Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs

Cours de théorie des probabilités avec exercices corrigés et devoirs Licece de mathématiques, 3 ième aée Bruo Saussereau Aée uiversitaire 203-204 Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF Scieces & Techiques, 6, route de Gray, 25030 cedex, Frace. Courriel : bruo.saussereau@uiv-fcomte.fr

Présetatio du cours i Présetatio du cours Ce cours correspod à l uité d eseigemet de théorie des probabilités dispesée das le cadre du semestre 5 de l eseigemet à distace de la Licece de Mathématiques. La diffusio de ce cours est strictemet limitée aux étudiats régulièremet iscrits à l uité d eseigemet correspodate du Cetre de Télé-eseigemet Uiversitaire. Public visé Cet eseigemet par correspodace s adresse e priorité aux étudiats désireux de poursuivre des études de Master e vue de la recherche, de passer le cocours de l agrégatio extere de mathématiques ou à ceux qui se destiet à des études de mathématiques appliquées e vue de deveir igéieurs-mathématicies. Pré-requis et révisios Ce cours e suppose aucu pré-requis sur le formalisme des probabilités. Tout le formalisme et le vocabulaire des probabilités est défii et itroduit au fur et à mesure des besois. Il suppose juste ue sesibilisatio aux phéomèes aléatoires et à leur étude élémetaire telle qu elle est eseigée depuis quelques aées au lycée et das le semestre 4 de la Licece. Pour ue rapide mise à iveau sur l approche élémetaire des probabilités o peut se reporter aux deux ouvrages classiques [] et [2]. Certais des exercices proposés das cette uité sot ispirés de ces deux ouvrages moyeat quelques adaptatios de vocabulaire dues au formalisme itroduit das le cours. E revache ce cours suppose cous les cocepts classiques de la théorie de la mesure et de l itégratio, dite itégrale de Lebesgue. Ces cocepts serot souvet rappelés das ce cours de faço à redre sa lecture autoome. Ces résultats serot éocés sous leur versio la plus utile pour les applicatios e probabilités, ils serot admis et e ferot doc pas l objet d ue démostratio sauf cas particuliers. Pour leur versio géérale et leurs démostratios, o pourra se reporter à l ouvrage [8]. Outre ces résultats spécifiques, le cours écessitera la coaissace de résultats et de techiques classiques de mathématiques géérales. C est doc l occasio, dès maiteat, de réviser égalemet ces otios mathématiques idispesables qui serot supposées coues. A cet effet, o pourra se reporter à u cours classique de mathématiques géérales, par exemple [], largemet suffisat pour revoir ces otios. Il s agit e particulier de bie coaître

ii Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204. les otios et résultats élémetaires de la théorie des esembles : esembles, parties d u esemble, iclusio, apparteace, partitio d u esemble, itersectio et réuio de plusieurs sous-esembles, différece de deux sous-esembles, complémetaire d u sousesemble, applicatios, bijectios, image-réciproque d ue applicatio, opératios sur les applicatios, compositio de deux applicatios,... 2. les élémets de théorie de la mesure et de l itégrale de Lebesgue 3. le calcul des sommes de séries : série géométrique, série expoetielle, dérivatio des séries etières,... 4. quelques élémets d algèbre géérale et multiliéaire e dimesio fiie : biôme de Newto, ombre de combiaisos, espaces vectoriels, produit scalaire euclidie, orme euclidiee, calcul matriciel, trasposé d ue matrice, opératios élémetaires sur les matrices, diagoalisatio d ue matrice symétrique,... Coseils de travail Le cours propremet dit compredra des défiitios, des propositios (théorèmes, lemmes, formules,...), des démostratios, des exemples et des exercices corrigés. Les démostratios doivet être coues, elles sot exigibles lors des épreuves d évaluatio. Les démostratios développées das le cours sot choisies e foctio de l itérêt pédagogique du raisoemet qu elles mettet e oeuvre. Il faut les étudier, crayo e mai, essayer de les refaire e mettat e évidece les deux ou trois axes de la démostratio qu il coviet de reteir pour être capable de la restituer sas documet. C est à ce critère que vous pourrez mesurer si vous avez compris quelque chose. Il est coseillé aussi de bie mettre e évidece das ces démostratios, e les éoçat complètemet et e vérifiat que leurs hypothèses de validité sot satisfaites, les résultats atérieurs sur lesquels elles preet appui. Certaies démostratio serot détaillées, d autres serot volotairemet plus succictes afi de vous etraîer à détailler par vous-même les passages rapides de la démostratio. Les exemples du cours servet à illustrer ue défiitio sur u cas particulier ou à motrer ue applicatio cocrète d ue propositio. Leur rédactio est aussi parfois volotairemet succicte. Il coviet alors d e détailler les calculs, de vérifier les résultats aocés, et d essayer de oter les astuces ou techiques utilisées et trasposables das d autres situatios, évetuellemet moyeat certaies adaptatios. Ce qui est dit pour les exemples est aussi valable pour tous les exercices proposés e auto-correctio et leurs corrigés. Les exercices sot divisés e deux catégories :. Les exercices de la première catégorie sot les exercices isérés das le texte du cours propremet dit. Ils sot assez simples et sot coçus comme des applicatios directes du cours et de ce qui viet d être vu. 2. Les exercices de la secode catégorie, dits de révisio, sot placés e fi de chaque chapitre à partir du chapitre III. Ils sot, quat à eux, de difficultés variables et fot appel aux diverses otios mises e place das les chapitres atérieurs y compris le chapitre étudié.

