Brevet Blanc de Mathématiques Mardi 20 mars 2018 L épreuve dure deux heures. Le sujet comporte sept pages et huit exercices indépendants. Ne pas oublier de rendre les 2 feuilles annexes. Les exercices peuvent être faits dans le désordre. Le prêt de matériel est interdit. L usage de la calculatrice est autorisé. Le barème est sur 50 points 4 points sont réservés pour : le soin l orthographe la qualité de la rédaction (unités, phrases réponses,..) Page 1
1. EXERCICE 1 ( 4 POINTS) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est exacte. Sur la copie, indiquer le numéro de la question et recopier, sans justifier, la réponse choisie. Aucun point ne sera enlevé en cas de mauvaise réponse. L écriture scientifique de 60 10 3 3 10 7 est : Réponse A Réponse B Réponse C 18 10 3 1,8 10 2 1,8 10-1 2. L équation 5x +12 = 3 a pour solution : 1,8 3 1,8 3. La forme développée de (3x + 5)(2x 3) est : 7x 15 6x² + 19x 15 6x² + x 15 4. 343 est une puissance de : 3 5 7 EXERCICE 2 (6,5 POINTS) Soit l expression A définie par : A = (3x + 8)² (x 7)² 1) Développer et réduire A. 2) Factoriser A. 3) Résoudre (4x + 1)(2x + 15) = 0. 4) Calculer A pour x = 3 4 en détaillant les étapes et donner la réponse sous la forme la plus simple possible. EXERCICE 3 (7,5 POINTS) Pour illustrer l exercice, la figure ci-dessous a été faite à main levée. Les points D, A, E et G sont alignés ainsi que les points C, B, E et F. De plus, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 1) Démontrer que le triangle ABE est rectangle. 2) Calculer la longueur DE. 3) a) Démontrer que les droites (AB) et (FG) sont parallèles. b) En déduire la nature du triangle FGE. Page 2
EXERCICE 4 (5 POINTS) Aucune justification n est demandée pour cet exercice. MOTIF PROGRAMME N 1 PROGRAMME N 2 Le bloc d instruction «carré» ci-dessous a été programmé puis utilisé dans les deux programmes ci-contre : Rappel : L instruction «avancer de 10» fait avancer le lutin de 10 pixels. 1) Voici trois dessins : a) Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le programme n o 1? b) Lequel de ces trois dessins obtient-on avec le programme n o 2? c) Pour chacun des deux programmes, déterminer la longueur, en pixel, du côté du plus grand carré dessiné? Page 3
2) On souhaite modifier le programme n o 2 pour obtenir le dessin ci-dessous. Parmi les trois modifications suivantes, laquelle permet d obtenir le dessin souhaité? Modification 1 Modification 2 Modification 3 EXERCICE 5 (6,5 POINTS) On considère la fonction f définie par la représentation graphique donnée en annexe 1. 1) Déterminer graphiquement l image de 3 par f. 2) Déterminer graphiquement le(s) antécédent(s) de 1,5 par f. 3) On considère la fonction g définie par la relation g(x) = 1 x² + x + 2. 4 a) Compléter le tableau de la feuille Annexe 1. b) Tracer la courbe représentative de la fonction g sur le même repère que la fonction f (Annexe 1). c) Déterminer graphiquement les solutions de f(x) = g(x). EXERCICE 6 (5,5 POINTS) Le schéma ci-contre représente le jardin de Leïla. Il n est pas à l échelle. [OB] et [OF] sont des murs, OB = 6 m et OF = 4 m. La ligne pointillée BCDEF représente le grillage que Leïla veut installer pour délimiter un enclos rectangulaire OCDE. Elle dispose d un rouleau de 50 m de grillage qu elle veut utiliser entièrement. Leïla envisage plusieurs possibilités pour placer le point C. 1) En plaçant C pour que BC = 5 m, elle obtient que FE = 15m. a) Vérifier qu elle utilise les 50 m de grillage. (détailler les calculs) b) Justifier que l aire A de l enclos OCDE est 209 m². Page 4
