Eléments de Robotique. Université Blaise Pascal T. Chateau

Eléments de Robotique Université Blaise Pascal T Chateau 212/213 Cm zm Cm-1 Ck+L zk+l zk+1 Cn-2 Cn-1 zn Ck Ck+1 Cn zk C2 z,z1 C1 C

Table des matières Liste des figures Liste des tableaux iii vi Introduction 1 1 Géométrie et cinématique du déplacement 3 11 Introduction 3 12 Géométrie du déplacement 3 121 Transformations homogènes 3 1211 Matrice de transformations homogènes de translation pure 4 1212 Matrice de transformation homogène de rotation pure 5 1213 Propriétés des matrices de transformation homogène 7 1214 Rotation autour d un axe u quelconque 12 122 Situation d un solide dans l espace 16 1221 Description de la position d un solide 16 1222 Description de l orientation d un solide 19 13 Cinématique du déplacement 24 131 Mouvement circulaire 24 132 Systèmes d axes tournants 24 133 Systèmes d axes mobiles dans le cas général 25 134 Lois de composition des vitesses 26 2 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots 29 21 Introduction à la modélisation 29 22 Description de la structure géométrique d un robot 3 221 Notations et règles générales 3 222 Description des robots à chaîne ouverte simple 3

ii Table des matières 2221 Cadre général 3 2222 Paramétrage de Denavit-Hartenberg modifié (Khalil 86) 3 2223 Exemples de description 33 223 Extensions aux chaînes fermées et arborescentes 36 2231 Cas des chaînes arborescentes 37 2232 Cas des chaînes fermées 39 2233 Exemples 4 23 Modélisation géométrique directe d un robot 45 231 Matrice de transformation de l organe terminal dans le repère atelier 45 232 Calcul du modèle géométrique direct d un robot (MGD) 46 233 Exemples de modèles géométriques directs 47 2331 MGD du robot AID-5 47 2332 MGD du robot H-8 51 2333 MGD du robot AFMA 55 24 Modélisation géométrique inverse d un robot 55 241 Introduction 55 242 Position du problème 56 243 Résolubilité d un robot manipulateur (introduit par Pieper 68) 56 244 Nombre de solutions au problème inverse 57 245 Calcul du modèle géométrique inverse (MGI) 58 2451 Présentation de la méthode 58 2452 Solutions aux types d équations rencontrés 59 246 MGI pour des robots à 6 ddl comportant un poignet rotule (d axes concourants) 66 247 Exemples de calcul de MGI 68 2471 Calcul du MGI pour le robot AID-5 68 2472 MGI du robot ACMA H-8 74 25 Commande en position d un robot 75 251 Introduction 75 252 Génération de mouvement dans l espace articulaire 76 2521 Interpolation polynomiale 77 2522 Loi bang-bang 83 2523 Loi trapèze : loi bang-bang avec palier de vitesse 86 253 Génération de mouvement rectiligne dans l espace opérationnel 94 Conclusion 97

Table des matières iii Bibliographie 97

Table des figures 11 Passage d un repère R i à un repère R f 4 12 Translation pure d un repère R f par rapport à un repère R i 5 13 Rotation pure autour de l axe x d un repère R f par rapport à un repère R i 6 14 Rotation pure autour de l axe y d un repère R f par rapport à un repère R i 7 15 Rotation pure autour de l axe z d un repère R f par rapport à un repère R i 8 16 Passage direct et inverse d un repère R i à un repère R j 9 17 Transformations consécutives 1 18 Composition à droite et à gauche d une transformation 12 19 Composition à droite d une translation le long de l axe y 12 11 Composition à droite d une translation le long de l axe y 13 111 Rotation autour d un axe quelconque y 14 112 Coordonnées cartésiennes 17 113 Coordonnées cylindriques 17 114 Coordonnées sphériques 18 115 Les angles d Euler (convention z, x, z) 2 116 Les angles de Bryant (convention x, y, z) 21 117 Les angles de roulis-tangage-lacet (convention z, y, x) 22 118 Les quaternions 23 119 Mouvement circulaire 24 12 Système d axes tournants 25 121 Système d axes mobiles : cas général 25 122 Système d axes mobiles : cas d une chaîne articulaire simple 26 21 Robot à structure ouverte simple 31 22 Paramètres géométriques dans le cas d une structure ouverte simple 32 23 Structure du robot AID-5 34

24 Structure du robot ACMA H-8 36 25 Robot à structure ouverte arborescente 37 26 Paramétrage nécessaire à un corps à plus de 2 articulations 38 27 Repères nécessaires pour décrire une chaîne fermée 41 28 Synoptique du robot HITACHI-HPR 42 29 Synoptique du robot ASEA-IRB5 43 21 Synoptique équivalent du robot ASEA-IRB5 44 211 Repères nécessaires pour décrire un robot dans un atelier 46 212 Boucles de génération de mouvement (a) : dans l espace articulaire - (b) : dans l espace opérationnel 75 213 Degré 1 : Evolution de la position, de la vitesse et de l accélération 78 214 Degré 3 : Evolution de la position, de la vitesse et de l accélération 8 215 Degré 5 : Evolution de la position, de la vitesse et de l accélération 82 216 Loi bang-bang : Evolution de la position, de la vitesse et de l accélération 84 217 Loi trapèze et bang-bang : Evolution de de la vitesse et de l accélération 86 218 Loi trapèze : Evolution de la position, de la vitesse et de l accélération 88 219 Loi trapèze : Evolution de la vitesse 89 22 Loi trapèze : Evolution de la vitesse 9 221 Loi trapèze : Evolution de la vitesse 91 222 Loi trapèze : cas où la vitesse n est pas saturée 93

Liste des tableaux 21 Systèmes d equations possibles 6

Introduction 1 Introduction

2 Introduction

Chapitre 1 Géométrie et cinématique du déplacement 11 Introduction L étude de la robotique nécessite des connaissances de base en Géométrie et en cinématique Lorsque l on désire commander un robot, il est nécessaire de situer ses différentes parties mobiles les unes par rapport aux autres Pour ce faire, on associe un repère à chaque partie du robot (socle, effecteur, articulations) Le passage d un repère à un autre (position, orientation) s exprime sous la forme d une matrice de passage La géométrie, et plus particulièrement les coordonnées et transformations homogènes sont des outils indispensables et très utilisés en robotique, qui font l objet d une grande partie de ce chapitre La cinématique du déplacement, à travers la loi de composition des vitesses, fait également partie des bases de la robotique Elle est abordée dans la deuxième partie du chapitre 12 Géométrie du déplacement 121 Transformations homogènes Dans le cas d une transformation homogène, le type de représentation est matriciel Le passage d un repère initial R i à un repère final R f s exprime par l intermédiaire d une matrice M, appelée matrice de changement de repère, matrice de passage ou matrice de transformation homogène (cf fig 11) En robotique,

