Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides

Laboratoire Jacques-Louis LIONS Introduction à l optimisation de forme et application à la mécanique des fluides Master 2 - Année universitaire 2014-2015 Pascal FREY et Yannick PRIVAT Laboratoire Jacques-Louis Lions, UMR 7598 Université Pierre et Marie Curie Paris 6 & CNRS email : pascal.frey/yannick.privat@upmc.fr

ii

Préambule L?optimisation de forme est une discipline regroupant un ensemble de techniques et d outils permettant de déterminer la forme optimale, par exemple un ouvert, minimisant ou maximisant une certaine fonctionnelle de coût. Certains problème d optimisation de forme sont connus depuis l antiquité. On peut mentionner par exemple le problème de la reine Didon 1 est un problème d isopérimétrie, autrement dit on recherche la forme de surface minimale pour un volume fixé et sous certaines contraintes géométriques. Un problème d optimisation de forme est défini par trois données : un modèle (typiquement une équation aux dérivées partielles) un critère ou fonctionnelle de coût que l on cherche à minimiser ou maximiser, un ensemble admissible de variables d optimisation qui tient compte d éventuelles contraintes que l on impose aux variables. Pour résumer, un problème d optimisation de forme s écrit inf J() ou sup J(), O ad O ad où J est une fonctionnelle de forme et O ad est l ensemble des formes admissibles. Par exemple, J() peut désigner le périmètre de ou une valeur propre de l opérateur de Laplacien-Dirichlet et l ensemble O ad l ensemble des domaines connexes bornés mesurables de IR d de volume donné. Le plus souvent, les problèmes d optimisation de forme ne possèdent pas de solutions explicites et il paraît illusoire de chercher à les déterminer explicitement. Néanmoins, plusieurs questions et études peuvent être menées et présentent chacune un intérêt intrinsèque évident : Le problème d optimisation de forme possède t-il une solution? Peut-on énoncer des conditions nécessaires d optimalité? Peut-on déduire de ces conditions des propriétés qualitatives de la solution optimale (sous réserve que celle-ci existe)? Par exemple, il peut-être intéressant de connaître la régularité de l ensemble optimal, des propriétés de symétrie, etc. Enfin, comment mettre en œuvre une méthode de discrétisation du problème puis d optimisation afin d obtenir une bonne approximation numérique de la solution? Dans ce cours, nous allons proposer quelques pistes de réponse. En particulier, nous montrerons comment les théories générales de l optimisation de forme s appliquent à des problèmes de mécanique des fluide. 1. Débarquée sur les côtes de l actuelle Tunisie, vers 814 av. J.-C., elle choisit un endroit où fonder une nouvelle capitale pour le peuple phénicien : Carthage. Elle obtient pacifiquement des terres par un accord ingénieux avec le seigneur local : elle obtint une terre pour s établir «autant qu il en pourrait tenir dans la peau d un bœuf». Elle choisit alors pour fonder sa ville une péninsule qui s avançait dans la mer et fait découper une peau de bœuf en lanières extrêmement fines. Mises bout à bout, elles délimitent l emplacement de ce qui deviendra plus tard la grande Carthage iii

En effet, de nombreux problèmes d optimisation de forme se posent naturellement dans le contexte de la mécanique des fluides. Typiquement, on peut par exemple recherche la forme d une aile d avion optimisant ses performances, autrement dit maximisant sa portance et minimisant sa traînée. Le cours est organisé de la façon suivante : le chapitre II. est consacré à l introduction de quelques concepts théoriques généraux d optimisation de forme. Dans le chapitre III., nous expliquerons comment les adapter à certains modèles de mécanique des fluides. Enfin, dans le chapitre??, nous évoquerons quelques aspects numériques inhérents à ce type d études. iv

Table des matières Préambule iii I. Outils pour l optimisation de forme en mécanique des fluides 1 I.1 Éléments de topologie sur les ensembles...................... 1 I.1.1 Contrainte de type périmètre....................... 1 I.1.2 Convergence des ouverts au sens de Hausdorff............... 6 I.1.3 Ouverts vérifiant la propriété du cône uniforme............... 12 I.2 Quelques inégalités fonctionnelles.......................... 14 I.2.1 Théorème de Rellich et inégalité de Poincaré................ 15 I.2.2 Intégration par parties, formule de Green.................. 17 I.2.3 Inégalité de Korn............................... 18 I.3 Existence et unicité des solutions d E.D.P...................... 21 I.3.1 Problèmes elliptiques............................. 21 I.3.2 Équations de la mécanique des fluides.................... 24 II. Existence et caractérisation des formes optimales 33 II.1 Sur l existence de formes optimales......................... 33 II.1.1 Exemple et contre-exemple......................... 33 II.1.2 Problèmes de type isopérimétrique.................... 35 II.1.3 Plan d étude et notion de γ-convergence.................. 39 II.1.4 Existence sous contrainte géométrique................... 43 II.2 Dérivation de forme et conditions d optimalité................... 44 II.2.1 Topologie sur les domaines et perturbations de l identité......... 45 II.2.2 Dérivation de fonctionnelles géométriques................. 47 II.2.3 Prise en compte de contraintes E.D.P................... 52 II.2.4 Structure des dérivées de forme et notion d adjoint............ 56 III. Optimisation de forme en mécanique des fluides 59 III.1 Quelques problèmes................................ 59 III.1.1 Optimisation de l énergie dissipée dans un coude............. 59 III.1.2 Optimal design d un inhalateur....................... 60 III.1.3 Optimisation de la forme d une aile d avion................ 61 III.2 Minimisation de l énergie dissipée par un fluide.................. 61 III.2.1 Un résultat d existence........................... 61 III.2.2 Calcul de la dérivée par rapport au domaine................ 64 III.2.3 Un critère de type moindres carrés..................... 70 III.3 Aspects numériques................................ 70 III.3.1 Utilisation du Lagrangien augmenté en optimisation de forme...... 70 III.3.2 Mise en œuvre d un algorithme de type gradient............. 73 v

