Fiche appel n : Électrocinétique (P et T) I - égime Permanent I -. Approximation des égimes Quasi Stationnaires e signal électrique se propageant dans le circuit à la vitesse c de la lumière, on peut considérer le phénomène de propagation comme instantané lorsque τ T, où τ = est le temps caractéristique de propagation du signal sur l'ensemble c du circuit (de longueur ) et T la période de variation temporelle du signal. ette condition s'exprime aussi par ct. Si cette condition est remplie, tout se passe comme si on était en régime permanent (Quasi Stationnaire), même pour des signaux variables. Ordres de grandeur : si = 0 m, on a τ = 3.0 8 s, alors, même pour une fréquence f = MHz, l'aqs est encore valable car T = f = 0 6 s τ. l'énergie E s'exprime en joule (J) ou en kwh : kwh = 3, 6.0 6 J I -3. ois de Kirchhoff es lois sont établies en régime permanent et généralisées aux cas où l'approximation des régimes quasi-stationnaires est valide. oi des n uds : (résultant de la conservation de la charge) : n ε k = + pour un courant arrivant vers N ε k i k = 0 avec k= ε k = pour un courant s'éloignant de N oi des mailles : n ε k u k = 0 avec k= ε k = + pour u k orientée dans le sens de la maille ε k = pour u k orientée dans le sens inverse I -4. Dipôles usuels - elation courant/tension I -2. onvention générateur ou récepteur On utilise deux conventions de représentation de l'intensité i et de la tension u aux bornes d'un dipôle D : convention générateur convention récepteur Puissance reçue P r = ui P r = ui Puissance fournie P f = ui P f = ui Unités SI : a tension u s'exprime en volts (V) ; l'intensité i s'exprime en ampères (A) ; la puissance P s'exprime en watt (W) ; Dipôle elation i u Puissance reçue Énergie emmagasinée ésistor u = i ; i = Gu P = i 2 = u2 Bobine u = di P = d ( ) 2 i2 ondensateur i = du P = d ( ) 2 u2 E mag = 2 i2 E elec = 2 u2 = q 2 2 ontinuité : e courant circulant dans une bobine et la tension aux bornes d'un condensateur sont continues : i (0 + ) = i (0 ) et u (0 + ) = u (0 ). I -5. Associations de dipôles Deux dipôles sont dits en série lorsqu'ils sont parcourus par le même courant i. Deux dipôles sont dits en parallèle lorsqu'ils ont la même tension u à leurs bornes. emarque : il arrive (si, si) que deux dipôles ne soient ni en série, ni en parallèle!
Association ésistors Bobines ondensateurs Série eq = i eq = i eq = i Parallèle = = eq i eq i eq = i a) éponse indicielle En posant τ = et en supposant u (t = 0 ) = 0 (condensateur initialement déchargé), on observe la réponse indicielle à un échelon de tension (charge du condensateur) : u (t) = E ( e t/τ ) i(t) = E e t/τ I -6. Diviseur de tension - diviseur de courant On peut utiliser les propriétés d'association des résistances pour prélever une partie seulement d'une tension ou d'un courant : Diviseur de tension Diviseur de courant u (t) est continue en 0 i(t) est discontinue en 0 II - u = u 2 = + 2 u i = 2 + 2 u i 2 = égime transitoire du premier ordre II -. ircuit G G + G 2 i G 2 G + G 2 i (G = ) (G 2 = 2 ) 'équation diérentielle du circuit est donnée par la loi des mailles couplées aux relations courant-tension aux bornes des dipôles : du + u = E τ caractérise le temps d'établissement du régime permanent. e dernier est atteint à 0 n près au bout de t n = 2, 3nτ. On le détermine expérimentalement grâce à la tangente à l'origine ou bien grâce au temps de montée à 63%. En multipliant la loi des mailles par le courant i, on obtient un bilan de puissance : Ei = d ( ) 2 u2 + i 2 soit P gen = d (E elec) + P Joule En intégrant les diérents termes de ce bilan entre t = 0 et t (en pratique, quelques τ susent), on obtient un bilan énergétique : E gen = E 2, E elec = 2 E2 et E Joule = 2 E2 soit : b) égime libre E gen = E elec + E Joule Si on ouvre l'interrupteur K, on observe le régime libre du circuit (décharge du condensateur). 'énergie initialement emmagasiné dans le condensateur est restituée et dissipée par eet Joule. Bilan de puissance : 0 = d ( ) 2 u2 + i 2 = d (E elec) + P Joule Bilan énergétique : 0 = E elec + E Joule 2