4 Géométrie et cinématique du déplacement z i M z f y f R f R i x i y i x f Figure 11 Passage d un repère R i à un repère R f cette matrice de dimension (4 4), notée i M f s exprime sous la forme : s x n x a x P x ( i T f = i M f = ( i s i j n i j a i j P j ) = s y n y a y P y i s z n z a z P z = R i f P f 1 1 ) (11) où i s j, i n j et i a j sont les vecteurs unitaires, suivant les axes x j, y j et z j du repère R j exprimés dans le repère R i, où i P j est le vecteur exprimant l origine du repère R j dans le repère R i, et avec : i R f : matrice (3 3) des rotations donnant l orientation notée i A f (de R f dans R i ) i P f : matrice (3 1) des translations donnant la position i M f = ( i R f i P f 1 ) = ( i A f i P f 1 ) = ( I3 i P f 1 ) ( i A f 1 ) (12) A l aide de la matrice i M f, il est possible d exprimer les coordonnées d un point quelconque P de l espace dans le repère R i à partir de ces coordonnées homogènes exprimées dans le repère R f par la relation : x y z 1 R i = i M f x y z 1 R f = ( i R f i P f 1 ) x y z 1 R f (13) 1211 Matrice de transformations homogènes de translation pure Lorsque deux repères sont uniquement liés par une translation, il est possible de passer de l un à l autre en utilisant une matrice de transformation homogène de

12 Géométrie du déplacement 5 z f z i M R f y f R i c x f x i y i b a Figure 12 Translation pure d un repère R f par rapport à un repère R i translation pure Nous utiliserons les notations suivantes : Trans(a, b, c) pour indiquer une translation (a selon l axe x, b selon l axe y et c selon l axe z) Trans(x, a) pour indiquer une translation a selon l axe x Trans(y, b) pour indiquer une translation b selon l axe y Trans(z, c) pour indiquer une translation c selon l axe z Considérons une translation T composée de : d une translation a selon l axe x Trans(a,, ) = Trans(x, a) d une translation b selon l axe y Trans(, b, ) = Trans(y, b) d une translation c selon l axe z Trans(,, c) = Trans(z, c) La figure (12) montre un exemple de cette translation, associée à la matrice de transformation homogène de translation pure i M f Les matrices de translation sont liées par la relation suivante : Trans(a, b, c) = Trans(a,, )Trans(, b, )Trans(,, c) = Trans(x, a)trans(y, b)trans(z, c) (14) La matrice de transformation homogène de translation pure i M f associée à cette translation s exprime alors : a a M = I 3 b c = I 3 I 3 b I 3 c 1 1 1 1 (15) 1212 Matrice de transformation homogène de rotation pure Lorsque deux repères sont uniquement liés par une rotation, il est possible de passer de l un à l autre en utilisant une matrice de transformation homogène de rotation pure Nous utiliserons les notations suivantes :

6 Géométrie et cinématique du déplacement z i z f θ x cosθx R f cosθ x θ x y f sin θx sin θ x R i y i θ x x i x f Figure 13 Rotation pure autour de l axe x d un repère R f par rapport à un repère R i Rot(x, θ x ) pour indiquer une rotation (θ x autour de l axe x) Rot(y, θ y ) pour indiquer une rotation (θ y autour de l axe y) Rot(z, θ z ) pour indiquer une rotation (θ z autour de l axe z) Dans la matrice de transformation homogène, la rotation est décrite par la matrice R présentée dans l équation (11) page 4 Lorsque la rotation est nulle autour des trois axes, R devient la matrice identité (c est le cas pour les rotations pures) : R = R = I 3 = 1 1 1 (16) Exemple 1 : Une rotation θ x autour de l axe x (cf fig 13) 1 cosθ x sin θ x = sin θ x cosθ x 1 cθ x sθ x sθ x cθ x (autre notation) (17) Notons (i Rf, j Rf, k Rf ) la base associée au repère R f et (i Ri, j Ri, k Ri ) la base associée au repère R i La matrice de rotation R est obtenue en décrivant (i Rf, j Rf, k Rf ) en fonction de (i Ri, j Ri, k Ri ) : (18) i Rf = 1i Ri + j Ri + k Ri = i s f j Rf = i Ri + cosθ x j Ri + sin θ x k Ri = i n f k Rf = i Ri sin θ x j Ri + cosθ x k Ri = i a f

12 Géométrie du déplacement 7 z i z f θ y R i θ y y f R f y i x i θ y x f Figure 14 Rotation pure autour de l axe y d un repère R f par rapport à un repère R i Exemple 2 : Une rotation θ y autour de l axe y (cf fig 14) cosθ y sin θ y cθ y sθ y R = 1 = 1 (autre notation) sin θ y cosθ y sθ y cθ y (19) Exemple 3 : Une rotation θ z autour de l axe z (cf fig 15) cosθ z sin θ z cθ z sθ z R = sin θ z cosθ z = sθ z cθ z (autre notation) 1 1 (11) Rq : Une rotation autour d un axe principal x, y ou z laisse inchangé l axe de rotation considéré 1213 Propriétés des matrices de transformation homogène Nous avons vu (eq 11 page 4) qu une matrice de transformation homogène T peut se mettre sous la forme : s x n x a x P x ( ) T = s y n y a y P y A P s z n z a z P z = (111) 1 1

8 Géométrie et cinématique du déplacement z i z f θ z y f R i θ z R f y i x i θ z x f Figure 15 Rotation pure autour de l axe z d un repère R f par rapport à un repère R i avec A : matrice (3 3) des rotations donnant l orientation (de R f dans R i ) P : matrice (3 1) des translations donnant la position (de R f dans R i ) Lorsque la tranformation, entre le repère de départ et la repère d arrivée est une translation pure, on a A = I 3 Dans le cas d une rotation pure, on a P = O 3 = (,, ) T Propriété 1 La matrice de rotation A est orthogonale : A 1 = A T (112) Les éléments de la matrice A de rotation représentent les cosinus directeurs d orientation (s, n, a) Elle ne contient que trois paramètres indépendants sur les 9 qui la constituent (trois angles de rotations) Un des vecteurs s, n ou a se déduit du produit vectoriel des deux autres, car ils constituent une base orthonormée Par exemple : s = na na = n = a = 1 (113) Propriété 2 Soit la matrice i T j de transformation homogène prenant le repère R i pour l amener sur le repère R j Si j T i est la matrice de transformation homogène prenant le repère R j pour l amener sur le repère R i, alors i T j et j T i sont liés par la relation : ( i T j ) 1 = j T i (114)

12 Géométrie du déplacement 9 z i i T j z j y j R i j T i = ( i T j ) 1 R j x i y i x j Figure 16 Passage direct et inverse d un repère R i à un repère R j La figure 16 illustre cette propriété Soit le point P 1 de coordonnées homogènes i v 1 = ( i v x, i v y, i v z, 1) T dans R i et j v 1 = ( j v x, j v y, j v z, 1) T dans R j On a : j v 1 = j T i i v 1 (a) i v 1 = i T j j v 1 (b) (115) En multipliant par ( i T j ) 1 la relation (b) de l équation (115), on obtient : ( i T j ) 1 i v 1 = ( i T j ) 1 i T j j v 1 (116) En utilisant la relation (a) de (115), on en déduit : j T i = (i ) 1 T j (117) Propriété 3 Soit la matrice T de transformation homogène effectuant une rotation d angle θ u autour de l axe u (indifférement x, y ou z) La matrice inverse T 1 est également une matrice de transformation homogène effectuant une rotation autour de l axe u, mais d angle θ u : (T) 1 = (Rot(u, θ u )) 1 = Rot(u, θ u ) = Rot( u, θ u ) (118) Par convention sur le sens de rotation, on a : Rot(u, θ u ) = Rot( u, θ u ) (119) Exemple : rotation autour de l axe x 1 Rot(x, θ x ) = c( θ x ) s( θ x ) s( θ x ) c( θ x ) 1 = 1 cθ x sθ x sθ x cθ x 1 = (Rot(x, θ x )) T (12)