Table of contents A Quelques rappels d optimisation en dimension finie 81 I.1 Résultats d existence et d unicité.......................... 82 I.2 Conditions d optimalité............................... 83 I.2.1 Cas sans contrainte............................. 83 I.2.2 Cas avec contraintes............................. 84 B Algorithmes d optimisation sans contrainte en dimension finie 87 II.1 Algorithmes unidimensionnels ou recherche du pas................. 87 II.1.1 Méthode de la section dorée........................ 87 II.1.2 Méthode d interpolation parabolique.................... 88 II.2 Quelques notions sur les algorithmes........................ 90 II.3 Méthodes de gradient................................ 91 II.3.1 Gradient à pas fixe ou optimal....................... 91 II.3.2 Méthode du gradient conjugué....................... 93 II.4 Les méthodes de Newton et quasi-newton..................... 95 II.4.1 Méthodes de Newton............................ 96 II.4.2 Méthode de quasi-newton de Lenvenberg-Marquardt........... 97 C Algorithmes d optimisation sous contraintes en dimension finie 99 III.1 Retour sur les conditions d optimalité....................... 99 III.2 Conditions d optimalité nécessaires du second ordre................ 99 III.3 Les algorithmes................................... 100 III.3.1 Méthode du gradient projeté........................ 100 III.3.2 Méthodes de pénalisation.......................... 102 III.3.3 Méthode de dualité : l algorithme d Uzawa................ 103 Bibliographie 106 vi

I. Outils pour l optimisation de forme en mécanique des fluides Ce chapitre a pour but de regrouper diverses notions de topologie sur les ensembles, d inégalités fonctionnelles et d équations aux dérivées partielles nécessaires pour aborder les problèmes d optimisation de forme en mécanique des fluides. I.1 Éléments de topologie sur les ensembles Dans toute cette section, nous ferons l hypothèse qu il existe un grand ouvert borné noté D qui contiendra tous les ensembles et les éléments des suites ( n ) n IN que nous considérerons. Nous verrons que cette hypothèse permet, souvent combinée à d autres hypothèses, d obtenir de bonnes propriétés de compacité. On utilisera la notation A(D) = { D, ouvert}. où D désigne un ouvert de IR d. Dans le contexte de l optimisation de forme, imposer D sur les ouverts considérés est donc une première contrainte géométrique appelée contrainte de boîte, que nous utiliserons pour obtenir des propriétés de compacité des suites minimisantes. Il est en général nécessaire d imposer d autres contraintes géométriques pour obtenir des résultats d existence. Ces questions seront discutées dans le chapitre II.. I.1.1 Contrainte de type périmètre Souvenons-nous du problème isopérimétrique de la reine Didon évoqué dans le préambule. Il illustre la fait que la notion de périmètre joue souvent un rôle important dans les problèmes d optimisation de forme. Par exemple, il n est pas rare que l on prescrive une borne uniforme sur le périmètre des ouverts admissibles considérés. Une difficulté se pose alors : on peut aisément définir le périmètre d un ensemble régulier. Comment le définir lorsqu on ne souhaite pas imposer de régularité artificielle sur les ensembles considérés? De surcroît, dans l étude des problèmes d optimisation de forme, nous serons amenés à considérer des suites d ouverts de périmètre uniformément borné, typiquement des suites minimisantes. Peut-on espérer une propriété de compacité des éléments de cette suite, et en quel sens? Dans cette section, nous allons partiellement répondre à ces questions. 1

