Exercices Produit scalaire dans le plan et l espace Terminale S Exercice 1 Soit ABCD un tétraèdre régulier (c est-à-dire AB = AD = AC = BD = DC = BC). 1. Montrer que (AB) est orthogonale à (DC). 2. Soit I, J, K et L les milieux respectifs des segments [AC], [AD], [BD] et [BC]. a. Montrer que IJKL est un parallélogramme. b. Montrer que IK JL = 0. 1. Appelons a la longueur d un côté du tétraèdre régulier. Calculons AB DC. Pour cela décomposons AB : AB DC = ( AD + DB) DC = AD DC + DB DC Dans le plan (ACD), on a la figure suivante : D où : AD DC = AD DC cos π = a.
Dans le plan (BCD), on a la figure suivante : D où : DB DC = DB DC cos π a. On obtient donc AB DC a a Conclusion : AB DC 0, (AB) est orthogonale à (DC). 2. a. On a : IJ = IA + AJ = CA + AD = CD (En utilisant le fait que I et J sont les milieux de [AC] et [AD].) De même : LK = LB + BK = CB + BD = CD (En utilisant le fait que K et L sont les milieux de [BC] et [BD].) Conclusion : IJ = LK, donc IJKL est un parallélogramme. b. Comme précédemment : IL = IC + CL = AC + CB = Comme IJ = CD, on a IJ = CD = a. AB, d où : IL = AB = a. Deux côtés consécutifs du parallélogramme IJKL sont de même longueur, IJKL est donc un losange, ses diagonales sont orthogonales, d où : IK JL = 0. Exercice 2 Soit le cube ABCDEFGH de côté a. Soit I le centre de la face ABCD et J le centre de la face EFGH. Déterminer à un degré près une mesure de l angle IAJ.
On considère le repère orthonormé (A ; AB, AD, AE). Dans ce repère on a : A de coordonnées (0 ; 0 ; 0). I de coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 0). J de coordonnées (0,5 ; 0,5 ; 1). D où : AI = (0,5 ; 0,5 ; 0) et AJ = (0,5 ; 0,5 ; 1) et donc : AI AJ = 0,5 0,5 + 0,5 0,5 + 0 1 = 0,5. Mais on a aussi : AI AJ = AI AJ cos ( IAJ ) = = cos ( AI, AJ) = cos ( IAJ ) cos ( IAJ ). On en déduit (en identifiant les deux résultats) que : cos ( IAJ ) = cos ( IAJ ) = En utilisant la calculatrice (touche ), on obtient IAJ 55. Exercice 3 Soit le cube ABCDEFGH de côté a (faire un dessin). 1. Calculer BH AC. 2. Calculer BH CF. 3. En déduire que (BH) est orthogonale à (AF). 4. Soit Ω le centre de gravité du triangle AFC. a. Montrer que BH et BΩ sont colinéaires. b. En déduire l intersection de la droite (BH) et du plan (ACF).
1. Calculons BH AC ; pour cela décomposons BH : BH AC = ( BD + DH) AC = BD AC + DH AC Or les diagonales du carré ABCD sont orthogonales, d où BD AC = 0. La droite (DH) est orthogonales à la face ABCD, donc à toutes les droites de cette face, ce qui donne : DH AC = 0. Finalement : BH AC = BD AC + DH AC = 0 + 0 = 0. 2. BH CF = ( BF + FG + GH) CF = BF CF + FG. CF + GH CF Le projeté orthogonal de C sur (BF) est B, d où : BF CF = a². Le projeté orthogonal de C sur (GF) est G, d où : FG CF a². Remarque : attention au sens des vecteurs. La droite (GH) est orthogonale à la face BFGC, donc à toutes les droites de cette face ce qui donne : GH CF = 0. Finalement : BH CF = BF CF + FG CF + GH CF = a² a² 0 = 0. 3. On pourrait recommencer le calcul d un produit scalaire, mais utilisons les résultats précédents. BH AC = 0, donc (BH) est orthogonale à (AC). BH CF = 0, donc (BH) est orthogonale à (CF). (BH) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ACF), elle est donc orthogonale à ce plan, donc à toutes les droites de ce plan. En particulier, (BH) est orthogonale à (AF). 4. a. Ω étant le centre de gravité du triangle AFC, on a : ΩA + ΩF + ΩC =. Faisons intervenir le point B : ΩB + BA + ΩB + BF + ΩB + BC =. Or : BA + BF + BC = BA + AE + EH = BH.
