1 Nouvelle-Calédonie, Novembre 005 Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v) Unité graphique cm Partie 1 1 Placer les points I, J, H, A, B, C, D d affixes respectives : z I = 1, z J = i, z H = 1 + i, z A =, z B = + i, z C = i et z D = 1. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F. Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe z F = 1 + 1 i. Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. Partie On considère la transformation f du plan, d écriture complexe : z' = i z + i. 1 Déterminer les images des points O, A, B par f. a) Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie? b) Déterminer l ensemble des points invariants par f. c) La transformation f est-elle une symétrie axiale? Soit t la translation de vecteur IJ. Donner l écriture complexe de t et celle de sa réciproque t 1. On pose s = f o t 1. a) Montrer que l écriture complexe de s est : z 0 = -i z + 1 + i. b) Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s. c) En déduire que f est la composée d une translation et d une symétrie axiale à préciser. Antilles-Guyane septembre 007 ABC est un triangle équilatéral tel que ( AB, AC) = π + k π, k Z Soit t un nombre réel fixe et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par : AM = t AB, BN = t BC et CP = t CA Le but de l exercice est de démontrer l'existence d une unique similitude directe u qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et d'en préciser les éléments caractéristiques. On munit le plan d un repère orthonormal (O, u, v) direct. On note a, b, c, m, n et p, les affixes respectives des points A, B, C, M, N et P. 1 On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. a) Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t. b) En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. On notera G ce centre de gravité. c) On suppose que u existe. Déterminer l image de G par u. On considère la rotation r de centre G et d'angle π. a) Vérifier que M est le barycentre du système de points {A(1 t) ; B(t)}, et en déduire que r (M) = N. On admet de même que r (N) = P et r (P) = M. b) Soit u 1, la similitude directe de centre G de rapport GM et d angle ( GA, GM). Montrer qu elle transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P. c) Conclure sur l'existence et l'unicité de u. Pondichéry avril 007 1 Dans cette question il est demandé au candidat d exposer des connaissances. GA On suppose connus les résultats suivants : - la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; - la transformation réciproque d une similitude plane est une similitude plane ; - une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l identité du plan. Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s deux similitudes du plan telles que : s(a) = s'(a), s(b)= s'(b) et s(c) = s'(c). Montrer que s = s'. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, u, v). La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d affixe, E d affixe 1 + i, F d affixe + i et G d affixe + i. a) Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. b) Montrer que OEF est l image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l'écriture complexe de S. c) Soit h l homothétie de centre O et de rapport 1. On pose A' = h(a) et G' = h(g), et on appelle I le milieu de [EA']. On note σ la symétrie orthogonale d axe (OI). Montrer que S = σ h..
