Chapitre 3 Déterminants Dans ce chapitre, nous rappelons les principales propriétés de l application déterminant, sans revenir sur la définition de cette application. Dans tout le chapitre, K désigne soit R, soit C. 3.1 Déterminant d une matrice carrée 3.1.1 Le théorème fondamental Théorème Il existe une unique application f : M n (K) K vérifiant les propriétés suivantes : 1. f est linéaire par rapport à chacune des colonnes de la matrice ; 2. si la matrice M est obtenue en permutant deux colonnes quelconques de la matrice M, on a f(m ) = f(m) ; 3. f(i n ) = 1. Cette application est notée «det» : c est l application déterminant. Commençons par remarquer que, si la matrice M a deux colonnes égales, alors f(m) = 0 : en effet, la matrice M obtenue par permutation des colonnes égales est M = M et vérifie f(m ) = f(m). Ces trois propriétés permettent de calculer le déterminant de toute matrice. Exemple 1. Soit A = [ a b d c ] M 2 (K). On a a c b d = a c 0 d + 0 c b d = a c 0 0 + a 0 0 d + 0 c b 0 + 0 0 b d = ac 1 1 0 0 + ad 1 0 0 1 + cb 0 1 1 0 + bd 0 0 1 1 = ac 0 + ad 1 cb 1 0 0 1 + bd 0 = ad bc. Remarque 1. De la même façon (mais par un calcul un peu plus fastidieux), on retrouve la formule pour le déterminant d une matrice (3, 3) : a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 = a 1,1a 2,2 a 3,3 + a 2,1 a 3,2 a 1,3 + a 3,1 a 1,2 a 2,3 a 3,1 a 2,2 a 1,3 a 2,1 a 1,2 a 3,3 a 1,1 a 3,2 a 2,3. Attention! Cet algorithme de calcul, encore appelé règle de Sarrus et illustré sur la figure 3.1, ne s étend pas aux matrices de M n (K) pour n 4!. 37
38 Chapitre 3. Déterminants + + + a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 Figure 3.1 Règle de Sarrus Proposition (déterminant des matrices élémentaires) Les déterminants des matrices élémentaires sont det(p i,j ) = 1 (matrice de permutation) ; det(d i,λ ) = λ (matrice de dilatation) ; det(t i,j,λ ) = 1 (matrice de transvection). Proposition (déterminant des matrices diagonales) Le déterminant d une matrice diagonale est égal au produit de ses coefficients diagonaux. 3.1.2 Propriétés Rappelons maintenant les propriétés de cette application, qui permettent le calcul effectif des déterminants. Notons que ces propriétés ne sont pas rappelées dans l ordre logique dans lequel on peut les démontrer. Théorème (déterminant d une transposée) Pour toute matrice A M n (K), on a det(a T ) = det(a). En particulier, toutes les propriétés que l on peut énoncer sur les colonnes d une matrice sont aussi vraies pour les lignes. Théorème (déterminant d un produit) Pour toutes matrices A, B M n (K), on a det(ab) = det(a) det(b). Remarque 1. Dans le cas où B est une matrice de permutation, cet énoncé ne dit rien d autre que det(a ) = det(a), où la matrice A est obtenue par permutation de deux colonnes de la matrice A. Interpréter de même le cas où B est une matrice de dilatation ou de transvection. Remarque 2. Interpréter la formule en termes d opérations élémentaires sur les lignes de B dans le cas où la matrice A est une matrice de permutation, dilatation ou transvection. Théorème (caractérisation des matrices inversibles) Une matrice A M n (K) est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul. Si c est le cas, on a det(a 1 ) = det(a) 1.
