T S 7 h Devoir surveillé n 5 Vendredi 7 janvier 006 1 Résolution d une équation différentielle On considère l équation différentielle : y ' y e x (E). 1 Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) x e x est une solution de (E). Résoudre l équation différentielle : y ' y 0 (E 0 ). 3 Démontrer qu une fonction v définie sur IR est solution de (E) si et seulement si v u est solution de (E 0 ). 4 En déduire toutes les solutions de l équation (E). 5 Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0. Soit m la fonction définie sur [ 0 ; + [ : t m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau + sel) à l'instant t, t en minutes. On admet que la fonction m vérifie : m(0) 300 et m est une solution sur [0 ; + [ de l'équation différentielle (E) 5 y' + y 0. 1 a) Résoudre l'équation différentielle (E). b) Montrer que pour tout t de [0 ; + [ on a : m(t) 300 e 0, t Déterminer le réel t 0 tel que m(t 0 ) 150. 3 on admet qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t) 10 A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel? 3 1 Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction f k définie sur IR par : f k (x) x + 1 k ex 1 + k e x. a) Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction f k est solution de l équation différentielle : (E) : y ' (y x) +1. b) En déduire le sens de variations de f k sur IR. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormal (O; i ; j ) Sur l annexe, on a représenté la droite D d équation y x 1, la droite D ' d équation y x + 1 et plusieurs courbes C k correspondant à des valeurs particulières de k. Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ' passant par le point A de coordonnées (1 ; 1). 3 On remarque que, pour tout x réel, on a : f k (x) x 1 + En déduire pour tout k strictement positif : - la position de la courbe C k par rapport aux droites D et D '. - les asymptotes de la courbe C k. 1 + k e x (1) et f k (x) x + 1 k ex 1 + k e x (). 4 Equations. 1 Pour tout nombre complexe z, on considère f (z) z 4 z 3 + 5 z z + 4. a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f (i b). En déduire que l équation f (z) 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. b) Montrer qu il existe deux nombres réels α et β, que l on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, f (z) (z +1) (z + α z + β). c) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation : f (z) 0. Résoudre dans IC l'équation : z 3 z + 4 0.
5 1 Résoudre dans IC l équation : 4 z 1 z + 153 0. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, u, v), d unité graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d affixes respectives : z A 3 + 6 i, z B 3 6 i ; z C 3 1 4 i, z P 3 + i et le vecteur w d affixe z w 1 + 5 i. a) Déterminer l affixe z Q du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur w. b) Déterminer l affixe z R du point R, image du point P par l homothétie h de centre C et de rapport 1 3. c) Déterminer l affixe z S du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d angle π. Placer les points P, Q, R et S. 3 a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme. b) Calculer : z R z Q z P z Q. En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. c) Justifier que les points P, Q, R et S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l affixe de son centre Ω et son rayon ρ. 4 La droite (AP) est-elle tangente au cercle C? y CORRECTION j O i x
1 Résolution d une équation différentielle. On considère l équation différentielle : y ' y e x (E). 1 Démontrer que la fonction u définie sur R par u(x) x e x est une solution de (E). pour tout réel x : u '(x) 1 e x + x e x et u '(x) u(x) e x + x e x x e x e x. u est donc bien solution de (E) Résoudre l équation différentielle : y ' y 0 (E 0 ). On sait que les solutions de (E 0 ) sont de la forme : x C e x. 3 Démontrer qu une fonction v définie sur IR est solution de (E) si et seulement si v u est solution de (E 0 ). u est solution de (E) donc u ' u x e x. v solution de (E) si et seulement si v ' v x e x si et seulement si v ' v u ' u si et seulement si v ' u ' (v u) 0 si et seulement si v u est solution de (E 0 ) 4 En déduire toutes les solutions de l équation (E). Les solutions de (E 0 ) sont de la forme x C e x x donc les solutions de (E) sont de la forme x u(x) + C e f solution de (E) définie sur IR par : f(x) x e x + C e x 5 Déterminer la fonction, solution de (E), qui prend la valeur 1 en 0. f solution de (E) définie sur IR par : f(x) x e x + C e x f(0) 1 0 e 0 + C e 0 1 C 1. F est donc définie sur IR par : f(x) x e x + e x. Soit m la fonction définie sur [ 0 ; + [ : t m(t) où m(t) est la masse de sel, en grammes, que contient une "solution salée" (eau + sel) à l'instant t, t en minutes. On admet que la fonction m vérifie : m(0) 300 et m est une solution sur [0 ; + [ de l'équation différentielle (E) 5 y' + y 0. 