La Réunion juin 007 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v), A, B, C, désignent les points d affixes respectives a =, b = i et c = i. 1 a) Ecrire b sous forme exponentielle. b) Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes). c) Déterminer une mesure en radians de l angle ( u ; AB) et de l angle ( u ; AC). Les points E et F ont pour affixes respectives e = + i et f = i. a) Démontrer que les points A, E et C, d une part, et les points A, F et B, d autre part, sont alignés. b) Démontrer que le quotient e c peut s écrire k i où k est un nombre réel à déterminer. Interpréter e b géométriquement ce résultat. On admet que, de façon analogue, f c peut s écrire k' i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de déterminer. c) Placer les points E et F sur la figure. f b On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est z 1 z Déterminer les images par S des trois points A, B et C. Soit H le point d intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure. 5 France juin 000 (1 p 1) Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que AE = AB. Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. Soit un point C, distinct de A, tel que ; ( AB, AC) = π. La droite parallèle à (BC) passant par E coupe la droite (AC) en F. On appelle I le milieu de [BC], J le milieu de [EF] et D le point d intersection des droites (EC) et (BF). On note h A l homothétie de centre A qui transforme B en E et h D l homothétie de centre D qui transforme E en C. 1 Déterminer h A (C) puis h D (F). En déduire la nature et les éléments caractéristiques de h D h A puis de h A h D. On appelle E' l image de E par h A et E" l image de E par h D Représenter E', puis construire E" en justifiant la construction. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h D h A h A h D. 5 Montrer que le quadrilatère BECE" est un parallélogramme. 6 On appelle ( ) l ensemble des points M tels que ( AB, AM) = π. est donc une demi-droite ouverte d origine A. Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit. Déterminer et construire le lieu géométrique " du point E"
1 Exercice 1 Nouvelle-Calédonie, Novembre 005 (5 points) Le plan est rapporté au repère orthonormal (O, u, v ) Unité graphique : cm. Partie 1 1 Placer les points I, J, H, A, B, C, D d affixes respectives : z I = 1, z J = i, z H = 1 + i, z A =, z B = + i, z C = i et z D = 1. Soit E le symétrique de B par rapport à H. La perpendiculaire à la droite (AE) passant par C et la parallèle à la droite (OC) passant par D se coupent en F. Placer E et F et vérifier que le point F a pour affixe z F = 1 + 1 i. z E z H = z H z B z E = z H z B = + i i = 1 + i. Affixe de CF : z F z C = 1 + i i = 1 i Affixe de AE ; z E z A = 1 + i = + i CF. AE = 1 + 1 = 0 donc (CF) (AE) Affixe de DF : 1 + i ( 1) = i Affixe de OC : i OC = DF donc (DF) // (OC). Montrer que les triangles OAB et OCF sont isométriques. OC = z C = et OA = z A = AB = z B z A = + i = 1 + i = 1 + 1 = 5 et OF = 1 + 1 = 5 9 OB = z B = + 1 = 1 et FC = z C z F = i + 1 i = 1 + 9 = 1 Partie On considère la transformation f du plan, d écriture complexe : z' = i z + i. 1 Déterminer les images des points O, A, B par f. z O ' = i 0 + i = i = z C z A ' = i + i = z O z B ' = i + i = + i a) Montrer que f est une similitude. Est-ce une isométrie? L'écriture complexe de f est celle d'une similitude indirecte. i = 1 donc c'est une isométrie. b) Déterminer l ensemble des points invariants par f. z' = z i z + i = z i (x i y) + i = x + i y y + i ( x) = x + i y y = x x = y y = x x = 1 donc ω = 1 + i = z H c) La transformation f est-elle une symétrie axiale? Il n'y a qu'un point invariant ce n'est donc pas une symétrie axiale. Soit t la translation de vecteur IJ. Donner l écriture complexe de t et celle de sa réciproque t 1. Affixe de IJ : z J z I = i 1 l'écriture complexe de f est donc : z' = z 1 + i/ On pose s = f o t 1. a) Montrer que l écriture complexe de s est : z' = i z + 1 + i. t 1 : z' = z + 1 i f : z' = i z + i s(m) = s (t 1 (M)) : z" = z' + 1 i = i z + i + 1 i = i z + 1 + i. b) Montrer que I et J sont invariants par s. En déduire la nature de s. z I ' = i 1 + 1 + i = 1 = z I et z J = i ( i) + 1 + i = 1 + 1 + i = i = z J c) En déduire que f est la composée d une translation et d une symétrie axiale à préciser. s a deux points fixes c'est donc la symétrie d'axe (IJ) s = f o t 1 donc s o t = f o t 1 o t = f f est la composée de la translation de vecteur JI avec la symétrie d'axe (IJ).