Présetatio du cours iii Vous devez essayer de chercher à résoudre le maximum d exercices, e vous aidat du cours. Pour les exercices que vous e savez pas résoudre ou que vous avez pas pu chercher, par exemple par maque de temps, il faut au mois étudier leurs solutios e vous reportat au chapitre VIII. Ce qui a été dit, plus haut, pour l étude des démostratios s applique égalemet pour étudier la correctio d u exercice. Ecore ue fois, après avoir étudié ue démostratio ou la solutio d u exercice, vous devez être capable de refaire cette démostratio ou cet exercice, sas regarder le cours, trois ou quatre jours plus tard. C est là u bo test pour savoir si vous avez compris la démostratio ou la solutio de l exercice. Il e faut pas hésiter à réviser les chapitres déjà travaillés c est-à-dire à reveir plusieurs fois, après de logs itervalles de temps, sur les démostratios ou exercices étudiés auparavat. Trois devoirs à rédiger et à retourer à la correctio sot proposés das le cadre de cet eseigemet afi de vous permettre de tester vos coaissaces et de vous iciter à u travail régulier. Ces devoirs permettet aussi de motrer au correcteur que vous avez compris le cours, que vous coaissez les résultats vus e cours et les hypothèses qui les commadet, et que vous savez les mobiliser pour répodre à ue questio ou démotrer u résultat ouveau. Il est doc recommader de tout mettre e œuvre pour atteidre cet objectif. Il est bo de porter so attetio, e particulier, sur les coseils suivats : U devoir de mathématiques est u devoir de fraçais qui traite de mathématiques, c est doc avat tout u texte de fraçais. Il doit doc être rédigée de faço correcte e fraçais. Les hypothèses spécifiques justifiat l utilisatio de chaque théorème doivet être correctemet explicitées et le résultat du cours utilisé doit être clairemet idetifié voire explicitemet éocé. Les résultats itermédiaires et les coclusios obteues doivet être mis e évidece. Les otatios utilisées ou itroduites, surtout si elles sot ouvelles par rapport au cours, doivet être clairemet aocées. La rédactio du cours peut être cosidérée comme u guide de rédactio d u texte mathématique. Les épreuves d exame comporterot des exercices et des questios portat sur l esemble du cours. Elles peuvet égalemet compredre des questios de cours propremet dites : éocer u ou plusieurs résultats du cours, refaire ue ou plusieurs démostratios vues e cours, traiter u exemple ou u exercice corrigé proposés das les documets fouris das le cadre de cette uité d eseigemet. La table de la loi ormale stadard de l aexe B (sas les explicatios sur so utilisatio), aisi que le formulaire de l aexe A, serot dispoibles avec les sujets lors des épreuves d évaluatio. Lors de ces épreuves, l utilisatio d ue calculatrice est autorisée. Certaies propositios du cours coceret des résultats metioés "hors programme". Ils sot simplemet doés das u but de culture mathématique, mais e ferot doc pas l objet d évaluatio et leur coaissace est pas exigible das les évaluatios. Souvet ils apportet des complémets ou des précisios sur u résultat ou ue remarque qui vieet d être faits. Efi, il est évidet que l appréciatio d ue copie par le correcteur, que ce soit celle d u devoir ou d ue épreuve d exame, accordera ue place importate à la rédactio, à la clarté des justificatios et de l argumetatio aisi qu à la présetatio globale de la copie. Ue copie illisible ou mal rédigée pourra e pas être corrigée et sera sactioée e coséquece.

iv Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 Aexes Ce documet compred ciq aexes :. L aexe A, page 205, est u rappel des pricipales relatios mathématiques utilisées das les calculs de probabilités et des lois de probabilités classiques à coaître. Ce formulaire sera dispoible lors des épreuves de cotrôles ou d exames. 2. L aexe B, page 2, explique l usage de la table statistique de la loi ormale cetréeréduite reproduite e fi de l aexe. La table de la loi ormale stadard, sas les explicatios qui l accompaget, sera dispoible lors des épreuves d exame. 3. L aexe C, page 25, compred les sujets des trois devoirs qui devrot être evoyés à la correctio et précise les dates de ces trois evois. Les corrigés de ces devoirs serot retourés avec la copie corrigée. Bibliographie Pour le cours, et surtout pour apporter des complémets à ce cours, o pourra utiliser avec profit le livre de [4]. Pour les exercices o pourra se reporter à [2] pour ceux relevat de la théorie de la mesure de de l itégratio, et à [3] où o trouvera des exercices supplémetaires cocerat la théorie des probabilités. Pour ue justificatio du choix du formalisme et de sa sigificatio e tat que modèle de la "réalité", o pourra cosulter avec profit e première lecture le chapitre I de [5] et [7] puis, e secode lecture, [4] pages 93 et 32, et [3] page 56. Ue approche historique et épistémologique e liaiso avec les questios d eseigemet des cocepts probabilistes peut être trouvée das [6]. Caledrier de travail Le cours lui-même est divisé e sept chapitres auxquels s ajoute u huitième chapitre regroupat les correctios des exercices proposés das les chapitres précédets. Les trois premiers chapitres sot pricipalemet destiés à mettre e place le formalisme des probabilités e trascrivat das le lagage des probabilités les otios de théorie de la mesure et de l itégratio vues das l uité correspodate : tribu, applicatio mesurable, mesure, image d ue mesure, règles d itégratio, théorèmes de Lebesgue,... etc. Normalemet ces otios ot été vues das l uité d itégratio qui est coseillée pour suivre cet eseigemet de probabilité. Elles doivet être étudiées assez rapidemet de faço à faire porter votre travail sur les autres chapitres. Das ces trois premiers chapitres la otio de loi de probabilité, le théorème du trasfert, la otio de foctio caractéristique et les critères d idetificatio des lois, doivet être bie assimilés et maîtrisés. Les cocepts vraimet ouveaux et propres à la théorie des probabilités : idépedace, vecteurs gaussies, covergeces, théorèmes-limites,... etc, sot vues das les quatre deriers chapitres et costituet le oyau de l uité de probabilités.

Présetatio du cours v Il faut cosacrer e gros u tiers du temps de travail de l uité à l étude des chapitres, 2 et 3. U tiers du temps aux chapitres 4 et 5, et u tiers du temps aux chapitres 6 et 7. Vous avez à rédiger trois devoirs à evoyer pour correctio à l adresse suivate : Bruo Saussereau, Laboratoire de Mathématiques de, UF des Scieces et Techiques, 6, route de Gray, 25030 cedex, Frace.. Le devoir, dot le texte se trouve e aexe C, page 26, porte sur les chapitres I, II et III. Il doit être evoyé au plus tard pour le 2 février 204. 2. Le devoir 2, dot le texte se trouve e aexe C, page 28, porte pricipalemet sur le chapitre IV et V mais pourra bie sûr faire appel à des résultats des chapitres précédets. Il doit être evoyé au plus tard pour le 28 mars 204. 3. Le devoir 3, dot le texte se trouve e aexe C, page 220, porte pricipalemet sur les chapitres VI et VII, mais pourra bie sûr faire appel à des résultats des chapitres précédets. Il doit être evoyé au plus tard pour le 8 avril 204. Le caledrier ci-dessus est doé à titre idicatif. Bie etedu, j accepterai de corriger vos devoirs à importe quel momet. Cepedat je vous coseille d essayer de travailler régulièremet et de suivre ce caledrier. emarque fiale Comme pour tout documet, des erreurs ou des coquilles peuvet s être glissées lors de sa rédactio, merci de me sigaler celles que vous pourriez relever. Plus gééralemet, si vous avez des remarques sur le documet, hésitez pas à m e faire part., le 0 javier 204, Bruo Saussereau

