Produit scalaire Dans toute la leçon, le plan est muni d un repère orthonormé. Produit scalaire et coordonnées. Définition.. Soit x u et x v y y deux vecteurs. Le produit scalaire de u et v, noté u v, est défini par u v = xx + y y. Exemple.. Soit ;, B4; et C ;. On calcule B C et B B. C v B 3 4 3 x x B y et C 3 y donc B C = xx + y y = 3 + 3= 6+6=0 et B = xx+y y = x + y = 3 + = 3. Propriété.3.. Pour tout vecteur u :. Étant donné un vecteur B : u 0 = 0 u = 0. B = B. 3. La longueur d un vecteur u aussi appelée norme de u est notée u. On a u u = u.
Démonstration.. Si x u y De même, alors comme 0 0 : 0 u 0 = x 0+ y 0=0. 0 u = 0 x+ 0 y = 0.. On a B xb x y B y, donc B = xb x x B x + y B y yb y = x B x + y B y = B. 3. C est un corollaire immédiat du point, puisque si l on pose u = B, on a u = B = B, donc u u = B B = B = u. Définition.4. Deux vecteurs non nuls B et C sont dits orthogonaux notation : B C si les droites B et C sont perpendiculaires. Par convention, le vecteur nul est orthogonal à n importe quel vecteur. Propriété.5. B C B C = 0. N.B. Donc dans l exemple., B et C sont orthogonaux et les droites B et C sont orthogonales. Démonstration. Voir exercice 0 feuille 6. Propriété.6. Soit a n un vecteur orthogonal =normal à une droite D. lors D a une équation b cartésienne de la forme ax+ by+ c = 0. Démonstration. n u D. Pour les vecteurs, on utilise exclusivement le terme "orthogonaux" ; pour les droites, les deux termes équivalents "perpendiculaires" et "orthogonaux" sont autorisés. On parlera également de vecteur orthogonal à une droite.
Soit u b. Les vecteurs u et n a a sont orthogonaux puisque u n = b a+ a b= 0. b Donc comme n est orthogonal à D, le vecteur u dirige D ; et d après une leçon faite plus tôt dans l année, D a une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0. Exemple.7. Soit ;, B4; et C ;5. On cherche les coordonnées de H, pied de la hauteur issue de dans le triangle BC. C 5 4 3 H B 3 4 On cherche d abord l équation de H. Le vecteur 5 a BC est orthogonal à H, donc H a une équation de la forme 4 b 5x+ 4y+ c = 0. ; H, donc 5 +4 +c = 0, ce qui donne c = 9. Conclusion : H : 5x+ 4y+ 9=0. On cherche à présent l équation de BC. Le vecteur BC 5 4 b a dirige BC, donc BC a une équation de la forme 3 4x+ 5y+ c = 0. B4; BC, donc 4 4+5 +c = 0, ce qui donne c =. Conclusion : BC : 4x+ 5y = 0. H est le point d intersection de H et BC, donc pour avoir ses coordonnées on résout le système { 5x+ 4y+ 9=0 4x+ 5y =0 On multiplie la première ligne par 4 et la deuxième par 5 : { 0x+ 6y+ 36=0 0x+ 5y 05=0. On utilise la propriété.6. 3. Cette fois, on utilise la "vieille" propriété celle de la leçon du début d année sur les vecteurs directeurs de droites. 3
On ajoute membre à membre : 4y 69=0, d où l on tire y = 69 4. Enfin, on remplace y par 69 4 dans la deuxième ligne du système pour avoir x : Conclusion : H 9 4 ; 69 4. 4x+ 5 69 4 =0 4x+ 345 4 86 4 = 0 4x 56 4 = 0 x = 56 4 4 x = 9 4. Les autres formulations du produit scalaire. Propriété.. Pour tous vecteurs u. u v = v u.. u v + w = u v + u w. 3. u + v w = u w + v w. 4. k j u v = k j u v. x, v y x, x w y y, pour tous réels k, j : Ces quatre points se résument en disant que le produit scalaire est une "forme bilinéaire symétrique". Démonstration. On commence par le point : Ensuite le point : on a v + x + x w y + y, donc On continue avec le point 3 : u + v w = w u + v u v = xx + y y = x x+y y = v u. u v + w = x x + x + y y + y = xx + xx + y y + y y = xx + y y + xx + y y = u v + u w. d après le point = w u + w v d après le point = u w + v w à nouveau grâce au point. 4
On laisse au lecteur le soin de démontrer le point 4. Exemple.. BCD est un carré de côté 4, de centre O. On calcule OC B. D C O B On a OC B = C B = B C = B B+ BC = B B B BC. Or B = B = 4 = 6 et B BC = 0 puisque B BC. Conclusion : OC B = 4 0= 8. La propriété. permet aussi de démontrer le résultat suivant : Propriété.3. On donne deux formulations différentes équivalentes du produit scalaire :. Pour tous vecteurs u, v :. Étant donnés trois points, B, C : u v = u + v u v. B C = Démonstration : Voir exercice 0 feuille 6. B + C BC. Propriété.4. On se donne trois points distincts, B, C. On a B C = B C cos B, C ou encore B C = B C cos B C. 5
