PRINCIPES E APPLICAIONS DES MESURES GRAVIMERIQUES La gravimétrie est une discipline fndamentale de la géphysique qui cnsiste à mesurer et à étudier les variatins spatiales et temprelles du champ de pesanteur de la erre. Sn champ d applicatin est vaste, n peut citer les exemples suivants : - La cnnaissance de la structure interne du glbe terrestre en particulier la présence d hétérgénéités de masse dans le sus-sl. - L explitatin de ressurces minières. - L analyse de la stabilité d un sl avant la cnstructin d une vie ferrée. - L étude des rbites des satellites artificiels Ce prblème cmprte quatre parties indépendantes : Partie A : Etude des anmalies gravimétriques, applicatins à l étude du sus-sl. Après une étude rapide des principales causes des variatins à grande échelle de l intensité du champ de pesanteur terrestre, n s intéresse à l utilisatin des fluctuatins lcales de l intensité de ce champ pur détecter des cavités et des hétérgénéités dans le sus-sl. Partie B : Aspects physic-chimiques de la frmatin des cavités suterraines. Dans cette curte partie, n se prpse de cmprendre l un des mécanismes de frmatin des guffres et des cavités suterraines dans un massif calcaire. Partie C : Mesures de l intensité du champ de pesanteur terrestre. Cette partie abrde de manière simple les principes utilisés par deux types de «gravimètres» récents : un gravimètre relatif à lévitatin de sphère supracnductrice et un gravimètre abslu à chute. Partie D : La frme de la erre erre. Cette partie étudie un mdèle simple qui permet de rendre cmpte de la frme aplatie de la Le prblème cmprte de nmbreuses questins qualitatives qui demandent des répnses cncises et pertinentes. Les candidats divent également veiller à dnner un nmbre de chiffres significatifs adapté lrs des applicatins numériques. Les candidats snt invités à cnsigner tutes remarques u cmmentaires qu ils jugernt intéressants de frmuler sur un pint u un autre abrdé par le prblème. Si, au curs de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énncé, il le signale sur sa cpie et pursuit sa cmpsitin en indiquant les raisns des initiatives qu il est amené à prendre. page
Dnnées numériques : Pur les mesures de l intensité du champ de pesanteur, les géphysiciens utilisent fréquemment le Gal : 1 Gal = 10 - m.s -. Sn nm a été dnné en hmmage à Galilée. On définit également : le milligal : 1 mgal = 10-5 m.s - et le micrgal : 1 µgal = 10-8 m.s -. - rayn de la erre : R = 6370 km - masse de la erre : M = 5,974.10 4 kg - cnstante de gravitatin universelle : G = 6,673.10-11 m 3.kg -1.s - Dnnées mathématiques : n ( 1 x) 1+ nx si x << 1 et n Z +. Vlume d une sphère de rayn R : 4 π 3. 3 R Partie A : Etude des anmalies gravimétriques, applicatins à l étude du sus-sl. 1. Le champ de pesanteur terrestre. 1.1. Première étude du champ de pesanteur terrestre. La erre de masse M et de centre est suppsée bien mdélisée par une répartitin de masse à symétrie sphérique de rayn R. Un pint matériel de masse m est placé en un pint M situé à une distance r, supérieure à R, du centre de la erre. On nte G la cnstante de gravitatin universelle. 1.1.1. Citer le nm du savant qui a énncé la li de la gravitatin. 1.1.. Rappeler les caractéristiques de la frce d interactin gravitatinnelle F G exercée par la erre sur un pint matériel de masse m : directin, sens et intensité. 1.1.3. Prpser une expressin mathématique pur cette frce F G, en fnctin de G, M, m, r et u = M vecteur unitaire. On rappelle que r = M. M 1.1.4. Effectuer une première estimatin numérique de l intensité du champ de pesanteur terrestre défini, en première apprximatin, par le rapprt calculé à la surface de la erre. 1.1.5. Dnner les caractéristiques de la frce exercée par le pint matériel de masse m sur la erre. 1.. Etude plus précise du champ de pesanteur terrestre. Le référentiel d étude est le référentiel gécentrique suppsé galiléen. On chisit pur repère (, x, y, z ). page 3 FG m
La erre, assimilée à une sphère de rayn R, est animée d un muvement de rtatin autur de l axe fixe z à la vitesse angulaire ω = 7,9.10-5 rad.s -1. On nte t le temps. On repère un pint P de la surface de la erre situé sur l équateur par l angle ω t que fait le P segment P avec l axe x. On intrduit les deux vecteurs unitaires : u = et u1 le vecteur tangent P à l équateur au pint P. Ces deux vecteurs snt représentés sur la figure 1. Ce pint P décrit une trajectire circulaire et est animé d un muvement unifrme. z ω équateur ωt P u u 1 y x figure 1 1..1. Etude cinématique. a. Justifier la valeur numérique chisie pur la vitesse angulaire ω. b. Exprimer le vecteur vitesse V du pint P par rapprt au référentiel gécentrique en fnctin de R, ω et u 1. Calculer numériquement l intensité de cette vitesse. c. Exprimer de même le vecteur accélératin a du pint P par rapprt au référentiel gécentrique en fnctin de R, ω et u. Calculer la valeur numérique de l intensité du vecteur accélératin. 1... Deuxième estimatin de l intensité du champ de pesanteur terrestre. Le pint P représente maintenant un pint matériel de masse m suspendu par un fil à un supprt au visinage immédiat de la surface de la erre. Situé au niveau de l équateur, il est immbile par rapprt à la surface de la erre dnc est animé, par rapprt au référentiel gécentrique, du muvement circulaire unifrme dnt l étude cinématique a été cnduite à la questin 1..1. de cette partie. La figure illustre la situatin étudiée ; naturellement les échelles ne snt pas respectées. page 4