1 Géométrie et cinématique du déplacement k 1 T k z k 1 y k z T 1 1 y 1 R k 1 R k zk z R 1 x k 1 y k 1 x k R x 1 x y T k Figure 17 Transformations consécutives En utilisant la propriété 1, on en déduit : Rot(x, θ x ) = (Rot(x, θ x )) T = (Rot(x, θ x )) 1 (121) Cette propriété est également vraie pour les matrices de transformation homogène de translation pure : Trans(u, d) = Trans( u, d) = Trans(u, d) (122) Propriété 4 L inverse d une matrice de transformation homogène peut être mis sous la forme : T 1 = s T P A T n T P a T P 1 = ( A T A T P 1 ) (123) Propriété 5 Si un repère R a subit K transformations consécutives, et si la i eme (i = 1, 2,, k) est définie par rapport au repère R i 1, alors : La figure 17 illustre cette propriété T k = T 1 1 T 2 2 T 3 3 T 4 k 1 T k (124) Propriété 6 La composition de deux matrices n est pas commutative ( ) ( ) ( ) A1 P T 1 T 2 = 1 A2 P 2 A1 A = 2 A 1 P 2 + P 1 1 1 1 (125)

12 Géométrie du déplacement 11 T 2 T 1 = ( A2 P 2 1 ) ( A1 P 1 1 ) = ( A2 A 1 A 2 P 1 + P 2 1 Le produit des matrices de rotation n étant pas commutatif, on en déduit : ) (126) T 1 T 2 T 2 T 1 (127) Propriété 7 Dans le cas de transformations consécutives autour du même axe u, ce dernier reste inchangé par la transformation : Rot(u, θ 1 )Rot(u, θ 2 ) = Rot(u, θ 1 + θ 2 ) (128) et, Trans(u, d)rot(u, θ 1 ) = Rot(u, θ 1 )Trans(u, d) (129) Propriété 8 Soit un repère R j, défini par une tansformation i T j du repère R i Si R j subit une transformation T (définie par rapport au repère R i ), alors la transformation totale amenant au repère final R f s exprime sous la forme : i T f = T i T j (13) Si cette même transformation, amenant R j sur R f, est définie dans R j par T, alors on a également : i T f = i T j T (131) On en déduit la relation suivante : Cette relation est illustrée par la figure 18 T i T j = i T j T (132) Lorsqu un repère R j, défini par rapport à un repère R i, subit une transformation exprimée par rapport à ce même repère R j, alors la transformation totale est déduite par la composition à gauche de cette transformation Remarque sur la composition des transformations Une composition à droite s applique au repère final ( i T j = Rot(x, θ x ) R Trans(y, d) R1 ) La figure 19 illustre ce propos Une composition à gauche s applique au repère initial ( i T j =Rot(x, θ x ) R Trans(y, d) R ) La figure 11 illustre ce propos

12 Géométrie et cinématique du déplacement T z f i z T j j y j R f z i R j x f y f R i x j x i y i T i T j Figure 18 Composition à droite et à gauche d une transformation z 2 z Trans(y, d) y 2 θ x R 2 z 1 y 1 x 2 R 1 θ x x 1 R Rot(x, θ x ) y Figure 19 Composition à droite d une translation le long de l axe y 1214 Rotation autour d un axe u quelconque Soit un vecteur unitaire u quelconque Soit R i, un repère tel que son origine coïncide avec celle du vecteur u Les coordonnées de u sont alors, dans R j : u = (u x, u y, u z ) T Soit R j, un repère tel que : son origine coïncide avec celle du vecteur u, son axe z j se confonde avec le vecteur u La transformation homogène permettant le passage du repère R i au repère R j peut être décomposée en : Rot(z, α) : une rotation autour de l axe z d un angle α tel que u au plan (z f, y f ), Rot(x, β) : une rotation autour de l axe x d un angle β

12 Géométrie du déplacement 13 z 2 y 2 z R 2 z 1 Rot(x, θ x ) x θ x 2 x y R 1 R Trans(y, d) y 1 x 1 Figure 11 Composition à droite d une translation le long de l axe y On obtient la relation suivante : i T j = Rot(z, α)rot(x, β) (133) Cette relation est illustrée sur la figure 111 Le repère R i subit donc deux transformations successives : R i == Rot(z, α) ==> R f == Rot(x, β) ==> R j (134) En développant la relation i T j =Rot(z, α)rot(x, β), on obtient : cα sα sα cα 1 1 1 cβ sβ sβ cβ 1 = cα sαcβ sαsβ sα cαcβ cαsβ sβ cβ 1 (135) A partir de la troisième colonne de la matrice i T j, on peut donc extraire les coordonnées du vecteur u, exprimées dans le repère R i : u = u x u y u z = sαsβ cαsβ cβ = i a j (136) Tourner autour de l axe u (défini par le vecteur unitaire u) d un angle θ, revient donc à tourner autour de l axe z j D où, d après la propriété 8, définie page 11, on en déduit que : Rot(u, θ) i T j = i T j Rot(z, θ) (137) soit : Rot(u, θ) = i T j Rot(z, θ)( i T j ) 1 (138)

14 Géométrie et cinématique du déplacement z j u z i z f β α y j β α y f R i R f R j y i β x i α x f j Figure 111 Rotation autour d un axe quelconque y d où : Rot(u, θ) = Rot(z, α)rot(x, β)rot(z, θ)rot(z, α)rot(x, β) (139) En développant cette relation, on obtient : ( ) A(u, θ) Rot(u, θ) = 1 (14) avec : u 2 x(1 cθ) + cθ u x u y (1 cθ) u z sθ u x u z (1 cθ) + u y sθ A(u, θ) = u x u y (1 cθ) + u z sθ u 2 y (1 cθ) + cθ u yu z (1 cθ) u x sθ u x u z (1 cθ) u y sθ u y u z (1 cθ) + u x sθ u 2 z(1 cθ) + cθ (141) On préfère utiliser la relation suivante (formule de Rodrigues) : avec : A(u, θ) = uu T (1 cθ) + I 3 cθ + ûsθ (142) û = u z u y u z u x u y u x (143) û est appelée matrice de pré produit vectoriel En effet, on a la relation : u V = ûv (144)

