprimer à l aide des intervalles et représenter les ensembles suivants sur une droite graduée. = R, 1 3 ; = R, 2 < 4 ; = R, 3 < < 2 ; = R, ; = R, > 2 1- Déterminer et représenter chacun des ensembles suivants : = R, 2 = R, > 4 = R, 3 < 4 2- Déterminer et dans les cas suivants : a- = 1; 6 et = 0; 9 b- = 3; 2 2; 4 et = 0; 3 c- = ; 2 et = 0; + A faire : Exercice 12 et 14 page 164 M. Wissem Fligène Page 8