Correction de la feuille d exercices de révision () I Nouvelle Calédonie mars PARTIE A :. On cherche une primitive F sous la forme F (x)= (ax+ b)e x. Par définition d une primitive, on doit avoir F = f ; or F (x)=ae x + (ax+ b)e x = (ax+ a+ { b)e x. a= Pour tout x, on doit donc avoir ax + a + b = x, d où, par identification des coefficients : a+ b=. On en déduit a= et b= a= donc F (x)=(x )e x. Alors : xe x dx = f (x) dx = F () F()=.. (a) A (OAA )= a aea = a e a. (aire d un triangle) A (ABB A )= ( ae a + e ) ( a)= ( ae a a e a + e ae ) (aire d un trapèze). (b) Les segments [OA] et [AB] étant au dessus de la courbe C l aire de la partie hachurée est égale à la somme des aires du triangle et du trapèze précédents diminuée de l aire de la partie du plan limitée par l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équation x = et x=, soit : a e a + ( ae a a e a + e ae ) xe x dx = ( a e a + ae a a e a + e ae ) = ( ae a ae+e ). PARTIE B :. Toutes les fonctions sont dérivables sur [ ; + [, donc : g (x)= e x e+xe x. Puis g (x)=e x + e x + xe x = e x (+ x).. On sait que e x > quel que soit le réel x, et sur [ ; + [, + x > : donc sur [ ; + [, g (x)> : on conclut que la fonction g est croissante (strictement) sur [ ; + [. 3. On a g ()= e< et g ()=e> ou lim g (x)=+. x + g (x) + + g (x) e < Donc la fonction g, monotone croissante et continue sur [ ; ] de g () < à g () >, s annule une seule fois sur cet intervalle d après le théorème des valeurs intermédiaires. Il existe donc un réel α [ ; ] tel que g (α)=. La calculatrice donne :,5<α<,6. 4. Sur l intervalle [ ; α], g (x)< : la fonction est donc décroissante sur cet intervalle. Sur l intervalle [α ; + ], g (x)> : la fonction est donc croissante sur cet intervalle. Page /7
5. D après tous les résultats précédents, l aire de la surface hachurée est égale à : g (a). Or on a vu que la fonction g a sur sur [ ; + [ et également sur [ ; ] un minimum en x = α. L aire minimum est donc égale à : g (α) Non demandé : cette aire vaut approximativement,88 unité d aire. II Métropole juin. (a) (b) On a p (E )= p (D E )= p(d) p D (E )=,4,7=,8.,4,6 D D,7,3 (c) Calculons la probabilité de ne pas être recruté, soit : ) ) p(f )=p D + p (D E + p (D E =,6+,4,3+,4,7,75=,6+,+,=,93. D où p F = p(f )=,93=,7. E E,5,75 On peut aussi calculer directement la probabilité d être recruté, soit : p F = p (D E E )=,4,7,5=,7. D où p(f )= p F =,7=,93.. (a) Chaque dossier est étudié indépendamment des autres et chaque candidat a une probabilité d être recruté égale à,7. On a répétition d pruves identiques. La variable X suit donc une loi binomiale B(n= 5, p =,7). 5 (b) On a p(x = )=,7,93 3 =,7,93 3,39 4,39 à 3 près. 3. On reprend ici la loi binomiale mais avec n candidats chacun ayant une probabilité d être recruté égale à,7. n La probabilité qu aucun ne soit retenu est égale à :,7,93 n =,93 n. La probabilité qu un au moins des n candidats soit recruté est donc égale à,93 n. Il faut donc résoudre l inéquation :,93 n >,999,>,93 n ln,> n ln,93 (par croissance de la fonction ln) n> ln, car ln,93<. ln,93 Or ln, ln,93 95,. Il faut donc traiter au moins 96 dossiers pour avoir une probabilité supérieure à,999 de recruter au moins un candidat. III Pondichéry avril. (a) Les fonctions représentées sont positives ; I n représente donc l aire limité par le représentation de f n, l axe des abscisses et les droites d équations x = et x =. Le dessin suggère que la suite (I n ) est décroissante. E E Page /7
(b) Pour tout n, on a f n+ (x) f n (x)= e (n+)x + x e nx + x = e nx e x + x Or x + x : donc + x> ; e nx + x = e nx ( e x ). + x D autre part on sait que e x >. Enfin x x (par croissance de la fonction exponentielle) e e x e. Donc e x e x et finalement par produit f n+ (x) f n (x) f n+ (x) f n (x) : la suite ( f n ) est décroissante. Par intégration sur l intervalle [ ; ] des fonctions positives f n+ et f n (conservation de l ordre) : f n+ (x) f n (x) I n I n : la suite (I n ) est décroissante.. (a) x + x + x et par produit par le nombre positif e nx, on obtient : + x e nx. D autre part on sait que pour + x, on a (+ x) + x (+ x) + x et par produit par le nombre positif e nx, on obtient : (+ x) e nx + x. e nx Enfin il est évident que >, donc finalement : (+ x) e nx (+ x) e nx + x e nx. (b) Par intégration sur l intervalle [ ; ] des inégalités précédentes on obtient (conservation