Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 1 Feuille d exercices sur «Matrices et applications linéaires» 1 Pour démarrer Exercice 1 (De l AL vers la matrice) Déterminer les matrices des applications linéaires suivantes par rapport aux bases canoniques. 1. f : R 2 R 4 (x, y) (x, y, y, 2x) 2. f : R 2 R 3 (x, y) (0, y, x) 3. f : R 3 R 2 (x, y, z) (x + y, z x) 4. D : R 3 [X] R 3 [X] P P 5. : R 3 [X] R 3 [X] P P(X + 1) P(X) 6. ev a : R n [X] R, P P(a). 7. f : M 2,3 (K) M 3,2 (K), M t M. Exercice 2 (De la matrice vers l AL) On considère les matrices 1 0 1 A = 1 3 et B = 1 2 2. 2 4 0 3 1 1. Déterminer l application linéaire u canoniquement associée à A et à B. 2. Déterminer dans les deux cas une base de Ker u et Im u. Exercice 3 On considère l endomorphisme u de K 4 canoniquement associé à la matrice 0 2 0 0 1 0 0 2 A = 1 0 0 2. 0 0 0 0 En utilisant uniquement les colonnes de A, donner le rang de A, en déduire sans aucun calcul une base de Im u et de Ker u. Exercice 4 Soit f L(R 2,R 3 ) tel que f(1, 1) = ( 1, 2, 5) et f(2, 3) = (0, 5, 4). Déterminer la matrice de f dans les bases canoniques de R 2 et R 3. Exercice 5 (Une triangularisation) Soit f l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique est 3 A = 2 0 1 1 1 2 On note u 1 = (0, 1, 1), u 2 = (1, 1, 0), u 3 = (1, 1, 1). On peut montrer que la famille β = (u 1, u 2, u 3 ) est une base R 3. 1. Écrire la matrice T de f dans B. 2. Donner une relation matricielle reliant A et T. En déduire les puissances de A.
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 2 Exercice 6 On considère la matrice 1 0 1 2 3 4 A = 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 1. Déterminer l endomorphisme de R 4 [X] dont A est la matrice dans la canonique de R 4 [X]. 2. En déduire sans calcul matriciel, l inverse et les puissances de la matrice A. Exercice 7 (Un endomorphisme matriciel) On pose J = de M 2 (R) défini par f(m) = MJ. 1. Écrire la matrice A de f dans la base canonique de M 2 (R). 2. Déterminer le noyau et l image de f. 3. A est-elle inversible? Calculer A p. et f l endomorphisme 2 Des réductions de matrice Exercice 8 (Une diagonalisation modèle) Soit A = 2 2 1 2 3 2. 1 2 0 On note f l endomorphisme de K 3 dont A est la matrice dans la base canonique de K 3. 1. Déterminer une base de Ker(f id) et de Ker(f + 3 id). 2. Démontrer que K 3 = Ker(f id) Ker(f + 3 id). 3. Écrire la matrice D de f dans une base adaptée à cette somme directe. 4. Donner une relation matricielle reliant A et D. En déduire une méthode de calcul de A n pour n N. Exercice 9 (Diagonalisation de la matrice «Attila») On note J la matrice carrée 1 d ordre 4 dont tous les coefficients valent 1. On note u l endomorphisme de K 4 canoniquement associé et B = (e 1, e 2, e 3, e 4 ) la base canonique. 1. Déterminer une base de Im u et de Ker u. 2. On pose a = e 1 + e 2 + e 3 + e 4. Calculer u(a). Démontrer que Ker u et Vect {a} sont supplémentaires dans K 4. 1. Cette matrice est parfois appelé matrice «Attila» car elle est habitée par les «uns» et Attila était le roi des «huns».