12 Géométrie du déplacement 15 pour tout vecteur V u x u y u z V x V y V z = u y V z u z V y u z V x u x V z u x V y u y V x = u z u y u z u x u y u x V x V y V z (145) Remarque représentation exponentielle eûθ Nous avons vu que A(u, θ) = uu T (1 cθ) + I 3 cθ + ûsθ avec : De plus, on a : uu T = u x u y u z û = u z u y u z u x u y u x (u x u y u z ) = (146) u 2 x u x u y u x u z u x u y u 2 y u y u z u x u z u y u z u 2 z (147) et u 2 x + u 2 t + u 2 z = 1 û 2 = ûû = uu T I 3 = u 2 x 1 u xu y u x u z u x u y u 2 y 1 u y u z u x u z u y u z u 2 z 1 (148) Il est donc possible de réécrire la matrice de rotation sous la forme (autre forme de la formule de Rodrigues) : A(u, θ) = I 3 + ûsθ + û 2 (1 cθ) (149) En développant en série de Mac Laurin les fonctions sinus et cosinus, on a : ) ( ) A(u, θ) = I 3 + û (θ θ3 3! + θ5 5! θ7 θ 7! + + û 2 2 2! θ4 4! + θ6 6! (15) Comme on a û 3 = û, û 4 = û 2, û 5 = û et û 6 = û 2, on a donc : A(u, θ) = I 3 + ûθ + (ûθ)2 2! + (ûθ)3 3! + (ûθ)4 4! + (ûθ)5 5! + (151) Ce qui représente le développement en séries de Mac Laurin de la fonction exponentielle Il vient que : A(u, θ) = exp(û, θ) = eûθ (152)

16 Géométrie et cinématique du déplacement Exemple : Rotation autour de l axe x avec u = (1,, ) T A(x, θ) = A(x, θ) = eûθ = I 3 + ûsθ + û 2 (1 cθ) (153) 1 1 1 + 1 1 A(x, θ) = sθ+ 1 cθ sθ sθ cθ 1 1 (1 cθ) (154) (155) 122 Situation d un solide dans l espace La situation d un solide dans l expace est exprimée par une matrice de transformation homogène de la forme : T = s x n x a x P x s y n y a y P y s z n z a z P z 1 = ( A P 1 ) (156) avec : A matrice (3 3) des rotations donnant l oriantation du solide dans un repère fixe R P matrice (3 1) des translations donnant la position du solide dans un repère fixe R Nous allons présenter quelques méthodes de description usuelles en robotique, pour décrire la situation d un repère R n, associé à un solide quelconque, dans un repère de référence R Nous aborderons d abord les différentes méthodes permettant de représenter la position du solide, puis celles permettant de paramétrer l orientation de ce même solide 1221 Description de la position d un solide La position de l origine d un repère lié à un solide R n, par rapport à un repère de référence R, peut être définie par différents types de coordonnées : cartésiennes, cylindriques, sphériques Le choix d une description est guidé par les caractéristiques du manipulateur (forme du volume de travail) d une part, et par la tâche à réaliser d autre part

12 Géométrie du déplacement 17 z n z T R n R x n y n y P z x P y P x Figure 112 Coordonnées cartésiennes z n z T R n x α R x n y n y r z Figure 113 Coordonnées cylindriques Coordonnées cartésiennes C est la méthode la plus générale Elle donne directement les composantes du vecteur de position P Cette représentation est utilisée lorsque la structure du robot est cartésienne (par exemple : robot cartésien Afma, Acma-p8, Ibm-7565,) La figure 112 illustre cette représentation La matrice de position est la suivante : P x P car = P y (157) P z Coordonnées cylindriques Cette représentation est utilisée lorsque la structure du robot est cylindrique (par exemple : robot Acma th8, Cincinnati-t3-363,) La figure 113 illustre cette représentation La matrice de position est la suivante : P cyl = rcα rsα z (158)

18 Géométrie et cinématique du déplacement z n z T x α β r y n R x n y R n Figure 114 Coordonnées sphériques On peut exprimer les coordonnées cylindriques en fonction des coordonnées catésiennes par les relations suivantes : r = P 2 x + P 2 y α = atan2(p y, P x ) z = P z (159) où la fonction atan2 permet le calcul de l arc-tangente à partir de deux arguments Le résultat α [ 18; 18], le quadrant étant fixé par l analyse du signe de P x et de P y Seul les cas P x = et P y = constitue une singularité (impossibilité de solution) Coordonnées sphériques Cette représentation est utilisée lorsque la structure du robot est spérique (par exemple : robot Unimation-1/2/4, Psabarnabé, Stanford,) La figure 114 illustre cette représentation La matrice de position est la suivante : P sph = rcαsβ rsαsβ rcβ (16) On peut exprimer les coordonnées spériques en fonction des coordonnées cartésiennes, par les relations qui suivent : r = Px 2 + Py 2 + Pz 2 α = atan2(p y, P x ) ) si β ou α = si β = α = atan2 ( Py sα, P z si α ou β = atan2(p x, P z ) si α = (161)

12 Géométrie du déplacement 19 1222 Description de l orientation d un solide Pour décrire d orientation d un solide, le choix de trois paramètres se révèle parfois difficile Aussi, on se ramène à des représentations redondantes Les méthodes les plus utilisées sont les suivantes : les cosinus directeurs, les angles d Euler, les angles de Bryant, les angles Roulis-Tangage-Lacet, les paramètres d Euler (ou Olingue-Rodrigues, quaternions) Les cosinus directeurs La description de l orientation d un solide par les cosinus directeurs est donnée par les trois vecteurs s, n et a constituant 9 éléments appelés cosinus directeurs La matrice d orientation est la suivante : s x n x a x s y n y a y (162) s z n z a z La connaissance de deux vecteurs choisis parmi les 3 est suffissante (le troisième est obtenu par le produit vectoriel des deux autres) 3 composantes seulement sont indépendantes, mais dans le cas général, il est difficile de les fixer La description de l orientation d un solide par les cosinus directeurs est une méthode redondante Les angles d Euler Dans ce cas, l orientation d un repère R n associé à un solide quelconque, dans un repère référence R, est déterminée par la spécification de 3 angles correspondants à trois rotations successives (z, x, z) La figure 115 illustre cette méthode de desciption de l orientation Le plan (x n, y n ) coupe le plan (x, y ) suivant une droite ON appelée ligne modale, perpendiculaire aux axes z et z n Son sens positif est donné par le produit vectoriel z n z Comme le montre la figure 115, les angles d Euler sont définis comme suit : φ (précession) : angle entre x et ON tel que φ 36 θ (nutation) : angle entre z et z n tel que θ 18 ψ (rotation propre) : angle entre ON et x n tel que ψ 36 φ et ψ sont mesurés dans le sens donné par la règle du tire-bouchon respectivement autour des axes Z et Z n La composition de ces trois rotations permet de calculer la matrice d orientation En effet, on a : A Eul = E(z, φ)a(x, θ)a(z, ψ) (163) d où cφcψ sφcθsψ cφsψ sφcθcψ sφsθ A Eul = sφcψ + cφcθsψ sφsψ + cφcθcψ cφsθ (164) sθsψ sθcψ cθ

