Formes bilinéaires, produits scalaires Pour s entraîner... I Savoir reconnaître un produit scalaire Les applications ci-dessous sont-elles des formes bilinéaires? Si oui sont-elles symétriques? Définies? Positives? 1- Cas où est définie sur R² X R² : ( = 4 x x xy + x y + yy ( on pourra remarquer que (x,y) = ) ( = 4 x² + xx + yy y² ( = 4xx xy x y + yy 2- Cas où est définie sur R 3 X R 3 : ( ) = xx + yy 2xy + zz ( ) = 4xx + 3yy 2 xy 2 x y + zz 3- Cas où est définie sur M n (R) X M n (R) A est une matrice donnée de M n,1 (R) : ( M, N ) = t A t M N A 4- Cas où est définie sur C², C étant considéré comme un R-ev ( expliquer ce que cela signifie ). ( z, z ) = Re ( ) 5- Cas où est définie sur R R X R R : (f,g) = f [ g(0) ] 6- Cas où est définie sur E² où E est l espace des séries ( à coefficients réels ) convergentes : ( ) = ( ). ( ) II Savoir reconnaître des normes euclidiennes Indiquer si les applications N ci-dessous sont des normes euclidiennes? 1- Cas où N est définie sur R n avec X = N( X ) = avec n 2 2- Cas où N est définie sur R n [X] N(P) = N(P) = où a est un réel donné.
3- Cas où N est définie sur l ensemble C 0 (R) des fonctions de R dans R continues sur R : III Savoir utiliser les produits scalaires pour montrer des inégalités : Montrer les inégalités suivantes avec n IN* : 1- n² 2- Pour toute matrice M M n (R), M = ( m i,j ) 1 i, j n : Tr(M) Etudier les cas d égalité (on pourra penser au produit scalaire sur M n (R) : < A, B > = Tr( t A B ) ) 3- Pour toute fonction f continue et strictement positive sur ( 0, 1 ] : Etudier les cas d égalité 4- Pour toute fonction continue sur [ 0, 1 ] : Etudier les cas d égalité Eléments de correction des exercices précédents I Savoir reconnaître un produit scalaire 1- Cas où est définie sur R² X R² : on notera X =, X = ( = 4 x x xy + x y + yy ( on pourra remarquer que (x,y) = ) est bilinéaire ( propriété du produit matriciel et linéarité de la transposition ) n est pas symétrique car - xy + x y n est pas toujours égal à x y + xy (X,X) = 4x²+y² donc est définie positive. ( = 4 x² + xx + yy y² n est pas bilinéaire à cause de x² et de y², ainsi par exemple, pour X = et X = (X,X ) = 4 0 ( = 4xx xy x y + yy est bilinéaire car (X,X ) = t X X (propriété du produit matriciel et linéarité de la transposition ) est symétrique car (X,X ) = (X,X) (X,X) = 4x² - 2xy + y² = 3x² + (x-y)² : est donc définie positive est un produit scalaire sur R²
2- Cas où est définie sur R 3 X R 3 : on notera X = ; X = ( ) = xx + yy 2xy + zz est bilinéaire car (X,X ) = t X X ( propriété du calcul matriciel et linéarité de la transposition ) n est pas symétrique car (X,X ) contient -2xy mais 0 x y (X,X) = x²+y²-2xy+z² = (x-y)² + z² donc est positive mais non définie car (X,X) = 0 pour X = ( ) = 4xx + 3yy 2 xy 2 x y + zz est bilinéaire car (X,X ) = t X X ( propriété du calcul matriciel et linéarité de la transposition ) est symétrique (X,X) = 4x²+3y²-4xy+z² = (2x-y)² + 2y² + z² donc est définie positive. est bien un produit scalaire 3- Cas où est définie sur M n (R) X M n (R) A est une matrice donnée de M n,1 (R) : ( M, N ) = t A t M N A (M,N) est le produit de t A de taille (1,n) par t M de taille (n,n), puis par N de taille (n,n) et enfin par A de taille (n,1) donc (M,N) R et est une forme bilinéaire ( propriété du produit matriciel et linéarité de la transposition ) (M,N) = t (M,N) ( car (M,N) R ) donc M,N) = t A t N M A = (N,M) : est symétrique (M,M) = t A t M M A = t (MA) (MA) donc est positive ( en notant MA =, t (MA) (MA) = a 1 ² +... + a n ² 0 ) n est pas définie car il existe des matrice M non nulles telles que MA = O n,1 canoniquement associé à M et admettant le vecteur A dans son noyau ). ( il suffit de choisir un endomorphisme de R n 4- Cas où est définie sur C², C étant considéré comme un R-ev ( expliquer ce que cela signifie ). ( z, z ) = Re ( ) R-ev signifie que les complexes, en tant que vecteurs, sont multipliés par des scalaires réels. On sait que :, R, Re( z + z ) = Re(z) + Re(z ) et Donc est bilinéaire La partie réelle d un complexe est égale à la partie réelle de son conjugué donc est symétrique Re(z ) = z ² donc est définie positive. 5- Cas où est définie sur R R X R R : (f,g) = f [ g(0) ] n est pas bilinéaire car f n est pas forcément linéaire, ainsi par exemple, pour f(x) = x²+1 et g(x) = 0 (f,g) = 1 0 6- Cas où est définie sur E² où E est l espace des séries ( à coefficients réels ) convergentes : ( ) = ( ). ( ) est bilinéaire et symétrique ( propriété des séries convergentes et de leurs sommes ) ( ) = ( )² donc est positive mais n est pas définie car pour a 0 =1, a 1 = -1 et a n = 0 pour n 2, ) = ( )² = 0 mais le terme général a n n est pas nul pour n 1.