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 3 3. Écrire la matrice D de u dans une base adpatée à la somme directe K 4 = Ker u Vect {a} et donner le lien matriciel entre A et D. Exercice 10 (Matrices nilpotentes d indice maximal). Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et u un endomorphisme nilpotent d indice maximal, i.e. u n = 0 et u n 1 0. Soit x E tel que u n 1 (x) 0. On a vu au chapitre précédent que la famille B = (x, u(x),..., u n 1 (x)) est une famille libre de E. 1. Justifier que B est une base de E, écrire la matrice A de u dans cette base. 2. En déduire sans calcul matriciel l expression pour tout k N de A k. Exercice 11 (Interprétation matricielle d un espace stable) Soit F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E de dimension finie. Soit u un endomorphisme de E. On suppose que F et G sont stables par u. On prend B une base adaptée à la somme directe E = F G. 1. De quel type est la matrice de u dans cette base? 2. On suppose que P et Q sont des polynômes annulateurs respectifs de matrices A et B. Déterminer un polynôme annulateur de la matrice bloc diag(a, B). Exercice 12 (Matrice d une projection) On se place dans R 3. On note p la projection sur le plan F d équation x + y + 2z = 0 parallèlement à la droite dirigée par (1, 2, 1). 1. Déterminer une base du plan F, en déduire une base dans laquelle la matrice de p est diagonale. 2. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers cette nouvelle base. En déduire à l aide de la calculatrice la matrice de p dans la base canonique. 3. Donner la matrice dans la base canonique de la composée de l homothétie de rapport 5 par la projection p. Exercice 13 (Cas général) Soit p un projecteur de L(E) avec E un K-espace vectoriel de dimension finie. 1. Déterminer une base B de E telle que la matrice de p dans B est une matrice diagonale de la forme diag(0,..., 0, 1..., 1). 2. En déduire que rg p = Tr(p). Exercice 14 (Etude d une symétrie) On pose A = 1 3 1 2. 4 1 1. Montrer que f l endomorphisme de R 2 canoniquement associé à A est une symétrie par rapport à E 1 et parallèlement à E 2 où E 1 et E 2 sont à déterminer. 2. Trouver une base de R 2 dans laquelle la matrice de f est diagonale. 3. On munit R 2 de sa norme euclidienne. La symétrie f est-elle une isométrie?
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 4 3 Applications de la réduction Exercice 15 (Racines carrées) Soit A et B deux matrices semblables de M n (K) avec A = PBP 1. 1. Démontrer que S est un racine carrée de B si et seulement si la matrice PSP 1 est une racine carrée de A. 2. Application : on suppose que B = diag(0, 4, 3). Déterminer les racines carrées de A. Exercice 16 (Calcul de commutant) Si M est une matrice, on note C(M) l ensemble des matrices qui commutent avec M (on dit aussi commutant de M). On prend A et B deux matrices semblables de M n (K). Il existe donc une matrice P GL n (K) telle que A = PBP 1. 1. Démontrer que M C(A) P 1 MP C(B). En déduire que les espaces C(A) et C(B) sont isomorphes. 2. Application : soit A une matrice semblable à la matrice D = diag(1, 3, 3). Déterminer la dimension du commutant de A. Exercice 17 (Réduction en base orthonormée d une conique) On munit le plan R 2 de sa base canonique orthonormée ( i, j ). On note B = ( I, J ) la base orthonormée obtenue par rotation d angle π de la base canonique. Si M est un point de coordonnées (x, y) dans la base 4 canonique, on note (X, Y ) ses coordonnées dans B. 1. Écrire la matrice de passage de la base canonique vers la nouvelle base, en déduire une expression de x et y en fonction de X et Y. 2. Application : on considère la conique C dont l équation cartésienne dans la base canonique est : x 2 + 3xy + y 2 x + y = 1. Démontrer que dans B, la courbe C a pour équation En déduire la nature et l allure de C. 5X 2 (Y 2) 2 = 0. 4 Classification de matrices Exercice 18 (Invariants de similitude) 1. Démontrer que deux matrices semblables ont même trace. Deux matrices de même trace sont-elles semblables? 2. Classer à similitude près les quatre matrices élémentaires de M 2 (K). Et à équivalence près? 3. On démontrera aussi prochainement que deux matrices semblables ont même déterminant. Déterminer deux matrices de M 2 (K) qui ont même trace et même déterminant mais qui ne sont pas semblables.
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 5 Exercice 19 Démontrer que les deux matrices suivantes sont semblables, on pourra considérer la base canonique B = (i, j, k) de R 3 : 1 3 7 4 8 2 A = 2 4 8 B = 5 1 4 4 5 1 3 7 1 Exercice 20 (Matrices nilpotentes en taille 3) Soit N une matrice nilpotente de M 3 (K). On note r son indice de nilpotence, c est-à-dire N r = 0 et N r 1 0. On note u l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique de R 3 est N. 1. On suppose r = 3. On sait d après l exercice 10 qu il existe un vecteur x K 3 tel que B = (x, u(x), u 2 (x)) est une base de K 3. A quelle matrice simple est semblable N? 2. On suppose r = 2. (a) Comparer Ker u et Im u, en déduire la dimension de Ker u. (b) Soit x R 3 tel que u(x) 0. Justifier qu il existe z Ker u tel que la famille (u(x), z) soit une base de Ker u. (c) Démontrer que la famille B = (x, u(x), z) est une base de R 3 et écrire la matrice B de u dans cette base. 3. Conclusion : combien de classes de similitude y-a-t-il dans l ensemble des matrices nilpotentes de M 3 (K). Exercice 21 Démontrer que les deux matrices suivantes sont semblables : 2 3 1 A = 2 3 1 D = diag(2, 0, 0) 2 3 1 Exercice 22 On note u l endomorphisme de R 3 dont la matrice dans la base canonique de R 3 est A. 1 0 1 0 A = 3 3 3 B = 0 0 0 2 2 2 0 0 0 1. Déterminer une base de Ker u. 2. Démontrer que les matrices A et B sont semblables. Exercice 23 Démontrer qu une matrice de M n (K) non inversible est équivalente à une matrice nilpotente. Le résultat reste-t-il vraie en remplaçant le mot «équivalente» par semblable? Exercice 24 (Lemme de Schur) Soit f un endomorphisme de K 2. 1. On suppose que f est une homothétie. Démontrer que f laisse stable toute droite de K 2, c est-à-dire que pour toute droite, on a f( ). 2. On suppose que f laisse stable toute droite de K 2, démontrer que f est une homothétie (on pourra considérer f(i + j) avec (i, j) la base canonique de K 2 ).