2 Géométrie et cinématique du déplacement z φ y n ψ θ z n Rn O R y x φ θ ψ x n pl(x n, y n) pl(x, y ) N Figure 115 Les angles d Euler (convention z, x, z) Remarque : Au lieu de prendre par convention l ordre (z, x, z), certains auteurs prennent l ordre (z, y, z), ce qui donne : A Eul = A(z, φ)a(y, θ)a(z, ψ) (165) On peut montrer, que pour passer des cosinus directeurs aux angle d Euler, les relations suivantes sont utilisables : φ = atan2( a x, a y ) à 18 près (φ = atan2(a x, a y ) + 18 ) (3éme colonne) θ = atan2(sφa x cφa y, a z ) (3éme colonne) ψ = atan2( cφn x sφn y, cφs x + sφs y ) (1/2éme colonne) (166) Dans le cas où a x et a y sont nuls, les axes z et z n sont confondus; donc θ est nul ou égal à 18 Cette situation correspond à un cas singulier, dans lequel, les rotations φ et psi s effectuent autour du même axe et c est la quantité φ + ψ qui intervient Lorsque θ =, on a alors : A Eul = A(z, φ + ψ) (167) on en déduit que φ + ψ =antan2( n x, n y ) (2ème colonne de la matrice de rotation autour de z) et φ = Les angles de Bryant Comme pour les angles d Euler, l orientation d un repère R n, associé à un solide quelconque, dans un repère de référence R, est déterminée

12 Géométrie du déplacement 21 φ 3 z 1 z z 2 n φ 2 φ 1 y n φ 2 y 1 y 2 R n R φ 3 φ 1 y φ 1 φ 2 x x 1 φ 3 x n x 2 Figure 116 Les angles de Bryant (convention x, y, z) par la spécification de 3 angles correspondants à 3 rotations successives (x, y, z) La figure 116 illustre cette description de l orientation La composition de ces trois notations permet de calculer la matrice d orientation En effet, on a : d où A Bry = A Bry = A(x, φ 1 )A(y, φ 2 )A(z, φ 3 ) (168) cφ 2 cφ 3 cφ 1 sφ 3 + sφ 1 sφ 2 cφ 3 sφ 1 sφ 3 cφ 1 sφ 2 cφ 3 cφ 2 sφ 3 cφ 1 cφ 3 sφ 1 sφ 2 sφ 3 sφ 1 cφ 3 + cφ 1 sφ 2 sφ 3 sφ 2 sφ 1 cφ 2 cφ 1 cφ 2 (169) On peut montrer, que le passage des cosinus directeurs aux angles de Bryant est obtenu par les relations suivantes : φ 1 = atan2( n z, a z ) à 18 près (φ 1 = atan2(n z, a z ) + 18 ) (3/4éme colonne) φ 2 = atan2(s z, cφ 1 a z sφ 1 n z ) (3éme ligne) φ 3 = atan2(cφ 1 n x + sφ 1 a x, cφ 1 n y + sφ 1 a y ) (3/4éme colonne) (17) Les roulis-tangage-lacet Comme pour les deux représentations précédentes, l orientation d un repère R n, associé à un solide quelconque, dans un repère de référence R, est déterminée par la spécification de 3 angles correspondants à 3 rotations successives (z, y, x) La figure 117 illustre cette description de l orientation La composition de ces trois rotations permet de calculer la matrice d orientation : A RTL = A(z, φ)a(y, θ)a(x, ψ) (171)

22 Géométrie et cinématique du déplacement z n z 1 z 2 θ ψ z φ y n R ψ y 1 R n φ y θ x φ x 1 θ x 2 ψ x n d où Figure 117 Les angles de roulis-tangage-lacet (convention z, y, x) A RTL = cφcθ cφsθsψ sφcψ cφsθcψ + sφsψ sφcθ sφsθsψ + cφcψ sφsθcψ cφsψ sθ cθsψ cθcψ (172) On peut montrer, que le passage des cosinus directeurs aux angles RTL est obtenu par les relations suivantes : φ = atan2(s y, s x ) à 18 près (φ = atan2( s y, s x ) + 18 ) (1ère colonne) θ = atan2( s z, cφs x + sφs y ) (1ère colonne) ψ = atan2(sφa x cφa y, sφn x + cφn y ) (3/4éme colonne) (173) IL y a une singularité si s y = s x = Les paramètres d Euler (les quaternions) Dans ce cas, l orientation d un repère R n, associé à un solide quelconque, dans un repère de référence R, est déterminée par la spécification des 4 paramètres (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 ) qui décrivent une rotation unique équivalente θ [ 18; 18] autour d un axe de vecteur unitaire u, tels que : λ 1 = cos ( ) θ 2 λ 2 = u x sin ( ) θ 2 λ 3 = u y sin ( ) θ 2 λ 4 = u z sin ( ) θ 2 (174)

12 Géométrie du déplacement 23 z z n θ u R y n R n y x x n Figure 118 Les quaternions Ces paramètres ont les propriétés suivantes : 2λ 2 1 1 = cosθ (a) et λ2 1 + λ2 2 + λ2 3 + λ2 4 = 1 (b) (175) La figure 118 illustre cette description de l orientation La matrice d orientation est la suivante : A Quat = 2(λ 2 1 + λ2 2 ) 1 2(λ 2λ 3 λ 1 λ 4 ) 2(λ 2 λ 4 + λ 1 λ 3 ) 2(λ 2 λ 3 + λ 1 λ 4 ) 2(λ 2 1 + λ2 3 ) 1 2(λ 3λ 4 λ 1 λ 2 ) 2(λ 2 λ 4 λ 1 λ 3 ) 2(λ 3 λ 4 + λ 1 λ 2 ) 2(λ 2 1 + λ 2 4) 1 (176) Pour démontrer cette relation, il suffit de remplacer les expressions des paramètres (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 ) dans la matrice et de comparer avec celle obtenue pour une rotation autour d un axe u quelconque On peut montrer, que le passage des cosinus directeurs aux quaternions (paramètres d Euler) est obtenu par les relations suivantes : λ 1 = 1 2 s x + n y + a z + 1 λ 2 = 1 2 sign(n x a y ) s x n y a z + 1 λ 3 = 1 2 sign(a x s z ) s x + n y a z + 1 (177) λ 4 = 1 2 sign(s y n x ) s x n y + a z + 1 La fonction sign(a) donne le signe d un réel A

24 Géométrie et cinématique du déplacement z f R f R θ P s A y f x f Figure 119 Mouvement circulaire 13 Cinématique du déplacement Dans cette partie, nous aborderons les principales relations utilisables lorsqu il s agit de décrire le mouvement d un corps solide 131 Mouvement circulaire Soit un point P qui se déplace sur un cercle de rayon R (cf fig 119) : s représente la longueur de l arc AP donc s = Rθ θ est l angle au centre du cercle correspondant La vitesse tangentielle ν peut s exprimer en fonction de la vitesse angulaire de rotation ω par la relation suivante : 132 Systèmes d axes tournants ν = ds dt = Rdθ = Rω (178) dt Considérons un système d axes tournants représenté par la figure 12 Soit R f (x z, y f, z f ) un repère absolu d origine O que nous considérons fixe Soit R m (x m, y m, z m ) un repère tournant par rapport à R f de même origine O Soit A = (A 1, A 2, A 3 ) T (vecteur position de A exprimé dans R m ), un point variable dans l espace Alors, on a : où ( ) da = dt R f ( ) da + ω A (179) dt R m V (A) Rf = V (A) Rm + ω A (18) où ω représente la vitesse angulaire de rotation du repère R m par rapport au repère R f

