Chapitre 14 Angles inscrits Polygones réguliers Compétences : Exemples d'activités, commentaires :. Remarques : Prévoir rapporteur, compas + TICE : Geogebra+ Retro projecteur + transparents Ex : 11,6,7,33,36,37p60 DM N 14 ex 60 p6 DST 14 poly I14 poly 5/5 Démonstrations : Activités 3 ;4 et 6 I. Angles inscrits- Angles au centre Activité 1 1) Partie 1 ) a) On dit que : l'angle BAD est inscrit dans le cercle (C). b) On dit que : l'angle BAD intercepte l arc de cercle BD du cercle (C). Partie 1) On dit que l'angle EIF est un angle au centre. )a)b) L arc de cercle rouge est appelé le petit arc de cercle EF. L arc de cercle vert est appelé le grand arc de cercle EF. Page 1 sur 8
1) Définitions Définitions : Dans un cercle, un angle inscrit est un angle dont le sommet est un point du cercle et dont les côtés coupent ce cercle. Dans un cercle, un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. Dans un cercle, un angle intercepte l arc de cercle AB lorsque ses côtés sont sécants avec le cercle aux points A et B. Remarque : Deux points distincts A et B d un cercle C définissent deux arcs de cercle. Exemple : Annexe 1 AMB s appelle l angle inscrit qui intercepte l arc AB. AOB s appelle l angle au centre qui intercepte l arc AB. ) Propriétés Activité - Geogebra - Conjecture Partie 1 1))3) 4) Je constate que dans chaque cas l angle AOB AMB. Je conjecture que dans le cercle C de centre O, tel que A, B et M sont sur ce cercle avec A et B non diamétralement opposés et M et O du même côté de la droite (AB) nous avons l angle au centre AOB qui intercepte l arc AB qui a une mesure égale au double de la mesure de l angle inscrit AMB qui intercepte le même arc. Annexe Page sur 8
Partie 1))3) 4) Je constate que dans chaque cas l angle AOB AMB. Je conjecture que dans le cercle C de centre O, tel que A, B et M sont sur ce cercle avec A et B non diamétralement opposés et M et O du même côté de la droite (AB) nous avons l angle au centre AOB qui intercepte l arc AB qui a une mesure égale au double de la mesure de l angle inscrit AMB qui intercepte le même arc. Annexe 3 Partie 3 Je conjecture que : Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l angle au centre est égale au double de celle de l angle inscrit. Activité 3 * Démonstration Partie 1 Cas particulier 1) Je sais que OA = OM car M et A sont sur le cercle C de centre O. Or un triangle qui a côtés égaux est un triangle isocèle. J en déduis que MOA est un triangle isocèle. Annexe 4 ) Je sais que MOA est un triangle isocèle or dans un triangle isocèle les angles de bases sont égaux. J en déduis donc AMO OAM a. Je sais que MOA est un triangle, or dans un triangle la somme de la mesure des angles est égale à 180. J en déduis donc que MOA 180 a (1) Je sais que les angles MOA et AON sont deux angles supplémentaires. Or la somme de la mesure de deux angles supplémentaires est égale à 180. J en déduis donc que MOA AON 180 MOA 180 AON () D après (1) et () 180 a 180 AON AON a AON AMN Page 3 sur 8
1) Annexe 5 Partie Cas général ) Annexe 6 a) AMN a NMB b AMB AMN NMB a b b) AON AMN a NOB NMB b c) AOB AON NOB a b AOB () a b AOB AMB a) AMB AMN BMN a b b) AON AMN a NOB NMB b c) AOB AON BON AOB a b () a b AOB AMB c) Je peux conclure que : dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, alors l angle au centre est le double de l angle inscrit. Propriété démontrée : Dans un cercle, si un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc de cercle, alors la mesure de l angle au centre est égale au double de celle de l angle inscrit. Annexe 7 Données Construction Conclusion Le cercle ( C ) a pour centre O. L angle au centre AOB et l angle inscrit AMB interceptent l arc de cercle AB. AOB AMB Page 4 sur 8