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 6 Exercice 25 (Classes de similitude en taille 2) Soit M M 2 (K). On suppose que M n est pas une matrice scalaire, c est-à-dire de la forme λi 2 avec λ K. 1. Démontrer à l aide du lemme de Schur qu il existe vecteur a de K 2 tel que la famille (a, f(a)) soit une base de K 2, en déduire que la matrice M est semblable à une matrice T de la forme 0 α 1 β 2. Exprimer β et α en fonction de Tr(A) et det A. 3. En déduire que deux matrices non scalaires de M 2 (K) sont semblables, si et seulement si elles ont même trace et même déterminant. 4. Le résultat est-il vrai sans l hypothèse «matrices non scalaires»? 5. Classer les matrice suivantes à similitude près : 3 3 ( 0 2 2 0 2 0 ) ( 3 2 0 0 3 2 ) 1 5 1 2 2 4 6. Classer à similitude près les seize matrices de M 2 (K) dont les coefficients valent 0 ou 1 (il y a huit classes de similitude). 5 Calculs de rang Exercice 26 (Un petit vrai-faux) 1. Si A et B sont dans M n (K), on a rg(a + B) = rg(a) + rg(b). 2. Si A et B sont dans M n (K), on a rg(ab) = rg(ba). Exercice 27 (Calculs de rang) Déterminer le rang des matrices suivantes : 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 2 3 1 2 3 1. A 1 = 0 1 0, A 2 = 0 0 0, A 3 = 0 0 0, A 4 = 4 5 6, A 5 = 0 2 4, A 6 = 0 0 1 0 0 0 0 1 0 9 12 15 0 0 3 1 2 0 3 2 5 0 0 2 3 0 5 0 3 1 4 0 0 2 3 A 7 = 3 4 0 7 A 8 = 0 0 0 2. 4 5 0 9 0 0 0 3 0 0 0 0 5 6 0 12 5 6 0 12 1 0 1 3 0 1 0 0 0 2 2 1 2. A = 0, B = 1 2 2, C = 0 0 0 1. 0 1 2 0 0 1
Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 2017-2018 7 1 m 3. Discuter le rang des matrices : A = 2 m 3, B = 3 1 m m, C = 1 m 1 1 m m 1 1 m. m 1 Exercice 28 Soit A et B deux matrices de M n (K). Le but de l exercice est de montrer que rg(i AB) = rg(i BA). 1. Traiter d abord le cas où B est inversible puis le cas où A est inversible. Ir 0 2. On note J r la matrice canonique de rang r de M n (K), i.e. J r =. Démontrer en 0 0 utilisant «des produits par bloc» que pour toute matrice U de M n (K), on a rg(i n UJ r ) = rg(i n J r U). 3. On suppose que A n est pas inversible. Démontrer en utilisant les questions précédentes que rg(i AB) = rg(i BA). Exercice 29 (Recettes «élémentaires» pour confectionner des matrices semblables) Prouver les recettes suivantes : 1. Recette n 1 : pour obtenir deux matrices semblables A et B de M n (K), faire : choisir une «belle» matrice A dans M n (K) permuter les lignes i et j de votre choix, puis permuter les colonnes i et j (de la nouvelle matrice). répéter l étape précédente autant de fois que vous le désirez. appeler B la matrice ainsi obtenue. 2. Recette n 2 : pour obtenir deux matrices semblables A et B de M n (K), faire : choisir une «belle» matrice A dans M n (K) multiplier la ligne i de votre choix par un réel a non nul. diviser par le réel a la colonne i (de la nouvelle matrice). Répéter les deux étapes précédentes autant de fois que vous le désirez. appeler B la matrice ainsi obtenue. 3. Recette n 3 : appliquer la recette n 1 puis la recette n 2. On pourra traduire matriciellement l effet des opérations élémentaires que l on fait subir à la matrice A.