13 Cinématique du déplacement 25 z f z m A R f y m R m y f x f x m Figure 12 Système d axes tournants P z f z m r y m R f R Q R m x f O y f x m Figure 121 Système d axes mobiles : cas général 133 Systèmes d axes mobiles dans le cas général Soit R f (x f, y f, z f ) un repère absolu d origine O que nous considérons fixe Soit R m (x m, y m, z m ) un repère mobile par rapport à R f d origine Q Supposons que R soit le vecteur position de l origine Q par rapport à O Supposons que Ṙ soit la vitesse du point Q par rapport à O Supposons que r soit le vecteur position d un point P quelconque par rapport à Q Soit ṙ la vitesse du point P par rapport à Q La figure 121 représente la scène On a alors : soit : V (P) Rf = V (Q) Rf + V (P) Rm + ω r (181) ( ) dr dt = R f R + où : Ṙ exprime la vitesse du point Q par rapport à O, ( ) dr + ω r (182) dt R m

26 Géométrie et cinématique du déplacement z x 1 z 1 C 1 z i x i+1 z i+1 C i+1 zf C R 1 y 1 C i R i+1 y i+1 R x y R i y i x i Figure 122 Système d axes mobiles : cas d une chaîne articulaire simple ( ) dr exprime le mouvement du aux translations, dt R m ω r exprime le mouvement du aux rotations, ω exprime la vitesse angulaire de rotation de R m par rapport à R f Remarque 1 : Si Q est confondu avec O, alors : que : ( ) dr = dt R f qui s écrit également : R= Il s en suit ( ) dr + ω r (183) dt R m r Rf =ṙ R m +ω r (184) Ce qui permet de vérifier les relations précédentes Remarque 2 : Si, de plus, P ne varie par en amplitude (c est à dire en position), alors ṙ R m = Il s en suit que : r Rf = ω r = r ω = ˆωr (185) avec ω exprime la vitesse angulaire de rotation de R m par rapport à R f, ˆω exprime la matrice de pré produit vectoriel (tenseur ω) 134 Lois de composition des vitesses Le but de cette partie est d établir une relation de récurrence pour une chaine articulaire formée par les corps successifs d un robot A chacun des corps C i, on associe un repère R i De plus, on considère R comme repère fixe La figure 122 décrit le cas d une chaîne articulaire Dans ce cas, on peut exprimer la vitesse de

13 Cinématique du déplacement 27 translation associée au corps C i+1 par la relation suivante : où : V (O i+1 ) (R ) (R i ) = V (O i) (R ) (R i ) + V (O i+1) (R i) (R i ) + Ω i (R ) (R i ) O io i+1 (186) V (O i+1 ) (R ) (R i ) représente la vitesse de translation de translation de O i+1 par rapport à O exprimée dans le repère R i, V (O i ) (R ) (R i ) représente la vitesse de translation de O i par rapport à O exprimée dans le repère R i, V (O i+1 ) (R i) (R i ) représente la vitesse de translation de O i+1 par rapport à O i exprimée dans le repère R i, Ω i (R ) (R i ) représente la vitesse angulaire de rotation du repère R i par rapport au repère R exprimée dans le repère R i, O i+1 O i représente le vecteur position de l origine O i+1 dans le repère R i De même, on peut écrire : V (O i+1 ) (R ) (R i ) = i A i+1 V (O i+1 ) (R ) (R i+1 ) (187) et V (O i ) (R ) (R i ) = i A i 1 V (O i ) (R ) (R i 1 ) (188) i A i+1 représente la matrice rotation de la matrice de transformation homogène i T i+1 permettant le passage du repère R i à R i+1 Pour les vitesses angulaires de rotation, nous utiliserons la relation suivante : Ω i (R ) (R i 1 ) (R i ) = Ω i(r i 1 ) + i (R A i 1 Ω ) i 1 (R i 1 ) (189) avec : Ω i (R ) (R i ) représente la vitesse angulaire de rotation du repère R i par rapport à R exprimée dans le repère R i, Ω i (R i 1 ) (R i 1 ) représente la vitesse angulaire de rotation du repère R i par rapport à R i 1 exprimée dans le repère R i 1, i A i 1 représente la matrice de rotation (cosinus directeur) de la matrice de transformation homogène permettant le passage du repère R i au repère R i 1, Ω i 1 (R ) (R i 1 ) représente la vitesse angulaire de rotation du repère R i 1 par rapport à R exprimée dans le repère R i 1 Ces trois relations permettent de calculer les vitesses de rotation et de translation de n importe quel segment du robot, en particulier celles de l organe terminal

Chapitre 2 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots 21 Introduction à la modélisation La conception et la commande des robots manipulateurs nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques, tels que les modèles de transformation entre : l espace opérationnel X (dans lequel on définit la situation de l organe terminal) l espace articulaire q (dans lequel on définit la configuration du robot) X q (21) modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot, qui permettent d établir les relations entre les couples et les forces exercés par les actionneurs et, les positions, vitesses et accélérations articulaires : Γ = f(q, q, q, F) (22) Parmi les modèles de transformation, on distingue : les modèles géométriques direct et inverse qui expriment la situation de l organe terminal en fonction de la configuration du mécanisme articulaire et inversement X q (23) les modèles différentiels direct et inverse qui expriment la différentielle de la situation de l organe terminal en fonction de la configuration du mécanisme articulaire et inversement X q (24) La plupart de ces modèles sont établis par calcul symbolique Dans cet objectif, un logiciel de calcul symbolique est un outil essentiel

3 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots L Ecole Centrale de Nantes a mis sur le marché un logiciel appelé SYMORO+ [KC] qui permet l étude, le développement et le test de tous ces modèles Il existe des méthodes et notations utilisées pour la modélisation des robots La plus répandue est celle de Denavit-Hartenberg [DH55] Elle est bien adaptée pour des structures ouvertes simples, mais présente des ambiguïtés lorsqu elle est appliquée sur des robots à structures fermées ou arborescentes Dans les années 8, Wisama Khalil propose une modification de cette méthode : méthode de Denavit-Hartenberg modifiée (dîte méthode de Khalil) Cette méthode permet la description homogène en un nombre minimum de paramètres pour la représentation des différentes structures de robots généralement rencontrés 22 Description de la structure géométrique d un robot 221 Notations et règles générales La méthode générale est basée sur les règles et conventions suivantes : la variable de l articulation j est notée q j le corps j est noté C j les corps sont supposés parfaitement rigides Ils sont connectés par des articulations considérées comme idéales le repère R j est lié au corps C j l axe du z j repère R j, est porté par l axe articulaire j les paramètres qui permettent de définir le repère R j, par rapport au repère antécédent sont munis de l indice j 222 Description des robots à chaîne ouverte simple 2221 Cadre général Le système est composé de n+1 corps C, C 1, C 2 C n et de n articulations (voir figure 21) Le corps C désigne la base du robot Le corps C n est celui qui porte l organe terminal L articulation j connecte le corps C j au corps C j 1 2222 Paramétrage de Denavit-Hartenberg modifié (Khalil 86) Le repère R j fixé au corps C j est défini de telle sorte que : z j est porté par l axe articulaire j x j est porté par la perpendiculaire commune aux axes z j et z j+1 Si z j et z j+1 sont parallèles ou colinéaires, le choix de x j n est pas unique Dans ce cas, des