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Définition I.1.1. Ouvert lipschitzien, de classe C 1 (i) On dit qu un ouvert de IR d est à bord lipschitzien si, pour tout x 0, il existe un cylindre K = K ] a,a[ dans un repère orthonormé local d origine x 0 = 0, avec K une boule ouverte de IR d 1 de rayon r, et une fonction ϕ : K ] a,a[ lipschitzienne telle que ϕ(0) = 0 tels que K = {(x,y) K y > ϕ(x )} et K = {(x,ϕ(x )) x K }. (ii) On définit un ouvert de classe C 1 en remplaçant le mot "lipschitzien" par C 1 dans la définition précédente. Revenons à la définition généralisée de la notion de périmètre d un ensemble mesurable. La définition qui suit a été introduite par le mathématicien Ennio De Giorgi (1928-1996). Définition I.1.2. Périmètre au sens de De Giorgi Soit, un ensemble mesurable dans IR d. On appelle périmètre de le nombre Per() = sup{ div(ϕ) dx ϕ D(IR d,ir d ), ϕ 1}, où D(IR d,ir d ) désigne l ensemble des fonctions C à support compact de IR d dans IR d. En particulier et comme on peut s y attendre, cette définition coïncide avec la définition usuelle du périmètre pour un ouvert borné de classe C 1. Proposition I.1.3. Soit, un ouvert borné de classe C 1. Alors, Per() = de surface sur. dσ, où dσ désigne l élément Pour démontrer cette proposition, nous aurons besoin du lemme technique suivant. Lemme I.1.4. Extension continue de la normale Soit, un ouvert borné de IR d de classe C 1. On désigne par ν : S d 1 l application définissant pour tout point x la normale unitaire extérieure ν(x) au point x. Alors, il existe une extension continue N de l application ν à tout IR d. Preuve du Lemme I.1.4. Puisque est un ouvert de classe C 1, en utilisant les notations de la définition I.1.2, pour tout x, il existe des cylindres K x, K x et une application lipschitzienne ϕ x tels que = x K x, où dans un repère orthonormé local, K x = {(x,ϕ x (x )), x K x}. Souvenons-nous que est un fermé (il suffit de l écrire IR d \) borné de IR d donc un compact. D après la propriété de Borel-Lebesgue, on peut extraire un sous-recouvrement fini du recouvrement précédent. On se donne donc les p points {x i } 1 i p de définissant ce recouvrement. Il existe alors un système orthonormé 2

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES local de coordonnées x = (x,x d ) IR d 1 IR autour de x i = (0,0) et une application de classe C 1, ϕ i : B(0,r i ) IR d 1 ] a i,a i [ tels que = p Γ i avec Γ i = {(x,ϕ i (x )), x B(0,r i )}. i=1 On note O i = B(0,r i ) ] a i,a i [. Introduisons les fonction ψ i définies en coordonnées locales par x = (x,x d ) O i, ψ i (x) = ψ i (x,x d ) = (x,ϕ i (x ) x d ). Notons que ψ i ainsi défini est un C 1 -difféomorphisme de O i dans l ouvert ψ i (O i ) (en vertu du théorème de l application ouverte), dont l application réciproque ψi 1 est définie par ψi 1 (y) = ψi 1 (y,y d ) = (y,ψ i (y ) y d ). Au recouvrement ouvert de par les ψ i (O i ) on associe une partition de l unité 1 {ξ i } 1 i p avec ξ i C0 (ψ i(o i )), ξ i 0 pour tout i I et p i=1 ξ i = 1 dans un voisinage de. On peut alors étendre la définition de ν à IR d tout entier à l aide de la formule N (x) = p i=1 ξ i (x)ν(ψ i π i ψi 1 (x)), où l on désigne par π i la projection orthogonale définie par π i (x,x d ) = (x,0). Ceci conclut la preuve. On notera en particulier que l on dispose de l expression simple de ν sur chacun des arcs Γ i : x Γ i, ν(x) = 1 1 + x ϕ i (x ) ( x ϕ i (x ) ). 1 Preuve de la Proposition I.1.3. Soit ϕ D(IR d,ir d ) telle que ϕ 1. D après la formule de Green, on a div(ϕ) dx = d i=1 ϕ i dx = ϕ i n i dσ = ϕ ν dσ, x i où ν désigne le vecteur unitaire normal sortant en tout point du bord. On en déduit par inégalité de la moyenne que pour une telle fonction ϕ, on a div(ϕ) dx ϕ ν dσ ϕ dσ dσ, et il s ensuit que Per() dσ par passage au supremum. 1. On utilise le résultat suivant : Soit X un espace topologique métrisable. Pour tout recouvrement ouvert localement fini (U i) i I de X, il existe une partition continue de l unité subordonnée au recouvrement (U i) i I, autrement dit une famille (φ i) i I de fonctions continues, définies sur X et à valeur dans l intervalle [0, 1], telles que le support de φ i soit inclus dans U i pour tout i I et pour tout point x X, les deux conditions suivantes soient satisfaites : (i) il existe un voisinage de x tel que toutes les fonctions φ i soient nulles sur ce voisinage à l exception d un nombre fini d entre elles ; (ii) la somme de toutes les valeurs prises par les fonctions φ i en x soit égale à 1, c est-à-dire φi(x) = 1 pour tout x X. i I 3

