Éléments de Mathématiques

Partie I Éléments de Mathématiques ette partie introduit les principaux outils mathématiques nécessaires à la mise en place des divers concepts utilisés en Mécanique des Solides Rigides L'espace vectoriel des vecteurs en est la base et espace permet ensuite de formuler l'espace physique qui nous entoure, l'espace géométrique, et d'en formaliser ses propriétés La stratégie de développement de cet ouvrage est fondée sur le formalisme des torseurs Une attention particulière doit donc être portée à cette notion

HAPITRE Espace vectoriel R DÉFINITION DE L'ESPAE VETORIEL R Vecteurs L'espace vectoriel peut être défini comme étant l'espace des triplets (, 2, ) où, 2, sont trois réels rangés dans cet ordre Les triplets ainsi définis sont appelés vecteurs et notés V Soit : V =,, () ( ) 2 Les nombres réels, 2, sont les composantes du vecteur V L'espace vectoriel est ensuite muni d'une loi de composition interne et d'une loi de composition externe, définies ci-après 2 Loi de composition interne ou somme vectorielle La somme vectorielle associe aux vecteurs V et V V + V : V, V Soit V = (,, ) 2 loi de composition interne et V = (,, ) 2 un vecteur somme noté V + V somme vectorielle est définie par la relation : V + V = +, +, + ( ) 2 2 les deux vecteurs de La (2)

4 hapitre Espace vectoriel L'élément neutre, noté 0, est défini par : 0= ( 0, 0, 0) () Les propriétés de la somme vectorielle sont les suivantes : La somme vectorielle est commutative : V + V = V + V (4) 2 2 2 La somme vectorielle est associative : V + V + V = V + V + V ( ) ( ) 2 2 (5) L'élément neutre est tel que : V + 0 = V (6) 4 À tout vecteur V, correspond un vecteur opposé, noté V, tel que : V + ( V) = 0 (7) Loi de composition externe ou multiplication par un nombre réel ette loi est généralement appelée multiplication par un scalaire Si α est un nombre réel et V un vecteur, la loi de composition externe associe à V un vecteur W noté αv : loi de composition α, V W = αv externe Le vecteur W est dit colinéaire au vecteur V Si le vecteur V est défini par ses composantes V = (, 2, ), le vecteur W est défini par : W = α, α, α (8) ( ) 2 La multiplication par un scalaire vérifie les propriétés suivantes : Distributivité pour l'addition des scalaires : α + α V = α V + α V (9) ( ) 2 2 2 Distributivité pour la somme vectorielle : α ( V + V ) = αv + αv (0) 2 2 Associativité pour la multiplication par un scalaire : α α V = α α V () ( ) ( ) 2 2

2 Dépendance et indépendance linéaire Base de 5 2 DÉPENDANE ET INDÉPENDANE LINÉAIRE BASE DE R 2 ombinaison linéaire Soit V, V2,, Vi,, Vp, p vecteurs de l'espace onsidérons p nombres réels : α, α2,, αi,, α p Les vecteurs αv, α2v2,, αivi,, α pv p, sont des vecteurs de l'espace vectoriel, ainsi que leur somme qui définit le vecteur V : p V = αv + α2v2 + + αpvp = αivi (2) Le vecteur V ainsi défini est appelé combinaison linéaire des vecteurs V, V 2,, V p i= 22 Dépendance, indépendance linéaire 22 Définition Dans l'espace vectoriel, p vecteurs V, V 2,, V p, indépendants si et seulement si l'égalité sont linéairement entraîne obligatoirement : p αiv i = αv + α2v 2 + + αpv p = 0 () i= α = 0, α = 0,, α p = 0 (4) 2 Tous les α i sont nuls Dans le cas contraire, les vecteurs sont dits linéairement dépendants 222 Propriétés a Sur l'indépendance Un vecteur V non nul est à lui seul linéairement indépendant 2 Dans un système de vecteurs indépendants, aucun n'est le vecteur nul En effet, si l'on avait par exemple V k = 0, la relation () serait vérifiée avec α 0 k