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Table des matières. Présetatio du cours Notatios i xi Modèles probabilistes. Prélimiaires....................................2 Tribu sur u esemble.............................. 3.3 Mesures et probabilités.............................. 6.3. Mesure.................................. 6.3.2 Probabilités et évéemets....................... 7.3.3 Propriétés élémetaires des probabilités..................4 Foctios de répartitio............................. 3 2 Loi d u vecteur aléatoire 9 2. emarques sur la modélisatio de l aléatoire.................. 9 2.. Cas discret................................ 9 2..2 Cas cotiu............................... 20 2..3 Pricipe de modélisatio......................... 20 2.2 Applicatios mesurables............................. 2 2.3 Loi d ue variable aléatoire........................... 23 2.3. Variables aléatoires............................ 23 2.3.2 Loi d ue variable aléatoire....................... 24 3 Momets d u vecteur aléatoire 29 3. appels sur l itégratio des applicatios mesurables.............. 29 3.. Itégratio des foctios positives.................... 29 3..2 Itégratio des foctios umériques.................. 33 3..3 Itégratio des foctios vectorielles.................. 36 3..4 Propriétés de l itégrale......................... 37 3..5 Espaces de Lebesgue d ordre p..................... 38 3.2 Théorème du trasfert et momets d ue v.a................... 40 3.2. Théorème du trasfert et idetificatio de lois............. 40 3.2.2 Momets d ue variable aléatoire.................... 45 3.3 Foctio caractéristique et loi d ue v.a..................... 49 3.4 Exercices de révisio sur les chapitres I à III.................. 59

viii Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 4 Idépedace stochastique 6 4. Itégratio sur +p............................... 6 4.2 Idépedace de vecteurs aléatoires, d évéemets, de tribus.......... 66 4.2. Idépedace de vecteurs aléatoires................... 66 4.2.2 Critères d idépedace de vecteurs aléatoires............. 68 4.2.3 Idépedace d évéemets, de tribus.................. 77 4.3 Tribu et évéemets asymptotiques....................... 80 4.4 Somme de v.a.r. idépedates......................... 84 4.5 Exercices de révisio sur les chapitres I à IV................... 90 5 Vecteurs aléatoires gaussies 95 5. Vecteur gaussie................................. 95 5.2 Loi d u vecteur gaussie............................ 98 5.3 Exercices de révisio sur les chapitres I à V................... 03 6 Lois des grads ombres et covergeces de v.a.r. 05 6. Covergece e probabilité d ue suite de v.a.r.................. 05 6.. Loi faible des grads ombres...................... 05 6..2 Covergece e probabilité....................... 09 6.2 Covergece presque-sûre d ue suite de v.a.r.................. 2 6.2. Loi forte des grads ombres...................... 2 6.2.2 Covergece presque-sûre........................ 3 6.3 Covergece das L p (Ω, F, P) où p [, + ]................. 8 6.4 Comparaiso des covergeces das L 0 (Ω, F, P)................ 9 6.5 Exercices de révisio sur les chapitres I à VI................... 2 7 Théorème-limite cetral et covergece de lois 23 7. Théorème-limite cetral (TLC)......................... 23 7.. Éocé du théorème-limite cetral (TLC)................ 23 7..2 Cas particuliers du théorème-limite cetral (TLC)............ 26 7..3 Correctio de cotiuité......................... 28 7.2 Covergece d ue suite de probabilités, covergece e loi.......... 29 7.3 Exercices de révisio sur les chapitres I à VII.................. 4 8 Corrigés des exercices 45 8. Corrigés des exercices du chapitre I....................... 45 8.2 Corrigés des exercices du chapitre II....................... 52 8.3 Corrigés des exercices du chapitre III...................... 55 8.4 Corrigés des exercices du chapitre IV...................... 65 8.5 Corrigés des exercices du chapitre V....................... 83 8.6 Corrigés des exercices du chapitre VI...................... 90 8.7 Corrigés des exercices du chapitre VII...................... 96 A Formulaire 205 A. appels de otatios............................... 205 A.2 Quelques relatios à coaître e probabilités.................. 205 A.3 Probabilités usuelles discrètes.......................... 207 A.4 Probabilités usuelles à desité.......................... 208

Table des matières. ix B Table de la loi ormale stadard 2 B. Calculs avec des v.a.r. ormales cetrées-réduites................ 2 B.2 Calculs avec des v.a.r. ormales de paramètres quelcoques.......... 22 C Devoirs à evoyer à la correctio 25 C. Devoir à revoyer le 2 février 204 au plus tard............... 26 C.2 Devoir 2 à revoyer le 28 mars 204 au plus tard................ 28 C.3 Devoir 3 à revoyer le 8 avril 204 au plus tard................ 220 Bibliographie. 22

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Notatios xi Notatios Nous répertorios ici quelques otatios géérales qui serot utilisées das l esemble du cours. O ote de faço classique respectivemet par les lettres, N, Z, Q,, C, les esembles des ombres etiers aturels, relatifs, ratioels, réels, complexes. Les lettres P et E serot itroduites das le cours mais e devrot pas être cofodues avec les otatios d esembles de ombres. O pose := {+, }. O éted l ordre usuel de à e posat, pour tout x, < x < +. O prologe les opératios classiques sur de la faço suivate : pour tout x {+ }, x + (+ ) = +, x ( ) = + ; pour tout x { }, x + ( ) =, x (+ ) =. O remarquera que (+ ) + ( ) et (+ ) (+ ) e sot pas défiis. O suppose coues les otatios classiques de la théorie élémetaire des esembles : itersectio, réuio, différece de deux esembles \, esemble vide Ø, passage au complémetaire ou plus fréquemmet c, iclusio (au ses large). Le symbole de Halmos,, désigera la fi d ue démostratio. Le symbole := sigifie "est égal par défiitio". Il idique que le membre de gauche de := est ue otatio pour le membre de droite. Chaque propositio, exemple, exercice, est umérotée par deux ombres séparés par u poit. Par exemple "propositio 5.2" désige la propositio 2 du chapitre 5.

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Chapitre. Modèles probabilistes Chapitre Modèles probabilistes Le formalisme de la théorie des probabilités utilise les outils de la théorie de la mesure e adoptat u vocabulaire spécifique aux probabilités.. Prélimiaires Certaies défiitios et otatios de la théorie élémetaire des esembles serot costammet utilisées das la suite. Afi d éviter toute ambiguïté ous les rappelos rapidemet das ce paragraphe. Défiitio.. Das ce cours u esemble sera dit déombrable s il est e bijectio avec ue partie (fiie ou ifiie) de N. (Attetio : das certais ouvrages, u tel esemble est dit au-plus-déombrable, le qualificatif déombrable désigat alors les esembles possédat u ombre fii d élémets.) Si A et B sot deux parties d u esemble E, o ote A c := {x E / x A}, ou aussi E A si o souhaite préciser l esemble de référece E, le complémetaire de A das E et A \ B := A B c = {x A / x B}. Défiitio.2. Soit f ue applicatio d u esemble E das u esemble F. Si A est ue partie de F, l image-réciproque de A par f est l esemble, oté par les probabilistes {f A}, défii par {f A} := {x E / f (x) A}. L esemble {f A} est doc ue partie de E. Exemples.. Si f et g sot deux applicatios de E das et a u réel, {f = g} := {x E / f (x) = g(x)}, {f g} := {x E / f (x) g(x)}, {f = a} := {x E / f (x) = a}.