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Pour prouver l inégalité inverse, d après la formule précédente, on aimerait pouvoir choisir ϕ = ν sur. En réalité, on choisit plutôt d approcher ν par une suite de fonctions (ϕ n ) n IN D(IR d,ir d ) IN. Soit N, l extension continue de la normale ν définie dans le lemma I.1.4. On régularise N en définissant ϕ n = N ρ n, où (ρ n ) n IN est une suite régularisante. On construit ainsi une suite de fonctions de D(IR d,ir d ) qui converge uniformément vers N et telle que div ϕ n dx = ϕ n ν dσ ν ν dσ = dσ. n + Donnons à présent une autre caractérisation du périmètre d un ensemble, à l aide de la notion de variation totale d une fonction. Elle repose sur la remarque suivante : si f L 1 (IR d,ir d ), alors par dualité f L 1 = f(x) dx = sup{ IR d f(x) ϕ(x) dx, ϕ D(IR d,ir d ) et ϕ 1}. IR d Plus généralement, cette formule fait sens pour toute mesure de Radon µ de masse finie 2, autrement dit toute forme linéaire continue sur l espace C 0 0 (IRd ) des fonctions continues à support compact dans IR d. Plus précisément, on peut montrer qu une mesure de Radon µ est de masse finie sur IR d si, et seulement si la quantité µ 1 = sup{ µ,ϕ D,D, ϕ D(IR d,ir d ) et ϕ 1} est finie (voir par exemple [Sch66]). Enfin, notons que pour une fonction ϕ D(IR d,ir d ), on a div(ϕ) dx = div(ϕ)χ (x) dx = χ,ϕ D,D, IR d où χ désigne la fonction caractéristique de, autrement dit la fonction définie par χ (x) = { 1 si x 0 sinon. On a alors la caractérisation suivante du périmètre à l aide de la variation totale de la fonction caractéristique χ. Proposition I.1.5. Soit, un ensemble mesurable de IR d. Alors la quantité Per() est finie si, et seulement si χ est une mesure de Radon de masse finie et dans ce cas, Per() = χ 1. Les ensembles ayant un périmètre borné héritent de bonnes propriétés de compacité. 2. On rappelle qu une mesure de Radon µ est dite bornée ou de masse finie sur IR d s il existe C > 0 telle que ϕ C0(IR 0 d ), µ,ϕ C ϕ 4

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES Théorème I.1.6. Compacité des ensembles à périmètre borné Soit ( n ) n IN, une suite d ensembles mesurables de IR d. On suppose qu il existe C > 0 telle que n IN, n + Per( n ) C. Alors, il existe un ensemble mesurable de IR d et une suite extraite ( nk ) k IN tels que χ nk χ dans L 1 loc (IRd ) et χ nk,ϕ χ,ϕ, ϕ C 0 0(IR d ). De plus, si tous les ensembles de la suite ( n ) n IN sont contenus dans un ouvert D de mesure finie, alors, la convergence de la suite (χ nk ) k IN a lieu dans L 1 (D). On notera que la convergence des gradients des fonctions caractéristiques n est autre que la convergence faible- dans l ensemble des mesures de Radon bornées. La preuve de ce théorème repose sur la compacité de l injection de BV (IR d ) dans L 1 loc (IRd ). Afin d éviter un surplus de technicité, nous l omettons. Avant de revenir à l étude de l existence de solution pour des problèmes de type "isopérimétriques", mentionnons que la propriété de convergence établie dans le théorème I.1.6 est très utilisée en optimisation de forme. C est l objet de la définition qui suit. Définition I.1.7. Convergence au sens des fonctions caractéristiques Soit ( n ) n IN et désignant respectivement une suite d ensembles mesurables et un ensemble mesurable de IR d. On sit que la suite ( n ) n IN converge au sens des fonctions caractéristiques si χ n χ dans L 1 loc (IRd ). Cette définition appelle quelques remarques. Remarque I.1.8 Notons que si ( n ) n IN converge au sens des fonctions caractéristiques vers, la convergence de (χ n ) n IN vers χ a en réalité lieu dans L p loc (IRd ) pour tout p [1, + [ puis les fonctions caractéristiques prennent les valeurs 0 ou 1 presque partout. La convergence de ( n ) n IN vers au sens des fonctions caractéristiques n est en général pas aisée à obtenir. Le théorème I.1.6 prouve qu on peut l obtenir en considérant une suite d ensembles dont le périmètre est uniformément borné. Soit ( n ) n IN et désignant respectivement une suite d ensembles mesurables et un ensemble mesurable de IR d. En toute généralité, on peut énoncer un résultat de compacité plus faible que celui du théorème I.1.6. En effet, les éléments de la suite (χ n ) n IN appartiennent à L (IR d ; {0,1}). Rappelons que L (IR d ; {0,1}) est le dual topologique de l espace L 1 (IR d ; {0,1}). Par conséquent, d après le théorème de Banach-Alaoglu- Bourbaki 3 appliqué à E = L 1 (IR d ) et E = L (IR d ), on peut extraire de (χ n ) n IN une sous-suite (χ nk ) k IN qui converge faiblement- vers une fonction a L (IR d,[0,1]). Le fait que a( ) 0 et a( ) 1 presque partout dans IR d s obtient en utilisant le fait 3. Théorème de Banach-Alaoglu-Bourbaki : soit E, un espace de Banach et E, son dual topologique muni de la norme duale f E = sup x E f,x E,E. L ensemble B E = {f E f E 1} est x E 1 compact pour la topologie faible- σ(e,e). 5