6 hapitre Espace vectoriel Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous-ensemble prélevé sur ces vecteurs est indépendant b Sur la dépendance 4 Si p vecteurs sont dépendants, au moins l'un d'entre eux est combinaison linéaire des autres onsidérons en effet p vecteurs V, V 2,, Vp Si ces vecteurs sont linéairement dépendants, la relation : p αiv i = 0 (5) i= implique qu'au moins un des nombres réels α i n'est pas nul : α par exemple La relation précédente s'écrit : αv = ( α2 V2 + + αpvp ), (6) et il est alors possible de diviser par α (différent de zéro) et d'exprimer V sous la forme : V = (7) p αivi α i = 2 Nous disons alors que V dépend linéairement des vecteurs V2, V,, V p 5 Si V, V2,, Vp sont linéairement dépendants, les vecteurs V, V 2,, Vp, Vp+,, Vp+ r, le sont aussi quels que soient les vecteurs Vp+,, Vp+ r 6 Théorème Dans le sous-espace engendré par p vecteurs linéairement indépendants, tout vecteur est représentable d'une façon unique comme combinaison linéaire de ces p vecteurs Soit V, V2,, V p, p vecteurs linéairement indépendants Tout vecteur V s'écrit donc de manière unique sous la forme : p V = αivi (8) i= De ce théorème est déduit le résultat important suivant : Une égalité vectorielle entre p vecteurs indépendants de la forme : p α V = p i i i= i= α V i i (9)

2 Dépendance et indépendance linéaire Base de 7 est équivalente à p égalités scalaires entre les nombres réels : α = α, α = α,, αp = α p (20) 2 2 ette propriété n'est plus vraie si les vecteurs sont dépendants 2 Base de l'espace vectoriel R La recherche de systèmes de vecteurs indépendants dans l'espace vectoriel se fait de la manière suivante Nous avons noté précédemment qu'un vecteur non nul est à lui seul linéairement indépendant Nous choisissons donc un vecteur V non nul de Nous recherchons ensuite un vecteur V 2 tel que V et V 2 soient linéairement indépendants; puis un vecteur V tel que V, V 2, V soient linéairement indépendants; etc Nous observons alors qu'il est possible de trouver un ensemble de vecteurs linéairement indépendants (il existe une infinité de tels ensembles), et que si nous ajoutons un quatrième vecteur V 4, les quatre vecteurs V, V 2, V et V 4 sont linéairement dépendants quel que soit le vecteur V 4 L'espace vectoriel est ainsi un espace de dimension Tout ensemble de vecteurs linéairement indépendants est alors appelé base de l'espace vectoriel Il résulte des propriétés énoncées précédemment : Tout vecteur de s'exprime (sous forme unique) comme une combinaison linéaire des vecteurs de la base 2 L'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de base engendre l'espace vectoriel L'espace vectoriel est donc entièrement déterminé par la donnée d'une base 24 omposantes d'un vecteur Soit e, e 2, e trois vecteurs de ( b) = e, e, e constitue une base de l'espace ensemble ( ) 2 D'après ce qui précède, tout vecteur V de linéairement indépendants Leur s'écrit de manière unique suivant : V = e + e + e (2) 2 2 Les composantes (, 2, ) sont alors appelées les composantes du vecteur relativement à la base (b) i est la composante suivant e i

8 hapitre Espace vectoriel Définition PRODUIT SALAIRE On appelle produit scalaire de deux vecteurs V et W une loi de composition externe qui associe à ces deux vecteurs un nombre réel (dit scalaire) noté V W : produit V, W V W, scalaire ayant les propriétés suivantes : ( V+ V2) W = V W + V2 W, (22) ( V ) α W = α ( V W ), (2) V W = W V, (24) V V > 0 si V 0 (25) Les deux premières propriétés expriment la linéarité du produit scalaire par rapport au vecteur V En particulier 0 V = 0 La troisième propriété exprime que le produit scalaire est symétrique par rapport à V et à W Il en résulte que le produit scalaire est aussi linéaire par rapport à W es propriétés peuvent être résumées en disant que le produit scalaire de deux vecteurs V, W est une forme linéaire symétrique associée aux vecteurs V et W 2 Intensité ou norme d'un vecteur On appelle intensité ou norme du vecteur V, que nous noterons V, la racine carrée positive du produit scalaire du vecteur par lui-même Soit : 2 V = V V = V, (26) en notant : 2 V V = V (27) En particulier, nous avons : αv = α V, (28) V V V + V V + V 2 2 2 ette dernière inégalité est appelée inégalité triangulaire (29)

