BREVET BLANC ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Vendredi 7 mai 2010 Collège La Charme Durée:2heures Vousn êtes pasautorisésàsortiravant lafindel épreuve. L emploi des calculatrices est autorisé. En plus des points pour chacune des trois parties de l épreuve, la présentation, la rédaction et l orthographe seront évaluées sur 4 points.
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12 POINTS Dans toute cette partie, les résultats des calculs demandés doivent être accompagnés soit des étapes de calcul, soit d explications. Toutes traces de recherche doit apparaître sur votre copie. EXERCICE 1 Les questions 1, 2 et sont indépendantes. On fera apparaître les étapes des calculs. 1) On donne A = 4 + 1 2 +2 Calculer et donner le résultat sous forme d une fraction irréductible. 2) On donne B = 1,5 10 10 4 a) Donner l écriture décimale de B. b) Exprimer B en écriture scientifique. ) On donne C = 180 2 80.Écrire C sous laforme a 5,où a est unentier relatifet b un nombreentier lepluspetitpossible. 4) Soit D = 5 12 2.Montrer que D est un nombreentier,en faisant apparaîtrelesétapes ducalcul. EXERCICE 2 On donne l expression : M = (x+5) 2 +(x+5)(2x+7) 1) Développer et réduire M. 2) Factoriser M. ) Calculer M pour x = 2, puispour x = 0. 4) Résoudrel équation (x+5)(5x+12) = 0 EXERCICE Choisir un nombre. Lemultiplierpar6. Ajouter 9. Ajouter lecarrédunombrechoisi. Écrire le résultat. 1.Écrireles calculs permettantdevérifierquesi l onfait fonctionnerceprogrammeavec lenombre 2, on obtient1. 2.Donnerle résultatfourniparleprogrammelorsquelenombrechoisi est 5..a Faire deuxautres essais en choisissant à chaque fois un nombreentier et écrire le résultat obtenu sous la forme du carré d un nombre entier(lesessais doiventfigurersur lacopie)..b Enest-il toujoursainsi lorsqu onchoisit un nombreentierau départ deceprogrammedecalcul? Justifier la réponse. 4. On souhaite obtenir 4 comme résultat. Quels nombres peut-on choisir au départ?
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12 POINTS EXERCICE 1 C E M A B P F L unitéestlecentimètre.la figureci-dessusn estpas à l échelle.on nedemande pas de refairelafigure. Lespoints E, M, A et B sont alignés danscet ordre,lespoints F, P, A et C sont alignésdanscet ordre. Les droites (EF) et (MP) sont parallèles. AM = 6 MP = 4,8 AP =,6 EF = 6 AC = 4,5 AB = 7,5 1) Démontrer que le triangle AMP est un triangle rectangle. 2) Calculer AE et en déduirelalongueur ME ( on justifieralescalculs ). ) Démontrer que les droites (MP) et (BC) sont parallèles. 4) Démontrerqueles angles ĈBA et ÂMP sont égaux. EXERCICE 2 1) Construireun cercledecentreo et derayon cm. Placersur ce cercletroispoints A, B et C detellefaçon que: BC = 4 cm et BCA = 65 Construire le point F diamétralement opposé au point B sur ce cercle. 2) Démontrer que le triangle BFC est un triangle rectangle. ) Calculer lesinusdel angle BFC et en déduirelamesuredecet angleàundegréprès. 4) Déterminer, au degré près, les mesures des angles du triangle BOC. TOURNEZ LA PAGE
PROBLÈME - 12 POINTS Onagre est un opérateur de téléphonie mobile qui propose les abonnements suivants: AbonnementA:abonnement 19e,puis0,0elaminutedecommunication; AbonnementB:abonnement29e,puis0,20elaminutedecommunication. 1. Recopier puis compléter le tableau suivant: Durée( en minutes) 0 45 60 90 Abonnement A en euro Abonnement B en euro 2.Soit x lenombredeminuteset y leprixdelacommunicationàpayeren fonction dutemps. On note y A le prixpourl abonnement A et y B leprixdel abonnement B. Exprimer y A et y B en fonctionde x.. Déterminer le nombre de minutes correspondant à un montant de 151 e pour l abonnement A. 4.(Sur papier millimétré) Dans un repère orthonormé, représenter graphiquement les fonctions affines définies par: On choisira pour unités: -en abscisse, 1 cm pour10minutes; -en ordonnée,1cm pour5euros. f(x) = 0,x+19et g(x) = 0,2x+29 5.aRésoudrel équation 19+0,x = 29+0,2x Endéduirele nombredeminutespourlequel les deuxtarifssont égaux. 5.b Quel est letarifleplusavantageuxsi l onconsommemoinsd uneheuredecommunicationpar mois? 6.a Déterminer graphiquement le nombre de minutes de communication dont on disposera pour un montant de 70e,si on choisit l abonnement A. 6.b Retrouver ce résultat par le calcul.