2 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 E vue de la propositio suivate, rappelos que si (A i ) I est ue famille quelcoque de parties d u esemble F, i I A i désige la partie de F costituée des élémets x de F tels qu il existe au mois u idice k I, x A k. De même, bigcap i I A i désige la partie de F costituée des élémets x de F tels que, pour tout idice k I, x A k. Voici quelques propriétés classiques de l image-réciproque : Propositio.. Avec les otatios itroduites ci-dessus,. {f Ø} := {x E / f (x) Ø} = Ø. 2. Si A et B sot des parties de F avec A B alors, {f A} {f B}. 3. Si (A i ) I est ue famille quelcoque de parties de F, { f } A i = { {f A i } et f } A i = {f A i }. i I i I i I i I 4. {f A} c = E \ {f A} = {f F \ A} = {f A c }. O fera attetio à l ambiguïté de la otatio c pour le complémetaire d u esemble das l assertio 4 de cette propositio : {f A} c sigifie E {f A} et {f A c } sigifie {f F A}. Exercice.. (Corrigé de l exercice : page 45) Démotrer la propositio précédete. Défiitio.3. L idicatrice d ue partie A de E est l applicatio, otée l A, de E das défiie, pour tout x E, par l A (x) := 0 si x A et l A (x) := si x A. Exercice.2. (Corrigé de l exercice : page 45) Soiet A, B et C trois parties d u esemble Ω.. Écrire l A B et l A B e foctio de l A et l B lorsque : (a) A et B sot disjoits ( i.e. A B = Ø). (b) A et B sot quelcoques. 2. Exprimer, e foctio des idicatrices de A, B et C, les idicatrices des esembles suivats : A c, A \ B, A B C. Exercice.3. (Corrigé de l exercice : page 46) epréseter graphiquemet les foctios défiies sur :. l [,+ [. 0 2. 0 l [0,].

Chapitre. Modèles probabilistes 3 3. 0( + )l [,+[. Efi, rappelos que, si f et g sot deux applicatios d u esemble E das, la otatio f g sigifie que, pour tout x E, f (x) g(x)..2 Tribu sur u esemble Défiitio.4. Ue famille A de parties d u esemble E est appelée ue tribu sur E, (ou das certais ouvrages ue σ-algèbre sur E ), si elle vérifie les trois axiomes suivats :. E A, 2. Si A A, alors A c A, 3. Si (A ) N est ue suite d élémets de A, alors N A A. Défiitio.5. Le couple (E, A) s appelle u espace mesurable et les élémets de A sot appelés les parties mesurables de E relativemet à la tribu A ou parties A-mesurables de E O otera bie que A est u esemble costitué de parties de E et doc ue partie de P(E), l esemble de toutes les parties de E. Exemples.2. les familles de parties de E, {Ø, E} et P(E), sot des tribus sur E appelées tribus triviales de E. O peut doc défiir au mois ue tribu sur tout esemble E. Exercice.4. (Corrigé de l exercice : page 47) Soiet u etier strictemet positif et (A, A 2,, A ) ue partitio de E, i.e. ue suite de parties o vides de E, deux à deux disjoites, dot la réuio est égale à E. Soit A la famille des réuios qu o peut fabriquer à partir de toutes les sous-familles de la suite (A, A 2,, A ), c est-à-dire la famille des parties de E de la forme i K A i où K parcourt l esemble des parties de {, 2,, }. Motrer que la famille A est ue tribu sur E. Pour ue gééralisatio de ce résultat, o pourra cosulter [2] exercice I-7 questio 2. Exercice.5. (Corrigé de l exercice : page 47) Motrer que l itersectio d ue famille quelcoque de tribus est ue tribu. E est-il de même pour la réuio? La propositio suivate doe u procédé de costructio de parties mesurables à partir d autres élémets de la tribu :

4 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 Propositio.2. Soit A ue tribu sur E.. Ø A. 2. Si (A i ) i I, où I N, est ue suite (fiie ou ifiie) d élémets de A, alors A i A. i I A i A et i I Démostratio : Ø = E c, o coclut par les axiomes et 2 de la défiitio des tribus. O pose A i := A i pour tout etier i I et A i := Ø pour tout etier i N \ I. O applique le résultat précédet et l axiome 3 de la défiitio pour motrer que i I A i = N A A. Pour motrer i I A i A, o remarque que ( A i = O utilise alors le résultat précédet et l axiome 2. i I i I A c i ) c Exercice.6. (Corrigé de l exercice : page 48) Motrer que si A et B sot deux parties mesurables de E relativemet à la tribu A, alors A \ B A. Pour des raisos techiques qui serot précisées plus loi, lorsqu o travaille sur E := ou plus gééralemet E := d avec d N, il est pas possible d utiliser la tribu P() ou P( d ) car elle est trop "grosse". Pour des explicatios plus détaillées cosulter l aexe??, page??. O doit doc défiir ue tribu plus "petite" (au ses de l iclusio des esembles) mais suffisammet riche e élémets pour coteir au mois les esembles utilisés das les applicatios pratiques de la théorie des probabilités, comme les itervalles de ou les pavés de d, et leurs réuios ou itersectios déombrables. Pour cela o défiit la tribu boréliee ou tribu de Borel de otée B(). C est la plus petite des tribus sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b. Cette derière phrase sigifie que si A est ue tribu sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b, alors tout élémet de la tribu B() est u élémet de la tribu A. Plus gééralemet, Défiitio.6. La tribu boréliee ou tribu de Borel de d,, otée B( d ), est la plus petite des tribus sur d coteat tous les pavés de d i.e. les parties de la forme ]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ] où, pour tout etier i d, a i et b i sot des réels tels que a i < b i. O peut de même défiir la tribu boréliee sur B() :

Chapitre. Modèles probabilistes 5 Défiitio.7. La tribu boréliee sur, otée B(), est la plus petite des tribus sur coteat tous les itervalles de la forme ]a, b], où a et b sot des réels tels que a < b, et les itervalles ]a, + ] où a. Défiitio.8. Les élémets des tribus B(), resp. B( d ), sot appelés borélies de, resp. d. Exercice.7. (Corrigé de l exercice : page 48) Prouver l existece de la tribu de Borel de. Pour cela, motrer que B() est l itersectio de la famille (o vide car la tribu P() e fait partie) des tribus coteat tous les itervalles de la forme ]a, b] où a et b sot des réels tels que a < b. Plus gééralemet : Défiitio.9. Soit C ue famille de partie d u esemble E. O appelle tribu egedrée par C sur E, et o ote σ( C), la plus petite tribu (au ses de l iclusio) défiie sur E coteat la famille C. O vérifiera aisémet que la tribu σ( C) est l itersectio de toutes les tribus sur E qui cotieet C. Exemples.3. O motre e théorie de la mesure que la tribu boréliee de d famille costituée des parties ouvertes de d. est egedrée par la Exercice.8. (Corrigé de l exercice : page 48) Soiet u etier strictemet positif et (A, A 2,, A ) ue partitio de E. Motrer que la tribu costruite das l exercice.4 est la tribu sur E egedrée par la famille (A, A 2,, A ). Das la suite du cours les esembles et d serot toujours supposés muis de leurs tribus boréliees. La propositio suivate doe des exemples de borélies de. Pratiquemet ceux-ci correspodet à la plupart des esembles qui serot maipulés das la suite : Propositio.3.. Tout sigleto de est u borélie. 2. Toute partie déombrable de est u borélie. 3. Tous les itervalles de, quelle que soit leur forme, sot des borélies de. 4. Toutes les réuios déombrables ou itersectios déombrables d itervalles de, ou plus gééralemet de borélies, sot des borélies. Démostratio : Pour le sigleto, o remarque que si a, o peut écrire + {a} = ]a k ], a. k=

