Brevet Blanc de Mathématiques ** Corrigé ** Collège Goscinny de Valdoie Le soin et la qualité de la rédaction comptent pour 4 points. L usage de la calculatrice est autorisé. Sujet et corrigé écrits avec L A TEX 13 février 2007 durée 2 heures
Exercice 1 Activités Numériques (12 points) 1. On considère ( les deux expressions : 3 A = 5 1 ) 5 16 10 1 2 et B = 2 2 (10 3 ) 2 10 8 80 a) Calculer A et donner le résultat sous la forme d une fraction irréductible. ( 6 A = 10 5 ) 5 10 2 = 1 10 5 2 A = 1 4 b) Vérifier que B est un nombre entier. Écrire les étapes du calcul. c) Brice affirme que «A est l opposé de B». Est-ce vrai? Justifier. 16 10 1 2 B = (10 3 ) 2 10 8 80 = 16 2 10 1 6+8 80 = 2 5 10 = 20 5 B = 4 Donc B est bien un nombre entier, mais n est pas l opposé de A ; c est son inverse. 2. On considère les deux expressions : C = ( 4 3 5 ) 2 et D = ( 5 3 2 ) ( 5 3 + 2 ). a) Mettre C sous la forme a + b 5, avec a et b entiers relatifs. C = ( 4 3 5 ) 2 } {{ } identité remarquable = 4 2 2 4 3 5 + ( 3 5 ) 2 = 16 24 5 + 9 5 C = 61 24 5 1
b) Développer et réduire D. D = ( 5 3 2 ) ( 5 3 + 2 ) = ( 5 3 ) 2 2 2 = 25 3 4 D = 71 Exercice 2 1. Soit E = 4x 2 + 8x 5. Calculer E pour x = 0, 5. E = 4 (0, 5) 2 + 8 0, 5 5 = 4 0, 25 + 4 5 E = 0 2. Soit F = (2x + 2) 2 9. a) Développer et réduire F. F = (2x + 2) } {{ } 2 9 (a+b) 2 = (2x) 2 + 8x + 4 9 F = 4x 2 + 8x 5 b) Factoriser F. F = (2x + 2) 2 9 } {{ } a 2 b 2 = (2x + 2) 2 3 2 = (2x + 2 3) (2x + 2 + 3) } {{ } } {{ } (a b) (a+b) F = (2x 1)(2x + 5) 2
3. a) Résoudre l équation (2x 1)(2x + 5) = 0. : Si un produit de facteurs est nul, alors l un des facteurs est nul d où : 2x 1 = 0 ou 2x + 5 = 0 x = 1 2 ou x = 5 2 L équation admet deux solutions qui sont 1 2 et 5 2. On peut bien entendu écrire les solutions sont 0,5 et -2,5. Quelles sont les valeurs de x qui annulent E? D après la question 2. a) on a E = F, donc les solutions qui annulent E sont les valeurs qui annulent aussi F. Les valeurs qui annulent E sont 1 2 et 5 2. Exercice 3 Le tableau ci-dessus présente la série des notes obtenues par les élèves de 3 e E lors du dernier devoir en classe : Note sur 20 5 6 8 9 11 12 13 15 18 19 Effectif 1 2 6 2 1 4 2 3 1 1 1. Quel est l effectif total de la classe de 3 e E? L effectif total de la classe est de 23 élèves 2. Calculer la note moyenne de la classe pour ce devoir. En donner la valeur arrondie au dixième de point. La note moyenne de la classe est : 5 1 + 6 2 + + 19 1 23 = 250 23 10, 9 3. Quel pourcentage, arrondi à l unité, de l effectif total représentent les élèves ayant obtenu une note inférieure ou égale à 8? Il y a 9 élèves qui obtiennent une note inférieure ou égale à 8, ce qui représente une proportion de 9 des élèves. 23 Or 9 0, 3913... 23 Soit un pourcentage de 39% à l unité près 3
4. Déterminer la note médiane de cette série. Que représente cette note? La note médiane est la celle du 12 e élève, En rangeant les notes dans l ordre croissant, on a la série suivante : 11 notes 11 notes { }} { { }} { 5; 6; 6; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; }{{} 11 ; 12; 12; 12; 12; 13; 13; 15; 15; 15; 18; 19 note médiane La note médiane partage la série de notes en deux parties de même effectif. 4