D où 3 ΩB + BH =, donc BH = 3 B. Les vecteurs BH et BΩ sont colinéaires. b. BH et BΩ colinéaires entraîne que Ω appartient à la droite (BH). Ω le centre de gravité du triangle AFC appartient au plan (AFC). Conclusion : Ω est l intersection de la droite (BH) et du plan (ACF). Exercice 4 Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère le point A de coordonnées (2 ; 1 ; 1) et le plan P passant par le point B de coordonnées ( 1 ; 2 ; 1) et de vecteur normal n (1 ; 1 ; 2). 1. Déterminer une équation cartésienne de P. 2. Calculer la distance de A à P. 3. Soit H le projeté orthogonal de A sur P. a. Justifier le fait qu il existe un réel α tel que AH = α n. b. En utilisant le fait que H appartient à P, en déduire la valeur de α puis les coordonnées de H. c. Calculer AH. Justifier le résultat obtenu. 1. Le plan P admet comme vecteur normal n (1 ; 1 ; 2), il admet donc une équation cartésienne de la forme : x y z d Le point B de coordonnées ( 1 ; 2 ; 1) appartient à P, on a donc : d d Une équation cartésienne de P est donc : x y z. 2. La distance de A à P est égale à : = =. 3. a. Puisque H est le projeté orthogonal de A sur P, la droite (AH) est orthogonal à P.
Le vecteur AH est donc colinéaire à n, il existe donc un réel α tel que AH = α n. b. Soit (x ; y ; z) les coordonnées de H. AH = α n équivaut à : x α y α z α x α y α. z α H appartient à P, donc ses coordonnées vérifient l équation de P : α α α α α On obtient alors : x y z soit H (1 ; 0 ; 1). c. On a alors : AH ( 1 ; 1 ; 2) et AH = =. On retrouve le résultat de la deuxième question, ce qui est normal puisque la distance entre le point A et le plan P est la distance entre A et H son projeté orthogonal sur le plan P. Exercice 5 Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points : A (1 ; 1 ; 5), B (2 ; 1 ; 3) et C (3 ; 0 ; 7) 1. Montrer que le triangle ABC est rectangle en A. 2. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). 3. On considère le point S ( 2 ; 1 ; 3). a. Calculer la distance du point S au plan (ABC). b. En déduire le volume du tétraèdre ABCS. 1. Les coordonnées de AB sont (1 ; 2 ; 2), celles de AC sont (2 ; 1 ; 2). D où AB AC = 2 1 + 1 2 + 2 ( 2) = 0, les vecteurs AB et AC sont orthogonaux, le triangle ABC est rectangle en A. 2. M quelconque de coordonnées (x ; y ; z) appartient au plan (ABC) si et seulement si, il existe deux réels α et β tels que : AM = α AB + β AC.
Comme AM x ; y ; z, AB = (1 ; 2 ; 2) et AC = (2 ; 1 ; 2), on obtient : x α β y α β. z α β α x z β y z α x z β y z En remplaçant α et β dans la première équation, on obtient : x x z y z. En développant et en ordonnant, on a : x y z, soit en multipliant par : x y z. 3. a. La distance de S à P est égale à : 2 ( 2) 2 1 1 3 + 1 / = =. b. Le volume du tétraèdre ABCS est égal à : (aire de la base) (longueur de la hauteur). Ici, si la base est le triangle ABC, la longueur de la hauteur est égale à la distance de S à P. L aire du triangle ABC est égale à : AB AC = =. D où le volume du tétraèdre ABCS est : = 4 unités de volume.