z ω y ωt P supprt x masse m figure fil a. Rappeler la définitin d un référentiel galiléen. b. Effectuer un bilan des frces qui agissent sur le pint matériel P de masse m. On intrduira en particulier la frce exercée par le fil sur la particule P. c. Enncer la secnde li de Newtn, l appliquer à la masse pnctuelle P dans le référentiel gécentrique et btenir une relatin entre l accélératin a, F G, et m. d. On définit le pids d un crps m g par la relatin qualitativement cette définitin. m g =. Justifier r e. On pse g = g u. En utilisant les questins précédentes, établir la relatin GM g = R ω. Cmmenter cette expressin. R En 167 Richer, hrlger français, transprte une hrlge à Cayenne en Guyane française et cnstate que celle-ci, parfaitement réglée à Paris, retarde de plus de minutes par jur à Cayenne. Newtn et Huygens attribuent ce retard au muvement de rtatin de la terre sur elle-même et au fait que la erre ne devait pas être une sphère mais une surface de révlutin aplatie suivant l axe des pôles. Au 18 ième siècle, l Académie Ryale décide d envyer deux expéditins pur mesurer la lngueur d un arc de méridien terrestre : l une près du pôle nrd, l autre près de l équateur. Clairaut et Maupertuis allèrent en Lapnie en 1736 ; Buguer et La Cndamine au Péru en 1735. Ils cnfirment l hypthèse de Newtn sur la frme aplatie de la erre. La frme de la erre est une «sphère» aplatie aux pôles ; la distance du centre aux pôles est R P = 6357 km et le rayn à l équateur est R E = 6378 km. En prenant en cmpte les deux effets : rtatin de la erre et frme de la erre, n rend cmpte crrectement des valeurs mesurées : Pôle nrd g = 9,83 m.s - Paris g = 9,809 m.s - Cayenne g = 9,780 m.s - page 5
f. Déterminer numériquement en utilisant le mdèle précédent la valeur de g à l équateur et au pôle nrd ; discuter la cmpatibilité de ces résultats avec ceux furnis dans le tableau précédent. 1.3. Influence de la Lune et du Sleil. Une masse pnctuelle située à la surface du glbe terrestre subit également l attractin des crps massifs externes en particulier de la Lune et du Sleil. L intensité du champ de pesanteur varie dnc au curs du temps en faisant apparaître des durées typiques reliées aux différentes pérides assciées à la rtatin de la erre sur elle-même, au muvement de rtatin de la Lune autur de la erre et à celui de la erre autur du Sleil. Ces variatins temprelles de g, intensité du champ de pesanteur, fnt l bjet de mesures très précises à l aide de «gravimètres». La figure 3 mntre des mesures de celles-ci en régin parisienne. L unité de mesure est le mgal ù le Gal est une unité utilisée par les géphysiciens et dnt la définitin est dnnée au début du prblème. variatins de la «gravité» en mgal 0,1 0-0,1 0 10 0 30 figure 3 : Variatins temprelles de la gravité mesurée en régin parisienne. jurs 1.3.1. Justifier les rdres de grandeurs des durées typiques bservées sur la curbe expérimentale de la figure 3. 1.3.. Applicatins numériques. Un mdèle simplifié établit que l amplitude des variatins de l intensité du GM AR champ de pesanteur terrestre dues à un astre A s écrit ; M 3 A est la D A masse de l astre et D A sa distance au centre de la erre. a. Evaluer cette amplitude de variatin dans le cas de la Lune de masse M L = 7,3.10 kg et située à la distance D L = 3,8.10 8 m de la erre. On exprimera la valeur en mgal. b. Evaluer de même celle-ci dans le cas du Sleil de masse M S =,0.10 30 kg et situé à la distance D S = 1,5.10 11 m de la erre. On exprimera la répnse en mgal. page 6