6 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 O coclut alors avec la propositio.2 de la page 4. Pour l assertio 2, o utilise l axiome 3 de la défiitio des tribus. Pour démotrer 3, o motre que tout itervalle peut être écrit comme réuio ou itersectio déombrable d itervalles de la forme ]a, b] ou de sigletos. Par exemple [a, b] =]a, b] {a} ce qui prouve que tout itervalle fermé boré est borélie. Autres exemples : ]a, b[=]a, b] \ {b} ou ecore ]a, b[= + k= ] a, b ], ], b] = k + k> b ] k, b]. O otera que si toute réuio déombrable ou itersectio déombrable d itervalles de est u borélie, cela e sigifie pas pour autat que tous les borélies de sot de cette forme. De plus o motre que B( d ) est strictemet icluse das l esemble des parties de d. Il existe doc des parties de d qui e sot pas mesurables pour la tribu de Borel. Mais das la pratique, tous les esembles que ous seros ameés à utiliser das d serot e fait des borélies..3 Mesures et probabilités.3. Mesure Défiitio.0. Soit (E, A) u espace mesurable. Ue mesure sur (E, A) est ue applicatio µ de A das [0, + ] vérifiat les axiomes :. µ(ø) = 0, 2. σ-additivité : pour toute suite (A ) N d élémets de A deux à deux disjoits ( + ) µ A k = k=0 + k=0 µ(a k ). Le triplet (E, A, µ) s appelle u espace mesuré. La σ-additivité etraîe la simple-additivité ( i.e. pour toute suite fiie A,, A d élémets + ) + de A deux à deux disjoits µ A k = µ(a k ). Mais la réciproque est fausse, c est-à-dire k=0 k=0 qu il e suffit pas que le deuxième axiome de la défiitio précédete soit vrai pour les suites fiies deux à deux disjoites pour qu il le soit pour les suites ifiies deux à deux disjoites. U cotre-exemple est proposé das l exercice suivat. Exercice.9. (Corrigé de l exercice : page 48) O cosidère l applicatio µ de P(N) das [0, + ] défiie, pour tout A N, par µ(a) := (avec la covetio = + ) si A est fii, µ(a) = + si A est ifii, 2 0 A et µ(ø) = 0. Motrer que

Chapitre. Modèles probabilistes 7. µ est simplemet-additive sur ( N, i.e. pour toute suite fiie A,, A de parties de ) N, deux à deux disjoites, µ A k = µ(a k ). 2. µ est pas σ-additive sur N. k= O admettra qu il existe ue uique mesure sur ( d, B( d )), otée λ (d) et appelée mesure de Lebesgue sur d, telle que, pour tout pavé de la forme ]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ] où pour tout etier i d, les réels a i et b i vérifiet a i < b i, λ (d) (]a, b ] ]a 2, b 2 ] ]a d, b d ]) = (b a )(b 2 a 2 ) (b d a d ). La mesure de Lebesgue éted doc les otios de mesure de logueur (cas d = ), mesure d aire (cas d = 2), mesure de volume (cas d = 3) à toutes les parties de d qui sot des borélies. Das le cas d = o otera, pour simplifier, λ := λ (). O motre que λ (d) ( d) = +. O dit que la mesure de Lebesgue est ue mesure o fiie cotrairemet aux probabilités que ous allos défiir ci-dessous et qui sot des cas particuliers de mesures fiies. Exercice.0. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que = k Z]k, k + ] et e déduire que λ () = + e appliquat l axiome de σ-additivité de la mesure de Lebesgue..3.2 Probabilités et évéemets Défiitio.. Ue probabilité sur (E, A) est ue mesure µ sur (E, A) telle que µ(e) =. Le triplet (E, A, µ) s appelle alors u espace de probabilité, les parties mesurables s appellet les évéemets relatifs à µ. E est l évéemet certai, Ø est l évéemet impossible. Deux évéemets disjoits sot dits icompatibles. Doréavat, sauf idicatio cotraire, (E, A, µ) désigera u espace de probabilité. Défiitio.2. Ue partie A de E est dite égligeable pour µ, s il existe u évéemet B tel que A B avec µ(b) = 0. Ue propriété P(x), dépedat de l élémet x E, est dite µ-presque-sûre (e abrégé µ-p.s.) si l esemble des x E pour lesquels la propriété P(x) est pas vérifiée est égligeable pour µ. Défiitio.3. Deux évéemets A et B sot dits µ-presque-sûremet égaux si l évéemet (A\B) (B \A) est égligeable pour µ. U évéemet égligeable pour µ est µ-presque-sûremet vide, c est-à-dire µ-presque-sûremet impossible. k=

8 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 Exemples.4. ) Doos u premier exemple de probabilité sur E := d. Comme coveu o souseted A := B( d ). Soit a d fixé, o ote δ a l applicatio de B( d ) das {0, } défiie, pour tout borélie A, par δ a (A) = l A (a) c-à-d δ a (A) = si a A et δ a (A) = 0 sio. δ a est ue probabilité sur ( d, B( d ) ) appelée probabilité de Dirac au poit a sur d. O vérifie aisémet que toute partie de d e coteat pas a est égligeable pour δ a. Le sigleto {a} est u évéemet δ a -presque-sûremet égal à l évéemet certai d. 2) D après le résultat de l exercice.0, la mesure de Lebesgue est pas ue probabilité sur d. Exercice.. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que δ a, où a est u réel, est bie ue probabilité sur. Doos sous forme de propositio u exemple géérateur de mesures et e particulier de probabilités : Propositio.4. Soiet (µ k ) N ue suite de mesures sur (E, A) et (α k ) N ue suite de réels positifs. Alors l applicatio est ue mesure sur (E, A) otée µ : A A µ(a) := µ := + k=0 α k µ k. + k=0 α k µ k (A) Démostratio : O vérifie aisémet que µ(ø) = 0. La σ-additivité de µ découle immédiatemet du lemme suivat sur l iterversio des idices, souvet utile das les calculs : Si (a i,j ) (i,j) N 2 est ue suite-double de réels positifs, alors + + i=0 j=0 a i,j = + + j=0 i=0 a i,j. Cette somme peut être évetuellemet ifiie. Pour ue démostratio du lemme se reporter à [] tome 2, p. 306. O otera que si les mesures µ k mesure + k=0 α k µ k est ue probabilité sur (E, A). sot des probabilités sur (E, A) et si + α k k=0 =, alors la Exemples.5. Appliqué au cas particulier où les probabilités µ k sot les probabilités sur de Dirac au poit k N, le procédé précédet permet de costruire d autres exemples classiques de probabilités. Si N, α ]0, + [, p ]0, [ et q := p, o défiit :