Produit scalaire 9 Expression analytique du produit scalaire dans une base quelconque Soit deux vecteurs V et V Leurs expressions dans la base ( e, e2, e) de l'espace sont : V = e+ 2e2+ e, (0) V = e + e + e () 2 2 Le produit scalaire des deux vecteurs s'écrit : V V = e + e + e e + e + e ( ) ( ) 2 2 2 2 En utilisant les propriétés (22) à (24), l'expression précédente s'écrit : (2) V V = e + e + e + + e e 2 2 2 ( )( ) ( )( e e) ( )( e e) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + + + () ette relation exprime le produit scalaire des deux vecteurs V et V dans une base quelconque ette expression se simplifie en considérant des bases particulières que nous introduisons ci-après 4 Vecteurs orthogonaux On dit que deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul Soit : V et W orthogonaux V W = 0 (4) Théorème : Si n vecteurs (n = 2 ou ) non nuls sont deux à deux orthogonaux, ils sont linéairement indépendants Si n =, les vecteurs constituent une base orthogonale de 5 Base orthonormée Une base est orthonormée, si les vecteurs qui constituent cette base sont orthogonaux deux à deux (base orthogonale) et si leurs normes sont égales à (base normée à ) e, e, e est orthonormée, nous avons donc : Si la base ( ) 2

0 hapitre Espace vectoriel e e = 0, e e = 0, e e = 0, 2 2 e =, e =, e = 2 2 2 2 (5) (6) 6 Expression du produit scalaire dans une base orthonormée Dans le cas d'une base orthonormée, l'expression () du produit scalaire se simplifie et se réduit à : V V = + + (7) 2 2 Le produit scalaire est donc égal à la somme des produits des composantes correspondantes des vecteurs La norme d'un vecteur s'écrit : 2 2 2 V = + + (8) 2 4 Définition 4 PRODUIT VETORIEL On appelle produit vectoriel de deux vecteurs V et W une loi de composition interne dans, qui associe à ces deux vecteurs un vecteur noté V W et qui est bilinéaire antisymétrique : produit V, W V W vectoriel De cette définition, il résulte que : Le produit vectoriel est distributif à gauche et à droite pour la somme vectorielle : ( V + V2 ) W = V W + V2 W, (9) V ( W + W2 ) = V W + V W2 (40) 2 Le produit vectoriel est associatif pour la multiplication par un réel : ( αv ) W = α ( V W ), (4) V ( αw ) = α ( V W ) (42) Le produit vectoriel est antisymétrique : V W = ( W V) (4)

4 Produit vectoriel La dernière propriété, appliquée au produit vectoriel d'un vecteur par luimême, implique que : V V = ( V V) Il en résulte donc la propriété : V V = 0 (44) De cette propriété, nous déduisons le théorème suivant : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est le vecteur nul En effet : W colinéaire à V W = αv W V = ( αv) V = α( V V) = 0 42 Expression analytique du produit vectoriel dans une base quelconque Reprenons les expressions (0) et () des deux vecteurs V et V dans la e, e 2, e Le produit vectoriel des deux vecteurs s'écrit : V V = e+ e + e e + e + e (45) base ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 En appliquant les propriétés de distributivité et d'associativité du produit vectoriel, nous obtenons : V V = e e + 2 e e2 + e e + e e + e e + e e + e e + e e + e e ( ) ( ) ( ) 2 ( 2 ) 2 2 ( 2 2) 2 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) 2 2 En utilisant la propriété d'antisymétrie, cette expression s'écrit sous la forme : V V = e e + e e ( 2 2 )( 2) ( )( ) + ( )( e e) 2 2 2 (46) ette relation exprime le produit vectoriel de deux vecteurs dans une base quelconque Nous introduisons ci-après des bases particulières permettant de simplifier cette expression 4 Base directe On appelle base directe, une base telle que : e e = e, e e = e, e e = e 2 2 2 La base est dite orientée dans le sens direct (47)