c. Cnclure sur l influence relative de la Lune et du Sleil sur le phénmène de la variatin temprelle de l intensité du champ de pesanteur terrestre et mntrer que ces résultats snt cmpatibles avec les valeurs expérimentales de la figure 3.. Détectin des cavités et hétérgénéités dans le sus-sl.1. Intrductin. Pur puvir abrder la ntin d anmalie gravimétrique, il nus faut intrduire la ntin d ellipsïde de référence. L ellipsïde de référence est une surface qui épuse au mieux la frme de ntre planète indépendamment des accidents tpgraphiques. C est une surface de révlutin qui se nmme GRS-80 et dnt la définitin a été stabilisée dans les années 1980. Sur l ellipsïde de référence n peut déterminer une valeur de référence g ref de l intensité du champ de pesanteur. Cette valeur de référence dépend de la latitude φ du pint cnsidéré et vaut : ( 1+ 0,00530357 sin ϕ 0,000005865 sin ϕ ) g ref = 978031,85 en mgal.1.1. Faire un schéma simple permettant de définir la latitude φ d un pint à la surface de la erre. Cette dnnée suffit-elle à définir de façn unique la psitin de ce pint?.1.. Cmmenter qualitativement cette expressin... Crrectins gravimétriques. On se prpse d étudier le champ de pesanteur en un pint situé à une altitude h. Deux cas snt envisagés : l espace entre le niveau de référence et le pint M est cnstitué par de l air, n parle alrs de «crrectin à l air libre» ; cet espace est ccupé par un plateau, il s agit de «crrectin de plateau»...1. Crrectin à l air libre. Un pint M est situé à une altitude h. L espace cmpris entre le niveau de référence et ce pint est ccupé par de l air. On suppse que h << R et n peut se référer à la figure 4. air libre M h niveau de référence figure 4 a. Indiquer qualitativement le sens de variatin de g en fnctin de h. b. En se plaçant dans les hypthèses de la questin 1.1. de la partie A, établir l expressin de g en fnctin de G, M, R et h. page 7
1 1 h 1, mntrer que g peut s écrire g g α h ù g et α snt deux grandeurs à expliciter. c. En utilisant l apprximatin ( ) R + h R R d. Déterminer numériquement en mgal, la différence g g pur h = 1038 m. e. Lrsque la hauteur h varie de h en valeur abslue, g varie de g en valeur abslue. Avec les instruments mdernes, la précisin expérimentale sur la mesure de g est de l rdre de 5 µgal, estimer la plus petite valeur de h mesurable et cmmenter ce résultat.... Crrectin de plateau. L espace entre le niveau de référence et M est à présent ccupé par un «plateau» de masse vlumique ρ P. La figure 5 illustre la nuvelle situatin étudiée. air libre M plateau de masse vlumique ρ P h h niveau de référence figure 5 On admet que l intensité du champ de gravitatin supplémentaire créé au pint M par le plateau est dnnée par l expressin : π Gρ Ph. Cette crrectin est appelée crrectin de plateau. a. Mntrer que la quantité π Gρ Ph pssède bien les dimensins d une accélératin. b. Par un raisnnement qualitatif argumenté, indiquer si la crrectin de plateau accrît u diminue l intensité du champ de gravitatin. c. Evaluer numériquement cette crrectin en mgal pur h = 1038 m et ρ P =,80.10 3 kg.m -3. d. En utilisant le résultat de la questin..1.c. de la partie A, dnner l expressin littérale de la différence g g qui prend en cmpte les deux effets : crrectin d air libre et crrectin de plateau. e. Evaluer numériquement cette différence en mgal pur h = 1038 m ( altitude à la gare de Chamnix ) et ρ P =,80.10 3 kg.m -3. page 8
.3. Anmalies gravimétriques. L anmalie gravimétrique, ntée A B, u anmalie de Buguer (en hmmage au savant français Pierre Buguer) est la différence entre la valeur mesurée, ntée g mes, et la valeur de référence crrigée des crrectins d air libre et de plateau, ntée g c. On a ainsi A B = g mes g c. Elle nus dnne des infrmatins sur les hétérgénéités de la répartitin des masses internes au glbe terrestre. L étude de ces anmalies a de nmbreuses applicatins : élabratin de mdèles de la crûte terrestre, prspectin, détectin de cavités Cette technique est naturellement suvent cuplée avec d autres méthdes d analyse. Nus allns illustrer le principe de l étude gravimétrique sur des exemples simples..3.1. Détectin d une cavité. On suppse qu une cavité de frme sphérique de rayn R = 5 m et située à une prfndeur H = 0 m, est présente dans le plateau de masse vlumique ρ P cmme le mntre la figure 6. Le centre de la cavité a pur abscisse x suivant un axe hrizntal Ox. On prendra ρ P =,80.10 3 kg.m -3. air libre plateau de masse vlumique ρ P h y z O H x cavité de rayn R h x niveau de référence figure 6 On prcède à une mesure de l intensité du champ de pesanteur le lng de l axe Ox. a. Quelle serait la frme de la curbe dnnant l anmalie gravimétrique A B en fnctin de x en l absence de cavité. b. Dnner l allure de cette curbe en présence de la cavité. c. Prpser une expressin littérale de la valeur maximale A Bmax de A B en fnctin de R, G, ρ P et H. d. Evaluer numériquement A Bmax en µgal et cmmenter ce résultat à la lumière des résultats de la partie A et sachant que la précisin expérimentale sur la mesure des variatins de g mes est de l rdre de 5 µgal..3.. Détectin d un dôme de sel au exas. La figure 7 prpse un prfil d anmalie gravimétrique effectué seln le principe précédent mais pur le plan hrizntal xoy. On y représente les curbes de niveau pur différentes valeurs de A B exprimées en mgal. On suppse que le sel a pur masse vlumique ρ =,.10 3 kg.m -3 et que la masse vlumique myenne des sédiments est ρ P =,4.10 3 kg.m -3. page 9