Chapitre. Modèles probabilistes 9. la probabilité biomiale de paramètres et p : B(, p) := C k p k q k δ k. k=0 2. la probabilité de Poisso de paramètre α : α αk P(α) := e k! δ k. k=0 3. la probabilité géométrique de paramètre p : G(p) := + k= pq k δ k. 4. la probabilité uiforme-discrète de paramètre ou équiprobabilité sur {, 2,, } : U() := δ k. La probabilité B(, p) est appelée probabilité de Beroulli de paramètre p simplemet B(p). k= et se ote Exercice.2. (Corrigé de l exercice : page 49) Vérifier que les probabilités itroduites das l exemple précédet sot bie des probabilités costruites suivat le procédé de la propositio.4. Exercice.3. (Corrigé de l exercice : page 49) ) Expliciter les expressios aalytiques, pour tout i N, de B(, p)({i}) et P(α) ({i}). 2) Expliciter et calculer P( 0 ) ({, 3, 5, 7}) et B(7, 3 ) ({0, 3, 5}). 0 Défiitio.4. Ue probabilité µ sur d est dite discrète et portée par l esemble F si elle peut s écrire sous la forme µ = p δ a où (p ) N est ue suite de réels positifs ou uls, (a ) N est ue suite N de vecteurs de d et F désige l esemble des a d pour lesquels p > 0. Exemples.6. Les probabilités biomiale B(, p), de Poisso P(α), de Dirac δ a sot discrètes et portées respectivemet par les esembles {0,,, }, N, {a}. Il e faut pas croire que toutes les probabilités soiet discrètes. Par exemple o admettra qu il existe ue uique probabilité sur, otée N (0, ) et appelée probabilité de Gauss-Laplace stadard, ou probabilité ormale stadard, telle que pour tout x, N (0, ) (], x]) = 2π x e 2 t2 dt.

0 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 O verra u peu plus loi que cette probabilité e peut pas s écrire sous la forme d ue combiaiso liéaire de probabilités de Dirac et est doc pas discrète. emarquos que le ombre réel N (0, ) (], x]) représete la mesure de l aire délimitée par l axe des abscisses t, la courbe d équatio y = 2π e 2 t2, et la droite d équatio t = x. O dira pour simplifier qu il s agit de la mesure de l aire sous la courbe d équatio y = 2π e 2 t2, comprise etre et x. O peut gééraliser u peu la costructio précédete. Défiitio.5. Nous appelleros desité de probabilité sur toute applicatio ρ positive de das [0, + ], cotiue sur, sauf évetuellemet e u ombre fii de poits où la courbe présete des sauts fiis, telle que + ρ(t)dt =. O motre alors qu il existe ue uique probabilité µ sur telle que, pour tout x, µ (], x]) = x ρ(t)dt. O dit que µ est ue probabilité à desité sur. O écrit µ = ρ λ pour exprimer que µ admet ρ pour desité. Nous gééraliseros de faço défiitive la défiitio de desité d ue probabilité sur d au chapitre III par la défiitio 3.2, page 35. Comme précédemmet, le réel µ (], x]) représete la mesure de l aire sous la courbe d équatio y = ρ(t), comprise etre et x. O peut de faço plus géérale défiir des mesures à desité, qui e sot plus écessairemet des probabilités, e remplaçat das la défiitio de la desité ci-dessus, la coditio + ρ(t)dt = par la coditio plus faible + ρ(t)dt < +. L existece des mesures à desité résulte d u théorème de prologemet assez techique que ous éoceros pas. Nous ous coteteros d admettre l existece de telles mesures. Exemples.7.. La probabilité de Gauss-Laplace stadard vue plus haut admet la desité ρ défiie sur par ρ(t) := e 2 t2. 2π 2. L applicatio ρ := b a l [a,b], avec a < b, est la desité d ue probabilité sur appelée probabilité uiforme-cotiue sur [a, b] et otée U([a, b]). 3. L applicatio ρ, défiie sur par ρ(t) := αe αt l ]0,+ [ (t), est la desité d ue probabilité sur appelée probabilité expoetielle de paramètre α > 0 et otée E(α).

Chapitre. Modèles probabilistes O pourrait se demader pourquoi o e défiit pas les mesures comme des applicatios µ σ-additives de l esemble des parties de E das [0, + ] avec µ(ø) = 0. Cela reviedrait à predre toujours A := P(E) et éviterait le recours à la otio de tribu. E fait, o motre que certaies probabilités, comme celle de Gauss défiie plus haut, e peuvet pas être défiies pour toutes les parties de. Plus précisémet, o motre que, toujours das le cas de E :=, les seules probabilités qui satisferaiet à cette ouvelle défiitio seraiet les probabilités discrètes. Malheureusemet cette famille est pas assez riche pour permettre de modéliser grad ombre des situatios aléatoires qui se présetet das les applicatios cocrètes de la théorie. Pour plus de développemets se reporter à l aexe??, page??, de ce cours..3.3 Propriétés élémetaires des probabilités (E, A, µ) désige u espace de probabilité. Propositio.5.. Pour tout A, B A tel que A B, µ(a) µ(b). E particulier pour tout A A, µ(a). 2. Pour tout A, B A, µ(b \ A) = µ(b) µ(a B). E particulier si A B, µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 3. Pour tout A, B A, µ(a B) = µ(a) + µ(b) µ(a B). 4. Pour tout A A, µ(a c ) = µ(a). Démostratio : ) O remarque que B = (B \ A) A car A B. De plus (B \ A) A = Ø. D où µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a) l égalité résultat de ce que l uio est disjoite. O coclut par l axiome 2 des mesures. Pour la deuxième partie predre B = E. 2) résulte de l égalité esembliste (B \ A) (A B) = B avec (B \ A) (A B) = Ø. Pour la deuxième partie remarquer que si A B, A B = A. 3) résulte de A B = (A \ B) B où l uio est disjoite. 4) résulte de A c = E \ A avec A E. Pour démotrer l iégalité de Boferroi ous auros besoi du résultat esembliste suivat laissé e exercice : Propositio.6. Soit (A ) N ue suite de parties d u esemble E. Posos B 0 := A 0 et, pour tout etier k, B k := A k \(A 0 A A k ). Alors, pour tout etier 0, B A et la suite (B ) N est formée de parties deux à deux disjoites vérifiat, pour tout etier aturel, B k = A k, et + k=0 B k = + k=0 A k. k=0 k=0 Exercice.4. (Corrigé de l exercice : page 50) Démotrer la propositio.6. Ce résultat est souvet utile pour se rameer à des familles de parties deux à deux disjoites car, du fait de l axiome de σ-additivité, il est beaucoup plus facile de maipuler des réuios