3.1. Déterminant d une matrice carrée 39 Comme conséquence des deux théorèmes précédents, on a Théorème (matrices semblables) Soient A, B M n (K) deux matrices semblables. Alors det(a) = det(b). La réciproque est fausse. Démonstration. Soit P une matrice inversible vérifiant B = P 1 AP. On a det(b) = det(p 1 AP ) = det(p 1 ) det(a) det(p ) = 1 det(a) det(p ) = det(a). det(p ) Pour la réciproque, considérons les matrices A = [ 1 0 0 1 ] et B = [ 1 0 1 1 ]. Ces deux matrices ont même déterminant, mais ne sont pas semblables : pour toute matrice P GL 2 (K), on a P 1 AP = P 1 I 2 P = I 2 B (autrement dit, la matrice A n est semblable qu à elle-même). 3.1.3 Développement par rapport à une ligne ou colonne Soit A M n (K) une matrice. Notons, pour i, j [[1, n]], A i,j M n 1 (K) la matrice obtenue en supprimant la i ème ligne et la j ème colonne de la matrice A. Définition Le mineur d indice (i, j) de la matrice A est le déterminant D i,j (A) = det(a i,j ). Théorème (développement d un déterminant) Soit A M n (K) (n 2). Pour tout j [[1, n]], on a det(a) = n ( 1) i+j a i,j D i,j (A) (développement par rapport à la j ème colonne) i [[1, n]], on a n det(a) = ( 1) i+j a i,j D i,j (A) (développement par rapport à la i ème ligne). i=1 j=1 Exemple 1. En développant par rapport à la 2 ème colonne, on a 8 1 6 3 5 7 4 9 2 = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 + 5 8 1 6 3 5 7 4 9 2 9 8 1 6 3 5 7 4 9 2 = 3 7 4 2 + 5 8 6 4 2 9 8 6 3 7 Remarque 1. On utilise surtout cette formule lorsqu une ligne ou colonne contient beaucoup de coefficients nuls. En développant par rapport à la première colonne, puis par rapport à la seconde... on en déduit immédiatement le Théorème (déterminant d une matrice triangulaire) Le déterminant d une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux. Pour le démontrer pour une matrice triangulaire inférieure, on développe d abord par rapport à la première ligne, puis la seconde...
40 Chapitre 3. Déterminants Une situation un peu plus générale est la suivante : Théorème (déterminant par blocs) Soient A M n (K), B M n,p (K) et C M p (K). Alors [ ] A B det = det(a) det(c). 0 C Démonstration. On a l égalité matricielle [ ] [ ] In B A 0 = 0 C 0 I p [ ] A B 0 C Par développements successifs par rapport aux n premières colonnes, on voit que [ ] In B det = det(c), 0 C ainsi que [ ] A 0 det = det(a) 0 I p (développements successifs par rapport aux p dernières colonnes). En utilisant que le déterminant d un produit est égal au produit des déterminants, on obtient la formule souhaitée. Remarque 2. Cette propriété se généralise au cas d une matrice triangulaire supérieure par blocs (le déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux), ainsi qu aux matrices triangulaires inférieures par blocs (par transposition). 3.1.4 Déterminant de Vandermonde Un déterminant particulièrement important est le suivant Proposition (déterminant de Vandermonde) Soient a 1,..., a n des éléments de K. On a 1 a 1 a 2 1 a n 1 1 1 a 2 a 2 2 a n 1 2 =.... 1 a n a 2 n a n 1 n 1 i<j n (a j a i ). Démonstration. Notons V n (a 1,..., a n ) ce déterminant. Les opérations élémentaires C n C n a 1 C n 1, puis C n 1 C n 1 a 1 C n 2, puis... puis C 2 C 2 a 1 C 1 (dans cet ordre) donnent 1 0 0 0 1 a 2 a 1 a 2 (a 2 a 1 ) a n 2 2 (a 2 a 1 ) V n (a 1,..., a n ) =..... 1 a n a 1 a n (a n a 1 ) a n 2 n (a n a 1 ) En développant par rapport à la première ligne, on peut ensuite mettre a 2 a 1 en facteur dans la première ligne, a 3 a 1 dans la deuxième... On obtient V n (a 1,..., a n ) = (a n a 1 ) (a 2 a 1 )V n 1 (a 2,..., a n ). Le résultat général s en déduit par récurrence. En effet : il est vrai pour n = 2 : on a bien 1 a1 1 a 2 = a 2 a 1 ;