Le dôme de sel, de frme sphérique, est situé à une prfndeur H de l rdre de 6 km et pssède un rayn R de l rdre de 4 km. y -1 - -3-4 -5-6-7-8 5 km -9 x figure 7 a. Justifier qualitativement le signe de l anmalie gravimétrique bservée sur le dôme de sel. b. Justifier l rdre de grandeur de l anmalie gravimétrique mesurée. On purra intrduire par exemple le «cntraste de densité» ρ = ρ ρ. Une apprche analgue a permis de cnstruire la carte de la figure 8. Cette carte, qui utilise un relevé des variatins du champ de pesanteur terrestre effectué très récemment, nus révèle un lac lng de 40 km enfui sus près de 4 km de glace sur le site de Vstk en Antarctique. P figure 8 : Le lac de Vstk ( La Recherche ( septembre 004 ) ) page 10
Partie B : Aspects physic-chimiques de la frmatin des cavités suterraines. On se prpse dans cette partie de cmprendre l un des mécanismes de frmatin des guffres et cavités suterraines dans un massif calcaire. Le calcaire est principalement frmé de carbnate de calcium : la calcite CaCO 3 (s). L un des mécanismes d érsin des sls et de frmatin des cavités en milieu calcaire est la disslutin de la calcite par l eau de pluie. Le calcaire, légèrement sluble dans l eau pure, l est beaucup plus si l acidité de la slutin augmente. D autre part l acidité de l eau dans ce type de milieu naturel dépend largement de la teneur en dixyde de carbne CO dissus. Pur cmprendre le mécanisme de frmatin des cavités, nus allns étudier les échanges de matière en CO à l interface eau - atmsphère puis ceux en ins Ca + et CO 3 - à l interface eau - rche. 1. Echanges de dixyde de carbne à l interface eau-atmsphère. 1.1. On cnsidère l équatin de la réactin chimique [0] entre le dixyde de carbne présent dans l atmsphère sus frme gazeuse : CO (gaz) et le dixyde de carbne dissus en slutin aqueuse : CO (aq). CO (gaz) = CO (aq) [0] Lrsque le système décrit par la réactin [0] est à l équilibre, la cncentratin, exprimée en ml.l -1, en CO (aq) : [ CO (aq) ] est reliée à la pressin partielle, exprimée en bar, en CO (gaz) : PCO (gaz) par la relatin : [ CO (aq) ] K P avec K = 3,. =. CO (gaz) 10 1.1.1. Actuellement la pressin partielle myenne en CO (gaz) dans l atmsphère est évaluée à 3.10-4 bar. a. Cmmenter cette valeur en la cmparant à d autres valeurs pertinentes. b. Que pensez-vus de sn évlutin au curs des dernières décennies? 1.1.. En déduire la cncentratin en CO (aq) dans une slutin aqueuse initialement pure en équilibre avec cette atmsphère. 1.. Le dixyde de carbne dissus en slutin aqueuse se cmprte cmme un «diacide» et met ainsi en jeu les deux réactins chimiques [1] et [] dnt les équatins snt les suivantes : CO (aq) + H O = HCO 3 - (aq) + H3 O + [1] HCO 3 - (aq) + H O = CO 3 - (aq) + H3 O + [] 1..1. Rappeler la définitin d un acide. 1... Dnner, lrsque le système chimique décrit par les réactins [1] et [] est à l équilibre, les expressins des cnstantes d acidité K A1 et K A relatives aux réactins [1] et [] en fnctin des cncentratins à l équilibre des différentes espèces en slutin. page 11
1..3. Justifier le terme de «diacide» utilisé pur caractériser les prpriétés du dixyde de carbne dissus en slutin aqueuse. 1..4. Cnstruire le diagramme de prédminance des espèces étudiées : CO (aq), HCO 3 - (aq) et CO3 - (aq) en fnctin du ph. On dnne pka1 = 6, et pk A = 10,. 1..5. Une eau initialement pure est en équilibre avec une atmsphère qui cntient du dixyde de carbne à la pressin partielle de 3.10-4 bar. Le ph de la slutin btenue vaut 5,6. En déduire les cncentratins à l équilibre de tus les ins présents dans la slutin. Cmmenter ces valeurs en vus référant à la questin précédente. On prendra K e = 1,0.10-14 pur valeur du prduit inique de l eau. 1.3. Dans les sls, la pressin partielle en CO (gaz) peut être très supérieure et atteindre 0,1 bar. Ces frtes teneurs résultent de l activité des plantes, des micrrganismes du sl et surtut de la décmpsitin de la matière rganique. Ainsi l eau qui «percle» dans le sl s enrichit en CO (aq). La curbe de la figure 9 dnne le ph d une slutin aqueuse initialement pure en équilibre avec une atmsphère cntenant du dixyde de carbne, en fnctin de la pressin partielle en CO (gaz) : P. CO (gaz) ph 5,8 5,6 5,4 5, 4,0 4,8 4,6 4,4 10-4 10-3 10-10 -1 figure 9 P CO (gaz) en bar On peut remarquer que suivant l axe hrizntal, n a utilisé une échelle lgarithmique. 1.3.1. En expliquant la méthde utilisée, retruver graphiquement la valeur du ph à l équilibre pur une pressin partielle en CO (gaz) égale à 3.10-4 bar. 1.3.. Décrire l évlutin, en fnctin de la prfndeur, de l acidité de l eau qui «percle» dans ce type de sls. page 1