22 Description de la structure géométrique d un robot 31 C n 2 C n 1 C 4 C 2 C 3 C n C 1 C Figure 21 Robot à structure ouverte simple considérations de symétrie ou de simplicité permettent alors un choix rationnel y j est l axe qui forme un trièdre direct : y j = z j x j Le passage du repère R j 1 au repère R j, s exprime en fonction de 4 paramètres suivants : α j est l angle entre les axes z j 1 et z j correspondant à une rotation autour de x j 1 d j est la distance entre les axes z j 1 et z j le long de x j 1 θ j est l angle entre les axes x j 1 et x j correspondant à une rotation autour de z j r j est la distance entre les axes x j 1 et x j correspondant à une rotation autour de z j La figure 22 représente la définition des paramètres de Denavit-Hartenberg modifié La variable articulaire q j (associée à la j eme articulation ) est soit : θ j si l articulation est de type rotoïde (σ j = ) r j si l articulation est de type prismatique (σ j = 1) On a donc : q j = σ j θ j + σ j r j La matrice de transformation homogène définissant le repère R j dans le repère R j 1 est donnée par : j 1 T j = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Rot(z, θ j )Trans(z, r j ) (25) Soit : j 1 T j = Cθ j Sθ j d j Cα j Sθ j Cα j Cθ j Sα j r j Sα j Sα j Sθ j Sα j Cθ j Cα j r j Cα j 1 (26)

32 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots z j 1 z j x j θ j O j α j r j d j x j 1 O j 1 Figure 22 Paramètres géométriques dans le cas d une structure ouverte simple On remarque que : j 1 A j = Rot(x, α j )Rot(z, θ j ) car les opérations de rotations/translations successives sur un même axe sont commutatives On en déduit la matrice de transformation homogène inverse permettant le passage du repère R j au repère R j 1 j T j 1 = Trans(z, r j )Rot(z, θ j )Trans(x, d j )Rot(x, α j ) (27) dont l expression littérale est la suivante ( j A j 1 = ( j 1 A j ) T ) : Cθ j Cα j Sθ j Sα j Sθ j d j Cθ j j T j 1 = Sθ j Cα j Cθ j Sα j Cθ j d j Sθ j Sα j Cα j r j 1 Remarques : (28) 1 Pour la définition de R, le choix le plus simple consiste à confondre R avec R 1 pour la valeur particulière de l articulation q 1 = Cela implique que z et z 1 sont confondus, et que x = x 1 pour q 1 = 2 De même, en définissant l axe x n du repère R n comme étant colinéaire à x n 1 lorsque q n =, on rend les paramètres r n = θ n = 3 Pour une articulation j prismatique, l axe z j est parallèle à l axe de l articulation, mais la position sur cet axe peut être quelconque 4 Cette méthode de description fixe la configuration zéro du robot tel que q = q = q i = On peut choisir une autre configuration (quelconque), en procédant au changement de variable suivant : q c = q q i avec

22 Description de la structure géométrique d un robot 33 q c = nouveau vecteur des variables articulaires q i = configuration à zéro choisie 5 De même, si la convention axe positif est changée au montage du robot, il suffit d effectuer le changement de variable : q c = q 6 Lorsqu une cinématique est constituée par 2 ou plusieurs axes parallèles consécutifs, on peut se ramener à une seule matrice de transformation équivalente en faisant intervenir la somme des variables articulaires Par exemple, si α j+1 =, les axes z j et z j+1 sont parallèles Dans ce cas, on a : j 1 T j+1 = j 1 T j j T j+1 = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Rot(z, θ j )Trans(z, r j )Rot(x, α j+1 )Trans(x, d j+1 ) Rot(z, θ j+1 )Trans(z, r j+1 ) = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Rot(z, θ j )Trans(z, r j ) Trans(x, d j+1 )Rot(z, θ j+1 )Trans(z, r j+1 ) = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Trans(z, r j )Rot(z, θ j + θ j+1 )Trans(x, d j+1 )Trans(z, r j+1 ) = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Rot(z, θ j + θ j+1 )Trans(z, r j + r j+1 )Trans(x, d j+1 ) (29) Ce qui peut se réécrire sous la forme suivante : C(θ j + θ j+1 ) S(θ j + θ j+1 ) d j + d j+1 Cθ j j 1 T j+1 = Cα j S(θ j + θ j+1 ) Cα j C(θ j + θ j+1 ) Sα j d j+1 Cα j Sθ j (r j + r j+1 )Sα j Sα j S(θ j + θ j+1 ) Sα j C(θ j + θ j+1 ) Cα j d j+1 Sα j Sθ j + (r j + r j+1 )Cα j 1 (21) La transformation inverse a pour expression : C(θ j + θ j+1 ) Cα j S(θ j + θ j+1 ) Sα j S(θ j + θ j+1 ) d j C(θ j + θ j+1 ) d j+1 Cθ j+1 j+1 T j 1 = S(θ j + θ j+1 ) Cα j C(θ j + θ j+1 ) Sα j C(θ j + θ j+1 ) d j S(θ j + θ j+1 ) + d j+1 Sθ j+1 Sα j Cα j (r j + r j+1 ) 1 (211) Dans ces deux expressions, on voit apparaître les sommes θ j + θ j+1 et r j + r j+1 (cf (29)) 2223 Exemples de description Robot manipulateur AID-5 (RRR,RRR) La figure 23 montre le synoptique du robot AID-5 Le robot AID-5 est constitué : d un porteur muni de 3 degrés de liberté (RRR) d un poignet muni de 3 degrés de liberté (RRR) : une rotule d axes concourants Pour déterminer les paramètres de Denavit-Hartenberg, il faut procéder par étapes : 1 disposer les axes z j sur les axes articulaires 2 disposer R tel que R = R 1 pour q 1 =

34 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots z 6 + z, z 1 z 5 + x 4, x 5, x 6 + z 2 x, x 1 x 2 + z 4 + RL 4 D 3 + z 3 x 3 Figure 23 Structure du robot AID-5

22 Description de la structure géométrique d un robot 35 3 disposer les axes x j en prenant la convention x j = z j z j+1 (trièdre direct) Il se peut que pour des raisons de simplicité, qu il soit préférable de prendre la convention trièdre indirect Dans le cas du robot AID-5, les axes z j sont posés de manière automatique en fonction des conventions de signes sur les axes articulaires (angle positif selon la règle du vissage selon l axe) Le tableau des paramètres de Denavit-Hartenberg relatif au robot AID-5 est le suivant : J σ j α j d j θ j r j Trièdre R = R 1 q1 D/I R 1 = R 2 9 q2 D R 2 = R 3 D 3 q3 D/I R 3 = R 4 9 q4 RL 4 D R 4 = R 5 9 q5 I R 5 = R 6 9 q6 I Plusieurs problèmes sont mis à jour par cet exemple Tout d abord, le choix des vecteurs x j n est pas unique En effet, si l on regarde les liaisons R = R 1 et R 2 = R 3, les axes z j sont soit colinéaires, soit parallèles Pour simplifier la représentation, dans les deux cas on choisit l axe x j correspondant de tel sorte que le passage à l axe x j+1 soit simple (même direction) Dans certains cas, on regarde également la liaison précédente, de manière à simplifier la représentation du passage de l axe x j 1 à l axe x j Pour le choix de x 6, il serait nécessaire de connaître la direction de l axe x e du repère outil En l abscence de celle-ci, le choix est arbitraire mais doit être simple Par conséquent, seul deux choix sont retenus en général Ces deux choix diffèrent par une direction opposée Dans notre exemple, nous avons retenu la simplification du passage R 5 = R 6 qui conduit à avoir x 5 = x 6 pour q 6 = Dans la dernière colonne de ce tableau figure la convention prise (pour chaque liaison), pour fixer la direction de l axe x j Il est clair que cela revient au même en définitif, si l on considère que les repères R et R n sont les mêmes selon les conventions prises La seule différence porte sur la présence et non présence dans le tableau de rotations supplémentaires de valeur 18 o = π (qui marchent par paire) Robot manipulateur ACMA H-8 (PRR, RRR) La figure 24 montre le synoptique de ce robot On considère le robot ACMA H-8 constitué : d un porteur muni de 3 degrés de liberté (PRR) d un poignet muni de 3 degrés de liberté (RRR) : une rotule d axes concourants Dans le cas du robot ACMA H-8, les axes z j sont posés de manière automatique en fonction des conventions de signes sur les axes articulaires (angle positif selon la règle du vissage selon l axe)