3.2. Déterminant d un endomorphisme ; d une famille de vecteurs 41 en supposons le résultat vrai à un rang n 1, la relation de récurrence montre qu il l est encore au rang n, car alors V n (a 1,..., a n ) = (a n a 1 ) (a 2 a 1 )V n 1 (a 2,..., a n ) = (a n a 1 ) (a 2 a 1 ) (a j a i ) = 2 i<j n 1 i<j n (a j a i ). Remarque 1. On retrouve ainsi que la matrice précédente (matrice de Vandermonde) est inversible si, et seulement si, les a i sont deux à deux distincts. Rappelons que ce résultat est connu sans la théorie du déterminant. En effet, en notant f l application linéaire f : K n 1 [X] K n P ( P (a 1 ),..., P (a n ) ), on remarque que cette matrice est la matrice de f (lorsque l on munit l espace K n 1 [X] de sa base canonique et l espace K n de sa base canonique). Si deux des a i au moins sont égaux (disons a n = a n 1 ), l application n est pas injective car le polynôme P = (X a 1 ) (X a n 1 ) appartient à son noyau. La matrice n est donc pas inversible. Si les a i sont deux à deux distincts, le noyau de l application ne contient que le polynôme nul : en effet, un polynôme de son noyau est de degré n 1 au plus et admet n racines distinctes (au moins), donc est le polynôme nul. Comme les espaces de départ et d arrivée sont de même dimension, c est un isomorphisme et la matrice est inversible. 3.2 Déterminant d un endomorphisme ; d une famille de vecteurs 3.2.1 Déterminant d un endomorphisme Soit f un endomorphisme d un espace vectoriel de dimension finie E. Comme on sait définir le déterminant d une matrice carrée, on a envie de définir le déterminant de l endomorphisme f comme le déterminant de sa matrice. Or f n a pas une matrice, mais autant qu il y a de façons de choisir une base de E ; toutes ces matrices sont semblables entre elles. Heureusement, deux matrices semblables ont même déterminant. On peut donc poser la Définition Le déterminant d une endomorphisme f d un espace de dimension finie E est le déterminant de la matrice A = mat B (f), où B est une base quelconque de E (le résultat ne dépend pas du choix d une base de E). Exemple 1. Le déterminant de Id E est égal à 1 ; le déterminant de l homothétie (vectorielle) de rapport λ est λ n (où n = dim(e)). Des théorèmes vus sur les matrices découlent alors : Théorème Soient f, g deux endomorphismes de E (de dimension finie). Alors det(g f) = det(g) det(f) f est un isomorphisme si, et seulement si, det(f) 0. Si c est le cas, alors det(f 1 ) = 1 det(f). 3.2.2 Déterminant d une famille de vecteurs Soit E un K-espace vectoriel de dimension n 2 et x 1,..., x n n vecteurs de E. Soit B une base de E.
42 Chapitre 3. Déterminants Définition (déterminant d une famille de vecteurs dans une base) Le déterminant de la famille (x 1,..., x n ) dans la base B est le déterminant de la matrice M = mat B (x 1,..., x n ). On le note det B (x 1,..., x n ). Contrairement au déterminant d un endomorphisme, celui-ci dépend de la base B choisie : en effet, soit B une autre base de E et P la matrice de passage de B à B. En notant X j (resp. X j ) la matrice du vecteur x j dans la base B (resp. B ), on a X j = P X j. Par suite, en notant M = mat B (x 1,..., x n ), on a M = [ ] [ [ ] X 1 X n = P X 1 P X n] = P X 1 X n = P M d où det(m) = det(p ) det(m ). En particulier, si la valeur de ce déterminant dépend de la base choisie pour le calculer, sa nullité n en dépend pas. On en tire le Théorème (caractérisation des bases) Soient x 1,..., x n E. La famille (x 1,..., x n ) est une base de E si, et seulement si, det B (x 1,..., x n ) est non nul pour toute base B de E. Il suffit pour cela qu il existe une base B pour laquelle det B (x 1,..., x n ) 0. Démonstration. Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E et f l endomorphisme de E défini par : i [[1, n]], f(e i ) = x i. La matrice M de la famille (x 1,..., x n ) dans la base B est la matrice de f dans cette même base, donc det B (x 1,..., x n ) = det(f). L endomorphisme f est un isomorphisme si, et seulement si, la famille (f(e 1 ),..., f(e n )) est une base, i.e. si, et seulement si, la famille (x 1,..., x n ) est une base. Comme cet endomorphisme est inversible si, et seulement si, son déterminant est non nul, on en déduit la caractérisation souhaitée. Remarque 1. En dimension 2 (resp. 3), le déterminant d une famille de 2 (resp. 3) vecteurs calcule une aire (resp. un volume) algébrique. Le déterminant d un endomorphisme traduit l effet de cet endomorphisme sur les aires (resp. les volumes) des parties de E : en dimension 2, si C est une partie de E d aire A, alors f<c> est une partie de E d aire det(f)a en dimension 3, si C est une partie de E de volume V, alors f<c> est une partie de E de volume det(f)v. Exemple 1. La figure 3.2 montre l effet de l application linéaire f : R 2 R 2 (x, y) ( 2x 2y, 2x + 3y) dont le déterminant est égal à 2 2 2 3 = 2, sur les aires de figures simples. f(x) y x f(y) Figure 3.2 multiplication des aires par une application linéaire