. Disslutin de la rche calcaire. Pur mdéliser la disslutin de la rche calcaire essentiellement cnstituée par de la calcite u carbnate de magnésium CaCO 3 (s), il cnvient d ajuter aux tris réactins chimiques précédentes une dernière [3] assciée à la disslutin de la calcite : CaCO 3 (s) = Ca + (aq) + CO 3 - (aq) [3] Les réactins chimiques [0], [1], [] et [3] frment un «système cuplé» cmplexe qui permet de rendre cmpte de manière satisfaisante du prcessus de disslutin des rches calcaires. Lrsque le système chimique [3] est à l équilibre, la slutin est dite saturée. La slubilité s du carbnate de calcium est la masse maximale que l n peut dissudre par litre d eau ; elle s exprime en g.l -1. La figure 10 représente la slubilité s du carbnate de magnésium en fnctin de la pressin partielle en CO (gaz) : PCO (gaz). Suivant l axe hrizntal, n a utilisé une échelle lgarithmique. s en g.l -1 0,30 0,5 0,0 0,15 0,10 0,05 10-4 10-3 10-10 -1 P CO (gaz) en bar.1. Disslutin de CaCO 3 (s). figure 10.1.1. Décrire l influence de la pressin partielle en CO (gaz) sur la slubilité de la calcite..1.. Décrire qualitativement un prcessus de disslutin pssible des rches calcaires. On s aidera des résultats des questins précédentes... Frmatins de cncrétins. On bserve fréquemment dans les cavités et grttes des régins calcaires des cncrétins de frmes diverses : cmme les stalactites et les stalagmites. La figure 11 mntre une pht de telles cncrétins dans une grtte du massif du Jura. page 13
Les eaux de ruissellement, saturées en carbnate de calcium et très riches en CO (aq) après un trajet «sus pressin» dans les fractures du massif calcaire, s éculent en gutte à gutte de la vûte d une cavité et restituent alrs au milieu une partie du carbnate de calcium dissus. A l aide de la figure 10, prpser une explicatin à la frmatin de telles cncrétins. figure 11 : Cncrétins ( Grttes d Osselle dans le Dubs ).3. Evaluatin de la durée de frmatin d une cavité dans un massif calcaire. On désire, dans cette partie, faire une évaluatin de la durée typique nécessaire au dévelppement d une cavité dans une régin calcaire. On suppse pur cela que dans la régin étudiée, le Jura par exemple, la slubilité en CaCO 3 (s) est de l rdre de 00 mg.l -1, que la pluvisité annuelle est de l rdre de 100 mm par an et qu en raisn de l évapratin et de la transpiratin des végétaux seulement 70% des précipitatins participent à l éculement des eaux..3.1. Evaluer pur 1 m de surface au sl la masse maximale de CaCO 3 (s) que l n peut dissudre en une année..3.. Cnnaissant la masse vlumique ρ c de la calcite : ρ c = 600 kg.m -3, calculer le vlume de CaCO 3 (s) dissus par an tujurs pur 1 m de surface au sl..3.3. En déduire l épaisseur de rche qui disparaît en une année. Cette grandeur est appelée «ablatin» par les gélgues, elle s exprime en mm/an..3.4. Evaluer enfin la durée nécessaire à la frmatin de cavités de l rdre du mètre en ne prenant en cmpte que ce prcessus..3.5. Que pensez-vus de cette durée à l échelle des temps gélgiques? page 14
Partie C : Mesures de l intensité du champ de pesanteur terrestre Dans cette partie, n se prpse d étudier deux gravimètres, appareils destinés à l étude de l intensité g du champ de pesanteur terrestre. Un gravimètre est qualifié «d abslu» s il permet de mesurer g, il est qualifié de «relatif» s il est destiné à la mesure des variatins de g. 1. Etude d un gravimètre supracnducteur. Au début des années 1970 une nuvelle famille de gravimètres relatifs a été dévelppée : les gravimètres supracnducteurs. Le principe d un gravimètre supracnducteur est de réaliser l équilibre d une sphère en nibium sumise d une part à l actin de sn pids et d autre part à l actin d une frce de «lévitatin magnétique». La frce de «lévitatin magnétique» résulte de l actin du champ magnétique, créé par deux bbines parcurues par un curant permanent, sur les curants qui parcurent la sphère. La sphère en nibium ainsi que les bbines snt à l état supracnducteur, c est-à-dire ntamment que leur résistance électrique est nulle. Ceci exige, en particulier, d pérer dans un bain d hélium liquide dnt la température est de 4, K, cnditin indispensable pur puvir bserver le phénmène de «lévitatin magnétique». La figure 1 représente un gravimètre supracnducteur ; n peut nter que la partie cylindrique pssède un diamètre de l rdre de 70 cm et que la sphère en nibium, d un diamètre visin de 3 cm, est placée au cœur de cette enceinte. figure 1 : Gravimètre supracnducteur de l bservatire gravimétrique de Strasburg page 15