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES que la positivité est conservée à la limite pour la topologie faible-. Cependant, il est a priori faux de prétendre que a L (IR d,{0,1}). Pour s en convaincre, il suffit de considérer la suite (ω n ) n IN des sous-ensembles de (0,π) définie par n ( kπ ω n = n + 1 π 4n, kπ n + 1 + π ), 4n k=1 pour tout n IN. On montre aisément que pour tout n IN, ω n = π 2, et que la suite de fonctions (χ ωn ) n IN converge faiblement- vers la fonction constante a( ) = 1 2 dans L (0,π). De façon intuitive, la suite (χ ωn ) n IN tend à s équirépartir dans (0,π). I.1.2 Convergence des ouverts au sens de Hausdorff Dans ce qui suit, si x IR d et E est un sous-ensemble fermé, on notera d E (x) la distance de x à E, soit d E (x) = dist(x,e) := inf{ x y, y E}. Définition I.1.9. Métrique de Hausdorff (i) Distance de Hausdorff entre deux fermés. Soient A et B, deux ensembles fermés de IR d. La distance de Hausdorff entre A et B est définie par d H (A,B) = max{sup x A d B (x), sup d A (x)}. x B (ii) Convergence des ouverts au sens de Hausdorff. Si A et B sont deux éléments de A(D), on définit la distance de Hausdorff du complémentaire de A et B par d H c(a,b) = d H (D\A,D\B). En conséquence, on dira qu une suite d ouverts ( n ) n IN de A(D) converge vers au sens de Hausdorff si d H c( n,) 0 quand n +. La suite de cette section est consacrée à l énoncé de bonnes propriétés topologiques de l ensemble A(D) muni de la métrique d H c. Tout repose sur le fait que pour tous (A,B) A(D) 2, d H (A,B) = d A d B C 0 (D) := sup d A (x) d B (x). x D Preuve : on a d A d B C0 (D) = d A d B C0 (D) max{ d A d B C0 (A), d A d B C0 (B)} d H (A,B). Montrons l inégalité réciproque. Soit x B et y A. Par compacité, il existe x B B tel que d B (x) = x x B. D où d A (x) d B (x) y x x x B y x B d A (x B ) sup d A (x). x B En intervertissant les rôles joués par A et B, et en choisissant le maximum des majorants, on en déduit l inégalité souhaitée. 6

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES La figure ci-dessous illustre la définition de la distance de Hausdorff entre deux compacts. Figure I.1 : Distance de Hausdorff de deux compacts X et Y Énonçons à présent quelques propriétés topologiques relatives à la convergence au sens de Hausdorff. Proposition I.1.10. compacité et s.c.i. pour la topologie H c (i) L ensemble A(D) muni de la métrique d H c est compact. (ii) Soit ( n ) n IN, une suite d éléments de A(D) convergeant au sens de Hausdorff vers. Pour tout sous-ensemble compact K, il existe un entier N(K) IN tel que K n pour tout n N(K). (iii) La mesure de Lebesgue est semi-continue inférieurement pour la topologie associée à d H c. (iv) Le nombre de composantes connexes du complémentaire d un ensemble ouvert est semi-continue inférieurement pour la topologie associée à d H c. Pour démontrer cette proposition, nous utiliserons le résultat suivant. Proposition I.1.11. (i) Soient A et B inclus dans D. On a d A = d B si, et seulement si A = B. (ii) On introduit l espace des fonctions "distance" des sous-ensembles de D C d (D) = {d, avec et D} avec d : x d(x,). Alors, C d (D) est un sous-ensemble compact de C 0 (D). Remarque I.1.12 On peut se restreindre à des classes d ouverts. En effet, {d c, D et } = {d c, ouvert inclus dans D}. 7

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Pour s en convaincre, considérons D tel que. Alors, on peut associer à l ouvert O = cc. En effet, O c = c donc d O c = d c = d c d après la proposition I.1.11. Par conséquent, le caractère fermé de l ensemble A(D) énoncé dans la proposition I.1.10 est à interpréter au sens suivant : si ( n ) n IN est une suite de A(D) qui converge vers au sens de Hausdorff, alors les limites de la suite ( n ) n IN forment une classe d équivalence et il existe un représentant A(D) tel que ( n ) n IN converge vers. Exemple I.1.13 (i) On considère un ouvert D et (x n ) n IN, une suite de points dense dans D. Posons n = D\{x k } 1 k n. Alors ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers l ensemble vide. (ii) n =]0,1[\{ 1 n } n IN converge au sens de Hausdorff vers ]0,1[. (iii) Un intervalle ouvert de IR qui converge au sens de Hausdorff ne peut converger que vers un intervalle ouvert (exercice). Remarque I.1.14 Optimalité des assertions de la proposition I.1.10 Revenons sur (ii). On pourrait légitimement se poser la question suivante : si ( n ) n IN, une suite d éléments de A(D) convergeant au sens de Hausdorff vers et si K est un compact tel que K c, existe t-il un entier N(K) tel que K n c pour n N(K)? La réponse est non, comme l indique le contre-exemple suivant : D =]0,3[ 2, est le disque unité de IR 2 et n désigne l ouvert défini en coordonnées polaires par n = {(r,θ) IR + [0,2π[ r 11 10 + 1 10 cos(nθ)}. On montre alors aisément (exercice) que ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers mais que la propriété ci-dessus n est pas satisfaite. Dans le vocabulaire de l optimisation de forme, on dit qu une suite ( n ) n IN vérifiant l assertion (ii) et l assertion ci-dessus converge au sens des compacts. Pour plus de détails sur cette notion, nous renvoyons par exemple à [HP05, Section 2.2.4]. Revenons sur (iii). La convergence de Hausdorff ne préserve pas le volume. C est par exemple ce qu indique l item (i) de l exemple I.1.13. Preuve de la proposition I.1.11. (i) Cette propriété résulte du fait que d A (x) = 0 x A. Nous allons montrer plus précisément que A B est équivalent à d A d B. En effet, si A B et x IR d, alors d B (x) = d B (x) = inf y x inf y x = d A (x) = d A (x). y B y A Réciproquement, si d A d B, soit x A. Alors, d A (x) = d A (x) = 0 et par conséquent d B (x) = d B (x) = 0, donc x B. 8