3.3. Orientation d un espace vectoriel réel 43 3.3 Orientation d un espace vectoriel réel Soit E un R-espace vectoriel de dimension finie n 1. Orienter E, c est décider, parmi toutes les bases de E, lesquelles on appellera directes et lesquelles indirectes. Définition Soient B 1, B 2 deux bases de E et P B1,B 2 la matrice de passage de la base B 1 à la base B 2. On dit que la base B 2 est de même orientation que B 1 si, et seulement si, det(p B1,B 2 ) > 0 d orientation opposée à celle de B 1 si, et seulement si, det(p B1,B 2 ) < 0. Notons que l on est toujours dans l un ou l autre cas, car le déterminant d une matrice de passage est toujours non nul. Remarquons également que la relation est symétrique (autrement dit : la base B 2 est de même orientation que la base B 1 si, et seulement si, la base B 1 est de même orientation que la base B 2 ) : en effet, les matrices de passage P B1,B 2 et P B2,B 1 sont inverses l une de l autre, donc leurs déterminants sont de même signe. On pourra donc dire que les deux bases sont de même orientation (ou d orientation opposée). Cette relation permet de classer l ensemble des bases de E en deux catégories de la façon suivante. Choisissons une base (quelconque) B de E et considérons la base C de E obtenue en remplaçant le premier vecteur de la base B par son opposé. La matrice de passage de B à C est diag( 1, 1,..., 1), de déterminant 1, donc ces deux bases sont d orientations opposées. De plus, toute base D de E est de même orientation que B ou que C (ces deux cas s excluant mutuellement) : en effet, de la formule on tire que P B,D = P B,C P C,D, det(p B,D ) = det(p B,C ) det(p C,D ). Par suite, si D est de même orientation que B, alors det(p B,D ) > 0, donc det(p C,D ) = det(p B,D ) < 0 : D est d orientation opposée à C si D est d orientation opposée à D, alors det(p B,D ) < 0, donc det(p C,D ) = det(p B,D ) > 0 : D est de même orientation que C. Définition Orienter l espace E, c est choisir un de ces deux ensembles de bases. Toutes les bases appartenant à cet ensemble sont dites directes ; toutes les autres sont dites indirectes. Remarque 1. En pratique, pour orienter un espace E, on choisit une base, dont on décrète qu elle est directe. Les bases directes sont alors toutes celles qui ont même orientation que cette base (et les bases indirectes sont les autres). Exemple 1. Soit B = (e 1,..., e n ) une base de E et B = (e 2,..., e n, e 1 ) : c est encore une base, obtenue par permutation circulaire des vecteurs de la base B. La matrice de passage de la base B à la base B est 0 0 0 1 1 0 0 0 P = 0 1 0 0............ 0 0 1 0 Elle est obtenue par la succession des n 1 permutations C 1 C 2, puis C 2 C 3,..., C n 1 C n à partir de la matrice I n, donc on a det(p ) = ( 1) n 1. Ainsi, si n est pair (par exemple n = 2), les bases B et B sont d orientations opposées si n est impair (par exemple n = 3), les bases B et B sont de même orientation. Remarque 2. Si les bases B 1 et B 2 sont d orientations opposées, de même que les bases B 2 et B 3, alors les bases B 1 et B 3 sont de même orientation : en effet, det(p B1,B 3 ) = det(p B1,B 2 ) det(p B2,B 3 ) > 0.
44 Chapitre 3. Déterminants Remarque 3. On ne peut pas orienter un C-espace vectoriel car les nombres complexes (même non nuls) n ont pas de signe! Théorème Soit f un isomorphisme de E et B = (e 1,..., e n ) une base de E. Si Si det(f) > 0, la famille ( f(e 1 ),..., f(e n ) ) est une base de E de même orientation que B. Si det(f) < 0, la famille ( f(e 1 ),..., f(e n ) ) est une base de E d orientation opposée à celle de B. Démonstration. La famille C = ( f(e 1 ),..., f(e n ) ) est une base de E car f est un isomorphisme. La matrice de passage de la base B à cette base C est la matrice de f dans la base B. Si det(f) > 0, cette matrice de passage a un déterminant positif, donc les deux bases sont de même orientation ; si det(f) < 0, elles sont d orientations opposées.