n o CANDIDAT Nom: Prénom: Classe : Épreuvede: n o CANDIDAT Épreuvede:
Correctiondu brevetblanc du7mai2010 ACTIVITÉS NUMÉRIQUES - 12 POINTS EXERCICE 1 1. A = 4 + 1 2 +2 ; A = 4 + 12 4 1 2 + 4 2 ; A = 15 4 5 2 2.a B = 1,5 10 10 4 ; B = 1500 0000 ; B = 0,05 2.b B = 5 10 2 ; A = 15 4 2 5 ; A = 2. C = 180 2 80; C = 6 5 2 16 5; C = 6 5 2 4 5; C = 2 5 4. D = 5 12 2 ; D = 5 4 2 ; D = 5 2 2 ; D = 5 EXERCICE 2 1. M = (x+5) 2 +(x+5)(2x+7) M = (9x 2 +0x+25)+(6x 2 +21x+10x+5) M = 15x 2 +61x+60 2. M = (x+5) 2 +(x+5)(2x+7) M = (x+5)[(x+5)+(2x+7)] M = (x+5)(5x+12).pour x = 2, M = 15 2 2 +61 2+60; M = 15 4+122+60; M = 242 Pour x = 0, M = 60 4.Résoudre (x+5)(5x+12) = 0 Si un produitdefacteursest nulalorsl un desfacteursest nul x+5 = 0 ou 5x+12 = 0 x = 5 ou 5x = 12 x = 5 ou x = 12 5 c est àdire x = 2,4 EXERCICE 1.Si lenombrededépartest 2, on obtientsuccessivement : 2 6 = 12; 12+9 = ; +( 2) 2 = +4 donc 1 2.Si lenombrededépartest 5,on obtientsuccessivement : 5 6 = 0;0+9 = 9; 9+5 2 = 9+25donc 64.aSi lenombrededépart est 2,on obtient successivement : 2 6 = 12;12+9 = 21; 21+2 2 = 21+4donc 25 = 5 2 Si lenombrededépartest 9,on obtientsuccessivement : 9 6 = 54;54+9 = 6; 6+9 2 = 6+81donc 144 = 12 2.b Notons x le nombre de départ, on obtient successivement : 6x;6x+9; 6x+9+x 2 On reconnaitici l identitéremarquable (x+) 2 = x 2 +6x+9 Pourtousles nombresentiersdedéparton obtient uncarré! 4.Il fautrésoudre (x+) 2 = 4 L équation X 2 = A possède deuxsolutions A et A Or4 = 2 2 Ilyadoncdeuxsolutions: x+ = 2 ou x+ = 2 x = 2 ou x = 2 x = 1 ou x = 5 ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES - 12 POINTS EXERCICE 1 1) Comparons PM 2 +PA 2 et MA 2 PM 2 +PA 2 = 4,8 2 +,6 2 = 2,04+12,96 = 6et MA 2 = 6 2 = 6 Comme PM 2 + PA 2 = MA 2 d après la réciproque de la propriété de Pythagore letriangle AMP est rectangleen P 2) Dansletriangle AEF lesdroites (MP) et (EF) sont parallèles. D aprèslapropriétédethalèson a: AM AE = AP AF = MP EF d où 6 AE = 4,8 6 Donc AE = 6 6 4,8 ) Comparons AM AB = 7,5 cm et comme M [AE], ME = AE AM, d où ME = 1,5 cm et AP AC
AM AB = 6 AP = 0,8et 7,5 AC =,6 AM = 0,8. Ainsi 4,5 AB = AP AC Les points A, M et B sont alignés et danslemêmeordrequelespointsalignés A, P et C. D après la réciproque de la propriété de Thales les droites (MP) et (BC) sont parallèles 4) Les droites(mp) et(bc) étant parallèles, les angles alternes-internes ĈBA et ÂMP sont égaux. EXERCICE 2 1) C + O + + B PROBLÈME - 12 POINTS 1. Recopier puis compléter le tableau suivant: 2. y A = 0,x+19 et y B = 0,2x+26. Durée( en minutes) 0 45 60 90 Abonnement A en euro 28 2,5 7 46 Abonnement B en euro 5 8 41 47 0,x+19 = 151 0,x = 151 19 0,x = 12 x = 12 0, x = 440 Avec l abonnement A, une dépense de 151 e correspond à 440 min de communication. 5.a F + 2) Letriangle BFC est inscrit dansun cercle dediamètre [BF], Or on sait que si un triangle est inscrit dans un cercle de diamètre un de ses côtés alors ce triangle est rectangle le triangle BFC est doncrectangleen C + A ) Dans letriangle BFC rectangleen C,on a sin BFC = BC BF = 4 6 Ainsi BFC 42 à1 près 4) L angle BOC est unangleau centrequi interceptele mêmearc quel angleinscrit BFC. Or on sait que si un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc alors la mesure de l angle au centreestle double de lamesurede l angle inscrit Ainsi BOC = 2 BFC d où BOC 84 L angle ĈBO et l angle BFC sont complémentaires dans le triangle rectangle BFC, donc ĈBO 48 Lasommedesangles dansletriangle CBO donne BCO 48 Lesdeuxtarifssont égauxpour100 min 19+0,x = 29+0,2x 0,x 0,2x = 29 19 0,1x = 10 x = 100 5.b Letarif A 6.a Graphiquement, avec l abonnement A, une dépense de 70ecorrespond à 170 min de communication. 6.b 70 = 19+0,x 70 19 = 0,x 51 = 0,x x = 51 0, x = 170
4.(Sur papier millimétré) 70 49 29 19 5 10 100 170