Puissance d un point - Corrigé

Puissance d un point - Corrigé Christian CYRILLE 23 mars 2017 1 Puissance d un point par rapport à un cercle - Axe radical de deux cercles - Position relative de deux cercles 1.1 Puissance d un point par rapport à un cercle 1.1.1 Soit Γ un cercle de centre O et de rayon r. Soit un point M du plan. Une droite passant par M coupe Γ en deux points A et B. On note A le point diamétralement opposé à A sur Γ. 1. (Γ) a pour diamètre [AA ] donc le triangle ABA est rectangle en B donc le projeté orthogonal de A dur (MA) est B. Par conséquent MA. MA = MA MB De plus, MA. MA = ( MO + OA).( MO + OA ) = MO. MO + MO. OA + OA. MO + OA. OA = MO 2 + MO.( OA + OA) + OA. OA = MO 2 + MO. 0 + OA.( OA) = OM 2 OA 2 car OA = OA car milieu de [AA ]. OA + OA = 0 puisque O est le Donc MA. MA = OM 2 r 2 Par conséquent MA. MA = MA MB = OM 2 r 2. 1

Le nombre OM 2 r 2 s appellera la puissance du point M par rapport au cercle Γ et se note P Γ (M). On est en présence de 3 cas : (a) ou bien M extérieur du cercle donc OM > r donc OM 2 > r 2 donc OM 2 r 2 > 0 donc P Γ (M) > 0 (b) ou bien M cercle donc OM = r donc OM 2 = r 2 donc OM 2 r 2 = 0 donc P Γ (M) = 0 (c) ou bien M intérieur du cercle donc OM < r donc OM 2 < r 2 donc OM 2 r 2 < 0 donc P Γ (M) < 0 2

2. Une droite passant par M est tangente au cercle Γ en T donc le triangle OMT est rectangle en T. Par conséquent, d après le théorème de Pythagore, l on a : OT 2 + MT 2 = OM 2 donc OM 2 OT 2 = MT 2 donc P Γ (M) = MT 2. 3. On considère C et D deux points de Γ tels que les droites (CD) et (AB) soient sécantes en M. Comme (MAB) est une droite coupant Γ en A et en B alors P Γ (M) = MA MB = OM 2 r 2 Comme (MCD) est une droite coupant Γ en C et en D alors P Γ (M) = MC MD = OM 2 r 2 donc MA MB = MC MD 1.1.2 CNS de cocyclicité Soient (AB) et (CD) deux droites sécantes en M. = : si A, B, C et D sont cocycliques donc situés sur un cercle Γ alors (MAB) est une droite coupant Γ en A et en B et (MCD) est une droite coupant Γ en C et en D par conséquent, P Γ (M) = MA MB = MC MD 3

1.1.3 = : Réciproquement supposons que MA MB = MC MD. Comme A, B et C ne sont pas alignés alors soit Γ le cercle circonscrit à ABC. ou bien (MC) n est pas tangente à Γ en C donc la droite (MC) recoupe (Γ) en D donc P Γ (M) = MC MD. or MA MB = MC MD. Donc MD = MD donc D = D donc D (Γ) donc A, B, C et D sont cocycliques. ou bien (MC) est tangente à Γ en C donc P Γ (M) = MC 2 MC. or MA MB = MC MD. Donc MC = MD donc D = C donc D (Γ) donc A, B, C et D sont cocycliques. On a donc démontré l équivalence logique suivante : A, B, C et D sont cocycliques MA MB = MC MD Soient A, B et T trois points non alignés. Soit un point M de (AB) distinct de A et de B. = : Si (MT ) est tangente en T au cercle circonscrit au triangle ABT alors P Γ (M) = MA MB = MT 2. CQFD. =: Réciproquement, supposons que MA MB = MT 2. Comme A, B et T sont trois points non alignés, soit Γ le cercle circonscrit à ABT. Supposons que la droite (MT ) recoupe Γ en E alors P Γ (M) = MA MB = MT ME. Mais MA MB = MT 2 = MT MT donc MT MT = MT ME. d où MT = ME donc T = E car T, M et E sont alignés. Par conséquent, la droite (MT ) n a qu un seul point de contact avec Γ qui est T donc (MT ) est tangente en T au cercle circonscrit au triangle ABT donc on a démontré l équivalence logique suivante : (MT ) est tangente en T au cercle circonscrit au triangle ABT MA MB = MT 2. 1.1.4 Applications Exercice 1 : Soit un triangle ABC rectangle en A tel que H est le pied de la hauteur issue de A. Le cercle de diamètre [AH] recoupe (AB) et (AC) respectivement en M et N. 4