2 hapitre Espace vectoriel Une base directe est donc telle que le produit vectoriel des deux vecteurs donne le troisième dans l'ordre, 2,,, 2, etc 44 Expression du produit vectoriel dans une base directe Dans le cas d'une base directe, l'expression (46) du produit vectoriel se réduit à : V V = e+ e + e (48) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 L'expression précédente se retrouve aisément en écrivant le produit vectoriel sous la forme d'un déterminant (d'un point de vue formalisme cette écriture est toutefois incorrecte) : e e2 e V V = 2 2 En développant ce déterminant suivant la ère ligne, nous retrouvons bien l'expression (48) Par ailleurs, on montre sans difficulté à partir de l'expression (48) que : Le vecteur produit vectoriel de V et de V est un vecteur orthogonal au vecteur V et au vecteur V 45 Produit mixte On appelle produit mixte de trois vecteurs V, V2, V, pris dans cet ordre, le nombre réel défini par : V ( V V ) (49) 2 Il est facile de montrer que, dans une base orthonormée directe, le produit mixte est invariant par permutation circulaire des trois vecteurs : V ( V V ) = V ( V V ) = V ( V V ) (50) 2 2 2 46 Propriété du double produit vectoriel Le double produit vectoriel de trois vecteurs peut s'exprimer par la relation : V ( V V ) = ( V V ) V ( V V ) V (5) 2 2 2

5 Bases de l'espace vectoriel ette égalité se vérifie aisément en exprimant les composantes de V ( V2 V) puis celles de ( V V ) V ( V V ) V sont égales, puis en vérifiant que ces composantes 2 2, 5 BASES DE L'ESPAE VETORIEL R 5 Base canonique La base de l'espace la plus utilisée est la base canonique définie comme l'ensemble des trois vecteurs : i = (, 0, 0 ), j = ( 0,, 0 ), k = ( 0, 0, ), (52) constitue pris dans cet ordre i j k orthonormée directe : base orthonormée : i j = 0, j k = 0, k i = 0, 2 i =, 2 j =, 2 k =, base directe : i j = k, j k = i, k i = j Nous vérifions sans difficulté que l'ensemble (,, ) une base (5) (54) (55) La démonstration suppose que la base est exprimée (52) dans une base ellemême orthonormée directe Par la suite, nous noterons X, Y, Z les composantes d'un vecteur V relativement à la base canonique : V = X i + Y j + Z k (56) 52 hangement de base Dans ce paragraphe, nous explicitons, d'abord sur un exemple, les relations de changement de base dans l'espace et dans le cas de bases orthonormées directes Les relations obtenues seront ensuite généralisées 52 Exemple de changement de base Nous considérons la base orthonormée directe ( b) = ( i, j, k) construisons à partir de cette base l'ensemble des trois vecteurs ( i, j, k ) et nous 2 2 2

4 hapitre Espace vectoriel définis de la manière suivante : i2 = ( 2 i j+ k), 6 j2 = ( i j+ k), k = i j = j k 2 ( ) 2 2 2 (57) Nous vérifions aisément que l'ensemble (b 2 ) de ces trois vecteurs constitue une base orthonormée directe Les relations (57) peuvent être écrites sous une forme pratique, dérivée de la notation matricielle, suivant : 2 i 6 6 6 2 i j 2 = j, (58) k2 k 0 2 2 matrice colonne de la base (2) matrice de changement de base matrice colonne de la base () ou sous forme contractée : en introduisant la matrice de changement de base : i2 i j2 = A j, (59) k2 k 2 6 6 6 A = (60) 0 2 2 Nous trouvons aisément les propriétés suivantes de la matrice de changement de base : le déterminant de A est égal à ; si nous exprimons ( i, j, k ) en fonction de ( i ) 2, j2, k 2 à partir des relations (57), nous obtenons :

