Table des maières I- Des quesions en vrac... 1 I-1- Peu-on ajouer des pourcenages?... 1 I-1-1- Exemple 1... 1 I-1-2- Exemple 2... 1 I-1-3- Exemple 3... 2 I-1-4- Exemple 4... 2 I-2- Pourcenages successifs. Commen connaîre le pourcenage d'évoluion final?... 2 I-2-1 Exemple 5... 2 I-2-2- Exemple 6... 2 I-3- Un chiffre d'affaires qui augmene e un pourcenage d'évoluion qui diminue. Es-ce possible?... 2 I-4- Pourcenage de pourcenage?... 2 I-5- Variaions absolue ou relaive. Indice. Coefficien muliplicaeur. Quel lien avec un pourcenage?... 2 I-5-1- Exemple 7... 2 I-5-2- Exemple 8... 3 II- Des définiions e propriéés... 3 II-1- Proporion... 3 II-1-1- Définiion... 3 II-1-2- Propriéé... 3 Conséquence:... 4 II-2- Pourcenages... 4 II-2-1- Définiion... 4 II-2-2- Pourcenage d'évoluion e coefficien muliplicaeur... 4 II-3- Indice... 4 III- Quelques exemples de calculs... 5 III-1 Exemple résolu 1... 5 III-2- Exemple résolu 2... 5 Applicaion numérique:... 5 III- 3- Exemple résolu 3... 6 Les calculs... 6 Dans la première parie, quelques exercices permean d'aborder les opéraions sur les pourcenages... Dans la seconde parie, les définiions e propriéés uiles Dans la roisième parie, des exemples supplémenaires. I- Des quesions en vrac I-1- Peu-on ajouer des pourcenages? I-1-1- Exemple 1 Une enreprise emploie % de femmes. 35% de femmes son des cadres e 12% des hommes son des cadres. Quel es le pourcenage de cadres dans cee enreprise? I-1-2- Exemple 2 Dans une classe de 1ES, 90% des élèves son des demi-pensionnaires e 60% des demi-pensionnaires son des filles. 1/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09
Quel es le pourcenage de filles demi-pensionnaires dans cee classe? I-1-3- Exemple 3 Dans une classe de 1ES, les deux LV1 son allemand e anglais. 30% des élèves son des garçons anglais LV1 e 15% des élèves son des garçons allemand LV1. Quel es le pourcenage de garçons dans cee classe? I-1-4- Exemple 4 Dans une classe de 1ES, un sondage révèle que 30% des élèves son des garçons lisan l'équipe e 15% des élèves son des garçons lisan Oues-France. Que peu-on conclure? I-2- Pourcenages successifs. Commen connaîre le pourcenage d'évoluion final? I-2-1 Exemple 5 Le prix du lire de gazole éai de 1,279. Pendan un mois, il a subi les évoluions successives suivanes: augmenaions de 2%, puis de 3%, puis diminuion de 1%, puis augmenaion de 2%, puis diminuions de 3%, puis de 1%. Quel es le prix final? Quel es le pourcenage d'évoluion du prix sur ce mois? I-2-2- Exemple 6 Le aux de chômage a augmené de 2%. De combien doi-il baisser pour revenir au aux iniial? I-3- Un chiffre d'affaires qui augmene e un pourcenage d'évoluion qui diminue. Es-ce possible? Le ableau suivan donne le chiffre d'affaires en millions d'euros d'une enreprise. Calculer le pourcenage d'évoluion du C.A. chaque année. année 2002 2003 2004 2005 C.A. en M 15 18 21 24 I-4- Pourcenage de pourcenage? Dans un groupe de personnes, 70% de ces personnes son des hommes e parmi ces hommes % poren des lunees. Quel es le pourcenage d'hommes à lunees dans ce groupe? I-5- Variaions absolue ou relaive. Indice. Coefficien muliplicaeur. Quel lien avec un pourcenage? I-5-1- Exemple 7 Une paire de chaussures coûai 75 (Valeur iniiale: VI). Elle vau mainenan 90 (Valeur finale: VF) 2/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09
Compléer le ableau suivan: Variaion absolue Variaion relaive Indice base I 0 = Coefficien muliplicaeur Pourcenage d'évoluion Calculs dans quelle unié hausse ou baisse Calcul liéral I-5-2- Exemple 8 Une ordinaeur valai 800 (Valeur iniiale: VI). Il vau mainenan 500 (Valeur finale: VF) Compléer le ableau suivan: Variaion absolue Variaion relaive Indice base I 0 = Coefficien muliplicaeur Pourcenage d'évoluion Calculs dans quelle unié hausse ou baisse Calcul liéral II- Des définiions e propriéés II-1- Proporion Soi l'égalié suivane: 5 15 = 7 21 La par de 5 dans 15 es la même que celle de 7 dans 21. II-1-1- Définiion Une proporion es une égalié enre des rappors. Une proporion implique au moins quare nombres. II-1-2- Propriéé b e d éan des nombres réels non nuls, a b = c d équivau à ad = bc 3/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09