de l ordre) : dx (+ x) dx + x dx dx soit encore [ J n I n ] n e nx c est à dire : J n I n ( ). n Or lim n + e nx =, donc lim ( ) =. n + n Conclusion : d après le théorème des «gendarmes», les suites (I n ) et (J n ) convergent vers. 3. (a) On a (uv) = u v+ uv donc uv = (uv) u v. (b) On pose : u(x)= + x et v (x)= d où u (x)= (+ x) et v(x)= n e nx. On en déduit : I n = + x = u(x)v (x) dx = (uv) (x) (u v)(x) dx = [(uv)(x)] [ n (+ x) dx = ] n + x [ e n ] n (+ x) dx= n n Le résultat précédent peut s écrire en multipliant par n : ni n = e n J n. Comme lim n + e n = lim J n =, on a donc : n + Remarque : on a donc pour n assez grand I n n. lim ni n = n + (+ x) dx. Page 3/7
Exemple : pour n=, la calculatrice donne I,9. IV Liban mai Partie A On considère la fonction g définie sur l intervalle ] ;+ [ par : g (x)=x 3 + lnx. Variations de la fonction g sur l intervalle ] ;+ [ : g (x)=6x + x >, car somme de nombres positifs sur ] ;+ [ La fonction g est donc croissante sur ] ; + [. lim g (x)= et lim g (x)=+. x Tableau de variations : x + + g (x). La fonction g est continue (comme somme de fonctions continues)sur ] ; + [. De plus, lim g (x)= x et lim g (x)=+, donc d après le théorème des valeurs intermédiaires, l équation g (x)=admet une solution. Comme g est strictement croisante, cette solution est unique ; on la note α. De plus, { g (,86),95< g (,87) +,385> = g (,86)< g (α)=<g (,87),86<α<,87 3. Signe de la fonction g sur l intervalle ] ;+ [ : { < x < α= g (x)<g (α)= x> α= g (x)> g (α)= Partie B On considère la fonction f définie sur l intervalle ] ;+ [ par : f (x)=x x On note C la courbe représentative de la fonction f dans le plan, muni d un repère orthogonal (O ; ı ; j ).. Limite de la fonction f en : lim x Limite de la fonction f en+ f (x)= +,car lim x = et lim x =+ et lim + x + x + =+ lim f (x)= + car lim x=+ et lim Page 4/7 x + x = (croissances comparées)
. La courbe C admet pour asymptote oblique la droite d équation y = x. En effet : lim f (x) x = lim x = (croissances comparées) Le signe de f (x) x = x est celui de, car x > : Position relative de la courbe C et de la droite : Sur ] ; [, lnx >, C est au dessus de, sur ] ;+ [, <, C est en dessous de, C et ont un point commun A(, ). 3. Dérivée f (x) de f : f (x)= x x x x 4 = x4 x+ x x 4 = x3 + x 3 = g (x) x 3 f (x) a même signe que g (x) car x 3 est strictement positif sur ] ;+ [. 4. Tableau de variations de la fonction f : 5. Figure : x α + f (x) + f (x) f (α) 8 6 4 α 3 4 5 6 Page 5/7
Partie C Soit n un entier naturel non nul. On considère l aire du domaine D du plan compris entre la courbe C, la droite et les droites d équations respectives x = et x = n.. Cette aire, exprimée en cm, est donnée par (u.a ; (unité d aire)=cm ) : I n = dx. car l aire du domaine D du plan compris entre la courbe C, la droite et les droites d équations respectives x = et x = n est : ( ( x x. (a) Calcul de l intégrale u v) : On pose : x x )) dx u.a.= x dx u.a.= x dx = I n dx à l aide d une intégration par parties (avec la formule uv = (uv) x u(x)= ; u (x)= x Ainsi : (b) Ainsi : [ x dx = ] n x 3. lim I n =, car lim n + n + n = lim lnn n + n = V Pondichéry avril 3 v (x)= x ; v(x)= x [ x dx= x ] n n lnn = x n n lnn I n = = n n lnn n. Dans cette question et uniquement dans cette question, on prend z M = e i π 3. ( ) 3. z M = i = i 3. 3. z M = iz M = i( i 3)= i+i 3= 3 i. Module et argument méthode algébrique : z M = ( 3) + ( ) = et si l on nomme θ un argument de z M alors, par propriété, 3 cosθ = sinθ = On reconnaît θ= 5π 6 (modulo π). Module et argument par la forme exponentielle : z M = i z M = e i π 3 = arg(z M )=arg( i)+arg (z M )= π π 3 = 5π 6 (module π). Page 6/7
B 4. La figure n est pas à l échelle. Graphiquement on vérifie les propriétés et. M O A 3 I M 5. Cas général en prenant z M = x+ iy avec y. (a) z I = z A+ z M = x+ + i y. (b) z M = i(x+ iy)= y i x. ( x+ (c) I ; y ), B(,) et M (y; x). (d) OI x+ ( y B M = y + ( x ) = ) x y + x y = donc les droites (OI ) et (BM ) sont perpendiculaires. (e) BM = y + ( x ) = (x+ ) + y et d autre part, OI = donc Autre méthode : On pose Z = y (x+ )i On a Z = = i x+ + yi z BM z OI = y (x+ )i x+ + y i x+ + yi x+ + yi = i. OI = BM. ( x+ ) ( y + ) = (x+ ) + y On en déduit : arg(z )=arg( i)= π, or, arg(z )= ( OI ; B M ) donc les droites (OI) et (B M ) sont perpendiculaires. Z =; or, Z = B M OI donc B M = OI. Page 7/7