RECHERCHE D'UNE PLUS CURTE DISTNCE Julien prend son arrosoir dans la cabane, va puiser de l'eau dans la rivière, en, et va arroser ses salades situées en. Trouve, après avoir effectué plusieurs tracés possibles et fais les mesures correspondantes, le chemin le plus court. Compare tes résultats avec le chemin I tracé en rouge. ( est le symétrique de par rapport à ) Ι ' Tableau des mesures: I = I = + I + I = Conclusion :...... Remarque : tu peux prouver que : I + I + en utilisant les deux règles suivantes : 1. La symétrie par rapport à une droite conserve les distances. 2. L inégalité triangulaire.
DISTNCES DNS LE PLN - Inégalité triangulaire (rappel) Propriété : Quels que soient les points,,, on a : + Remarque : = + lorsque le point appartient au segment [] pplication : Reconnaître que trois points sont alignés = 5 cm Exemple : Si C = 7cm alors,,c sont alignés ( appartient au segment [C]) car C = 2 cm C = + C Existence d un triangle : Un triangle existe lorsque sa plus grande dimension est inférieure (ouégale) à la somme des deux autres. - Distance d un point à une droite Étant donnés une droite et un point, on cherche le plus court chemin joignant aux points de la droite. (H) est perpendiculaire à et est un point quelconque de. H Le triangle H est rectangle en H ; [] est son hypoténuse ; c est donc son plus grand côté. Quel que soit le point de la droite, on a : H (Égalité lorsque est en H) La plus courte distance du point à la droite se mesure sur la perpendiculaire à la droite. Cette plus courte distance est appelée : distance du point à la droite. - Régionnement du plan par la médiatrice d un segment n considère deux points et. La médiatrice du segment [] partage le plan en deux demi-plans : P et P. P P est un point de P. [] coupe en I. L inégalité triangulaire, appliquée au triangle I s écrit : < I + I I est un point de la médiatrice de [] ; il est équidistant de et de : I = I L inégalité précédente s écrit alors : < I + I Donc : < I Β
est plus près de que de P est l ensemble des points du plan plus près de que de P est donc l ensemble des points du plan plus près de que de ( étant l ensemble des points du plan à égale distance de et de ) - Tangente Définition Étant donné un cercle de centre et de rayon [], la perpendiculaire en au rayon [] est appelée tangente en au cercle. Recherche : Quel que soit le point de, distinct de, on a : > (D après la distance de à ) Tout point de la tangente, autre que, est extérieur au cercle (distance supérieure au rayon) Propriété : La tangente n a qu un point commun avec le cercle. Remarque : autres positions relatives d une droite et d un cercle H H H > H < est extérieure au cercle est sécante au cercle ucun point commun Deux points communs et - Cercle et triangle rectangle Cercle circonscrit à un triangle rectangle Soit un triangle C rectangle en. est le milieu de son hypoténuse [C]. est le symétrique de par rapport à.
Le quadrilatère C est un rectangle car c est un parallélogramme (ses diagonales se coupent en leur milieu ) qui a un angle droit. Les diagonales d un rectangle ont la même longueur (et le même milieu), donc : = = C C ', milieu de l hypoténuse, est le centre du cercle passant par,, C. Le milieu de l hypoténuse est le centre du cercle circonscrit au triangle rectangle. Triangle inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés Soit un cercle de centre et de diamètre [C]. est un point quelconque de ce cercle. est le point diamétralement opposé à. Le quadrilatère C est un rectangle car ses diagonales se coupent en leur milieu (centre du cercle) et ont la même longueur (diamètre du cercle). Le triangle C est donc rectangle en. C Un triangle inscrit dans un cercle dont un diamètre est un côté du triangle est un triangle rectangle. pplication ' n considère un cercle C de centre et un point P extérieur au cercle. Le cercle de diamètre [P] coupe le cercle C en et. P D après la propriété précédente, les triangles P et P, inscrits dans un cercle de diamètre leur côté ([P],) sont rectangles en et en. Les droites (P) et (P), perpendiculaires en et aux rayons [] et [] du cercle C, sont tangentes au cercle C.
Exercices 1 DISTNCE D UN PINT À UNE DRITE - Construis un triangle isocèle C dont la base [C] mesure 8 cm et tel que la distance du point à la droite (C) soit égale à 3 cm. Calcule la longueur......................................................................................................................................................... - est un point donné. Trace cinq droites distinctes telles que soit à 2 cm de chacune d elles.. - Trouve tous les points situés à 2 cm de la droite et à 1,5 cm de la droite. - Dans le triangle C ci-dessous, colorie la région dont les points vérifient : < < C.