5 Bases de l'espace vectoriel 5 2 0 i 6 i2 j = j (6) 2 6 2 k k2 6 2 La matrice inverse de A est égale à la matrice transposée de A : t A = A (62) herchons maintenant les relations qui existent entre les composantes d'un vecteur V exprimées dans les deux bases considérées : dans la base (b ), nous avons : () () () V = i + j + k, (6) 2 dans la base (b 2 ), nous avons : (2) (2) (2) V = i + j + k 2 2 2 2, (64) En reportant la relation (6) dans l'expression (6), nous obtenons : () () V 2 i2 j 2 = 2 i2 j2 k + 2 6 6 2 () + i2 + j2 k 2, 6 2 soit : () () () V 2 2 = + i2 6 6 6 () () () () () 2 + j 2 2 + + k2 2 2 En comparant ce résultat avec l'expression (64), nous obtenons : 2 6 6 6 (2) () () = 2 2 2 (2) () () () = 2 + (2) () () () 2 = 2 +,, (65) En introduisant les matrices colonnes des composantes dans la base (b 2 ) et dans la base (b ), l'expression (65) s'écrit donc :

6 hapitre Espace vectoriel (2) () (2) () 2 = A 2 (66) (2) () De même, la relation inverse s'écrit : () (2) () t (2) 2 = A 2 (67) () (2) 522 Généralisation Les résultats établis dans le paragraphe précédent sur un cas particulier se généralisent et peuvent être explicités de la manière suivante Tout passage d'une base orthonormée directe à une autre base orthonormée directe est caractérisée par une matrice carrée, de déterminant égal à et telle que la matrice inverse soit confondue avec la matrice transposée Réciproquement toute matrice possédant ces propriétés représente un changement de bases orthonormées directes Si ( i, j, k ) et ( i ) 2, j2, k 2 sont deux bases orthonormées directes, le changement de base s'exprime sous la forme pratique : i2 i i i2 t j2 = A j, j = A j2 (68) k2 k k k2 Entre les composantes d'un vecteur dans les deux bases, nous avons des expressions analogues : (2) () () (2) t 2 = 2 2 = 2 A, A (69) EXERIES Trouver les vecteurs unitaires colinéaires à un vecteur donné Application au cas du vecteur de composantes (2, 5, ) dans la base canonique 2 Déterminer le paramètre α, de manière que les vecteurs V = ( 5, 4, ) et V2 = ( α, 2, ) soient orthogonaux Les composantes des vecteurs sont données dans une base orthonormée

ommentaires 7 Trouver les vecteurs unitaires orthogonaux à deux vecteurs donnés Application au cas des vecteurs de composantes (2, 5, ) et ( 2,, ) dans la base canonique 4 Développer le produit scalaire ( V + V2) ( V V2) ( ) ( ) V + V V V 2 2 ; puis le produit vectoriel 5 Un vecteur V a pour composantes (4, 9, ) dans la base ( ) = ( i, j, k) considère la base ( 2 ) = ( i, j, k ) déduite de () par les relations : 2 2 2 i = 2 i, j = 2 j, k = k 2 2 2 On Exprimer les composantes de V dans la base (2) 6 Les vecteurs V et V 2 étant deux vecteurs connus, déterminer les vecteurs V tels que : V V2 = V V Application au cas où : V = i 4 j et V2 = 5i + 6j 2k OMMENTAIRES L'espace vectoriel est l'espace dont les vecteurs sont caractérisés par leurs trois composantes qui sont des nombres réels L'espace vectoriel est un espace mathématique de caractère abstrait qui ne peut être représenté de manière concrète Par contre, sur cet espace sont définies diverses opérations que le lecteur devra maîtriser parfaitement : somme vectorielle, produit scalaire, produit vectoriel Le produit scalaire conduit à la notion d'orthogonalité de deux vecteurs et le produit vectoriel à la notion de colinéarité L'espace vectoriel est généré à partir d'une base constituée de trois vecteurs linéairement indépendants La base la plus utilisée est la base canonique qui est orthonormée directe Toute autre base orthonormée directe est obtenue à partir de la base canonique à l'aide d'une matrice carrée, de déterminant égal à et dont la matrice inverse est la matrice transposée