CHAPITRE 2 : Géométrie plane

CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs... 2 2 Somme de deux vecteurs... 3 2.1 Relation de Chasles... 3 2.2 Règle du parallélogramme... 3 3 Vecteurs dans un repère... 4 3.1 Coordonnées d un vecteur dans une base... 4 3.1.1 Base du plan... 4 3.1.2 Coordonnées d un vecteur dans une base... 4 3.2 Coordonnées d un point dans un repère... 4 3.2.1 Repère... 4 3.2.2 Coordonnées d un point dans un repère... 5 3.2.3 Lien coordonnées de points coordonnées de vecteurs... 5 4 Milieu d un segment... 5 4.1 Définition vectorielle... 5 4.2 Coordonnées du milieu... 5 5 Norme d un vecteur... 6 5.1 Définition et formule... 6 5.1.1 Définition... 6 5.1.2 Formule de calcul de la norme d un vecteur à partir de ses coordonnées... 6 5.2 Norme de ku... 6 6 Vecteurs colinéaires... 7 6.1 Définition... 7 6.2 Application : droites parallèles et points alignés... 7 6.3 Vecteurs colinéaires dans un repère... 8 6.4 Construction de ku... 8 7 Equations de droites... 9 7.1 Vecteur directeur... 9 7.2 Différents types d équation de droite... 9 7.2.1 Equation réduite... 9 7.2.2 Equation cartésienne générale... 10 1

CHAPITRE 2 : Géométrie plane 1 Egalité de deux vecteurs Deux vecteurs sont égaux s ils ont : La même longueur, la même direction et le même sens Exemples : Les vecteurs u et v ont : la même longueur? la même direction? (c est à dire colinéaires) le même sens? sont égaux? 2

2 Somme de deux vecteurs 2.1 Relation de Chasles 1 Soit A B et C trois points du plan. AB + BC = AC Remarque : En général, AB + BC AC 2.2 Règle du parallélogramme Dans le parallélogramme ABDC, la relation de Chasles permet d écrire : AB + BD = AD Mais comme ABDC est un parallélogramme alors BD = AC. Donc : AB + AC = AD 1 Michel Chasles mathématicien français (Épernon 1793 - Paris 1880). Ses travaux de géométrie supérieure marquent un retour à la géométrie pure. 3

3 Vecteurs dans un repère 3.1 Coordonnées d un vecteur dans une base 3.1.1 Base du plan Une base des vecteurs du plan est constitué de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : (i, j) (AB, AC ) où A, B et C sont trois points non alignés. A j O i B C 3.1.2 Coordonnées d un vecteur dans une base Lorsque OM = xi + yj, on dit que (x ; y) est le couple de coordonnées du vecteur OM dans la base (i, j) On peut écrire AD = 3i + 2j On peut écrire AD = 1AC + 1AB Donc le vecteur AD (3 ; 2) dans la base (i ; j). Donc le vecteur AD (1 ; 1) dans la base (AC ; AB ). 3.2 Coordonnées d un point dans un repère 3.2.1 Repère Un repère du plan est un triplet constitué d un point origine et de deux vecteurs non colinéaires. Exemples : (O, i, j) (A, AB, AC ) où A, B et C sont trois points non alignés. 4

3.2.2 Coordonnées d un point dans un repère Lorsque OM = xi + yj, on dit que (x ; y) est le couple de coordonnées du point M dans le repère (O, i, j) On peut écrire OD = 4i + 3j Donc le point D(4 ; 3) dans le repère (O; i, j). On peut écrire AD = 1AC + 1AB Donc le point D(1 ; 1) dans le repère (A ; AC ; AB ). 3.2.3 Lien coordonnées de points coordonnées de vecteurs Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans un repère (O ; i, j) alors les coordonnées du vecteur AB sont AB ( x B x A ) y B y A 4 Milieu d un segment A I 4.1 Définition vectorielle I m AB AB ) ( I est le milieu de IB IA 0 (définition vectorielle du milieu) Pour tout point M du plan: MA MB 2 MI (Propriété fondamentale) 4.2 Coordonnées du milieu Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) dans un repère (O ; i, j) alors les coordonnées du milieu I de [AB] sont I ( x A + x B 2 ; y A + y B ) 2 Soit A(4 ; 2) et B( 1 ; 1). Déterminer les coordonnées du milieu I de [AB]. B 5

5 Norme d un vecteur 5.1 Définition et formule 5.1.1 Définition Soit u un vecteur, A et B deux points du plan tels queu = AB. On appelle norme du vecteur u, que l on note u, la longueur du segment [AB]. On a donc u = AB. Propriétés : 0 = 0 Pour tout vecteur u, u est un réel positif. 5.1.2 Formule de calcul de la norme d un vecteur à partir de ses coordonnées Si dans un repère orthonormé du plan, u (x ; y), alors u = x 2 + y 2 Dans le repère orthonormé (O, i, j) on donne les points A(1 ; 1) et D(4 ; 3). 1. Calculer les coordonnées du vecteur AD. 2. En déduire la norme AD puis la distance AD 5.2 Norme de ku Pour tout vecteur u et pour tout réel k : ku = k u 1. En reprenant les données de l exemple précédent, calculer les coordonnées du vecteur 3AD 2. Vérifier que 3AD = 3 AD 6