Activités Géométriques (12 points) Exercice 1 La figure ci-contre ne doit pas être reproduite. L unité de longueur est le centimètre. Le triangle ABC est tel que : AB = 5,25 ; BC = 8,75 ; AC = 7. A E C 1. Démontrer que le triangle ABC est rectangle. G F Le plus grand côté du triangle ABC est [BC] ; Calculons AB 2 + AC 2 et BC 2 : AB 2 + AC 2 BC 2 = 5, 25 2 + 7 2 = 8, 75 2 = 76, 5625 = 76, 5625 B FIG. 1 Exercice 1 Donc AB 2 + AC 2 = BC 2, et d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A. 2. a) Soit E le point du segment [AC] tel que EC = 4. Calculer AE. Le point E est un point de [AC], donc AE = AC EC = 7 4 = 3 cm. b) La parallèle à (AB) passant par E coupe [BC] en F. Calculer EF. Les droites (AE) et (FB) sont sécantes en C et (AB)//(EF) ; D après le théorème de Thales, on a : CE CA = CF CB = EF AB 4 7 = EF 5, 25 4 5, 25 EF = 7 EF = 3 cm. 3. La parallèle à (AC) passant par F coupe [AB] en G. Quelle est la nature du quadrilatère AEFG? (On donnera la réponse la plus précise possible en la justifiant.) (AE)//(GF) et (AG)//(EF), d où AEFG est un parallèlogramme ; De plus l angle  est droit et AE = EF ; Or, Si un parallèlogramme possède un angle droit et deux côtés consécutifs égaux, alors c est un carré Donc AEFG est un carré. 5
Exercice 2 représenté, sur la feuille annexe, une pyramide BEFG. ( Voir figure 3, page 7). On sait que EFG, EFB et BFG sont trois triangles rectangles en F. De plus, EF = FG =5 cm et BE = 13 cm. 1. a) Montrer que la hauteur BF de la pyramide BEFG mesure 12 cm. Dans le triangle EFB, rectangle en F, d après le théorème de Pythagore, on a : EF 2 + BF 2 = BE 2 5 2 + BF 2 = 13 2 BF 2 = 169 25 = 144 d où BF = 144 BF = 12 cm. La hauteur BF de la pyramide mesure 12 cm. b) Calculer l aire du triangle EFG. FIG. 2 Exercice 2 FE FG L aire du triangle ABC est 2 L aire du triangle ABC est 12,5 cm 2. = 25 2. c) En utilisant cos( FBE), déterminer la mesure de l angle FBE arrondie au degré près. Dans le triangle EFB, rectangle en F, on a : Donc FBE 23 arrondi au degré près. cos( FBE) = FB BE = 12 13 2. On sectionne cette pyramide par un plan passant par M et parallèle à sa base EFG tel que BM = 8 cm. a) Quelle est la nature de la section? Justifier. La section est une réduction de la base ; elle est donc de même nature et c est un triangle rectangle en M. b) Tracer cette section sur la pyramide représentée sur la feuille annexe. Il faut tracer des parallèles pour représenter la section et penser aux pointillés. ( Voir figure 3, page 7). 6
FIG. 3 Feuille Annexe à rendre avec la copie 7
Problème (12 points) Partie 1 UN magasin de décoration décide d accorder une baisse de 15% sur les prix de tous ses articles à l occasion de la Saint Valentin. 1. Combien paiera-t-on un vase conique affiché à 40 e? Effectuer une baisse de 15% revient à multiplier le prix de départ par (1 15 100 ) = 0, 85 ; D où 40 0, 85 = 34 ; On paiera le vase conique 34 e. 2. Un client vient de payer 102 e une lampe. À quel prix la lampe était-elle affichée avant la réduction? Soit x le prix de la lampe avant la réduction ; on a alors x 0, 85 = 102 ; x = 102 0,85 = 120 ; La lampe coûtait 120 e avant la réduction. 