BREVET : METROPOLE - 2010 ACTIVITES NUMERIQUES ( 12 points ) Exercice 1 : a) Nombre obtenu en choisissant comme nombre de départ 2 : Multiplier ce nombre par (- 2) : 2 ( 2) 4 Ajouter 5 au produit : - 4 + 5 = 1 Multiplier le résultat par 5 : 1 5 5 Nombre obtenu en choisissant comme nombre de départ 3 : Multiplier ce nombre par (- 2) : 3 ( 2) 6 Ajouter 5 au produit : - 6 + 5 = - 1 Multiplier le résultat par 5 : -1 5 5 Le nombre obtenu est bien 5. Le nombre obtenu est - 5. b)nombre de départ pour obtenir 0? Si x est le nombre de départ, Multiplier ce nombre par (- 2) : x ( 2) ( 2) x - 2 x Ajouter 5 au produit : - 2 x + 5 Multiplier le résultat par 5 : ( - 2 x + 5 ) 5 = - 10 x + 25 Nous désirons que ce résultat soit égal à 0, donc nous devons résoudre l équation suivante : - 10 x + 25 = 0-10 x = - 25-25 25 5 5 5 x = ( 2,5) -10 10 5 2 2 Pour un nombre de départ égal à 2,5, le nombre obtenu est 0 Remarque : Nous pouvions également arriver à ce résultat avec une méthode moins rigoureuse, plus proche du «bricolage». Il suffit de reprendre le programme de calcul à l envers en changeant les opérations ( multiplication en division, addition en soustraction, ) : Divisons le résultat par 5 : 0 0 5 Retranchons 5 à ce résultat : 0 5 = - 5 Divisons ce nouveau résultat par 2. Nous obtenons : -5 5-2 2 ( 2,5) c) L expression donnée permet-elle d obtenir le résultat du programme de calcul? ( x 5 )² - x² = ( x² - 10x + 25 ) x² = x² - 10x + 25 x² = - 10 x + 25
Nous retrouvons la formule déterminée ci-dessus. Remarque : Si nous n avions pas présenté la question b comme indiquée, nous pouvons continuer et écrire : - 10 x + 25 = 5( - 2 x + 5 ) Cette expression correspond à un programme de calcul qui peut s énoncer : On choisit un nombre x : x On multiplie ce nombre par 2 : - 2 x On ajoute 5 à ce résultat : - 2 x + 5 On multiplie le nouveau résultat par 5 : 5( - 2 x + 5 ) Ce programme est le programme donné! L expression donnée permet d obtenir le résultat du programme de calcul. Exercice 2 : a)volume de glace obtenu à partir de 6 litres de liquide : Par lecture graphique, nous obtenons : 6, 5 litres Volume de liquide nécessaire pour obtenir 10 litres de glace :
Par lecture graphique, nous obtenons ( environ ): 9,2 litres ( ou 9,3 litres ) b) Le volume de glace est-il proportionnel au volume d eau liquide? La représentation graphique de cette fonction qui à un volume d eau liquide associe un volume de glace est une droite passant par l origine. Cette fonction est donc associée à une situation de proportionnalité. Le volume de glace est proportionnel au volume d eau liquide c) Pourcentage d augmentation du volume lorsque le liquide gèle : L augmentation de volume est de : 10,8 10 = 0,8 ( L ) Le pourcentage d augmentation est donc égal à : 0,8 100 0,08 100 8 10 Le pourcentage d augmentation est de 8 %. ACTIVITES GEOMETRIQUES ( 12 points ) Exercice 1 1) Figure : (Figure laissée au soin du lecteur ) 2) Calcul de JK : AB 9 BC 9 AI = IJ = JB = = = 3 et BK = KL = LC = = = 3 3 3 3 3 Le triangle JBK es tun triangle rectangle en B ( ABCD est un carré ) Dans le triangle JBK rectangle en B, nous avons, d après le thèorème de Pythagore : JK² = JB² = BK² JK² = 3² + 3² = 9 + 9 = 18 JK = 18 9 2 9 2 3 2 3 2 JK = 3 2 b) IJKLMNOP octogone régulier? IJ = 3 et JK = 3 2 ( 3 ) Les côtés de cette octogone n ont pas même mesure, donc IJKLMNOP n est pas un octogone régulier. c)aire de l octogone IJKLMNOP : L aire de cet octogone est égale à l aire du carré ABCD diminuée des aires ( identiques ) des triangles rectangles AIP, JBK, LCM et NDO. Aire du carré : 9² = 81 ( cm² ) Aire des triangles rectangles AIP, JBK, LCM et NDO : 3 3 9 4,5 ( cm² ) 2 2 Aire de l octogone : 81 4 4,5 = 81 18 = 63 ( cm² ) L aire de l octogone est égale à 63 cm². 3) a) Tracé du cercle :
b) Comparaison de l aire de l octogone et l aire du disque de diamètre 9 cm : Aire du disque de diamètre 9 cm : 9 Le rayon de ce disque est donc égal à soit 4,5 cm 2 L aire est égale à : 2 π 4,5 π 20,25 63,6 ( cm²) L aire de l octogone étant égale à 63 cm², nous pouvons affirmer que : l aire du disque de centre S et de diamètre 9 cm a une aire supérieure à l aire de l octogone. Exercice 2 : 1) Tracé du triangle ABC : ( laissé au soin du lecteur ) 2) Nature du triangle ABC : BC² = 5,2² = 27,04 AB² + AC² = 2² + 4,8² = 4 + 23,04 = 27,04 Donc BC² = AB² + AC² Donc, d après la réciproque du théorème de Pythagore, le tri angle ABC est rectangle en A. 3) Patron de la pyramide SABC : Le problème est le tracé de la quatrième face ( troisième face latérale ). Le dessin suivant est supposé fait :