1 a) Résoudre l'équation différentielle (E). 5 y ' + y 0 y ' y y ' 0, y. Les solutions de (E) sont de la forme : t C e 0,t 5 b) Montrer que pour tout t de [0 ; + [ on a : m(t) 300 e 0, t On a : m(0) 300 C e 0 300 C 300. La fonction m est définie sur IR par : m(t) 300 e 0,t Déterminer le réel t 0 tel que m(t 0 ) 150. m(t 0 ) 150 300 e 0,t 0 150 e 0,t ln 0,5 0 0,5 0, t 0 ln (0,5) t 0 0, t 0 3,47 mn donc t 0 3 mn 8 s 3 on admet qu'il est impossible de détecter la présence de sel à l'instant t si, et seulement si, m(t) 10 A partir de quel instant est-il impossible de détecter la présence de sel? 10 m(t) 10 300 e 0,t 10 e 0,t 10 10 300 ln 10 300 0, ln 300 0, t ln 300 t 0, 51,54. à partire d'environ 51 mn 33 s il est impossible de détecter la présence du sel.
3 1 Pour tout réel k positif ou nul, on considère la fonction f k définie sur IR par : f k (x) x + 1 k ex 1 + k e x. a) Justifier que, pour tout réel k positif ou nul, la fonction f k est solution de l équation différentielle : : y ' (y x) +1. f k '(x) 1 + k ex (1 + k e x ) (1 k e x ) k e x (1 + k e x ) 1 + k e x + k e x k e x k e x k e x + k e x (1 + k e x ) 1 + k e x (1 + k e x ) (f k (x) x) + 1 1 k e x 1 + k e x + 1 1 k ex + k e x + 1 + k e x + k e x (1 + k e x ) + k e x (1 + k e x ) f k '(x) b) En déduire le sens de variations de f k sur IR. pour tout réel x, f k '(x) 1 > 0 donc f k est croissante sur IR. On note C k la courbe représentative de la fonction f k dans un repère orthonormal (O; i ; j ) Sur l annexe, on a représenté la droite D d équation y x 1, la droite D ' d équation y x + 1 et plusieurs courbes C k correspondant à des valeurs particulières de k. Déterminer le réel k associé à la courbe C passant par le point O puis celui associé à la courbe C ' passant par le point A de coordonnées (1 ; 1). f k (0) 0 0 + 1 k 1 + k 0 k 1 et f k(1) 1 1 + 1 k e 1 + k e 1 k 1 e 3 On remarque que, pour tout x réel, on a : f k (x) x 1 + 1 + k e x (1) et f k (x) x + 1 k ex 1 + k e x (). En déduire pour tout k strictement positif : - la position de la courbe C k par rapport aux droites D et D '- les asymptotes de la courbe C k. f k (x) (x 1) 1 + k e x > 0 donc C k est toujours au dessus de D f k (x) (x + 1) k ex 1 + k e x < 0 donc C k est toujours au dessous de D ' On pose X k e x on a : lim k x + ex + (k 0) donc lim f k(x) (x 1) lim x + x + D est asymptote à C k en +. X 1 + X 0 On pose X k e x On a : lim k x ex 0 donc lim f k(x) (x + 1) lim x Donc D ' est est asymptote à C k en. x 0 1 + k e x lim X + X 0 4 1 Pour tout nombre complexe z, on considère f (z) z 4 z 3 + 5 z z + 4. a) Soit b un nombre réel. Exprimer en fonction de b les parties réelle et imaginaire de f (i b). En déduire que l équation f (z) 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solution. f(i b) i 4 b 4 i 3 b 3 + 5 i b i b + 4 b 4 + i b 3 5 b i b + 4. Re(f(i b)) b 4 5 b + 4 et Im (f(i b)) b 3 b. f(i b) 0 Re(f(i b)) 0 Im (f(i b)) 0 b 4 5 b + 4 0 b 3 b 0 b 0 0 4 5 0 + 4 0 ou b 1 1 5 1 + 4 0 b 1 b 1 ou b 1. L'équation f(z) 0 admet i et i comme solutions imaginaires pures b) Montrer qu il existe deux nombres réels α et β, que l on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe z, f (z) (z +1) (z + α z + β). i et i sont solutions de l'équation f(z) 0 donc f(z) est divisible par (z + i) (z i). Par identification on peut dire que 1 β 4 c'est à dire β 4. f(z) (z + 1) (z + α z + 4) z 4 z 3 + 5 z z + 4 z 4 + α z 3 + 4 z + z + α z + 4 Il suffit de prendre α. On a donc z IC, f(z) (z + 1) (z z + 4) c) Résoudre dans l ensemble des nombres complexes l équation : f (z) 0. f(z) 0 z + 1 0 ou z z + 4 0. Résolution de l'équation z z + 4 0. ( ) 4 4 1 ( i 3) les solutions sont donc : z 1 + i 3 1 + i 3 et z 1 i 3. S {i, i, i 3, i 3 } Résoudre dans IC l'équation : z 3 z + 4 0. ( 3) 4 4 4 3 4 4 4 ( i). Les solutions sont donc z 1 3 + i 3 + i et z 3 i.
