PROGRAMME DE REVISION EN MATHEMATIQUES ENTREE EN PREMIERE S 2013-2014 Lycée Corneille -Géométrie analytique et vectorielle -Equations de droites -Les fonctions, équations, inéquations -Trigonométrie A Faire impérativement avant le 3 Septembre 2013
Géométrie analytique et vectorielle 1) uuur uuur On se place dans le repère ( A, AB, AD). ABCD est un carré et ABE et BCF sont deux triangles équilatéraux. 1) Lire les coordonnées de A, B, D et C. 2) Démontrer que la hauteur d un triangle équilatéral de côté a est 3) En déduire les coordonnées des points E et F. 4) Démontrer que les points D, E et F sont alignés. 3. 2 a 2) Dans un repère orthonormé, on considère les points A(2 ;3), B(8 ;-3), C(14 ;9) et D(7 ;8). On note I et J les milieux des côtés [AB] et [AC]. Faire une figure dans le repère donné en annexe. 1) Déterminer en justifiant la nature du triangle ABC. 2) Montrer que le triangle DJA est rectangle en J. Que représente la droite (DJ) pour le triangle ABC? Déterminer son équation réduite. 3) Déterminer l équation réduite de la médiatrice de [AB]. 4) En déduire les coordonnées du centre K du cercle circonscrit au triangle ABC, ainsi que son rayon. 5) Déterminer l équation réduite de la droite Δ parallèle à (DJ) et passant par B. Déterminer les coordonnées du point d intersection H de Δ et de (CI). Que représente H pour le triangle ABC? 6) Donner l équation réduite de (BJ) puis les coordonnées du centre de gravité G de ABC. uuur 2 uur Vérifier que CG = CI. 3 uuur uuur r 3) On considère les points A(3 ;2) et B(6 ;-4). Le point K(x ;y) est défini par : KA + 2KB = 0. 1- a. Déterminer x et y. Placer A,B et K. uuur 2 uuur b. Montrer que AK = AB. Que dire des points A, B et K? 3 2- Soit M(a ; b) un point quelconque. uuur uuur uuuur a. Exprimer en fonction de a et b les coordonnées de MA, MB, MC. uuur uuur uuuur b. En déduire que MA + 2MB = 3MK c. Retrouver ce résultat par un calcul vectoriel sans utiliser les coordonnées
Annexe: Exercice 2 (Géométrie)
Equations de droites 1) Déterminer graphiquement l équation de la droite tracée. Tracer la droite D passant par A et de coefficient directeur -2. Déterminer son équation réduite. 2) Dans un repère, on donne les points A(-1 ;6), B(3 ;-2), C(-5 ;3), D(-7 ;-4) et E(-1 ;2). a) Déterminer le coefficient directeur de la droite (AB) puis l équation réduite de la droite d passant par C et parallèle à (AB). b) Déterminer l équation réduite de la droite (AD) puis celle de (AE). c) Déterminer les coordonnées du point I d intersection de d avec (AD) puis celle du point J d intersection de d avec (AE) 3) A(3 ;4), B(-1 ;-1) et B(5 ;2). a- Déterminer l équation réduite de la parallèle Δ à la droite (BC) et passant par A. b- Déterminer le point d intersection I de Δ avec l axe des abscisses. c- Déterminer le point d intersection I de Δ avec l axe des ordonnées. d- Soit D la droite d équation y=x. Déterminer les coordonnées du point K d intersection de Δ et de D.
Les fonctions, équations et inéquations Exercice 1 Soit f définie sur IR par f ( x) = 2 x² + 4x - 3. 2 1) Montrer que f ( x) = 2( x + 1) -5 pour tout réel x. 2) Démontrer que -5 est le minimum de f sur IR. 3) Etudier, par un travail sur les inégalités, le sens de variation de f sur ]- ; -1[ et sur ]- 1; + [. Dresser le tableau de variation de f. 4) a) On note C la courbe de f dans un repère orthogonal. Quelle est la nature de C? Quels sont ses éléments caractéristiques? b) Compléter le tableau suivant : x -1-0.5 0 0.5 1 1.5 2 f(x) c) Tracer C dans le repère orthogonal de la feuille annexe. 5) a) Déterminer la fonction affine h telle que h(-3)=-1 et h(2)=4. b) Tracer la droite d d équation y=x+2 dans le repère de l annexe. c) Résoudre graphiquement en justifiant l équation f(x)=x+2. 6) Développer ( x - 1)(2 x + 5) puis résoudre l inéquation ( I ) : f ( x) ³ x + 2. Exercice 2 Résoudre l inéquation x ( I) : x 2 2-6 3-4 x + 2 Exercice 3 2x 2 Soit la fonction f définie par f ( x) = + x - 3 1) Préciser l ensemble de définition. Comment s appelle la fonction f? 8 Montrer que pour tout réel x de l ensemble de définition f ( x) = 2 + x - 3. 2) Etudier le sens de variation de la fonction sur chaque intervalle ]- ; 3[ et ]3; + [. Etablir le tableau de variation de la fonction f. 3) On a construit dans le repère orthonormal de la feuille annexe les droites d'équation x = 3 et y = 2 et la courbe Cf représentant la fonction f. a) Déterminer la fonction affine g telle que g(-2)=-8 et g(3) = 2. b) Calculer (x-1)(-x+5). Résoudre par le calcul l équation f ( x) = 2x - 4 c) Construire dans le même repère de la feuille annexe la droite D d'équation y=2x - 4 d) Résoudre graphiquement en justifiant l'inéquation f ( x) 2x - 4. Exercice 4 Résoudre l'équation (E) après avoir précisé son ensemble de définition (ou les 3 3 18 valeurs interdites) :( E x + ) : = + x -3 x x ² -3 x
Exercice 1 Annexes: Les fonctions
Exercice 3
Trigonométrie 1) Les réels suivants sont-ils associés au même point du cercle trigonométrique 21π 31π a) et - 13 13 31π 29π b) et - 4 4 5π 2) a) Donner deux réels positifs associés au même point du cercle trigonométrique que -. 3 b) Donner deux réels négatifs associés au même point du cercle trigonométrique que 23π 6. 4) Placer sur le cercle trigonométrique les points associés aux réels π π 2π 4π 7π 5π 7π - ; - ; ; ; ;- ; 5π et. 6 4 3 3 4 6 2 Déterminer chaque fois le cosinus et le sinus des réels.. 5) On rappelle que cos ² x + sin ² x = 1 pour tout réel x. a) Montrer que pour tout réel x cos ² x sin ² x = 1 2sin ² x. 4 4 b) Montrer que pour tout réel x cos x sin x = cos ² x sin ² x.