Antilles-Guyane septembre 007 ABC est un triangle équilatéral tel que ( AB, AC ) = π + k π, k Z Soit t un nombre réel fixe et soient les points M, N et P, deux à deux distincts, définis par : AM = t AB, BN = t BC et CP = t CA Le but de l exercice est de démontrer l'existence d une unique similitude directe u qui transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P, et d'en préciser les éléments caractéristiques. On munit le plan d un repère orthonormal (O, u, v ) direct. On note a, b, c, m, n et p, les affixes respectives des points A, B, C, M, N et P. 1 On rappelle que toute similitude conserve le barycentre. a) Exprimer m, n et p en fonction de a, b, c et t. AM = t AB m a = t (b a) m = a + t (b a) CP = t CA p c = t (a c) p = c + t (a c) BN = t BC n b = t (c b) n = b + t (c b) b) En déduire que les deux triangles ABC et MNP ont même centre de gravité. On notera G ce centre de gravité. m + n + p = a + b + c + t (b a + c b + a c) = a + b + c donc m + n + p = a + b + c c) On suppose que u existe. Déterminer l image de G par u. u(g) est le centre de gravité du triangle u(a) u(b) et u(c) c'est donc le point G. On considère la rotation r de centre G et d'angle π. a) Vérifier que M est le barycentre du système de points {A(1 t) ; B(t)}, et en déduire que r (M) = N. On admet de même que r (N) = P et r (P) = M. AM = t AB donc AM t AM t BM = 0 donc (1 t) AM + t BM = 0 donc M est le barycentre du système de points {A(1 t) ; B(t)}, a (1 t) + t b Variante : m = a + t (b a) = a (1 t) + t b = 1 t + t r(m) est donc le barycentre de {(r(a), 1 t), (r(b), t)} c'est à dire le barycentre de {(B, 1 t), (C, t)} car r(a) = B et rb) = C. Le barycentre de {(B, 1 t), (C, t)} a pour affixe : On a donc bien r(m) = N b) Soit u 1, la similitude directe de centre G de rapport GM GA (1 t) b + t c 1 t + t = z G. = t c + (1 t) b = b + t (c b) = n. et d angle ( GA, GM). Montrer qu elle transforme les points A, B et C en respectivement M, N et P. On note A' = u 1 (A) on doit avoir GA' GA = GM et ( GA, GA') = ( GA, GM) donc A' = M. GA r(a) = B, r(g) = G et r(m) = N donc GM GA = GN et ( GA, GM) = ( GB, GN) donc u GB 1 (B) = N r(b) = C, r(g) = G et r(n) = P donc GN GB = GP GC = GM et ( GB, GN) = ( GC, GP) = ( GA, GM) donc u GA 1 (C) = P c) Conclure sur l'existence et l'unicité de u. On a vu que u 1 était solution du problème. On sait qu'il existe une similitude directe unique qui transforme deux points distincts en deux points distincts donc u 1 est l'unique solution du problème 1 Dans cette question il est demandé au candidat d exposer des connaissances. On suppose connus les résultats suivants : la composée de deux similitudes planes est une similitude plane ; la transformation réciproque d une similitude plane est une similitude plane ; une similitude plane qui laisse invariants trois points non alignés du plan est l identité du plan. Soient A, B et C trois points non alignés du plan et s et s deux similitudes du plan telles que s(a)= s'(a), s(b)=s'(b) et s(c)=s'(c). Montrer que s=s'. s est une bijection du plan dans lui-même et s 1, sa transformation réciproque est aussi une similitude. s 1 s'(a) = s 1 (s'(a)) = s 1 (s(a)) = A, s 1 s'(b) = s 1 (s'(b)) = s 1 (s(b)) = A et s 1 s'(c) = s 1 (s'(c)) = s 1 (s(c)) = C La similitude s 1 s' admet trois points fixes non alignés c'est donc l'identité. s 1 s' = Id donc s (s 1 s') = s Id alors (s s 1 ) s' = s alors s' = s. Variante : On note A' = s(a) = s'(a), B' = s(b)= s'(b) et C' = s(c) = s'(c). s et s' ont le même rapport k = A'B' AB Soit M un points du plan on va démontrer que s(m) = s'(m) On note M 1 = s(m) et M = s(m). A'M 1 = k AM et A'M = k AM on a donc A'M 1 = A'M. De même B'M 1 = B'M et C'M 1 = C'M. Les points A', B' et C' sont donc équidistants de M 1 et M. Si M 1 M alors les points A', B' et C' sont alignés alors les points s 1 (A'), s 1 (B') et s 1 (C') sont aussi alignés (s 1 est une similitude) alors A, B et C sont alignés ce qui est contraire à l'hypothèse. On a donc bien M 1 = M. Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O, u, v ). La figure sera complétée au fur et à mesure. On donne les points A d affixe, E d affixe 1 + i, F d affixe + i et G d affixe + i. a) Calculer les longueurs des côtés des triangles OAG et OEF. En déduire que ces triangles sont semblables. OA = =, OG = + i = 9 + 1 = 10 et AG = z G z A = + i = 1 + i = OE = 1 + i =, OF = + i = 5 et EF = z F z E = + i 1 i = 1. OA OE = EG OF = AG EF =. Les côtés des deux triangles ont leurs longueurs proportionnelles donc lews triangles sont semblables.