Exercices 2 PRLÈES DE PLUS CURTE DISTNCE TNGENTE À UN CERCLE - n donne une droite. Trace plusieurs cercles de rayon 1,5 cm et tangents à. ù sont leurs centres?............................................................................ - Construis un cercle tangent en à la droite et passant par le point. Α - Construis les tangentes au cercle (C) et passant par le point P.(Tu détermineras d abord le centre de (C)). (C) P
Devoir 1 - Un cercle a une corde [] de 6 cm. Quel est le rayon de ce cercle sachant que son centre I est à 2 cm de la corde []? Donne le résultat à 0,01 cm près. - Construis un triangle C tel que : = 6 cm ; C = 4 cm ; C = 5 cm. Construis le cercle circonscrit au triangle C. est son centre. La tangente en à ce cercle et la médiatrice du côté [C] se coupent en E. Prouve que C appartient au cercle de diamètre E. - Un terrain a la forme d un triangle C rectangle en. n donne : C = 24 m et C = 30 m. a) Construis ce terrain à l échelle 1/500. b) n veut creuser un puits à 6 m du mur [C] et à 6 m du mur []. n appelle P l emplacement de ce puits. Construis ce point P. c) Calcule l aire du triangle PC. Déduis-en la distance du puits P au mur [C].
Devoir 2 - Un triangle C est tel que : = 32 cm ; C = 40 cm ; C = 24 cm. Prouve que la droite (C) est tangente au cercle de centre et de rayon 32 cm. - Un cercle a une corde [] de 4,8 cm. Son centre est à 1 cm de cette corde. Quel est le rayon de ce cercle? - n donne un triangle C et un point P à l intérieur de ce triangle. étant un point du côté [] et N un point du côté [C], on recherche les positions de et de N pour que le triangle NP ait le périmètre le plus petit possible : Soit E le symétrique de P par rapport à () et soit F le symétrique de P par rapport à (C). La droite (EF) coupe [] en 1 et [C] en N 1. ontre que 1 N 1 P est le triangle cherché.
Devoir 3 - a) Construis un triangle C tel que : = 6 cm ; C = 4 cm ; C = 5 cm. b) Construis le cercle circonscrit au triangle C. est son centre. La tangente en à ce cercle et la médiatrice du côté [C] se coupent en E. c) Prouve que C appartient au cercle de diamètre E. - Un terrain a la forme d un triangle équilatéral C. Son côté [] mesure 150 m. a) Calcule sa hauteur I. (Tu donneras l arrondi à 0,1 m près). b) Calcule l aire du terrain C. étant un point situé à l intérieur du triangle ; on appelle H la distance de au côté [], K la distance de au côté [C] et L celle de au côté [C]. c) Exprime les aires des triangles, C et C en fonction des longueurs H, K et L. d) Calcule alors la valeur (à 0,1 m près) de la somme des distances H + K + L e) Que peux-tu conclure?
RECHERCHE D'UNE PLUS CURTE DISTNCE Julien prend son arrosoir dans la cabane, va puiser de l'eau dans la rivière, en, et va arroser ses salades situées en. Trouve, après avoir effectué plusieurs tracés possibles et fait les mesures correspondantes, le chemin le plus court. Compare tes résultats avec le chemin I tracé en rouge. ( est le symétrique de par rapport à ) Ι ' Tableau des mesures: 5,9 6,3 7,1 9,4 10,4 I = 8 9,4 8,3 7,1 4,9 4,3 I = 6 + 15,3 14,6 14,2 14,3 14,7 I + I = 14 Conclusion : Il semble que le parcours rouge (I + I) soit le plus court Remarque : tu peux prouver que : I + I + en utilisant les deux règles suivantes : 1. La symétrie par rapport à une droite conserve les distances. 2. L inégalité triangulaire. = ' car deux segments symétriques ont la même longueur Toute distance + = ' + est supérieure à la distance I + I = 'I + I = ', d après l inégalité triangulaire appliquée au triangle : ' < ' +
Exercices 1 DISTNCE D UN PINT À UNE DRITE - Construis un triangle isocèle C dont la base [C] mesure 8 cm et tel que la distance du point à la droite (C) soit égale à 3 cm. Calcule la longueur. H est le milieu de [C] donc : 8 H = = 4 cm 2 H est rectangle en H : 2 2 2 2 2 = H + H = 3 + 4 = 25 = 25 = 5 cm 3cm H 8 cm C - est un point donné. Trace cinq droites distinctes telles que soit à 2 cm de chacune d elles. est à 2 cm de chaque droite. Les cinq droites sont donc tangentes au cercle de centre et de rayon 2 cm. 2 cm - Trouve tous les points situés à 2 cm de la droite et à 1,5 cm de la droite.,, C, D sont les sommets d un parallélogramme ' D C - Dans le triangle C ci-dessous, colorie la région dont les points vérifient : < < C. Β C
Exercices 2 PRLÈES DE PLUS CURTE DISTNCE TNGENTE À UN CERCLE - n donne une droite. Trace plusieurs cercles de rayon 1,5 cm et tangents à. ù sont leurs centres? d Les centres sont sur les droites d et d situées à 1,5 cm de. d' - Construis un cercle tangent en à la droite et passant par le point. est à l intersection de la médiatrice de [] et de la perpendiculaire à et passant par Ο - Construis les tangentes au cercle (C) et passant par le point P.(Tu détermineras d abord le centre de (C)). Le centre I du cercle (C) est à l intersection des médiatrices de deux cordes de ce cercle. (C) Le cercle de diamètre [IP] coupe le cercle (C) en et. Les triangles IP et IP sont rectangles en et en. Les droites (P) et (P) sont perpendiculaires aux rayons (I) et (I) en et. Elles sont donc tangentes au cercle(c). I P