2) Pour avoir une aire maximale, Leïla fait appel à sa voisine professeure de mathématiques qui, un peu pressée, lui écrit sur un bout de papier : «En notant BC = x, on a A(x) = x² +18x +144» Vérifier que la formule de la voisine est bien cohérente avec le résultat de la question 1. 3) Dans cette partie, les questions a. et b. ne nécessitent pas de justification. a) Quelle formule Leila a-t-elle saisie en B2 pour l étirer jusqu à la cellule I2. b) Parmi les valeurs figurant dans le tableau, quelle est celle que Leïla va choisir pour BC afin obtenir un enclos d aire maximale? c) Donner les dimensions de l enclos ainsi obtenues. EXERCICE 7 (4 POINTS) Sur la figure donnée en Annexe 2 : 1 1) Tracer l image de ce polygone par l homothétie de centre O et de rapport 2. 2) Tracer l image de ce polygone par l homothétie de rapport 2 qui transforme A en A EXERCICE 8 (7 POINTS) Voici les caractéristiques d une piscine qui doit être rénovée. Document 1 : informations sur la piscine Document 2 : information relative à la pompe de vidange Débit : 14 m 3 / h Document 3 : informations sur la peinture utilisée forme : pavé droit - seau de 3 litres - un litre recouvre une surface de 6 m² - 2 couches nécessaires - prix du seau : 69,99 profondeur : 1,2 m 1) Le propriétaire commence par vider la piscine avec la pompe de vidange. Cette piscine est remplie à ras bord. Sera-t-elle vide en moins de 4 heures? Justifier votre réponse. 2) Il repeint ensuite toute la surface intérieure de cette piscine avec de la peinture résine. Quel est le coût de la rénovation? Justifier votre réponse. Page 5
ANNEXE 1 (EXERCICE 5) x 3 1 0 2 4 6 7 g(x) 3,25 3,25 Page 6
ANNEXE 2 (EXERCICE 7) Page 7
Barème : exercice 1 (4) 1 point par réponse soit 4 points exercice 2 (6,5) 1) 0,5 par développement, 0,5 pour la gestion du - et 0,5 pour la réduction soit 2 points 2) 0,5 pour l utilisation de a²-b² ; 0,5 pour le - et 0,5 pour chaque réduction soit 2 points 3) 0,5 par solution ; pas de propriété exigée 4) 0,5 pour un calcul dans une parenthèse, 0,5 pour la réponse soit 1,5. Mettre 0,5 si seul remplacement de x exercice 3 (7,5) 1) 0,5 pour BE², 0,5 pour AB² + AE² et 0,5 pour la conclusion avec le mot Pythagore 2) 0,5 pour les hypothèses (Thales ou réduction), 1 pour les quotients, 1 pour le calcul 3) a) 1 pour la bonne vérification de l égalité, 0,5 pour l ordre et 0,5 pour la conclusion avec le mot Thales b) 1 pour la propriété et 0,5 pour la conclusion exercice 4 (5) 1) a) 1 b) 1 c) 1 pour chaque longueur 2) 1 exercice 5 (6,5) 1) 0,5 2) 0,5 par antécédent 3) a) 2 pts ; retirer 0,5 par erreur ; 1 ou 2 bonnes réponses seulement rapportent 0,5 b) 2 pts : retirer 0,5 si tracé à la règle c) 0,5 par solution exercice 6 (5,5) 1) a) 1 avec détails b) 0,5 2) 0,5 pour x = 5 et 1 pour le calcul 3) a) 1 ; 0,5 si oubli du signe = et 0 si pas de référence à la cellule b) 0,5 c) 0,5 par dimension exercice 7 (4) 2 points par figure exercice 8 (7) 1) 1 pour le calcul du volume et 1 pour le calcul de la durée avec réponse 2) 1 pour l aire des faces latérales, 0,5 pour le fond et 0,5 pour l aire totale 1 pour le nombre de litres 1 pour le nombre de seaux 1 pour le prix mettre 3 si raisonnement bon mais sans prise en compte des faces latérales soin : 1 orthographe : 1 avec les mots d usages mathématiques (Talaisse, pitagaure, par rale aile, père pendiqulère) unités : 1 dans exercices 6 et 8 présentation de la rédaction de l exercice 8 : 1 Page 8