Le but de cette partie est d illustrer de manière simple le principe de la mesure de la variatin de g. On s appuie sur la figure 13 qui représente la sphère supracnductrice de masse m, de rayn R et de centre C qui se déplace le lng de l axe vertical ascendant Oz et l une des bbines qui crée le champ magnétique respnsable de la lévitatin de la sphère. z sphère de masse m et de rayn R C bbine circulaire de rayn myen a cmprtant N spires parcurues par un curant permanent d intensité I O y x figure 13 a Le référentiel d étude ( O,x,y,z ) situé à la surface de la erre sera cnsidéré cmme galiléen. On suppse que la frce de lévitatin d rigine magnétique subie par la sphère s écrit z F = F(z)e z ù ez est un vecteur unitaire de l axe des z rienté vers le haut et F(z) = α I 4, ( a + z ) avec α = 1,5.10-1 N.m 7.A - ; le paramètre a désigne le rayn myen de la bbine circulaire et I l intensité du curant qui circule dans les spires. On nte g l intensité du champ de pesanteur. On limite l étude à la demi-drite z 0. 1.1. Existence d un équilibre. 1.1.1. Justifier la dimensin de la cnstante α. 1.1.. Représenter sur un schéma les deux frces qui s exercent sur la sphère et écrire la cnditin de l équilibre de celle-ci. 1.1.3. On admet que le maximum de la fnctin F(z) est btenu pur déduire l expressin littérale de la valeur minimale I min la lévitatin magnétique sit pssible. On exprimera I min et α. a z =. En 7 du curant I pur que en fnctin de m, g, a 1.1.4. Evaluer numériquement I min pur a = 5,0 cm ; m = 5,0.10-3 kg et g = 9,8 m.s -. page 16
1.. Stabilité des psitins d équilibre. On chisit un curant I = 14 A. La figure 14 représente la fnctin F(z) en fnctin de z pur z variant de 0 à 10 cm. F(z) en N figure 14 1..1. Cmmenter qualitativement l allure de cette curbe et vérifier sa cmpatibilité avec les dnnées antérieures. 1... En s appuyant sur la figure 14 que l n purra reprduire smmairement sur la cpie, mntrer graphiquement qu il existe alrs deux psitins d équilibre. On a tujurs a = 5,0 cm, m = 5,0.10-3 kg et g = 9,8 m.s -. On ntera z 1 et z avec z 1 < z les deux valeurs de z assciées. 1..3. Dnner un rdre de grandeur des valeurs de z 1 et z. 1..4. En cnduisant un raisnnement qualitatif précis, étudier la stabilité de ces deux psitins d équilibre pssibles. On purra, par exemple, analyser l effet d une petite variatin de psitin. Cnclure. 1.3. Etude de la sensibilité du gravimètre. Ce gravimètre est destiné à mesurer de petites variatins δg de l intensité du champ de pesanteur g. Le déplacement de la sphère est mesuré par un pnt de cndensateurs, qui permet d être sensible à une variatin δz de la psitin de la sphère de l rdre de 10-11 m! Le principe de la mesure des variatins de g cnsiste à pérer à altitude z fixée en faisant varier le curant I. Ainsi lrsque g varie de δ g, n fait varier le curant I d une petite valeur manière à ne pas changer la psitin d équilibre stable repérée par z. z en m δi de 1.3.1. Cmmenter qualitativement et de manière pertinente la valeur numérique de δ z, la plus petite variatin détectable de la psitin de la sphère. 1.3.. Pur une psitin d équilibre stable z dnnée, écrire la cnditin de l équilibre de la questin 1.1.. de la partie C, d une part lrsque l intensité de la pesanteur page 17
vaut g et l intensité du curant vaut I et d autre part lrsque l intensité de la pesanteur vaut g + δg et l intensité du curant vaut I + δi. 1.3.3. Déduire des deux relatins précédentes une équatin reliant les quatre quantités g, g + δg, I et I + δi. δg δi 1.3.4. En déduire l expressin de en fnctin de. g I δg 9 1.3.5. On suhaite puvir détecter une variatin relative de g : = 10. g Déterminer la valeur de δi à impser et cmmenter cette valeur numérique. On suppsera encre I = 14 A.. Etude d un gravimètre abslu à chute. On se prpse dans cette partie d étudier un gravimètre «balistique» qui permet de faire chuter pendant envirn 00 ms et sur une distance de 0,0 m un bjet pssédant la frme d un cin de cube dans une chambre à chutes ù règne un vide pussé. La phtgraphie de la figure 15 dnne un aperçu du gravimètre à chute étudié. figure 15 : Gravimètre à chute type FG-5 de l bservatire gravimétrique de Strasburg page 18
Le schéma de la figure 16 prpse un schéma fnctinnel simplifié de ce gravimètre. chambre à chutes chambre sans frttement atmsphérique cin de cube en chute libre détecteur LASER L 1 L D tripde ressrt de suspensin du cin de cube de référence mirirs plans cin de cube de référence figure 16 L bjet en chute libre est un cin de cube dnt la particularité est de réfléchir les rayns lumineux dans la même directin que le rayn incident. Il est placé dans une enceinte appelée «chambre sans frttement atmsphérique» dnt le rôle est de placer le cin de cube en psitin haute et de le stpper délicatement à l issue de sn muvement de chute libre. Cette chambre est piltée par un dispsitif électrnique. L ensemble cin de cube et «chambre sans frttement atmsphérique» est placé dans une chambre à chutes ù règne un vide pussé ( pressin de 10-4 Pa ). Un faisceau laser est émis, il est divisé en deux au niveau de la lame L 1 (appelée lame semiréfléchissante). Le faisceau hrizntal va directement au détecteur de lumière D. L autre faisceau est dirigé vers le cin de cube en chute libre puis redescend vers un cin de cube de référence et est redirigé vers le détecteur de lumière D grâce à deux mirirs et la lame L. Le cin de cube de référence est