6 Vecteurs colinéaires 6.1 Définition Deux vecteurs non nuls u et v sont dits colinéaires si, et seulement si, il existe un réel k tel que v = ku, c'est-à-dire s ils ont la même direction. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. Les vecteurs AD ( 3 ) et CE ( 9 ) sont colinéaires car il existe le réel k = 3 tel que CE = 3AD 2 6 6.2 Application : droites parallèles et points alignés Deux vecteurs AB et CD non nuls sont colinéaires, si et seulement si, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Dans un repère (O, i, j) on donne les points A(1; 1) B(2; 3) C(2; 1) D(2,5 ; 0). Montrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 7

Deux vecteurs AM et AB non nuls sont colinéaires, si et seulement si, les points A, M et B sont alignés. Dans un repère (O, i, j) on donne les points A(1; 1) B(2; 3) M(0,8; 0,5). Le point M appartient-il à la droite (AB)? 6.3 Vecteurs colinéaires dans un repère Condition de colinéarité Dans un repère quelconque, deux vecteurs u ( x ) et v (x y y ) sont colinéaires si et seulement si : xy yx = 0 Dans un repère (O, i, j) on donne les points A(1; 1) B(2; 3) C(2; 1) D(2,5 ; 0). Monter, en utilisant la condition de colinéarité que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 6.4 Construction de ku La construction repose sur les propriétés : u et ku sont colinéaires et ku = k u Si k > 0 alors u et ku sont de même sens. Si k < 0 alors u et ku sont de sens contraires. Construire un représentant d origine A de 2u et un représentant d origine B de 6u. On trace 2u parallèlement à la droite support de u passant par A de façon à ce que : 2u = 2 u et 2u a le même sens que u On trace 6u parallèlement à la droite support de u passant par B de façon à ce que : 6u = 6 u et 6u a le sens opposé à celui de u 8

7 Equations de droites 7.1 Vecteur directeur Définition : On appelle vecteur directeur d une droite (d), tout vecteur non nul dont la direction est celle de (d). Ainsi, si A et B sont deux points distincts de (d), les vecteurs directeurs de (d) sont les vecteurs non nuls colinéaires au vecteur AB. Les vecteurs AB, CD et EF sont des vecteurs directeurs de la droite (d) 7.2 Différents types d équation de droite 7.2.1 Equation réduite Soit (d) une droite du plan. Si (d) n est pas parallèle à l axe (Oy) alors (d) a une équation réduite de la forme y = mx + p m est un réel appelé coefficient directeur de la droite (d) p est un réel appelé ordonnée à l origine de la droite (d) y = 2x 1 Un vecteur directeur de (d) est v( 1 m ) Coefficient directeur m Ordonnée à l origine p (d) est la droite de coefficient directeur m = 2 et d ordonnée à l origine p = 1 9

7.2.2 Equation cartésienne 2 générale Cependant, certaines droites n ont pas d équation réduite y = mx + p. Ce sont les droites parallèles à l axe (Oy) qui n ont ni ordonnée à l origine ni coefficient directeur. Si (d) est parallèle à l axe (Oy) alors (d) a une équation réduite de la forme x = k avec k R x = 2 Un vecteur directeur de (d) est v( 0 1 ) (d) est l ensemble des points du plan dont l abscisse x = 2 De façon générale, toute droite (d) a une équation ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels avec (a ; b) (0 ; 0). Ce type d équation est appelé équation cartésienne générale (ou simplement équation cartésienne). Réciproquement, l ensemble des points M(x ; y) du plan tels que ax + by + c = 0 où a, b et c sont des réels avec (a ; b) (0 ; 0) est une droite (d) du plan. Exemples : La droite (d) d équation réduite y = 2x 1 a pour équation cartésienne 2x y 1 = 0 de la a = 2 forme ax + by + c = 0 avec { b = 1 c = 1 La droite (d) d équation réduite x = 2 a pour équation cartésienne x 2 = 0 de la forme ax + a = 1 by + c = 0 avec { b = 0 c = 2 Un vecteur directeur de (d) est v( b ). Cette remarque a permet d obtenir directement des vecteurs directeurs et donc de savoir si deux droites sont parallèles, d après leurs équations. 2 Cartésienne : relatif à la philosophie, aux œuvres de Descartes Descartes (René), philosophe, mathématicien et physicien français (La Haye, Indre-et-Loire, 1596 - Stockholm 1650). 10