3. Soit x le prix d un article dans ce magasin (x en euros). Calculer, en fonction de x, le prix de l article après la remise. Ce prix sera noté p(x). bien sûr, p(x) = 0, 85x. 4. Soit la fonction p définie par p : x 0, 85x. Tracer sa représentation graphique dans un repère orthogonal. On placera l origine du repère en bas et à gauche de la feuille et on prendra 1 cm pour 10 unités sur chaque axe. Remarque : Deux valeurs sont suffisantes pour tracer la représentation graphique d une fonction linéaire! Voir la représentation de la fonction figure 4, page 9 Pour justifier le tracé de la représentation graphique de la fonction, on peut construire un tableau de valeurs : x 0 40 120 100 p(x) 0 34 102 85 5. a) Lire graphiquement le prix d une statuette affichée à 80 e. On lit sur le graphique que le prix d une statuette affichée à 68 e est de 58 e environ. 8
FIG. 4 Représentation graphique de la fonction p Prix en euros après réduction b) Retrouver ce résultat par le calcul. Il faut calculer p(68) = 0, 85 68 = 57, 8 Le prix exact de la statuette affichée à 68 e sera de 57 e 80 après la réduction. Il est normal de ne pas retrouver exactement le prix lu sur le graphique, car celui-ci est une valeur approximative. Partie 2 1. La hauteur du vase conique affiché à 40 e est de 18 cm, et son diamètre est de 6 cm. a) Montrer que son volume exact est 54π cm 3. Le rayon du vase est 3 cm, le volume est donc : Le volume exact du vase est 54π cm 3. V = π 32 18 3 = 54π 9
b) Peut-on verser 1 L d eau dans ce vase sans qu il déborde? 4 54π cm 3 169, 646 cm 3 et 1 4 L = 250 cm3 ; donc on ne peut pas verser 1 4 L d eau dans ce vase sans qu il déborde. 2. Le magasin décide de faire réaliser une miniature de ce vase à l échelle 1 2. a) Quelle sera alors la hauteur du vase en miniature? La hauteur du vase en miniature est une réduction de la hauteur du vase réel à l échelle 1 2 ; La hauteur du vase en miniature est donc de 9 cm. b) Calculer le volume exact de cette miniature. Si toutes les longueurs sont multipliées par 1 2, alors le volume est multiplié par ( 1 2) 3 ; Le volume de la miniature est ( ) 3 1 54π = 6, 75π 2 Le volume de la miniature est 6, 75π cm 3. 3. Un comité d entreprise souhaite acheter 150 vases à 40 e l un. Il commande également l emballage qui coûte 15 centimes d euros par vase et il doit payer une somme forfaitaire de 50 e pour le transport. a) Quel sera le montant de la facture pour ce comité d entreprise? Le montant de la facture sera : La facture sera de 6 072,50 e. 150 40 + 0, 15 150 + 50 = 6 000 + 22, 5 + 50 = 6 072, 5 b) Après discussions, le comité obtient du magasin l ensemble pour la somme totale de 4 830 e. Calculer le pourcentage de remise qu a obtenu le comité d entreprise après négociations. rrondira le résultat au dixième. La remise est de 6 072, 50 4 830 = 1 242, 5 soit 1 242,50 e. Le pourcentage de remise est alors 1 242, 5 soit environ 20,5 %. 6 072, 5 Brevet Blanc 2007............................. F i n............................. Collège Goscinny 10