suspendu au bâti du dispsitif par un ressrt de très faible raideur. Le détecteur de lumière D délivre un signal électrique qui varie dans le temps au curs de la chute. L étude de ce signal permet d effectuer des mesures précises de la psitin du cin de cube. Une hrlge atmique à rubidium furnit des mesures précises du temps. La fréquence délivrée par l hrlge vaut : 10000000,00 Hz. La lngueur d nde du laser est cnnue également avec une grande précisin : par exemple l une des valeurs utilisées vaut 63,99117754 nm. A partir des cuples «psitin ; temps» caractérisant la li hraire du muvement du cin de cube, il est pssible de déterminer l accélératin du muvement et par là même l intensité du champ de pesanteur. Bien que le principe de la mesure sit simple, la cnceptin de ces appareils est très délicate car elle relève du dmaine de la métrlgie de très haute précisin..1. Questins relatives au dispsitif expérimental..1.1. Purqui fait-n le vide dans la chambre ù se dérule la chute libre? page 19
.1.. Cmparer la pressin de 10-4 Pa à une valeur curante, cmmenter..1.3. Quel avantage, autre que ceux signalés dans le descriptif du système, présente l utilisatin d une «chambre sans frttement atmsphérique» enturant l bjet en chute libre?.1.4. Quel est l utilité du cin de cube de référence suspendu au bâti du dispsitif par un ressrt?.. Apprximatin d un champ de pesanteur unifrme. On suppse dans cette questin que l accélératin du champ de pesanteur est unifrme. Sn intensité sera ntée g. On suppse que le muvement du cin de prisme de masse m se réduit à un muvement de translatin seln la verticale Oz rientée vers le bas. A l instant initial, la psitin est ntée z et la vitesse v...1. Etablir l équatin hraire du muvement dnnant z en fnctin de t.... Chaque fis que le cin de cube parcurt une distance d = 3,165.10-4 m, l hrlge atmique dnne la date. Chaque chute est ainsi échantillnnée en 600 cuples de mesure «psitin ; temps». En prenant g = 9,809 m.s -, et en suppsant z et v nulles, estimer la hauteur et la durée de la chute libre...3. En réalité, les valeurs de z et v ne snt pas cnnues exactement, la déterminatin de g requiert au mins tris pints de mesure. On nte z 1 la psitin du cin de prisme à la date t 1, z celle à la date t et z 3 celle à la date t 3. Mntrer que l n peut déterminer g par la relatin : (z 3 z1)(t t1) (z z1)(t 3 t1) g =. (t t )(t t )(t t ) 3 1 L explitatin statistique de nmbreuses séquences de chutes libres permet alrs de déterminer une valeur de g et d estimer l erreur cmmise sur la déterminatin. Un exemple de mesure de g effectuée en janvier 004 à Strasburg dnne après crrectins : g = 980877798, ± 4,4 µgal..3. Prise en cmpte du «gradient de pesanteur». La valeur «brute» de l intensité du champ de pesanteur btenue après explitatin des cuples «psitin ; temps» dit être crrigée de nmbreux effets : influence des astres, valeur finie de la vitesse de prpagatin de la lumière, pressin barmétrique, muvement des pôles, existence d un «gradient de pesanteur» On se prpse d étudier ce dernier effet en suppsant cmme cela a été vu à la questin..1. de la partie A que l intensité g(z) du champ de pesanteur n est pas unifrme et varie lcalement seln la li : g(z) = g + γ( z z ). La verticale Oz est rientée vers le bas. On prendra γ = 89,0 µgal.m -1 ; g représente maintenant la valeur de g(z) au smmet z de la trajectire..3.1. Justifier qualitativement le signe de γ. 1 3.3.. On chisit une hauteur h de chute égale à 19 cm ; déterminer la variatin de g(z) entre le smmet et la base de la trajectire. page 0
.3.3. Justifier précisément la nécessité de prendre en cmpte cet effet..3.4. Ecrire l équatin différentielle décrivant le muvement de translatin du cin de cube..3.5. A l instant initial, la psitin est ntée z et la vitesse v. On peut effectuer une apprche «perturbative» de l équatin différentielle précédente. On remplace, dans le «secnd membre» uniquement, z par l expressin z(t) truvée à la questin..1. de la partie C. Mntrer alrs que la slutin de la nuvelle équatin btenue s écrit : g (t) = z + v f (t) f (t) z 1 + f 1 et f (t) snt des fnctins du temps à expliciter. ù (t) L explitatin de cette équatin permet d évaluer la crrectin à apprter à la valeur «brute» btenue pur l intensité du champ de pesanteur. Usuellement cette crrectin est de l rdre de -5 µgal. Partie D : La frme de la erre Dès le 18 ième siècle, n avait établi expérimentalement que la erre était aplatie aux pôles. On étudie dans cette partie un mdèle qui justifie ce fait expérimental. 1. Illustratin qualitative du prblème. On verse de l eau dans un récipient cylindrique dnt n maintient l axe vertical. 1.1. On suppse que l ensemble est au reps, décrire la frme de la surface libre. 