Mini-Projet d analyse numérique du cours MAP 411 : Autour du flot de la chaleur pour les applications harmoniques Sujet proposé par Antoine Hocquet 014-015 La partie numérique devra être envoyée à l adresse antoine.hocquet@cmap.polytechnique.fr. Instructions. Pour vos programmes, Il vous est demandé d utiliser Matlab ou Scilab (de préférence Matlab si vous pouvez). Vous m enverrez vos fichiers (fonctions et scripts) dans un dossier compressé comportant votre nom. Surtout n écrivez pas tous les programmes dans un seul fichier! Pour chaque question numérique, créez un script qui comporte le numéro de la question dans son nom. Par exemple s il s agit de la question 4, et que vous avez besoin d appeler une fonction fonction.fn, créez un script question4.sc dans lequel vous écrirez : % Commentaires : que fait ce script? % que représente la figure? % etc... clear all; close all; N=50; x=linspace(0,1,n); epsilon=0.1; [u,v]=fonction(epsilon,x); plot(u,v) \\ donnez les valeurs \\ de vos entrées \\ et paramètres. \\ appelez votre fonction \\ tracez votre graphique Chaque programme (script ou fonction) devra comporter des commentaires précisant 1. le numéro de la question à laquelle il répond ; 1
. quelle est la nature des éléments pris en entrée ; 3. idem pour les sorties. Si le programme produit un résultat aberrant, ou ne marche pas, précisez-le en commentaire en bas du script. 1 Introduction Nous considérons le flot des applications harmoniques, allant du disque vers la sphère D := {x =(x 1,x ), x < 1} S := y R 3, y =1. Celui-ci s écrit, pour une donnée initiale u 0 C 1 (D), @ t u = u + u ru pour (t, x) R + D, u(x, 0) = u 0 (x) pour x dans D, u(,t)=u 0 sur la frontière @D, t 0. (1) Ici u désigne l inconnue, qui est un champ de vecteurs de norme unité, i.e. u : R + D! S R 3. L étude de (1) a été initiée par Eells et Sampson [1] dans le but de construire des applications harmoniques d une surface D dans une variété (qui ici est S ), qui soit une déformation continue de u 0. En effet, sous certaines conditions, la limite asymptotique d une solution globale de (1) vérifie 0= u + u ru, x D, c est à dire que u est harmonique de D dans S. En physique, l équation (1) survient dans deux situations : la théorie des cristaux liquides, ainsi que le micromagnétisme (équation de Landau-Lifshitz-Gilbert []). Il se peut qu il n existe pas, au sens C 1,desolutionu(t, ) pour tout t 0. Dans ce cas on dit que u explose en temps fini. Notation. L expression a b désignera le produit scalaire canonique d un espace euclidien, indifféremment selon que a, b désignent des matrices ou des vecteurs. On notera désigne la norme euclidienne associée. La notation ru désigne la norme euclidienne au carré de la matrice jacobienne de u, i.e. si u =(u 1,u,u 3 ), ru := 4 ru 1 ru ru 3 3 5 = X i,j (@ xi u j (x)) = X j ru j.