1. Pour démontrer que les points B, M, N et C sont cocycliques, il suffira de prouver que AM AB = AN AC (a) Le triangle AM H étant inscrit dans le le demi-cercle de diamètre [AH] donc est rectangle en M alors (HM) (AB) donc AH. AB = AM AB (b) Le triangle ANH étant inscrit dans le le demi-cercle de diamètre [AH] donc est rectangle en N alors (HN) (AC) donc AH. AC = AN AC (c) Or AH. AC = AH.( AB + BC) = AH. AB + AH. BC = AH. AB car AH. BC = 0 puisque (AH) (BC). (d) donc AM AB = AN AC donc B, M, N et C sont cocycliques. 2. Le cercle de centre A et de rayon [AH] coupe le cercle Γ passant par B, M, N et C en T et T. Pour démontrer que (AT ) et (AT ) sont tangentes au cercle Γ, il suffira de démontrer que AT 2 = AM AB et que AT 2 = AM AB. (a) AT 2 = AH 2 car T et H appartiennent au cercle de centre A et de rayon AH. (b) AM AB = AH. AB = AH.( AH + HB) = AH. AH + AH. HB = AH 2 car AH. HB = 0 puisque (AH) (HB) (c) Or AT = AT (d) Par conséquent, l on a AT 2 = AT 2 = AM AB donc (AT ) et (AT ) sont tangentes au cercle Γ. 5

Exercice 2 : Enoncé 1 Soit H l orthocentre d un triangle ABC.Soit A le pied de la hauteur issue de A. 1. (a) Soit le repère orthonormé direct (A ; i ; j ) avec 1 i = A B A B et 1 j = A A ) A A (b) Dans ce repère, ( ) BA BH a pour coordonnées A H (c) Dans ce repère, ( ) A C AC a pour coordonnées AA (d) donc BH. AC = A B A C + A H A A (e) Mais BH. AC = 0 car (BH) (AC) donc A B A C = A H A A 2. (a) Soit H le symétrique de H par rapport à (BC). Or A est le milieu de [HH ] donc A H = AH. (b) Comme A B A C = A H A A (c) Alors A B A C = A H A A (d) donc A, B, C et H sont cocycliques. Par conséquent, le symétrique H de H par rapport à (BC) appartient au cercle circonscrit au triangle ABC 6

Enoncé 2 Soit ABC un triangle et Γ son cercle circonscrit. La hauteur issue de A rencontre (BC) en P et Γ en A 1 et l on désigne par H le symétrique de A 1 par rapport à P 1. BH. AC = ( BP + P H). AC = BP. AC + P H. AC = BP.( AP + P C) + P H.( AP + P C) = BP. AP + BP. P C + P H. AP + P H. P C = BP. P C + P H. AP car BP. AP = 0 et P H. P C = 0 puisque (BP ) et (AP ) sont perpendiculaires ainsi que (HP ) et (P C). 2. La puissance du point P par rapport au cercle Γ est : P Γ (P ) = P B. P C = P A1. P A donc BH. AC = BP. P C + P H. AP = P B. P C P A1. AP car P milieu de [A 1 H]. Donc BH. AC = P A 1. P A P A 1. AP = P A 1. P A + P A 1. P A = 0. Par conséquent, BH. AC = 0 donc (BH) est perpendiculaire à (AC) d où (BH) est la hauteur au triangle ABC issue de A 3. 0 = BH. AC = ( BC + CH).( AB + BC) = BC. AB + BC. BC + CH. AB + CH. BC Donc CH. AB = BC. AB + BC.( AB + CH) = BC. AB + BC. BH = BC.( AB + BH) = BC. AH = 0 car (BC) et (AH) sont perpendiculaires. Par conséquent, CH. AB = 0 donc les droites (AB) et CH) sont perpendiculaires. 4. (AH), (BH) et (CH) sont donc les trois hauteurs du triangle ABC concourantes en H qui devient donc l orthocentre du triangle ABC. 5. On retrouve ainsi que le symétrique de l orthocentre par rapport à un côté est sur le cercle circonscrit. 7