3.4. Test de compréhension du chapitre 45 3.4 Test de compréhension du chapitre 3.4.1 Questions 1. Soient u, v, w trois vecteurs de R 3 et B la base canonique de R 3. Que peut-on dire de ces vecteurs si det B (u, v, w) = det(b)(v, u, w)? x x 2 x 3 2. Déterminer le degré et le coefficient dominant de la fonction polynomiale x 1 2 1 1 2 1. 3. Soient x 1,..., x n n vecteurs d un espace E de dimension n, et B une base de E. On pose D = det B (x 1,..., x n ). Est-il vrai que a) D ne dépend pas de la base B? b) le signe de D ne dépend pas de la base B? c) la nullité de D ne dépend pas de la base B? 4. Existe-t-il une matrice A M 3 (R) telle que A 2 = I 3? Et dans M 3 (C)? 5. Quelle est la formule pour calculer det(λa)? 6. Soit D l endomorphisme P P de R n [X]. Quel est son déterminant? 7. Soit T l endomorphisme P P (X + 1) de R n [X]. Quel est son déterminant? 8. Soit A GL n (K) une matrice semblable à son inverse. Qu en déduit-on pour det(a)? 9. Soient A, B M n (K). Préciser les implications logiques entre les assertions suivantes : a) A et B ont même rang b) A et B ont même déterminant. 10. Soit A = [ C 1 C 2 C n ] une matrice de Mn (K), avec n pair. Quel est le déterminant de la matrice B = [ C n C n 1 C 1 ]? 11. Soient A M n (K), B M n,p (K) et C M p (K). Est-il vrai que [ ] A B det = det(a) det(c)? 0 C 12. Soient A M n (K), B M p,n (K) et C M p (K). Est-il vrai que [ ] A 0 det = det(a) det(c)? B C 13. Soient A M n,p (K), B M p,n (K) et C M p (K). Est-il vrai que [ ] 0 A det = det(a) det(b)? B C 14. Soient A, B, C M n (K). Est-il vrai que [ ] 0 A det = det(a) det(b)? B C
46 Chapitre 3. Déterminants 3.4.2 Réponses 1. Comme on a toujours det B (u, v, w) = det(b)(v, u, w), on en déduit que det B (u, v, w) = 0, donc que la famille (u, v, w) est liée. 2. Le développement par rapport à la première ligne montre immédiatement que le coefficient de degré 3 est nul, alors que celui de degré 2 est égal à 1 1 1 1 = 2 : le polynôme est de degré 2 et de coefficient dominant 2. 3. a) C est faux. b) Cette question n a aucun sens si K = C, le signe d un nombre complexe n étant pas défini... Si K = R, le résultat est presque vrai : le signe de D ne dépend pas vraiment de la base, mais uniquement de son orientation (si B est de même orientation de B, le signe du nouveau déterminant D est le même que celui de D). c) C est vrai. 4. L égalité A 2 = I 3 donne, en prenant le déterminant, det(a) 2 = 1. Il n existe donc aucune telle matrice à coefficients réels. En revanche, la matrice diag(i, i, i), à coefficients complexes, vérifie A 2 = I 3. 5. On a det(λa) = λ n det(a), où n est le format de la matrice A. 6. L endomorphisme n est pas injectif (D(1) = 0), donc son déterminant est nul. 7. La matrice de T dans la base canonique est triangulaire supérieure, les coefficients diagonaux étant tous égaux à 1, donc det(t ) = 1. 8. Les matrices A et A 1 étant semblables, elles ont même déterminant, ce qui s écrit encore det(a) 1 = det(a), d où l on tire det(a) = ±1. 9. L assertion a) n implique pas l assertion b) : les matrices I n et 2 I n ont même rang (n) mais pas le même déterminant (1 et 2 n ). En revanche, si A et B ont même rang r < n, alors A et B ont même déterminant (nul). L assertion b) n implique pas l assertion a) : si A et B ont même déterminant nul, le rang de chacune de ces matrices est un entier quelconque strictement inférieur à n. Si elles sont même déterminant non nul en revanche, elles ont même rang (n). 10. La matrice B est obtenue par les opérations C 1 C n, C 2 C n 1,..., C p C p+1, où p = n/2. Chacune de ces p opérations change le signe du déterminant, donc det(b) = ( 1) p det(a). 11. Oui : c est la formule du cours. 12. Oui : la formule se démontre de façon analogue à celle du cours, ou en transposant la formule du cours. 13. Non : les matrices A et B n étant pas carrées, la formule n a aucun sens. 14. Notons M la matrice de l énoncé. Les n manipulations L 1 L n+1,..., L n L 2n transforment la matrice M en la matrice [ ] B C N = 0 A dont le déterminant est égal à det(a) det(b). Chacune des manipulations effectuées changeant le déterminant en son opposé, la formule correcte est donc det(m) = (1) n det(a) det(b).