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES (ii) Montrons d abord que C d (D) est un fermé de C 0 (D). On considère une suite ( n ) n IN de sous-ensembles non vides de D tels que d n converge vers un élément f de C 0 (D). On va montrer qu il existe non vide inclus dans D tel que f = d. Posons = {x D f(x) = 0}. Montrons de prime abord que. Soit x D et n N. Par compacité de n, il existe y n n tel que d n (x) = y n x et par conséquent, lim n + y n x = f(x). On en déduit que (y n ) n IN est bornée dans D et converge donc, à sous-suite près, vers un certain y D, tel que y x = f(x). En particulier, la construction précédente montre que f(y) lim n + y n y = 0 donc f(y) = 0. En d autres termes, on a montré :. Le raisonnement précédent prouve en particulier que pour tout x D, il existe y tel que f(x) = y x inf z x = d (x). z Montrons l inégalité réciproque. Pour tout n IN, et tous (x,y) D 2, d n (x) = inf z n z x inf z n z y + y x = d n (y) + y x. On en déduit, en échangeant les rôles de x et y que d n (x) d n (y) x y. Par convergence uniforme de d n, il vient (x,y) D 2, f(x) f(y) x y. Choisissons à présent y. On a f(y) = 0 et par conséquent, f(x) x y. Puisque y est arbitraire dans, il vient f(x) d (x), d où la conclusion. Á ce stade, on a prouvé que C d (D) est un sous-ensemble fermé de C 0 (D) qui est donc, à ce titre, complet. Notons que pour tout x D, d (x) sup (x,y) D 2 y x < +. De plus, le raisonnement précédent montre que (x,y) D 2, d (x) d (y) x y. D après le théorème d Ascoli-Arzelà 4, la famille C d (D) est équicontinue et fermée pour la topologie de la convergence uniforme, donc compacte. Nous sommes maintenant en mesure de démontrer la proposition I.1.10. Preuve de la proposition I.1.10. (i) Considérons une suite ( n ) n IN d éléments de A(D). Alors (d c n ) n IN est une suite d éléments de C d (D). Par compacité (Proposition I.1.11), il existe A avec d A C d (D) tel que (d c n ) n IN converge à une sous-suite près vers la fonction d A = d A = d c, où l on a posé c = A. On a donc montré que ( n ) n IN converge, à sous-suite près vers A(D). 4. Théorème d Ascoli-Arzelà : soient K un espace compact et (E, d) un espace métrique. L espace C 0 (K, E) des fonctions continues de K dans E, muni de la distance uniforme, est un espace métrique. Une partie A de C 0 (K, E) est relativement compacte si et seulement si les deux conditions suivantes sont respectées : - A est équicontinue, i.e pour tout élément x de K, on a ε > 0, V voisinage de x f A, y V, d(f(x),f(y)) < ε - pour tout élément x de K, l ensemble A(x) = {f(x) f A} est relativement compact. L ensemble des fonctions r-lipschitziennes avec r > 0 est un exemple d ensemble équicontinu. 9