Au compas, il suffit de reporter cette longueur. Au compas, il suffit de reporter cette longueur. 4) Volume de la pyramide SABC : Aire de la base : La base de la pyramide SABC est le triangle ABC rectangle en A. Son aire est donc égale à : 2 4,8 4,8 ( cm² ) 2 Le volume de la pyramide est : 4,8 3 V = 4,8 ( cm 3 ) V = 4,8 cm 3 3 PROBLEME ( 12 points ) PARTIE 1 : Peinture des murs et du plafond 1 a) Aire du plafond : Le plafond est un rectangle dont les dimensions sont : 6,40 m et 5,20 m. Son aire est : 6,40 5,20 = 33,28 ( m² ) b) Quantité de peinture nécessaire pour le plafond : D après l étiquette figurant sur le pot de peinture, 1 litre est nécessaire pour 4 m² : 33,28 = 8,32 ( L ) 4 2) a) Aire des murs : Aire totale des murs ( sans compter les fenêtres et la porte ) 2 6,40 2,80 + 2 5,20 2,80 = 35,84 + 29,12 = 64,96 ( m² ) Aire de la porte ( 2 m sur 0,80 m ):
2 0,80 = 1,60 ( m² ) Aire d une baie vitrée : 2 1, 60 = 3,20 ( m² ) Aire de la surface de mur à peindre : 64,96 ( 1,60 + 3 3,20 ) = 64,96 ( 1,60 + 9,60 ) = 64,96 11,20 = 53,76 ( m² ) L aire de la surface de mur à peindre est d environ 54 m². b) Quantité de peinture nécessaire pour peindre les murs : 54 53,76 13,5 ( L ) ou plus précisément 13,44 ( L ) 4 4 3) Nombre de pots de peinture : Nous devons disposer pour peindre murs et plafond de : 8,32 + 13,5 = 21,82 ( L ) Un pot de peinture contenant 5 litres de peinture, le nombre de pots nécessaires est : 21,82 4,364 soit 5 pots de peinture. 5 1) PGCD de 640 et 520 : Utilisons l algorithme d Euclide Premier nombre PARTIE 2 : Pose d un dallage sur le sol Deuxième nombre Reste dans la division euclidienne 640 520 120 640 = 520 1 + 120 520 120 40 520 = 120 4 + 40 120 40 0 120 = 40 3 Le PGCD de 640 et 520 est 40 PGCD ( 640, 520 ) = 40 2) a) Dimensions possibles pour les dalles : La mesure ( en cm ) du côté des dalles ( carrées ) doit ( pose sans découpe ) diviser les deux dimensions de la pièce ( 640 et 520 ). Tous les diviseurs communs des deux nombres 640 et 520 sont les diviseurs du PGCD de ces deux nombres, c'est-à-dire des diviseurs de 40. Parmi les nombres 20, 30, 35, 40 et 45, seuls 20 et 40 sont des diviseurs de 40. Dimensions possibles pour les dalles : 20 cm et 40 cm. b) Nombre de dalles nécessaires : Cas 1 : Dalles de 40 cm de côté. 640 Nombre de dalles dans la longueur : 16 40 520 Nombre de dalles dans la largeur : 13 40 Nombre de dalles nécessaires : 16 13 = 208 ( dalles ) Cas 2 : Dalles de 20 cm de côté. 640 Nombre de dalles dans la longueur : 32 20 520 Nombre de dalles dans la largeur : 26 20 Nombre de dalles nécessaires : 32 26 = 832 ( dalles )
Dalles de 40 cm de côté : 208 dalles sont nécessaires. Dalles de 20 cm de côté : 832 dalles sont nécessaires. PARTIE 3 : Coût du dallage 1) Prix pour une commande de 9 paquets : Avec le grossiste A : 48 9 = 432 Avec le grossiste B : 42 9 + 45 = 378 + 45 = 423 2) Prix pour une commande de n paquets : Avec le grossiste A : P A = 48 n = 48 n Avec le grossiste B : P B = 42 n + 45 = 42 n + 45 3) Représentations graphiques : Représentation graphique de la fonction définissant le prix P A en fonction de n : Cette fonction est une fonction linéaire. Sa représentation est une droite D A passant par l origine. D après la question (1), nous savons que le prix de 9 livres ( n = 9 ) est de 432 ( ) Le point A( 9 ; 432 ) est un point de cette droite D A. Représentation graphique de la fonction définissant le prix P B en fonction de n : Cette fonction est une fonction affine. Sa représentation est une droite D B. Si n = 0, alors le prix est de 42 0 + 45 = 45, soit 45 ( ) D après la question (1), nous savons que le prix de 9 livres ( n = 9 ) est de 423 ( ). Le point B( 0 ; 45 ) est un point de cette droite D B. Le point C( 9 ; 423 ) est un point de cette droite D B.
b) Tarif le plus avantageux? Lecture graphique : Les droites se coupent pour n 7,5. Donc, pour un nombre de paquets inférieur ou égal à 7, le tarif du grossiste A est plus avantageux. Et pour plus de 8 paquets ( 8 compris ) le tarif du grossiste B est plus avantageux. Par le calcul : Le tarif du grossiste A est plus avantageux si P A P B Donc si : 48 n 42 n + 45 48 n 42 n 45 6 n 45 45 n 6 n 7,5 Jusqu à 7 paquets, le tarif du grossiste A est plus avantageux. A partir de 8 paquets, le tarif du grossiste B est plus avantageux.