II Savoir reconnaître des normes euclidiennes Indiquer si les applications N ci-dessous sont des normes euclidiennes? 1- Cas où N est définie sur R n avec X = et Y = N( X ) = avec n 2 N n est pas une norme euclidienne car en posant (X,Y) = En effet, (X,Y) =, n est pas bilinéaire. pour X= Y = = Z, 2 (X,Y) = 2 (X,Z) = N(X+Y)² - N(X)² - N(Y)² = 1 4 1 = -4 et 2 (Y,Z) = 2 2 (X+Y,Z) = N(X+Y+Z)² - N(X+Y)² - N(Z)² = 4-1-1=2 donc (X+Y,Z) (X,Z) + (Y,Z) (X,Y) = x 1 y 1 + x 1 y 2 + x 2 y 1 + 3 x 2 y 2 + x 3 y 3 = t X Y : vérifie N(X) ² = (X,X) et est bilinéaire ( propriété du produit matriciel et linéarité de la transposition ), symétrique (X,X) = x 1 ² + 2 x 1 x 2 + 3x 2 ² + x 3 ² = (x 1 + x 2 )² + 2x 2 ² + x 3 ² donc est définie positive est un produit scalaire donc N est une norme euclidienne (X,Y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + 4 x 3 y 3 x 1 y 2 x 2 y 1 + x 1 y 3 + x 3 y 1 + x 2 y 3 + x 3 y 2 = t X Y : vérifie N(X) ² = (X,X) et est bilinéaire ( propriété du produit matriciel et linéarité de la transposition ), symétrique (X,X) = = (x 1 - x 2 + x 3 )² + (2 x 2 + x 3 )² + 2 x 3 ² donc est définie positive est un produit scalaire donc N est une norme euclidienne 2- Cas où N est définie sur R n [X] N(P) = On pose P, Q R n [X], (P,Q) = On remarque que N(P) = est symétrique ( par commutativité de la multiplication dans R ) est bilinéaire ( par distributivité de la multiplication par rapport à l addition dans R ) (P,P) 0 ( car un carré de réel est positif et toute somme de réels positifs est positive ) Si (P,P) = 0 alors k 0, n, P(k) = 0 donc P = O R[X] car P a plus de racines que son degré (deg P n ) est un produit scalaire donc N est une norme euclidienne. N(P) = où a est un réel donné. On pose P, Q R n [X], (P,Q) = On remarque que N(P) = est symétrique ( par commutativité de la multiplication dans R ) est bilinéaire ( par distributivité de la multiplication par rapport à l addition dans R et linéarité de la dérivation ) (P,P) 0 ( car un carré de réel est positif et toute somme de réels positifs est positive ) Si (P,P) = 0 alors k 0, n, P (k) (a) = 0 donc P = O R[X] d après la formule de Taylor dans R n [X] : P(X) = est un produit scalaire donc N est une norme euclidienne.
3- Cas où N est définie sur l ensemble C 0 (R) des fonctions de R dans R continues sur R : On pose : f,g C 0 (R), (f,g) = On remarque que est symétrique car fg = gf est bilinéaire par linéarité de l intégration (f,f) 0 car : t [ 0, ] f²(t) sin(t) 0 et positivité de l intégrale Si (f,f) = 0, alors puisque t f²(t) sin(t) est continue et positive sur [ 0, ] : t [ 0, ], f²(t) sin(t) = 0 donc t ] 0, [, f(t) = 0 et f étant continue sur ( 0, ], f(0) = = 0 et f( ) = = 0 donc f est la fonction nulle sur [ 0, ] est un produit scalaire donc N est une norme euclidienne. N n est pas une norme euclidienne : On pose (f,g) = n est manifestement pas bilinéaire à cause des racines carrées, et de la puissance 4. Mais il vaut mieux le prouver avec un contre-exemple Pour f(t) = g(t) = h(t) = 1 (f,h) = (g,h) = 14 alors que (f+g,h) = 64 f,h) + (g,h) III Savoir utiliser les produits scalaires pour montrer des inégalités : Méthode à connaître : 1) trouver un produit scalaire adapté ( dans R n, sauf indication contraire, il s agira du produit scalaire canonique ) 2) trouver les bons vecteurs pour appliquer l inégalité de Cauchy-Schwarz Montrer les inégalités suivantes avec n IN* : 1- n² Produit scalaire canonique sur R n u=, v =, w =, z = < u, w > ² = n² u ² w ² = < v, z >² v ² z ² n 2- Pour toute matrice M M n (R), M = ( m i,j ) 1 i, j n : Tr(M) Cas d égalité? (on pourra penser au produit scalaire sur M n (R) : < A, B > = Tr( t A B ) ) Tr(M) = Tr( t I n M = < I n, M > avec égalité ssi M est proportionnelle à I n autrement dit M diagonale avec des termes diagonaux égaux.
3- Pour toute fonction f continue et strictement positive sur ( 0, 1 ] : Produit scalaire adapté : < f, g > = ( vérifier que c est bien un produit scalaire, cf exemple du cours ) On applique l inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions et <, > = = 1 puis en élevant au carré : 1 Avec égalité ssi il existe R tel que = autrement dit ssi f est constante. 4- Pour toute fonction continue sur [ 0, 1 ] : Produit scalaire adapté le même que précédemment ) : < f, g > = On applique l inégalité de Cauchy-Schwarz aux fonctions t et t Avec égalité ssi f est constante. On peut aussi prendre d autres produits scalaires ( par exemple < f, g > = <f,1> en appliquant Cauchy-Schwarz à