5 1 Résoudre dans IC l équation : 4 z 1 z + 153 0. ( 1) 4 4 153 144 448 304 48 i) 1 + 48 i. les osl sont donc z 1 3 4 + 6 i et z 3 6 i. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé (O, u, v ), d unité graphique 1 cm on considère les points A, B, C, P d affixes respectives : z A 3 + 6 i, z B 3 6 i ; z C 3 1 4 i, z P 3 + i et le vecteur w d affixe z w 1 + 5 i. a) Déterminer l affixe z Q du point Q, image du point B dans la translation t de vecteur w. t(b) Q z Q z B + z w z Q 3 6 i 1 + 5 i z Q 1 7 i b) Déterminer l affixe z R du point R, image du point P par l homothétie h de centre C et de rapport 1 3. R h(p) z R z C 1 3 (z P z C ) z R z C z P z C 3 z R 3 1 4 i 1 3 6 + 9 4 i 3 1 4 i 3 4 i 5 i z R 3 1 4 i 1 3 ( 3 + i + 3 + 1 4 i) c) Déterminer l affixe z S du point S, image du point P par la rotation r de centre A et d angle π. Placer les points P, Q, R et S. S r(p) z S z A e i π/ (z P z A ) z S z A i (z P z A ) z S 3 + 6 i i 3 + i 3 6 i 3 + 6 i i 3 4 i 3 + 6 i 3 i 4 5 + 9 i A 3 a) Démontrer que le quadrilatère PQRS est un parallélogramme. PQ a pour affixe z Q z P 1 7 i 3 i 5 11 i S SR a pour affixe : z R z S 5 i + 5 9 i 5 11 On a bien PQ i SR donc PQRS est un parallélogramme. b) Calculer : z R z Q z P z Q. En déduire la nature précise du parallélogramme PQRS. z R z Q 5 i 1 + 7 i 11 + 5 i et z P z Q 3 + i 1 + 7 i 5 + 11 i 11 z R z Q + 5 i z P z Q 5 + 11 i 55 + 11 i + 5 i + 55 146 11 + 5 i 5 + 11 i i. ( 11 + 5 i) (5 11 i) 5 + 11 z R z Q z P z i 1 donc QR QP et arg Q z R z Q z π donc QR QP P z Q La parallélogramme PQRS a deux côtés consécutifs de même longueur et un angle droit c'est donc un carré. c) Justifier que les points P, Q, R, S appartiennent à un même cercle, noté C. On calculera l affixe de son centre Ω et son rayon ρ. Un carré est inscrit dans un cercle. le centre du cercle est le milieu des diagonales. ω z P + z R 3 + i 5 i 1 + 1 i 4 La droite (AP) est-elle tangente au cercle C? AP a pour affixe : z P z A 3 + i 3 6 i 3 4 i. ΩP a pour affixe : z P ω 3 + i + 1 1 i 4 + 3 i AP ΩP 3 4 + ( 4) 3 0 donc (AP) (ΩP) donc (AP) est bien tangente en p à C. R C O Q B P