A 2009 MATH II MP ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L AÉRONAUTIQUE ET DE L ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI) CONCOURS D ADMISSION 2009 DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES Filière MP (Durée de l épreuve : 4 heures) L usage d ordinateur ou de calculette est interdit Sujet mis à la disposition des concours : ENSAE ParisTech, ENSTIM, TELECOM SudParis (ex TELECOM INT), TPE-EIVP, Cycle international Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES II - MP L énoncé de cette épreuve comporte 5 pages de texte Si, au cours de l épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il est amené à prendre
Théorème de Müntz On désigne par C ([0, ]) l espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [0,] Pour tout λ 0, on note φ λ l élément de C ([0,]) défini par φ λ (x) = x λ Par convention on a posé 0 0 = de sorte que φ 0 est la fonction constante Soit ( ) k N une suite de réels 0 deux à deux distincts On note W le sousespace vectoriel de C ([0,]) engendré la famille (φ λk ) k N Le but du problème est d établir des critères de densité de l espace W dans C ([0,]) pour l une ou l autre des deux normes classiques N ou N 2 définies par : ( ) N (f ) = sup f (x) et N 2 (f ) = f (x) 2 2 d x x [0,] 0 La question préliminaire et les parties A, B, C et D sont indépendantes les unes des autres Question préliminaire ) Montrer que (φ λ ) λ 0 est une famille libre de C ([0,]) A Déterminants de Cauchy On considère un entier n > 0 et deux suites finies (a k ) k n et (b k ) k n de réels telles que a k + b k 0 pour tout k {,2,,n} Pour tout entier m tel que 0 < m n, le déterminant de Cauchy d ordre m est défini par : D m = On définit la fraction rationnelle : a +b a +b 2 a 2 +b a 2 +b 2 a m +b R(X ) = a m +b 2 n (X a k ) n (X + b k ) a +b m a 2 +b m a m +b m 2
2) Montrer que si R(X ) est de la forme R(X ) = n A n D n = R(a n )D n A k X + b k, alors On pourra pour cela considérer le déterminant obtenu à partir de D n en remplaçant la dernière colonne par R(a ) R(a 2 ) R(a n ) 3) En déduire que D n = i<j n (a j a i )(b j b i ) i n j n (a i + b j ) B Distance d un point à une partie dans un espace normé Soit E un espace vectoriel normé par une norme On rappelle que la distance d un élément x E à une partie non vide A de E est le réel noté d(x, A) défini par : d(x, A) = inf x y y A 4) Montrer que d(x, A) = 0 si et seulement si x est adhérent à A 5) Montrer que si (A n ) n 0 est une suite croissante de parties de E et si A = n 0 A n alors d(x, A) = lim n d(x, A n ) On considère un sous-espace vectoriel V de dimension finie de E, et on note B = {y ; y x x } 6) Montrer que B V est compacte et que d(x,v ) = d(x,b V ) pour tout x E 7) En déduire que pour tout x E, il existe un élément y V tel que d(x,v ) = x y C Distance d un point à un sous-espace de dimension finie dans un espace euclidien Dans cette partie, on suppose que la norme sur l espace vectoriel E est définie à partir d un produit scalaire ( ) sur E : x = (x x) 3
8) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel de dimension finie de E, alors pour tout x E, la projection orthogonale de x sur V est l unique élément y V vérifiant d(x,v ) = x y Pour tout suite finie (x, x 2,, x n ) E n on désigne par G(x, x 2,, x n ) le déterminant de la matrice de Gram d ordre n définie par : (x x ) (x x 2 ) (x x n ) (x 2 x ) (x 2 x 2 ) (x 2 x n ) M(x, x 2,, x n ) = (x n x ) (x n x 2 ) (x n x n ) 9) Montrer que G(x, x 2,, x n ) = 0 si et seulement si la famille (x, x 2,, x n ) est liée 0) On suppose que la famille (x, x 2,, x n ) est libre et l on désigne par V l espace vectoriel qu elle engendre Montrer que, pour tout x E, d(x,v ) 2 = G(x, x 2,, x n, x) G(x, x 2,, x n ) D Comparaison des normes N et N 2 Pour toute partie A de C ([0,]) on note A et A 2 les adhérences de A pour les normes N et N 2, respectivement Pour f C ([0,]) la notation d(f, A) désigne toujours la distance de f à A relativement à la norme N 2 (on ne considérera jamais, dans l énoncé, la distance d un élément à une partie relativement à la norme N ) ) Montrer que pour tout f C ([0,]), N 2 (f ) N (f ) En déduire que pour toute partie A de C ([0,]) on a A A 2 On considère l ensemble V 0 = { f C ([0,]) ; f (0) = 0 }, et on rappelle que φ 0 désigne la fonction constante 2) Montrer que φ 0 V 0 2 3) En déduire que V 0 est dense dans C ([0,]) pour la norme N 2, mais n est pas dense pour la norme N 4) Montrer que si V est un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel normé, alors son adhérence V est également un espace vectoriel 5) Montrer qu un sous-espace vectoriel V de C ([0,]) est dense pour la norme N si et seulement si pour tout entier m 0, φ m V 6) En déduire qu un sous-espace vectoriel V de C ([0, ]) est dense pour la norme N 2 si et seulement si pour tout entier m 0, φ m V 2 4
E Un critère de densité de W pour la norme N 2 Pour tout n N, on note W n l espace vectoriel engendré par la famille finie (φ λk ) 0 k n 7) Montrer que l espace W est dense dans C ([0,]) pour la norme N 2 si et seulement si lim n d(φ µ,w n ) = 0 pour tout entier µ 0 8) Montrer que pour tout µ 0, d(φ µ,w n ) = 2µ + n µ + µ + ( λk µ ) 9) Montrer que pour tout µ 0, la suite tend vers si et + µ + k N seulement si la suite ( ) k N tend vers + (On pourra pour cela étudier les variations de la fonction x [0,µ] µ x x + µ + ) 20) En déduire que l espace W est dense dans C ([0,]) pour la norme N 2 si et seulement si la série est divergente k k=0 F Un critère de densité de W pour la norme N 2) Montrer que si W est dense dans C ([0,]) pour la norme N, alors la série est divergente k 22) Soit ψ = n k=0 a kφ λk un élément quelconque de W n Montrer que si pour tout k {0,,,n}, alors pour tout µ, on a : ( n N (φ µ ψ) N 2 µφµ a k φ λk ) 23) On suppose que la suite ( ) k N vérifie les deux conditions suivantes : { (i) : λ0 = 0 k=0 (ii) : pour tout k Montrer que sous ces conditions, si la série k est dense dans C ([0,]) pour la norme N est divergente, alors W 24) Montrer que la conclusion précédente est encore valable si on remplace la condition (ii) par la condition plus faible : (ii ) : inf > 0 k FIN DU PROBLÈME 5