Exercice 3 : médiane de l un, hauteur de l autre - Correction de Karine Julius 1. I est le milieu de [AC] donc CI = IA. Par conséquent, en utilisant la Relation de Chasles, CM + MI = IM + MA donc CM + MI IM = MA d où MA + CM = 2 MI 2. Or P C (M) = MA. MB = MC. MD. Alors MA. MB MC. MD = 0 d où MA.( MD + DB) MC. MD = 0 donc MA. MD + MA. DB MC. MD = 0 Or MA. MD = 0 car (MA) et (MB) sont perpendiculaires en M. Par conséquent, MA. DB MC. MD = 0 On obtient donc MA. DB + MC. DM = 0 3. En utilisant à nouveau la relation de Chasles, on a donc MA. DB + MC.( DB + BM) = 0 donc MA. DB + MC. DB + MC. BM) = 0 Or MC. BM = 0 car (MC) et (MB) sont perpendiculaires en M. On a donc MA. DB + MC. DB = 0d où ( MA + MC. DB = 0. Par conséquent, 2 MI. DB = 0 d où MI. DB = 0. 4. On en déduit que les droites (MI) et (BD) sont perpendiculaires. CQFD. 8

1.2 Axe radical de deux cercles 1.2.1 Soient Γ et Γ deux cercles respectifs de centres respectifs O et O distincts et de rayons respectifs r et r. 1. 2ème formule de la médiane : Soit un triangle MOO Soit H le pied de la hauteur issue de M 1.2.2 et I le milieu de [OO ] alors MO 2 MO 2 = 2IH OO. En effet, MO 2 MO 2 = MO 2 MO 2 = ( MI + IO) 2 ( MI + IO ) 2 = MI 2 + IO 2 + 2 MI. IO MI 2 IO 2 2 MI. IO = 2 MI.( IO IO ) = 2 MI. O O = 2 IM. OO = 2IH OO. 2. M (D) P Γ (M) = P Γ (M) OM 2 r 2 = O M 2 r 2 OM 2 O M 2 = r 2 r 2 2IH OO = r 2 r 2 IH = r2 r 2 2OO Par conséquent (D) est une droite orthogonale en H à (OO ). Cette droite s appelle l axe radical de Γ et de Γ. Tracer l axe radical de dans les cas suivants : 1. Si r = 4, r = 2 et OO = 3 alors IH = r2 r 2 2OO = 2 9