Conséquence: Lorsqu'on connaî rois nombres dans une proporion, on peu calculer le quarième nombre Exemple: Calculer x el que 17 x = 25 13 On a: 25 x = 17 13, d'où x = 17 13 = 8,84 25 Il es d'usage couran d'exprimer des proporions en ermes de pourcenage II-2- Pourcenages II-2-1- Définiion Un pourcenage es une façon d'exprimer une proporion ou une fracion dans un ensemble en supposan que ce ensemble conien élémens. Exemple: Dans une classe de 20 élèves, 45% des élèves son des garçons. Soi x le nombre (la par) de garçons dans cee classe, on a: x 20 = 45 II-2-2- Pourcenage d'évoluion e coefficien muliplicaeur Un pourcenage ser aussi à exprimer une évoluion (hausse ou baisse). Une quanié es passée d'une valeur () à une aure valeur (NV)., soi: x = 20 0,45 = 9 L'ancienne valeur () a éé mulipliée par un coefficien muliplicaeur (CM) e on a la relaion suivane: NV = CM ou encore CM = NV On noe % le aux de variaion en pourcenage, on a alors: La variaion en pourcenage (pourcenage d'évoluion) es: CM = 1 + CM = 1 II-3- Indice en cas de hausse en cas de baisse. NV NV Voici deux définiions (données dans un dicionnaire) au mo indice = en cas de hausse. = en cas de baisse. Indice des prix: nombre expriman le rappor enre le prix uniaire de ceraines denrées e services à une période donnée e le prix de ces mêmes denrées e services à une période de référence. Indice de consrucion: [bâ.] Indice déerminé par l'insee, qui rend compe rimesriellemen du coû moyen de la consrucion (à 4/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09
parir d'une base au quarième rimesre 1953, le coû de la consrucion éai par exemple de 6 au premier rimesre 1992). De façon générale, une producion P es associée à un indice I e une producion P' es associée à un indice I'. On a alors: P ' P = I ' I. Le pourcenage d'évoluion es donné par I ' I I En praique, on affece l'indice à une année de référence e en ce cas, on a direcemen le pourcenage d'évoluion: = I' III- Quelques exemples de calculs III-1 Exemple résolu 1 Dans une ville de N éleceurs, 30% se disen saisfais de leur maire le 1er janvier, puis 36% se disen saisfais le 1er juin. Quel es le pourcenage d'évoluion enre ces deux sondages? Le nombre de saisfais au 1er janvier es: 0,3 N Le nombre de saisfais au 1er juin es: 0,36 N L'augmenaion absolue vau: 0,36N 0,3N L'augmenaion relaive es: 0,36 N 0,3 N 0,3 N = 36 30 30 = 0,2 Le nombre de saisfais enre les deux daes a augmené de 20% On peu vérifier: 0,3 (1 + 0,2) = 0,36 III-2- Exemple résolu 2 Une producion augmene régulièremen chaque année d'une même quanié (variaion absolue). Commen varien les pourcenages d'augmenaion? L'année 0, on peu prendre une producion de qui augmene de x uniés. L'année 1, on a: + x L'année 2, on a: + 2x L'année 3, on a + 3x Le pourcenage d'augmenaion de l'année 0 à l'année 1 es x% Le pourcenage d'augmenaion de l'année 1 à l'année 2 es: Le pourcenage d'augmenaion de l'année 2 à l'année 3 es: Les pourcenages d'augmenaion diminuen. x x % x 2 x % 5/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09
Applicaion numérique: On suppose que l'augmenaion absolue vau uniés. année 0 1 2 3 4 Producion 1 120 130 140 Pourcenage d'augmenaion XXXXXXX III- 3- Exemple résolu 3 1 9 120 8,3 1) Es qu'une hausse de % es compensée par une baisse de %? (ou réciproquemen). Un prix a augmené de %. Quel doi êre le pourcenage de la baisse pour rerouver le prix iniial? 130 7,7 Les calculs 1) Noaions usuelles:, NV (ancienne valeur), (nouvelle valeur). NV 1 = (1 + D'où, NV 2 = (1 ) e NV 2 = (1 ) NV 1 )(1 + ) = 1 On a donc une baisse. Le CM vau: 1 2 Par exemple: une hausse de 15% suivie d'une baisse de 15%. Supposons une valeur iniiale valan, 2 e le pourcenage de baisse es: après la hausse, elle vau 1,15 = 115, e, après la baisse, elle vau: 115 0,85 = 97,75 le pourcenage d'évoluion es: 97,75 = 2,25% 2 = 2 On peu vérifier: 152 = 2,25 2) Supposons une valeur iniiale valan, après la hausse, elle vau 1,1 = 1. Pour rerouver la valeur, la baisse doi êre de en valeur absolue mais le prix de référence es 1. Le aux de baisse es: 1 = 9,09...% 6/6 D:\docs_lycee_09_\1ES\cours\pourcenages.od 16/09/09