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES (ii) Puisque K D, il existe x K et ỹ tels que δ := inf d c(x) = inf x K inf x K y c x y = x ỹ > 0. En effet, K est fermé et est ouvert... Par convergence de ( n ) n IN vers, il existe N(K) IN tel que Par conséquent, pour tout x K, on a n N(K), d c n d c C 0 (K) < δ 2. d c n (x) d c(x) d c n (x) d c(x) m m 2 > 0. Cela signifie que x / c n autrement dit x c nc = n et donc K n. (iii) On va démontrer plus précisément que si ( n ) n IN converge vers au sens de Hausdorff, alors χ lim inf n + χ n presque partout dans D. En vertu du lemme de Fatou 5, on en déduira le résultat escompté, à savoir lim inf n + n. On a χ \( n) = χ ( n) c \ c. Posons ε n = d H c( n,). Notons que χ ( n) c \ c χ Rn avec R n = {x D d(x,) ]0,ε n [}, et que la suite (R n ) n IN est décroissante pour l inclusion et tend vers. D après le théorème de convergence monotone de Beppo-Levi 6, on en déduit que \( n ) = χ \( n)(x) dx 0. n + D Finalement, puisque χ = χ n + χ \( n), on obtient l inégalité souhaité en faisant tendre n vers +. (iv) Soit ( n ) n IN, une suite de A(D) qui converge au sens de Hausdorff vers A(D). On désigne par #( c n), le nombre de composantes connexes 7 de c n. Supposons que #( c ) est fini, égal à k. Il existe donc une famille d ouverts disjoints (G i ) 1 i k tels que k c = c G = G i et i {1,,k}, c G i. i=1 Considérons le voisinage ouvert de c défini pour ε > 0 par V ε ( c ) = {O ouvert tel que d c d O c C 0 (D) < ε}. 5. Lemme de Fatou : soit, un ouvert de IR d et (f n) n IN, une suite de fonctions de L 1 () telle que pour tout n IN, f n(x) 0 p.p. sur et sup n IN fn(x) dx < +. Alors, la fonction x lim infn + fn(x) est intégrable sur et lim inf fn(x) dx lim inf f n + n + n(x) dx. 6. Théorème de convergence monotone de Beppo-Levi : soit, un ouvert borné et (f n) n IN, une suite croissante de fonctions de L 1 () telle que sup n IN fn(x) dx < +. Alors, fn(x) converge pour presque tout x vers une limite finie f(x), f L 1 () et f n f L 1 () 0 quand n +. 7. Composante connexe : étant donné un point x d un espace topologique E, la réunion de toutes les parties connexes contenant x est connexe. C est la plus grande (au sens de la relation d inclusion) de toutes les parties connexes contenant x. On la note C x et on l appelle composante connexe de x dans E. Les composantes connexes des points de E sont donc les parties connexes maximales pour l inclusion (il n y en a qu une si l espace est connexe). 10

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES On a c V ε ( c ) et puisque (d c n ) n IN converge vers d c, il existe N IN tel que c n V ε ( c ) G, pourvu que ε soit choisi suffisamment petit. Alors, nécessairement, pour tout n N, c n G et c n G i. On en déduit que #( c n) #( c ). Avant de terminer cette section, énumérons quelques résultats fort utiles sur la convergence au sens de Hausdorff dont la démonstration est laissée en exercice au lecteur. Proposition I.1.15. Propriétés de la convergence au sens de Hausdorff des ouverts ([HP05, Section 2.2.3]) (i) Une suite croissante d ouverts inclus dans D converge au sens de Hausdorff vers sa réunion. (ii) Une suite décroissante d ouverts converge vers l intérieur de l intersection de tous les ouverts. (iii) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, et si n 1 n 2 pour tout n IN, alors 1 2. (iv) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, alors n 1 n 2 converge au sens de Hausdorff vers 1 2. (v) Si ( 1 n) n IN et ( 2 n) n IN sont des suites de A(D) qui convergent respectivement au sens de Hausdorff vers 1 et 2, et si n 1 n 2 converge au sens de Hausdorff vers, alors 1 2. (vi) La convexité est préservée par la convergence de Hausdorff, mais pas l envoppe convexe. Notons que par passage au complémentaire, on en déduit aisément des propriétés similaires pour la convergence de Hausdorff au sens des compacts (remplacer par exemple "croissant" par "décroissant", "réunion" par "intersection", etc.) Remarque I.1.16 Ce que ne garantit pas la convergence de Hausdorff La connexité n est pas préservée par la convergence au sens de Hausdorff. Penser par exemple à n = B(0,2)\{e i kπ n,0 k n 1}. Alors, clairement, n est connexe par arcs pour tout n IN, et la suite ( n ) n IN converge au sens de Hausdorff vers = B(0,2)\C(0,1) qui n est pas connexe par arcs. Le périmètre défini au sens de de Giorgi (voir Définition I.1.2) n est ni semi-continu supérieurement, ni semi-continu inférieurement pour la convergence au sens de Hausdorff. Noter que la remarque remarque I.1.14 prouve en particulier que le périmètre n est pas semi-continu supérieurement. 11