II -2. Portraits de phase du circuit III - égime transitoire du deuxième ordre éponse indicielle égime libre e paragraphe concerne aussi bien les circuits électriques que les systèmes mécaniques amortis. III -. Équation différentielle 'équation diérentielle du circuit est : II -3. ircuit E = du c + d2 u c 2 + uc ou bien sous forme canonique : 'équation diérentielle du circuit est : di + i = E On dénit : la pulsation propre ω 0 =, avec [ω 0 ] = T d 2 u c 2 + ω 0 du c Q + ω2 0u c = ω0e 2 En posant τ = et en supposant i (t = 0 ) = 0, on observe la réponse indicielle à un échelon de tension : u (t) = Ee t/τ i (t) = E ( ) e t/τ le facteur de qualité Q = ω 0 = ω 0 = emarque, sans dimension. : caractérise l'amortissement du circuit (pertes par eet Joule), plus est grand, plus Q est faible. a solution de l'équation diérentielle s'écrit u (t) = u H (t) + u P, où u H (t) est la solution générale de l'équation homogène associée et u P solution particulière caractérisant le régime permanent établi. = E est la III -2. es 3 régimes transitoires de variation (u H (t)) u(t) est discontinue en 0 i (t) est continue en 0 Selon les valeurs de Q, l'équation caractéristique r 2 + ω 0 Q r + ω2 0 = 0, associée à l'équation ( diérentielle ) a diérents types de racines, selon le signe du discriminant = ω0 2 Q 2 4. 3
a) égime apériodique Q < /2 ; > 0 ; > 2 es racines sont réelles négatives : r,2 = ω 0 ± ω 0 4Q 2 On a u H (t) = Ae rt + Be r 2t, soit u H (t) = e ω 0t Ae +ω 0t 4Q 2 + Be ω 0t 4Q 2, On dénit le décrément logarithmique, qui caractérise l'amortissement des pseudo-oscillations par δ n ln u(t) u(t + nt ) où A et B sont à déterminer en appliquant les conditions initiales sur la solution complète u (t) = u H (t) + u P. III -3. Portrait de phase 'établissement du régime permanent se fait sans oscillation. En régime apériodique, pour un tension créneau appliquée au circuit, on obtient le portrait de phase suivant : b) égime critique Q = /2 ; = 0 ; = 2 'équation caractéristique présente une racine double r 0 = ω 0. Il s'agit du cas limite du régime apériodique. Il est inobservable en pratique. On a u H (t) = (A + Bt)e r0t = (A + Bt)e ω 0t. c) égime pseudo-périodique Q > /2 ; < 0 ; < 2 es racines sont complexes conjuguées : r,2 = ω 0 ± j ω 0 4Q 2. On dénit la pseudo-pulsation Ω par Ω = T = ω 0 4Q 2. On a u H (t) = e ω 0t (A cos Ωt + B sin Ωt). En régime pseudo-périodique, on obtient le portrait de phase suivant : 4
III -4. Bilan énergétique En multipliant la loi des mailles par i = du, on obtient un bilan de puissance : Ou encore P gen = P joule + d e = u + u + u ei = i 2 + i di + u du ( 2 i2 + ) 2 u2 a puissance fournie par le générateur est utilisée pour faire varier l'énergie stockée dans la bobine et le condensateur, le reste étant dissipé par eet Joule. IV - Analogie électromécanique On peut dresser un parallèle entre un système mécanique amorti et un circuit électrique du deuxième ordre. es équations diérentielles sont similaires, les solutions également. Électrocinétique Mécanique Paramètre charge q = u déplacement z Dérivée courant i = dq vitesse v = dz Énergie magnétique E mag = 2 i2 cinétique E cin = 2 mv2 Énergie électrique E elec = q 2 2 potentielle E pot = 2 kz2 Amortissement eet Joule u = i frottement f = α v Puissance dissipée P J = i 2 P = αv 2 Éq diérentielle q + q + q = e(t) z + α mż + k m (z z e) = k m z H k m Pulsation propre ω 0 = ω 0 = Facteur de qualité Q = ω 0 Q = mω 0 α orrespondance des grandeurs : Électrocinétique q i Mécanique z v m k α 5