2 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 de parties de E deux à deux disjoites. Voici ue illustratio de cette remarque das la démostratio ci-dessous de l iégalité de Boferroi. Propositio.7. Iégalité de Boferroi ou propriété de sous-additivité Pour toute suite (A ) N d élémets de A, ( + ) µ A k k=0 + k=0 µ(a k ). E coséquece, ue réuio déombrable d évéemets égligeables pour µ est égligeable. Démostratio : O applique la σ-additivité des mesures à la suite (B ) N de la propositio.6 et o utilise les propriétés élémetaires des probabilités éocées das la propositio.5. La formule de Poicaré ci-dessous, qu o admettra, gééralise au cas de évéemets la relatio 3) de la propositio.5, page, établie pour deux évéemets (la démostratio peut se faire par récurrece sur l etier, ue autre démostratio utilisat les propriété de l itégrale sera proposée au chapitre III das l exemple 3.9, page 37). Propositio.8. Formule de Poicaré Pour toute suite (A, A 2,, A ) d élémets de A, ( k= ) ( ) k= µ A k = ( ) k+ µ (A i A i2 A ik ). k= k= i <i 2 < <i k Propositio.9. Théorème de cotiuité mootoe. Pour toute suite (A ) N d élémets de A, croissate ( au ses de l iclusio, (µ(a )) N est + ) ue suite réelle croissate covergeat vers µ A k c-à-d µ ( + k=0 k=0 A k ) = lim + µ(a ). 2. Pour toute suite (A ) N d élémets de A, décroissate au ses ( de l iclusio, la suite + ) (µ(a )) N est ue suite réelle décroissate covergeat vers µ A k c-à-d µ ( + k=0 A k ) = lim + µ(a ). k=0 Démostratio : ) Soit (A ) N suite croissate d élémets de A. Utilisos la suite costruite das la propositio.6. Comme la suite (A ) N est croissate, pour tout etier,

Chapitre. Modèles probabilistes 3 B = A \ A et B 0 = A 0. (B ) N est ue suite d élémets de A deux à deux disjoits avec + k=0 A k = + k=0 ( + ) µ A k k=0 B k. Il viet ( + ) = µ B k = k=0 + k=0 µ(b k ) = µ(a 0 ) + + k= k= = µ(a 0 ) + lim (µ(a k ) µ(a k )) = lim µ(a ). k= D où la première partie. 2) Comme µ est ue probabilité, ( + ) ( + µ A k = µ k=0 k=0 A c k ). (µ(a k ) µ(a k )) Or (A c ) N est ( ue suite croissate d élémets de A. D après la première partie de la démostratio, µ = lim µ(a c + ) ). Par suite k=0 A c k D où la deuxième partie. ( + ) µ A k = lim ( µ(a c )) = lim µ(a ). k=0.4 Foctios de répartitio La possibilité de défiir ue probabilité sur ue tribu à partir de la coaissace des valeurs de cette mesure sur ue sous-famille de la tribu, résulte d u théorème de prologemet assez techique que ous éoceros pas. E revache, il est souvet utile de motrer qu il existe ue uique probabilité sur la tribu qui pred des valeurs seulemet coues sur ue sous-famille de la tribu. L uicité das le cas des probabilités résulte d u théorème, appelé théorème d uicité, qui découle lui-même du théorème des classes mootoes qu o admettra, dot il est utile de coaître l éocé. Commeços tout d abord par doer deux défiitios : Défiitio.6. Ue famille M de parties de E est appelée ue classe mootoe sur E si elle vérifie les trois axiomes suivats :. E M. 2. Si A M et B M avec B A, alors A \ B M. 3. Si (A ) N est ue suite croissate au ses de l iclusio d élémets de la famille M, alors + =0 A M.

4 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 De faço aalogue à la défiitio correspodate pour les tribus, si J est ue famille de parties de E, o appellera classe mootoe egedrée par J la plus petite classe mootoe sur E coteat tous les élémets de la famille J. O vérifie aisémet que la classe mootoe egedrée par J est l itersectio de toutes les classes mootoes sur E coteat tous les élémets de la famille J. Moyeat ces deux défiitios le théorème des classes mootoes s éoce : Propositio.0. Théorème des classes mootoes (admis) Soit J ue famille, stable par itersectios fiies, de parties d u esemble E, alors la classe mootoe egedrée par J coïcide avec la tribu egedrée par J. Ue applicatio importate de ce théorème est le théorème d uicité sur les probabilités : Propositio.. Théorème d uicité pour les probabilités Soit C ue famille, stable par itersectios fiies, de parties d u esemble E. Soit A la tribu egedrée par C, i.e. A = σ( C). Si µ et ν sot deux probabilités défiies sur l espace (E, A) telles que, pour tout A C, µ(a) = ν(a), alors, pour tout A A, µ(a) = ν(a), i.e. µ = ν. Démostratio : Notos H la famille des évéemets A A tels que µ(a) = ν(a). D après l item de la propositio.9, o vérifie aisémet que H est ue classe mootoe qui cotiet la famille C. Doc H cotiet la classe mootoe egedrée par C. Comme, par hypothèse C est stable par itersectios fiies, d après le théorème des classes mootoes, la classe mootoe egedrée par C coïcide avec la tribu egedrée par C, c est-à-dire A. Fialemet, pour tout A A H, µ(a) = ν(a). Ce résultat motre que pour prouver que deux probabilités sot égales, il suffit de mettre e évidece qu elles coïcidet sur ue famille egedrat la tribu, stable par itersectios fiies. Cette remarque justifie la défiitio suivate : Défiitio.7. Ue famille de parties d u esemble o vide E stable par itersectios fiies est appelée u π-système de parties de E. Par exemple, si ous preos E =, la famille C de tous les itervalles de de la forme ], x] où x parcourt, est u π-système de parties de. De plus C egedre la tribu boréliee de car, pour tout réel a et b avec a < b, ]a, b] =], b]\], a]. Le théorème d uicité. appliqué à C et mui de la tribu de Borel deviet alors : Propositio.2. Lemme d uicité pour les probabilités sur Soiet µ et ν deux probabilités sur. Si pour tout x µ(], x]) = ν(], x]), alors µ = ν. Ce résultat a pour coséquece que pour idetifier ue probabilité µ sur, il suffit d idetifier l applicatio F µ de das [0, ], défiie, pour tout x, par F µ (x) := µ(], x]).