2. r = 2, r = 1 et OO = 5 alors IH = r2 r 2 2OO = 3 10 1.3 Etude de l intersection de deux cercles Les notations sont celles du 1.2 De plus, on note D l axe radical de Γ et Γ, H le point d intersection de D avec (OO ) et on suppose que r r. 1. (a) Si M Γ D alors OM = r et P Γ (M) = P Γ (M) donc P Γ (M) = 0 et P Γ (M) = P Γ (M) donc P Γ (M) = P Γ (M) = 0 donc M Γ Γ (b) M Γ Γ donc P Γ (M) = 0 et P Γ (M) = 0 donc P Γ (M) = 0 et P Γ (M) = P Γ (M) donc M Γ D (c) Donc Γ D = Γ Γ 2. On pose d = OO. Alors OH = OI + IH = d 2 + r2 r 2 = d 2OO 2 + r2 r 2 = d2 + r 2 r 2 2d 2d donc OH r = d2 + r 2 r 2 r = d2 + r 2 r 2 2rd 2d 2d (d r) 2 r 2 = (d r + r )(d r r ) 2d 2d 3. Etudier le signe OH r en fonction de d. = d2 + r 2 2rd r 2 2d = d 0 r r r + r + d r + r 0 + + d r r 0 + (d r r )(d r + r ) + 0 0 + OH r + 0 0 + 4. On en déduit que : si d < r r ou d > r + r alors OH r > 0 donc Γ Γ =. Γ et Γ sont disjoints. si d = r r ou d = r + r alors OH r = 0 donc Γ Γ = {H}. Γ et Γ sont tangents en H. si r r < d < r + r alors OH r < 0 donc Γ et Γ ont deux points communs. Γ et Γ sont sécants. De plus, si ces points sont notés A et B alors D = (AB) 10

5. On suppose que Γ et Γ sont sécants en A et B. On considère une droite tangente à Γ en J et tangente à Γ en K et coupant (AB) en L. (a) Comme (LJ) est tangente à Γ en J alors P Γ (L) = LJ 2 (b) Comme (LK) est tangente à Γ en K alors P Γ (L) = LK 2 (c) Comme Γ et Γ sont sécants en A et B alors l axe radical de Γ et Γ est (AB). Mais L cet axe radical donc P Γ (L) = P Γ (L) donc LJ 2 = LK 2. Par conséquent LJ = LK. Or L est aligné avec J et K donc L est le milieu de [JK]. 1.4 Centre radical Les notations sont celles des questions précédentes et on considère de plus un cercle Γ de centre O et de rayon r. On suppose que O, O et O ne sont pas alignés. 1. Comme O, O et O ne sont pas alignés alors les droites (O O) et (O O ) sont sécantes en O donc deux perpendiculaires respectives à (O O) et (O O ) sont donc concourantes. 2. Or les axes radicaux D de Γ et Γ et D de Γ et Γ sont perpendiculaires respectivement à (O O) et (O O ) 3. donc D et D sont concourantes en un point ω. 4. De même, si l on appelle D l axe radical de de Γ et Γ, D et D sont concourantes en un point ω. 5. Comme ω D alors P Γ (ω) = 0 et P Γ (ω) = 0 6. Comme ω D alors P Γ (ω) = 0 et P Γ (ω) = 0 7. Donc P Γ (ω) = P Γ (ω) = 0 donc ω D. 8. Par conséquent, ω = ω On a donc démontré que D l axe radical de Γ et Γ, D l axe radical de Γ et Γ et D l axe radical de Γ et Γ sont concourants en ω. Le point de concours ω est appelé le centre radical de Γ, Γ et Γ. 1.5 Axe radical de deux cercles disjoints Lorsque deux cercles Γ et Γ sont disjoints, on crée un troisième cercle Γ sécant à Γ et Γ. On construit D l axe radical de de Γ et Γ ainsi que D l axe radical de Γ et Γ. D et D se coupent en ω le centre radical des trois cercles. Alors l axe radical D de Γ et Γ est la droite perpendiculaire à (OO ) passant par ω. 11

1.6 Cercles orthogonaux 1.6.1 définition Deux cercles sont orthogonaux lorsqu ils sont sécants et qu en plus les tangentes aux deux points communs sont perpendiculaires(en fait, pour des raisons de symétrie, la perpendicularité en un seul point commun suffit) 1.6.2 CNS d orthogonalité de deux cercles Il est évident que : Les cercles C(O, R) et C(O, R ) sont orthogonaux d 2 = OO 2 = R 2 + R 2 P C (O ) = d 2 R 2 = R 2 et P C (O) = d 2 R 2 = R 2 la puissance du centre de l un par rapport à l autre est égale au carré du rayon du premier 12