Le Laplacien d une fonction vectorielle u est bien sûr où =@ x 1 + @ x. Préliminaires (7pts) u =( u 1, u, u 3 ),.1 Equation générale (3+1pts) On admettra que toute solution régulière u de (1) préserve la contrainte u(t, x) S, pour tout (t, x) tel que u est bien définie. 1. Montrer, en utilisant la contrainte, que toute solution u vérifie que @ t u est orthogonal point par point à u.. Dans le cas où u 0 s annule sur le bord du disque @D, montrer que pour toute solution u, l énergie de Dirichlet Z E(t) = ru(t, x) dx D est une fonction décroissante du temps t. On pourra prendre formellement le produit scalaire de (1) avec @ t u. 3. Montrer que (1) est un problème gradient pour la fonctionnelle E, c est à dire que toute solution régulière vérifie où pour v C 1 (D). de(u)[v] := d dt t=0 @ t u = de(u), Z D u + tv r dx. u + tv Remarque : L application linéaire v 7! de(u)[v], v C 1 sera identifiée à la fonction x 7! w u (x) telle que pour tout v, Z de(u)[v] = w u vdx. 4. (Bonus) Quel est le gradient associé à la contrainte 8(t, x) R + D, u(t, x) =1. Justifier par analogie avec le cours. Mise à part sa signification en terme de densité d énergie, à quoi correspond le terme ru dans le membre de droite de (1)? D 3
. Solutions symétriques (4pts) On effectue le changement de variable (x 1,x )=(r cos, r sin ), r, [0, 1] [0, ). On rappelle que le gradient en polaires s écrit formellement où r = e r @ r + e 1 r @, e r := (cos, sin ), e =( sin, cos ). Quant au Laplacien, celui-ci sécrit : =@ rr + 1 r @ r + 1 r @. Il peut être montré que dans le cas d une condition aux bords symétrique du type x1 u 0 (x) : = = x sin h 0( x ), x x sin h 0( x ), cos h 0 ( x ) = (cos sin h 0 (r), sin sin h 0 (r), cos h 0 (r)), pour (x 1,x )=r(cos, sin ), x D, alors (1) admet des solutions symétriques s écrivant x1 u(t, x) = x sin h(t, x ), x sin h(t, x ), cos h(t, x ) x = (cos sin h(t, r), sin sin h(t, r), cos h(t, r)). () 1. Exprimer ru (t, x) en fonction h(t, r), oùr = x.. En déduire E(t), quand u(t, ) est bien définie. 3. Injecter l expression () dans (1). Prendre le produit scalaire de l égalité ainsi obtenue avec le vecteur u? (t, x) = (cos cos h(t, r), sin cos h(t, r), sin h(t, r)), (3) et en déduire l équation vérifiée par h(t, r), r (0, 1). Quelles sont les conditions au bord dans le cas où u 0 (x) @D e z := (0, 0, 1)? 3 Différences finies (15pts) On considère l équation en polaires 8 >< @ t h = @ rr h + 1 r @ sin h/ rh r, (t, r) R + (0, 1), h(t, 0) = h(t, 1) = 0, t R >:, h(r, t = 0) = h 0 (r), r (0, 1). (4) 4
1. Remarquant que l équation @ t h = 1 r @ rh est une équation de type transport à vitesse variable, préciser, dans le cas d un schéma décentré pour (4), laquelle de ces deux approximations est la bonne : @ r h ' (h(r + r) h(r))/ r ou pour r>0 @ r h ' (h(r) h(r r))/ r,. Proposer un schéma aux différences finies explicite en temps pour (4), et créer une fonction h=explicit_df(r,h0,t,dt), qui donne le vecteur en fonction de (h n i ), 0 apple ndt apple T, 0 apple idr apple 1 r =(r i ) 0appleidrapple1, (h 0,i ) 0appleidrapple1, dt > 0, et T>0. Ici le paramêtre n correspond à la discrétisation en temps et i correspond à la discrétisation en espace. En vous aidant du cours, expliquer pourquoi les pas de temps et d espace doivent vérifier une condition CFL du type dt < constante A. (dr) Numériquement, quelle valeur observez-vous pour A? 3. On peut montrer que si h 0 (r) cr(1 r), avec c>0 suffisamment grande, alors la solution h esplose dans le sens suivant : il existe t > 0, tel que lim t!t @ rh(t, 0)! 1. Dans un script, tester le programme précédent pour h 0 (r) =cr(1 r), pour différentes valeurs de c>0. Évaluer approximativement la valeur limite c expl pour laquelle on observe un phénomène d explosion en temps fini. Pour une donnée initiale bien choisie, tracer deux graphes représentant respectivement : la solution h(t, ) (juste avant explosion), la solution h(t +, ) (juste après). 4. Utilisant le même programme que pour la question précédente, réaliser un script qui trace l énergie E(t) au cours du temps. Qu observe-t-on dans le cas d une explosion quand t = t? 5
5. En faisant attention aux conditions aux bords, créer un programme implicit_df(r,h0,t,dt) qui implémente le pendant implicite du schéma précédent. Quel est l avantage de ce programme par rapport au cas explicite? Refaire les questions 3 et 4 dans le cas implicite. En particulier, donner la valeur de c>0 optimale, et comparer les deux valeurs obtenues c impl et c expl. Références [1] J. Eells and J. H. Sampson. Harmonic mappings of riemannian manifolds. American Journal of Mathematics, pages 109 160, 1964. [] L. D. Landau and E. Lifshitz. On the theory of the dispersion of magnetic permeability in ferromagnetic bodies. Phys. Z. Sowjetunion, 8(153) :101 114, 1935. 6