1.. On fait turner à vitesse angulaire cnstante le récipient autur de sn axe vertical ; décrire, en vus appuyant sur un schéma simple, la nuvelle frme adptée par cette surface libre au but de quelques instants. On cnstate ainsi que la mise en rtatin d un fluide est susceptible de mdifier la frme de sa surface libre.. La frme du glbe terrestre. On se prpse dans cette questin d expliquer le fait que la rtatin de la erre sur elle-même a une influence sur sa frme en la renflant à l équateur. Le référentiel d étude est le référentiel gécentrique suppsé galiléen. On chisit pur repère (, x, y, z ). La erre de masse M et de centre est suppsée bien mdélisée par un «fluide» à répartitin unifrme de masse et à symétrie de révlutin autur de l axe des pôles z. Ce «fluide», qui mdélise la erre, turne dnc en blc autur de l axe fixe z à la vitesse angulaire ω = 7,9.10-5 rad.s -1. page 1
.1. Etude cinématique. Pur simplifier, n cnsidère un pint P intérieur à la terre situé à l instant t dans le plan ( yz ) ; y et z représentent ainsi ses crdnnées dans ce plan. On pse u = P, r = P et n P désigne par ( e x, e y, e z ) la base rthnrmée assciée au repère (, x, y, z ). On purra se référer à la figure 17. Ce pint P décrit une trajectire circulaire et est animé d un muvement unifrme de vitesse angulaire ω. z ω trajectire du pint P x u P y ω z P y vue en cupe ( échelles nn respectées ) schéma à l instant t figure 17 x vue de dessus.1.1. Exprimer, à l instant t, le vecteur vitesse V du pint P par rapprt au référentiel gécentrique..1.. Exprimer, à l instant t, sn vecteur accélératin a par rapprt au référentiel gécentrique... Frces de pressin interne. On isle par la pensée un petit élément de vlume de masse m situé au visinage du pint P ; cet élément de vlume est sumis à l actin de la frce de gravitatin F G et à la résultante des frces de pressin que l n nte F P...1. Exprimer F G en fnctin de m, G, M, R, r et u. On suppsera pur cela que la frce de gravitatin est celle que subirait un pint matériel de masse m situé à la surface d une sphère hmgène de rayn r et de même masse vlumique myenne que celle de la terre.... Exprimer F P en fnctin de m, G, M, R, et ω ; des variables r et y et des vecteurs unitaires u et e y...3. En déduire les cmpsantes F Py et F Pz du vecteur F P suivant les axes y et z, à l aide cette fis des crdnnées y et z du pint P. page
.3. La frme de la terre. On admet que la surface stable du «fluide erre» est en tut pint perpendiculaire à la résultante des frces de pressin F P calculée pur un pint P situé à la limite de cette surface. L équatin d une ellipse (aucune cnnaissance relative à cette famille de curbes n est y z nécessaire à la réslutin de la suite du prblème) est en crdnnées cartésiennes : + = 1 ; a a c représente la lngueur du demi-grand axe et c celle du demi-petit axe. La figure 18 précise ces définitins. z c a y figure 18 y z On admet que dans le plan (yz), le vecteur de cmpsantes (, ) est perpendiculaire à a c l ellipse définie ci-dessus au pint de crdnnées (y,z). Enfin, n mntre que l équatin de la trace de la surface de libre du «fluide erre» dans le plan (yz), est celle de l ellipse définie ci-dessus. a.3.1. Exprimer le rapprt c en fnctin de G,M, R et ω..3.. Evaluer le rapprt 3 ω R ε = et préciser sa dimensin. GM a c.3.3. Dnner une expressin apprchée du cefficient f = en fnctin de ε ; c déterminer f numériquement et cmparer la valeur btenue à celle actuellement 1 admise et qui est de l rdre de. 98,5.4. Améliratin du mdèle. Un étude plus fine prenant en cmpte la dépendance de la frce de gravitatin avec la latitude φ du pint permet d établir que l équatin de la surface libre du «fluide erre» s écrit : 3 a a ρ ste + ε1 ( 1 3sin ϕ) + ε 3 cs ϕ = C ρ ρ a - ε 1 est un cefficient sans dimensin qui rend cmpte de l écart à la sphéricité ; 4 ε 1 = 5,4. 10. 3 ω a - ε = ù a représente le rayn équatrial ; a = 6378 km. GM ste - C est une cnstante. page 3
- ρ désigne la distance d un pint P de la surface au centre de la erre et φ sa latitude cmme l indique la figure 19. z c ρ φ P a y ( échelles nn respectées ) figure 19.4.1. Expliciter la cnstante.4.. On pse ρ = ( 1+ η) ste C en fnctin de ε 1 et ε. a ù η est une grandeur petite devant 1. Dnner une expressin apprchée de η sus la frme : η h ( ε1, ε ) sin ϕ ; expliciter la fnctin h( ε, ε 1 ) en fnctin de ε 1 et ε..4.3. Effectuer une nuvelle évaluatin numérique du rapprt f a c = et cnclure. c L utilisatin de satellites permet d affiner ns cnnaissances de la frme de ntre erre. La surface myenne des céans définit le géïde. Ntns que sur les cntinents le géïde ne crrespnd pas à la surface tpgraphique mais à une surface extraplée. La figure 0 est une représentatin du géïde, les culeurs utilisées permettent de cnnaître l altitude par rapprt à l ellipsïde de référence. On peut nter par exemple «le creux» de l Inde (tache bleu fncée) qui se truve à 100 mètres sus l ellipsïde! «creux» de l Inde figure 0 : le géïde. page 4