Remarque : Lorsque [AB] est un diamètre du cercle, AOB 180 et d après la propriété ci-dessus : AOB AMB 1 AMB AOB 1 AMB 180 90 Annexe 8 On retrouve la propriété vue en 4 e : Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté. Activité 4 * - Démonstration AOB AMB et AOB ANB Donc AMB ANB Nous avons démontré que AMB ANB Annexe 9 Je peux conclure que : Deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux. Propriété démontrée : Si deux angles inscrits dans un cercle interceptent le même arc de cercle, alors ils ont la même mesure. Annexe 10 Données Construction Conclusion Le cercle ( C ) a pour centre O. Les angles inscrits ANB et ANB AMB AMB interceptent l arc de cercle AB. Page 5 sur 8
II. Polygones réguliers 1) Définition Définition : Un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles intérieurs ont la même mesure. Activité 5 Seul le carré et le triangle équilatéral sont des polygones dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles intérieurs ont la même mesure. Ce sont donc des polygones réguliers. Le triangle isocèle, le rectangle, le cercle et le losange ne sont pas des polygones réguliers en effet : Le triangle isocèle et le rectangle n ont pas tous les côtés de même mesure. Un cercle n est pas un polygone. Dans un losange les angles intérieurs n ont pas tous la même mesure. ) Propriétés Activité 6 * - Démonstrations 1) a) Annexe 11 Partie 1 Je sais que la bissectrice de l'angle ABC et la bissectrice de l'angle BCD se coupent en un point O. Or La bissectrice d un angle est la demi-droite passant par le sommet qui partage cet angle en deux angles adjacents de même mesure. J en déduis que : ABC OBC et BCD OCB Je sais que les points A, B, C et D sont quatre sommets consécutifs du polygone régulier. Or un polygone régulier est un polygone dont tous les côtés ont la même longueur et dont tous les angles ont la même mesure. J en déduis que ABC BCD Si ABC BCD et si ABC OBC, BCD OCB alors OBC OCB Or si dans un triangle les deux angles à la base sont égaux alors ce triangle est isocèle. J en déduis que OBC est un triangle isocèle en O. Page 6 sur 8
b) Je sais que OBC est un triangle isocèle en O Or un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur. J en déduis que OB OC. ) a) Je sais que les points O et C sont invariants dans la symétrie d axe (CO). Je sais que (CO) est la bissectrice de l angle BCD. Or un angle possède un axe de symétrie : sa bissectrice. J en déduis que le symétrique de OCD par rapport à (CO) est OCB. b) Nous pouvons en déduire que le symétrique de B par rapport à (CO) est D. 3) Je sais que le symétrique de B par rapport à (CO ) est D. Or la symétrie axiale conserve les distances. J en déduis que OB = OD. Je sais que OB = OD et que OB =OC j en déduis que OB = OC = OD Il est possible de procéder de même pour les autres sommets du polygone régulier. Or un cercle est constitué de tous les points situés à une même distance d un point appelé centre du cercle. J en déduis que tous les sommets du polygone régulier appartiennent à un même cercle de centre O. Partie 1) a) Je sais que OB = OC = OD et que BC =BD. J en déduis que les triangles BOC et COD isocèles en O sont superposables. J en déduis que BOC COD b) On peut en déduire que les angles au centre d'un polygone régulier ont la même mesure. ) a) La somme des mesures des n angles au centre du polygone est égale à 360. b) J en déduis que la mesure d'un angle au centre d'un polygone régulier est de 360. n Propriété démontrée : Tous les sommets d un polygone régulier appartiennent à un même cercle. On dit que le polygone régulier est inscrit dans un cercle. Le centre de ce cercle est appelé centre du polygone régulier Propriété réciproque admise : Si un polygone est inscriptible dans un cercle et ses côtés ont la même longueur, alors c est un polygone régulier. Propriété démontrée: Soient A et B deux sommets consécutifs d un polygone régulier à n côtés et de centre O. Chaque angle au centre, tel AOB, du polygone régulier a une mesure égale à 360. n Page 7 sur 8
Activité 7 1) Triangle équilatéral ABC et son cercle circonscrit. ) Carré ABCD et son cercle circonscrit 3) Hexagone régulier ABCDEF et son cercle circonscrit 360 AOB 10 3 Chaque angle au centre mesure 10. 360 AOB 90 4 Chaque angle au centre mesure 90. 360 AOB 60 6 Chaque angle au centre mesure 60. Page 8 sur 8