b) Montrer que OEF est l image de OAG par une similitude indirecte S, en déterminant l'écriture complexe de S. S est une similitude indirecte son écriture complexe est donc de la forme z' = a z + b. S(G) = F a ( i) = + i S(A) = E a + b = 1 + i S(O) = O a 0 + b = 0 b = 0 a = 1 + i a = + i i l'écriture complexe de S est donc z' = 1 + i z. 1 + i a = b = 0 c) Soit h l homothétie de centre O et de rapport 1. On pose A' = h(a) et G' = h(g), et on appelle I le milieu de [EA]. On note σ la symétrie orthogonale d axe (OI). Montrer que S = σ h. h(o) = O et σ(o) = O donc σ h (O) = O = S (O). Ecriture complexe de h : z 0 = 1 (z 0) c'est à dire z = z. z A ' = = et z I = z E + z A' = 1 + i + On va démontrer que σ h (A) = E et σ h (G) = F. σ(a') = E. Le milieu de [EA'] appartient à l'axe de la symétrie σ. EA' a pour affixe z A ' z E = 1 i et OI a pour affixe z I z O = 1 + + i EA' OI = ( 1) 1 + 1 1 = + 1 1 = 0 donc (OI) (EA') On a donc bien A' et E symétrique par rapport à (OI) et σ h (A) = σ(a') = E σ(g') = F. z G ' = + i = + i et z F = + i. le milieu J de [FG'] a pour affixe z J = 1 + + + i = + + i ( + ) OJ + 1, + 1 et OI 1 +, 1 + 1 1 + 1 1 + = 8 + 1 8 8 1 = 0 donc les vecteurs OJ et OI sont colinéaires donc J (OI) Affixe de FG' : z G ' z F = + i i donc FG', 1 et OI 1 +, 1 FG' OI ^= 1 + + 1 1 = + 6 1 + 1 = 0 donc (FG') (OI) donc F et G' sont symétriques par rapport à (OI) donc σ h (G) = σ(g') = F On a donc σ h (O) = S(O), σ h (A) = S(A) et σ h (G) = S(G) O, A et G ne sont pas alignés donc σ h = S. Variante Ecriture complexe de h : z 0 = 1 (z 0) c'est à dire z = z. Ecriture complexe de σ : z' = a z + b avec a = 1. z I = 1 + i + et donc σ(o) = O 0 = 0 a + b σ(i) =I 1 + i + (1 + i + ) (1 + i + ) = 1 i + (1 + ) = + 1 Ecriture complexe de σ : z' = 1 (1 + i) z. 1 + i + = a 1 + i + + i ( + ) + b = 0 = 0 b + b a = 1 + i + a = 1 + i 1 i + = + + (1 + i) = 1 (1 + i) Ecriture complexe de h σ : M M 1 M z 1 = 1 z et z = i z 1 = 1 1 + i 1 + i z = z. On retrouve bien l'écriture complexe de S
La Réunion juin 007 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, u, v ), A, B, C, désignent les points d affixes respectives a =, b = i et c = i. 1 a) Ecrire b sous forme exponentielle. b = + 9 = donc b = i = 1 i = e i π/ b) Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes). c) Déterminer une mesure en radians de l angle ( u ; AB ) et de l angle ( u ; AC). z B z A = i + = i = 6 i et ( u, AB) = arg(z B z A ) = π 6 z C z A = i + = + i et ( u, AC) = arg (z C z A ) = π 6 Les points E et F ont pour affixes respectives e = + i et f = i. a) Démontrer que les points A, E et C, d une part, et les points A, F et B, d autre part, sont alignés. z B z A = 6 i et z F z A = i + = i = i donc AF = AB z C z A = + i et z E z A = + i + = + i = + i donc AC = AE b) Démontrer que le quotient e c peut s écrire k i où k est un nombre réel à déterminer. Interpréter géométriquement ce e b résultat. On admet que, de façon analogue, f c peut s écrire k' i où k' est un nombre réel non nul que l'on ne demande pas de f b déterminer. + i i i e c e b = + = i + i + 9 i = 1 1 = ( + i + i ) = 1 6 i = 9 i donc k = 9. Donc (EC) (EB) donc E est sur le cercle de diamètre [BC] De même F est aussi sur ce cercle. c) Placer les points E et F sur la figure. i + 9 = + i i 1 = 1 ( + i) ( + i) + 9 On désigne par S la similitude indirecte dont l'écriture complexe est z 1 z Déterminer les images par S des trois points A, B et C. z A ' = 1 ( ) = = z A z B ' = 1 ( + i) = + i = e et z C = 1 ( i) = i = f Soit H le point d intersection des droites (BE) et (CF). Placer le point S(H) sur la figure.
