COLLEGE LA COUTANCIERE Mercredi 12 février 200 44240 LA CHAPELLE SUR ERDRE Année scolaire 2002-200 ELEMENTS DE CORRECTION DU BREVET BLANC DES COLLEGES EPREUVE DE MATHEMATIQUES Durée 2h Coefficient 2 L usage des instruments de calcul est autorisé. La précision de la rédaction et la qualité de la présentation seront notées sur 4 points PAGE 1 SUR 8
Exercice 1 2x A = 7 5 1 A = 6 7 2 A = 6 x 7 2 A = 9 7 PREMIERE PARTIE (12 points) Activités numériques 2x10 5 2 x10 x1,2x10 7 5 2 (2 x1,2)x(10 x10) 2,4x10 x10 x10 7 7 2,4 10 x 7 10 ( 7) 0,8x10 4 0,8x10 8x10 Exercice 2 C = 6 + 28 700 C = 7 + (2 7 ) 10 7 C = 7 D = (2 ) x (2 + ) 2 2 D = 2 ( ) D = 4 D = 1 E = 5 4 2 F = 1 5 2 E 0,657 F 4,26 Exercice 1. Développer et réduire : E = ( x 1) (2x + ) + ( x 1 ) 2 E = 2x 2 2x + x + x 2 2x + 1 E = x 2 x 2 2. Factoriser E. E = ( x 1) [ (2x + ) + ( x 1 )] E = ( x 1) (x + 2). Calculer E pour x = 2 E = ( ) 2 2 2 2 ou E = ( 2 1) ( 2 + 2) E = x 2 2 2 E = 6 2 + 2 2 2 E = 4 2 E = 4 2 4. Résoudre l équation ( x 1) ( x + 2 ) = 0 Un produit est nul si l un au moins des facteurs est nul. PAGE 2 SUR 8
( x 1) = 0 ou ( x + 2 ) = 0 x = 1 ou x = 2 x = 1 ou x = 2 L équation a deux solutions 1 et 2. Exercice 4 1. Le nombre zéro est-il solution de l inéquation : 5 2x x 4? Pourquoi? 5 2 x 0 = 5 0 4 = 4 5 > 4 donc zéro n est pas solution de l inéquation proposée. 2. Résoudre l inéquation : 5 2x x 4 5 + 4 x + 2x 9 x x 9 x Représenter l ensemble des solutions sur une droite graduée. x' 0 1 2 x PAGE SUR 8
Exercice 1 DEUXIEME PARTIE (12 points) Activités géométriques 1) Placer les points A(-1 ; 0) ; B(1 ; 2) ; C( ; 4) 2) (O,I,J) est un repère orthonormal donc : A (xb - xa)² + (yb - ya)² AB= (1 +1)² + (2-0)² A 8 A 2 2 ) AC = (xc - xa)² + (yc - ya)² AC = ( +1)² + (-4+ 0)² AC = 2 AC = 4 2 BC = (xc xb)² + (yc yb)² BC= ( 1)² + ( 4 2)² BC= 40 BC= 2 10 D une part AB² + AC² = 8 + 2 = 40 D autre part BC² = 40 D où AB² + AC² = BC² Le triangle ABC tel que AB² + AC² = BC² est donc rectangle en A, d après la réciproque du théorème de Pythagore. 4) M est le milieu de [BC] donc : x + x B C x = M 2 x = 1 + M 2 x = 2 M y + y B C y = M 2 y = 2 4 M 2 y = 1 M Les coordonnées de M sont ( 2 ; 1) PAGE 4 SUR 8
D où : 5) D est le symétrique de A par rapport à M donc M est le milieu de [DA] x + x D A x = M 2 x = 2x x D M A x = 2 2 + 1 D x D = 5 y + y D A Y = M 2 y = 2y y A M A y = 1 2 0 A y A = 2 Les coordonnées de D sont ( 5 ; 2) 6) Le quadrilatère ABDC a ses diagonales qui ont le même milieu M donc ABDC est un parallélogramme. Le triangle ABC est rectangle en B donc l angle CAB est un angle droit. Le parallélogramme ABCD possède un angle droit donc ABDC est un rectangle. Exercice 2 1) 2) AB² = 10,4² = 108,16 et AC² + BC² = 9,6² + 4² = 92,16 + 16 = 108,16 donc AC² + BC² = AB² AC² + BC² = AB² donc le triangle ABC est rectangle en C d'après la réciproque du théorème de Pythagore. ) Le triangle AED a un côté [AD] qui est aussi un diamètre du cercle circonscrit donc le triangle AED est rectangle en E. PAGE 5 SUR 8
Exercice 1) Déterminer la valeur arrondie au dixième de degré de l angle HBA [AH] est une hauteur du triangle ABC donc AHB et AHC sont rectangles en H AHB est rectangle en H donc sin ABH = AH A 5 8 d ou ABH» 8,7 au 1/10 è près. 2) Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur du segment [HB] AHB est rectangle en H donc d après le théorème de Pythagore AH² + HB² = AB² D où : H AB² AH² H 8² 5² H 9 HB 6,2 cm soit 62 mm (au mm près). ) Calculer la valeur arrondie au millimètre près de la longueur du segment [CH] AHC est rectangle en H donc tan ACH = AH CH = 5 CH 5 D ou CH = tan51 CH 4 soit 40mm (au mm près). 4) Aire ABC = (CH HB) AH 1 2 Aire ABC (4 + 6,2) 5 1 2 Aire ABC 25,5 soit Aire ABC» 26 cm² (au cm² près). PAGE 6 SUR 8
TROISIEME PARTIE Problème (12 points) 1. Étude de la position numéro 1 a.) Les points O, E, A sont alignés ainsi que les points O, F, C. (EF) et (AC) sont parallèles donc d'après le théorème de Thalès : OF OC = OE OA = EF AC D' où : OF 72 = 40 75 OF = 40 x 72 75 OF = 8,4 cm b) OD OC = 28 72 = 4 x 7 4 x 18 = 7 18 et OB OA = 5 75 = 5 x 7 5 x 15 = 7 15 Les fractions ont le même numérateur mais n ont pas le même dénominateur donc 7 18? 7 15 OD OC? OB donc les droites (DB) et (AC) ne sont pas parallèles car sinon la figure vérifierait le OA Théorème de Thalès 2. Étude de la position numéro 2 a) Le triangle OEG est rectangle en E donc d'après le théorème de Pythagore : OG² = EG² + EO² d'où OG² = 50² + 40² OG² = 4100 OG = 4100 OG = 10 41 OG» 64 cm b) Le triangle OEG est rectangle en E donc : tan EOG = EG EO = 50 40 = 5 = 1,25 d'où : EOG» 51 4 O [GD] donc GOD = 180 GOD = GOE + EOD d'où : EOD = 180 GOE EOD 180 51 EOD»129 PAGE 7 SUR 8
. Étude de la position numéro PAGE 8 SUR 8