36 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots D 3 D 4 z, z 1 z 2 + z 3 z 4 z 5 + + x, x 1 x 4, x 5, x 6 x 2 x 3 + + + z 6 Figure 24 Structure du robot ACMA H-8 Le tableau des paramètres de Denavit-Hartenberg relatif au robot ACMA H-8 est le suivant : J σ j α j d j θ j r j Trièdre R = R 1 1 q 1 D/I R 1 = R 2 q 2 D/I R 2 = R 3 D 3 q 3 D/I R 3 = R 4 D 4 q 4 I R 4 = R 5 9 q 5 I R 5 = R 6 9 q 6 D/I Robot cartésien AFMA (PPP, RRR) (Voir td) 223 Extensions aux chaînes fermées et arborescentes En dehors des chaînes ouvertes simples, il est possible de rencontrer : des chaînes ouvertes arborescentes des chaînes fermées des chaînes composées de chaînes simples, arborescentes ou non, et de chaînes fermées

22 Description de la structure géométrique d un robot 37 C m z m C m 1 C n 2 C n 1 C k+l z k+l z k+1 z n C k C k+1 C n z k C 2 z, z 1 C 1 C Figure 25 Robot à structure ouverte arborescente 2231 Cas des chaînes arborescentes Une structure (ou chaîne) est constituée par n + 1 corps, n articulations et r organes terminaux Par convention, les corps et articulations sont numérotés de la manière suivante : la base est fixe et constitue le corps C les numéros des corps et articulations sont croissants sur chaque branche en partant de la base (corps C ), vers un organe terminal le corps C j est articulé autour de l articulation j par rapport au corps C a(j), qui représente le corps antécédent sur la chaîne menant au corps C j en partant de la base La topologie du système est complètement définie par la donnée des indices a(j) pour j = 1, 2, n La figure 25 représente un exemple de chaîne arborescente avec deux organes terminaux Les différents repères sont placés de la manière suivante : R j est fixe par rapport au corps C j z j est porté par l axe articulaire j Jusque là, ces notations sont les mêmes que celles employées pour une chaîne ouverte simple

38 Modélisation géométrique des robots - Commande en position des robots Figure 26 Paramétrage nécessaire à un corps à plus de 2 articulations Si le corps C i, avec i = a(j), n a pas d arborescence, l axe x i est choisi comme la perpendiculaire commune aux axes z i, z j En effet, le repère R j est successeur au repère R i On retient les 4 paramètres de Denavit-Hartenberg pour paramétrer la liaison Si le corps C i porte plus d un corps, C j et C k par exemple, il faut alors choisir l axe x i sur l une des deux perpendiculaires communes à z i, z j ou à z i, z k Le bon sens est de retenir la préférence à la chaîne menant à l organe terminal principal, ou bien à la chaîne qui possède le plus grand nombre de corps articulés Deux cas doivent être envisagés pour définir un repère lié à C j successeur de C i si l axe x i est la perpendiculaire commune à z i, z j alors la matrice de passage i T j (du repère R i au repère R j ) s écrit comme dans le cas des chaînes simples à partir des 4 paramètres (α j, d j, θ j, r j ) Si l axe x i est la perpendiculaire commune à z i, z k, 2 paramètres supplémentaires doivent être introduit γ j = l angle entre l axe x i et la perpendiculaire commune aux axes z i, z j notées x i, autour de l axe z i ε j = distance entre l axe x i et l axe x i, le long de l axe z i La figure 26 montre les différents repères et paramètres mis en oeuvre pour traiter ce cas particulier Ces deux paramètres permettent de construire la matrice de passage i T i, permettant le passage du repère R i au repère R i Le repère R i est identique au repère R i, mais il est construit sur l autre perpendiculaire commune i T i = Rot(z, γ j )Trans(z, ε j ) (212)

22 Description de la structure géométrique d un robot 39 D où on en tire : i T i = C γj S γj S γj C γj 1 ε j 1 (213) i T j, = i T i i T j avec i T j = Rot(x, α j )Trans(x, d j )Rot(z, θ j )Trans(z, r j ) (214) Après développement, on obtient la matrice globale suivante : Cγ j Cθ j Sγ j Cα j Sθ j Cγ j Sθ j Sγ j Cα j Cθ j Sγ j Sα j d j Cγ j + r j Sγ j Sα j i T j = Sγ j Cθ j + Cγ j Cα j Sθ j Sγ j Sθ j + Cγ j Cα j Cθ j Cγ j Sα j d j Sγ j r j Cγ j Sα j Sα j Sθ j Sα j Cθ j Cα j r j Cα j + ε j 1 (215) Son inverse est : j T i = Cγ j Cθ j Sγ j Cα j Sθ j Sγ j Cθ j + Cγ j Cα j Sθ j Sα j Sθ j ε j Sα j Sθ j d j Cθ j Cγ j Sθ j Sγ j Cα j Cθ j Sγ j Sθ j + Cγ j Cα j Cθ j Sα j Cθ j ε j Sα j Cθ j + d j Sθ j Sγ j Sα j Cγ j Sα j Cα j r j ε j Cα j 1 (216) Remarque : Si γ j et ε j =, la matrice de transformation homogène i T i est unitaire C est le cas fréquent où les axes x i et x i sont confondus Dans ce cas, on se ramène au cas des chaînes simples 2232 Cas des chaînes fermées Dans ce cas, le système est constitué de n+1 corps et éventuellement de r organes terminaux De plus, il dispose de L > n articulations Le nombre de boucles fermées est donné par la relation : b = L n Pour décrire ce style de robot, on détermine une structure arborescente équivalente en coupant virtuellement chacune des boucles fermées sur l une de ses articulations On choisit une articulation non motorisée de préférence, qui est telle que le nombre de corps qui la sépare de la racine ait le même ordre de grandeur que l on parcourt la boucle d un côté ou de l autre On procède comme au paragraphe précédent pour la numérotation des corps et des articulations Les articulations coupées sont notées à partir de n + 1 jusqu à L On place ensuite les repères sur les corps en suivant les règles déjà énoncées Pour chaque articulation coupée k, on définit un repère R k, fixe par rapport à l un des corps supportant cette articulation