Chapitre. Modèles probabilistes 5 Défiitio.8. O dit que F µ est la foctio de répartitio de la probabilité µ, e abrégé f.r.. Avec ces otatios o peut éocer autremet le lemme d uicité pour les probabilités sur : Propositio.3. Deux probabilités sur sot idetiques si, et seulemet si, elles ot la même foctio de répartitio. Exemples.8. ) La f.r. de δ a, où a, est l [a,+ [. 2) La f.r. de B(p) est pl [,+ [ + ( p)l [0,+ [. 3) La f.r. de 4 δ 0+ 3 4 N (0, ) est 4 l [0,+ [+ 3 4 F où F désige la f.r. de la probabilité N (0, ). Les valeurs de la foctio de répartitio de la probabilité N (0, ) sot "tabulées". O trouvera la tables des valeurs de la foctio de répartitio de la probabilité ormale stadard, appelée commuémet table de la loi ormale cetrée-réduite, avec u mode d emploi das l aexe B, page 2, de ce cours. A titre d etraîemet, o pourra égalemet chercher à exprimer les foctios de répartitio des probabilités E(α) et U([a, b]) (O trouvera leur expressio das le formulaire reproduit e aexe A, page 205. Exercice.5. (Corrigé de l exercice : page 50) Soit F l applicatio de das défiie, pour tout réel x, par F (x) := 2 e x si x 0, et F (x) := 2 ex si x 0. Motrer que F est la foctio de répartitio d ue probabilité à desité qu o détermiera. Propositio.4. Soit µ ue probabilité sur de foctio de répartitio F. Alors. F est croissate sur et admet des limites à droite e tout poit de { } et à gauche e tout poit de {+ }. De plus F est cotiue-à-droite sur, lim F (x) = 0 et lim x F (x) =. x + 2. Pour tous réels a, b avec a < b : (a) µ(]a, b]) = F (b) F (a) et µ(], a[) = F (a ) où F (a ) désige la limite-àgauche de F au poit a. (b) µ({a}) = F (a) F (a ). (c) F est cotiue e a si, et seulemet si, µ({a}) = 0. Démostratio : ) Soiet x, y des réels vérifiat x y. Comme ], x] ], y] il viet F (x) = µ(], x]) µ(], y]) = F (y). Doc F est croissate sur.

6 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204 Pour motrer que F admet ue limite-à-gauche, cosidéros u poit a de {+ } et posos l := sup F (x). l est das puisque F est borée par. Soit ε > 0, il existe x 0 < a tel que x<a l F (x 0 ) > l ε. Doc, pour tout x ]x 0, a[, l F (x) F (x 0 ) > l ε c-à-d F (x) l < ε, ce qui doe l existece de la limite-à-gauche e a pour F. O motre de même l existece d ue limite-à-droite F (a+) := if F (x). x>a La suite d itervalles (], a + ) + ] est décroissate et ], a + ] =], a], doc N k=0 par le théorème de cotiuité mootoe.9 de la page 2 µ (], a]) = lim µ (], a + ) ] ( c-à-d F (a) = lim F a + ) = F (a+) car la limite-à-droite existe au poit a. F est doc cotiue-à-droite e tout poit de. La suite d itervalles (], ]) N est décroissate et est croissate et + =0 + =0 ], ] = Ø. La suite (], ]) N ], ] =. Par applicatio du théorème de cotiuité mootoe à ces deux derières suites, o obtiet les valeurs des limites de F e et +. 2-a) µ(]a, b]) = µ(], b]) µ(], a]) car ]a, b] =], b]\], a]. D où le premier résultat. Comme ], a[= ], a ] et que F admet ue limite-à-gauche e a d après la première partie, µ(], a[) = lim µ(], a ( + ]) = lim F a ) = lim F (x) = F (a ). + x a,x<a ce qui doe le secod résultat. 2-b) O peut écrire {a} =], a]\], a[. Par suite, µ({a}) = µ(], a]) µ(], a[) = F (a) F (a ). 2-c) F est cotiue e a si, et seulemet si, F (a) = F (a ) c-à-d µ({a}) = 0, d après 2-b. Exercice.6. (Corrigé de l exercice : page 50) Motrer que, pour tout réel x, N (0, ) ({x}) = 0 et e déduire que la probabilité N (0, ) e peut pas s écrire comme combiaiso liéaire de probabilités de Dirac. Exercice.7. (Corrigé de l exercice : page 50). Motrer que si µ est ue probabilité admettat ue desité sur, alors pour tout réel a, µ({a}) = 0, c est-à-dire tout sigleto est égligeable pour µ. O dit das ce cas que la probabilité µ est diffuse sur. 2. Avec les otatios de la propositio précédete, motrer que pour tous réels a, b vérifiat a < b, µ(]a, b[) = F (b ) F (a) et µ([a, b[) = F (b ) F (a ).

Chapitre. Modèles probabilistes 7 Exercice.8. (Corrigé de l exercice : page 5) Calculer U([0, ]) ([ 6, 43 ) ], U([0, ]) (Q), E(2) ({π} [ 92 ), 7]. O admettra le résultat suivat, réciproque de l item de la propositio.4, qui prouve qu il y a bijectio etre l esemble des probabilités sur et l esemble des foctios sur, croissates, cotiues-à-droite sur, telles que F (x) = 0 et lim F (x) = (cf. [3] exercice I-6) : lim x x + Propositio.5. Si F est ue applicatio croissate de das [0, ], cotiue-à-droite sur avec lim F (x) = 0 et lim x F (x) =, x + alors il existe ue uique probabilité sur dot F est la foctio de répartitio. Exercice.9. (Corrigé de l exercice : page 5) Doer ue représetatio graphique de l applicatio F : t F (t) = 4 (t + 2)l [,0[ ],2[(t) + 3 4 l [0,](t) + l [2,+ [ (t), et motrer que F est la foctio de répartitio d ue probabilité à desité qu o précisera.

8 Théorie des probabilités, Bruo Saussereau, 203-204, versio 0/0/204

Chapitre 2. Loi d u vecteur aléatoire 9 Chapitre 2 Loi d u vecteur aléatoire 2. emarques sur la modélisatio de l aléatoire Le but de ce premier paragraphe est de fourir quelques élémets de réflexio sur la modélisatio mathématique de phéomèes aléatoires. Pour ue aalyse plus approfodie sur l itérêt d itroduire la otio de variable aléatoire et de loi de probabilité, o pourra cosulter l aexe??, page??. Cosidéros les deux situatios suivates : 2.. Cas discret Ue persoe s itéresse à la somme des valeurs obteues das le lacer simultaé de deux dés équilibrés. O modélisera l esemble des issues possibles de cette expériece aléatoire par Ω := {(i, j) N 2 / i, j 6}. Les évéemets peuvet être modélisés par des parties de Ω. O peut predre comme tribu des évéemets l esemble P(Ω) de toutes les parties de Ω. Les dés état équilibrés, o choisira pour probabilité P sur (Ω, P(Ω)) l équiprobabilité sur Ω i.e. pour tout (i, j) Ω, P({(i, j)}) = 36 ou ecore P = δ (i,j). 36 i,j 6 Le triplet (Ω, P(Ω), P) représete le modèle mathématique permettat de traiter la situatio. Cepedat comme o s itéresse plutôt à la somme des valeurs obteues, l évéemet "La somme des valeurs obteues appartiet à A", où A est u borélie de, se modélise par la partie e A de Ω formée des couples (i, j) tels que i + j A. O peut aussi écrire l évéemet e A grâce au lagage des applicatios e otat X l applicatio de Ω das qui, à tout ω = (i, j), associe X (ω) = i + j et e remarquat que e A = {ω Ω/X (ω) A} = {X A} c-à-d que e A est l image-réciproque de A par l applicatio X. O remarque efi que ce qui est importat pour otre étude du phéomèe c est de coaître la valeur de P(e A ) = P(X A) pour tout borélie A de.