Démonstration. Les deux formules sont équivalentes, puisqu on a vu dans le cours de trigonométrie que cos B, C =cos B C. On se contente donc de démontrer la deuxième formule. Pour cela, on distingue trois cas : B C droit, B C aigu, B C obtus. Si B C est droit, on a B C = 0 et cos B C = cos90 =0. Donc la formule est vraie ce n est rien d autre que 0=0. On suppose maintenant que B C est aigu et on note H le projeté orthogonal de C sur B. C H B D après la propriété.3, la formule xx + y y avec laquelle on calcule le produit scalaire ne dépend pas du repère orthonormé dans lequel on travaille 4. On peut donc choisir un repère de centre et où B est l axe des abscisses, le point B ayant une abscisse positive. 3 C H B 3 4 5 Dans ce repère, on a x C = x H donc 0;0, B x B ;0, C x H ; y C. On a ainsi On en déduit : xb B, 0 xh C. y C B C = xb x H + 0 y C = x B x H. Mais x B = B et, puisque B C est aigu, x H = H, donc B C = B H. 4. En effet, la formule B C = B + C BC ne fait pas référence aux coordonnées dans un repère, celui que l on choisit au début n a donc pas d importance. 6
Par ailleurs, en travaillant dans le triangle rectangle HC on obtient donc et finalement : cos B C = H C, H = C cos B C B C = B H = B C cos B C. Dans le cas où B C est obtus, le raisonnement est le même. Il y a cependant deux différences qui se compensent dans les calculs : d une part x H = H, d autre part cos B C = H C. On laisse au lecteur le soin de rédiger les détails. 3 C 3 H B 3 4 5 6 Exemple.5. BC est un triangle tel que B = 5, C = 4 et B C = 60. C 4 60 B 5 On a B C = B C cos B C = 5 4 cos60 =5 4 = 0. 3 pplications en trigonométrie. Propriété 3.. Pour tous réels a et b : cosa b=cos a cosb+ sin a sin b. Démonstration. On note le point du cercle trigonométrique associé à a et B le point associé à b. On a donc cos a;sin a, Bcos b;sin b et OB, O = a b. 7
sin a a O a b cosb cos a sinb Bb Pour démontrer la propriété, on calcule O OB de deux façons différentes : Pour commencer, on utilise la formulation du produit scalaire avec les coordonnées : cos a O sin a et cosb OB donc sin b O OB = cos a cosb+ sin a sin b. Ensuite, on utilise la formulation du produit scalaire avec le cosinus : O OB = OB O = OB O cos = cosa b, OB, O soit En comparant et on obtient : O OB = cosa b. cosa b=cos a cosb+ sin a sin b. Exemples 3.. On calcule cos π. Pour cela, on remarque que π = π 3 π 4. Cela donne donc cos π = cos π 3 π 4 = cos π 3 cos π 4 + sin π 3 sin π 4 = 3 + + 6 =. 4 8
La propriété 3. permet d obtenir une multitude d autres formules utiles en trigonométrie. Dans le programme de la classe de première, nous nous contenterons de la propriété suivante formules d addition et de duplication : Propriété 3.3. Formules d addition. Pour tous réels a, b :. cosa b=cos a cosb+ sin a sin b.. cosa+ b=cos a cosb sin a sin b. 3. sina b=sin a cosb sin b cos a. 4. sina+ b=sin a cosb+ sin b cos a. Formules de duplication. Pour tout réel a :. cosa=cos a sin a.. sina=sin a cos a. Pour démontrer la propriété 3.3, on a besoin d un lemme : Lemme 3.4. Pour tout réel x :. cos x=cos x.. cos π x = sin x. 3. sin π x = cos x. 4. sin x = sin x. Démonstration.. D après la propriété 3., cos x=cos0 x = cos0cos x+ sin 0sin x = cos x+ 0 sin x = cos x.. D après la propriété 3., π cos x = cos π cos x+ sin π sin x = 0 cos x+ sin x = sin x. 3. D après le point précédent, dans lequel on remplace x par π x "jeu d écriture" : π π π sin x = cos x = cos x. 9
4. D après la propriété 3. et le point, avec x qui remplace x : π sin x = cos x = cos x π = cos x cos π + sin x sin π = cos x 0+sin x = sin x. On peut maintenant démontrer la propriété 3.3 : La première formule d addition est déjà connue propriété 3.. On démontre la deuxième : d après le lemme et la propriété 3. : cosa+ b= cosa b = cos a cos b+sin a sin b = cos a cosb+ sin a sin b = cos a cosb sin a sin b. On démontre la quatrième formule d addition : d après le lemme et la propriété 3. : π sina+ b=cos a+ b π = cos a b π π = cos a cosb+ sin a sin b = sin a cosb+ cos a sin b. On laisse au lecteur le soin de démontrer la dernière formule d addition. On démontre enfin les formules de duplication. D après la formule d addition n : cosa=cosa+ a = cos a cos a sin a sin a = cos a sin a. Et d après la formule d addition n 4 : sina=sina+ a = sin a cos a+ sin a cos a = sin a cos a. 0