5 France juin 000 Dans le plan orienté, on considère deux points A et B et le point E tel que AE = AB. Pour la figure, on prendra comme unité de longueur le centimètre et AB = 16. Cette figure sera complétée au fur et à mesure. Soit un point C, distinct de A, tel que ; ( AB, AC) = π.la droite parallèle à (BC) passant par E coupe la droite (AC) en F. On appelle I le milieu de [BC], J le milieu de [EF] et D le point d intersection des droites (EC) et (BF). On note h A l homothétie de centre A qui transforme B en E et h D l homothétie de centre D qui transforme E en C. 1 Déterminer h A (C) puis h D (F). h A (B) = E donc h A (C) est sur la parallèle à (BC) passant par E donc sur la droite (EF) h A (C) (EF) (AC) donc h A (C) = F. h D (E) = C donc h D (F) est sur la parallèle à (EF) passant par C c'est à dire sur la droite (BC). h D (F) (BC) (DF) donc h D (F) = B. En déduire la nature et les éléments caractéristiques de h D h A puis de h A h D. La composée de deux homothéties est une similitude directe/ h A est une similitude de rapport AE AB = et d'angle ( AB, AE) = 0 h D est une homothétie de rapport DC DE = DB DF = BC EF = AB AE = et d'angle ( DE, DC) = π h D h A est une similitude directe de rapport = 1 d'angle 0 + π.c'est donc une symétrie centrale (rotation et homothétie ). h A (B) = E et h A (C) = E donc l'image par h A du milieu de [BC] est le milieu de [EF] donc h A (I) = J h D (E) = C et h A (F) = B donc l'image par h D du milieu de [EF] est le milieu de [BC] donc h D (J) = I h D h A : I J I donc h D h A est la symétrie de centre I. De même h D h A est une similitude de rapport 1 d'angle π h D h A : J I J donc h A h D est la symétrie de centre J. On appelle E' l image de E par h A et E" l image de E par h D Représenter E', puis construire E" en justifiant la construction. E' est sur la parallèle à (EC) passant par h A (C) = F et sur la droite (AE) E" est sur la parallèle à (E'F) passant par h D (F) = B et sur la droite (DE') Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de h D h A h A h D. h D h A h A h D = (h D h A ) (h A h D ) c'est donc la composée de deux symétries centrales. C'est une similitude directe de rapport 1 1 = 1 d'angle π + π = 0 c'est donc une translation. F B E E' E" donc h D h A h A h D est la translation de vecteur FE" = JI Variante : M un point du plan on note M' = s I (M) et M" = s J (M') IM' = MI et JM" = M'J donc MM" = MI + IJ + JM" = IM' + M'J + IJ = IJ 5 Montrer que le quadrilatère BECE" est un parallélogramme. E" = h D h A (E) = s I (E) et C = s I (B) donc I est centre de symétrie de BECE" donc BECE" est un parallélogramme. 6 On appelle ( ) l ensemble des points M tels que ( AB, AM) = π. ( ) est donc une demi-droite ouverte d origine A. Pour la suite, les points A, B, E sont fixes et le point C décrit ( ). Déterminer et construire le lieu géométrique ( ") du point E". BECE" est un parallélogramme donc E" est l'image de C par la translation t de vecteur EB donc ( ') est l'image de ( ) par cette translation c'est à dire la parallèle à ( ) passant par t(a).