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES I.1.3 Ouverts vérifiant la propriété du cône uniforme Cette section est consacrée à l introduction d une famille d ouverts satisfaisant certaines propriétés géométriques qui garantissent de la compacité en un sens à préciser. Dans l étude des problèmes d optimisation de forme, on s attend souvent à ce que la solution soit régulière. Pour cette raison, on peut choisir de ne s intéresser qu à des domaines réguliers. Cependant, on comprend aisément qu une suite de domaines réguliers peut converger vers un domaine très irrégulier. Pour éviter ce type de phénomène, on va introduire des ouverts dont la frontière est "uniformément lipschitzienne. On dit qu ils vérifient la propriété du cône uniforme. Le point de vue qui suit et ses conséquences en optimisation de forme sont dus à Denise Chenais (voir [Che75] et [DZ11]). Définition I.1.17. Propriété de ε-cône Soit y, un point de IR d, ξ, un vecteur unitaire et ε, un réel strictement positif donné. (i) On appelle cône épointé de sommet y, de direction ξ et de dimension ε, le cône noté C(y,ξ, ε) privé de son sommet, défini par : C(y,ξ, ε) = {z IR d z y,ξ IR d cos ε z y IR d et 0 < z y IR d < ε}, où, IR d désigne le produit scalaire euclidien de IR d et IR d, la norme euclidienne associée. (ii) On dit qu un ouvert vérifie la propriété du ε-cône si pour tout élément x, il existe ξ x, un vecteur unitaire tel que : y B(x,ε), C(y,ξ, ε), où B(x,ε) désigne la boule ouverte de centre x et de rayon ε. 12

I.1. ÉLÉMENTS DE TOPOLOGIE SUR LES ENSEMBLES y x ε C(y, ξ x, ε) ξ x Figure I.2 : Illustration de la propriété de ε-cône Notons que l on a la caractérisation suivante des ouverts satisfaisant la propriété du cône uniforme. Théorème I.1.18. Caractérisation de la propriété de ε-cône Un ouvert de frontière bornée a la propriété du ε-cône si, et seulement si il est à bord lipschitzien. Pour la définition d un ouvert à bord lipschitzien, on se réfèrera à la définition I.1.1. Ce résultat d énoncé simple est en revanche un peu technique à démontrer. Le preuve figure dans [Che77] et dans [HP05, Section 2.4]. Figure I.3 : À gauche, un ouvert vérifiant la propriété du cône uniforme et à droite, un ouvert ne la vérifiant pas (présence d un point de rebroussement) La propriété qui suit prouve, comme on pouvait s y attendre, que les ouverts satisfaisant la propriété du ε-cône possèdent de bonnes propriétés de compacité. 13

CHAPITRE I. OUTILS POUR L OPTIMISATION DE FORME EN MÉCANIQUE DES FLUIDES Proposition I.1.19. Compacité des ouverts uniformément réguliers Soit ε > 0 et ( n ) n IN, une suite d ouverts tous inclus dans une boule D et ayant la propriété du ε-cône. Alors, il existe un ouvert, et une suite extraite ( nk ) k IN qui converge vers au sens de Hausdorff. De plus, a la propriété de ε-cône, nk et nk convergent au sens de Hausdorff respectivement vers et. Preuve. D après la proposition I.1.10, il existe une suite extraite ( nk ) k IN et un ouvert tels que ( nk ) k IN converge vers au sens de Hausdorff. Considérons x. Pour ne pas alourdir la rédaction, et quitte à réindexer, on note ( n ) n IN la suite ( nk ) k IN. Montrons de prime abord qu il existe une suite de points (x n ) n IN telle que x n n pour tout n IN, qui converge vers x. Il suffit de montrer que la distance de x à n tend vers 0 quand n +. Raisonnons par l absurde en supposant le contraire. Alors, il existe une sous-suite ( nk ) k IN et une boule fermée B(x,η) avec η > 0 tels que B(x,η) nk =. En conséquence, B(x,η) est inclus dans nk ou dans son complémentaire pour tout k IN. D après la propriété I.1.15 (stabilité de l inclusion) il vient que B(x,η) ou B(x,η) c, ce qui contredit que x. Considérons à présent pour chaque n, la direction de cône ξ n associée à x n. Par compacité de la sphère unité de IR d, on peut supposer que (ξ n ) n IN converge vers ξ S d 1, quitte à considérer une sous-suite. Donnons-nous y B(x,ε) c. Par définition de la convergence de Hausdorff, il existe une suite (y n ) n IN c n convergeant vers y. Alors, on montre aisément que y n x n converge vers y x, on a y n x n < ε à partir d un certain rang. Cela permet d appliquer la propriété de ε-cône à y n et on en déduit que C(y n,ξ n,ε) c n à partir d un certain rang. Par stabilité de l inclusion et puisque C(y n,ξ n,ε) converge au sens de Hausdorff vers C(y,ξ,ε), il vient On en déduit le résultat escompté. C(y,ξ,ε) C(y,ξ,ε) c. On peut établir le même type de résultat pour la convergence au sens des fonctions caractéristiques. (voir définition I.1.7) La preuve est laissée en exercice au lecteur. Proposition I.1.20. Compacité des ouverts uniformément réguliers (suite) Soit ε > 0 et ( n ) n IN, une suite d ouverts tous inclus dans une boule D et ayant la propriété du ε-cône. Alors, il existe un ouvert, et une suite extraite ( nk ) k IN qui converge vers au sens des fonctions caractéristiques. De plus, a la propriété de ε-cône, nk et nk convergent au sens des fonctions caractéristiques respectivement vers et. Les deux propositions précédentes fournissent en général une grande aide pour établir des résultats d existence dans des classes de domaines vérifiant la propriété de ε-cône. I.2 Quelques inégalités fonctionnelles 14