. Application à la simulation., sous la direction de François BOUCHON et Thierry DUBOIS. 1/41 Laboratoire de Mathématiques, Université Blaise Pascal, Clermont-Ferrand. Jeudi 10 décembre 2009.
Domaines d application 2/41 (a) Météorologie (b) Automobile
Plan de l exposé 3/41
4/41 Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe Schéma M.A.C. Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe en temps Schéma M.A.C.
Eq. de N-S pour un fluide incompressible Soient x Ω R 2 et t > 0. La vitesse u = u(x, t) R 2 et la pression p = p(x, t) R sont solutions de 5/41 où avec t u + div (u u) u/re + p = f dans Ω, div u = 0 dans Ω, u = g sur Ω, u = u 0 à t = 0. Re = U L /ν, ν = µ/ρ viscosité cinématique. fluides glycérine air à 20 eau à 20 ν 1.2 10 3 1.4 10 5 10 6 Re 42 3 594 50 000 Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe en temps Schéma M.A.C. Table: L = 10 2 m et U = 5 m.s 1.
Théorie phénoménologique de la turbulence u(x) = û(k)e ık.x E(k) = 1 û(k) 2, k N 2 k Z 2 k S k S k = { k Z 2 ; k [k 0,5, k + 0,5) } E(k) Ck 3, k [k L, k d ], k d /k L Re 1/2. R.H. Kraichnan, Inertial ranges in two-dimensional turburlence, Phys. Fluids 10, 1967. 6/41 Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe en temps Schéma M.A.C.
Conse quences en Nume rique Directe Me thodes grilles de cale es 7/41 Maillage trop grossier, Perte e quilibre Transfert / Dissipation, Accumulation Energie sur les modes e leve s, Solution non physique. Eq. de N-S pour un fluide incompressible The orie phe nome nologique de la turbulence Conse quences en Nume rique Directe Discre tisation en temps Sche ma M.A.C. Me thodes grilles de cale es nume rique d e coulements (c) 4096 (d) 256 (e) Spectres d e nergie Me thode Multi-niveaux : De composition e chelles de la vitesse et petites e chelles Conclusion
Schéma en temps B.D.F. + Méth. de Proj. Soit δt > 0. Notons u k (x) u(x, t k ) et p k (x) p(x, t k ), t k = kδt. 3ũ k+1 4u k + u k 1 ũ k+1 /Re = p k + f k+1 2δt 2 div ( u k u k) + div ( u k 1 u k 1), où δp k+1 = p k+1 p k. ũ k+1 Ω = g. u k+1 = ũ k+1 2δt ( δp k+1) /3 div u k+1 = 0 ( u k+1 ũ k+1) Ω.n = 0. ( δp k+1) = 3 div ũ k+1 /2δt 8/41 Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe en temps Schéma M.A.C. n ( δp k+1 ) Ω = 0,
Schéma M.A.C. : placement Soit Ω = (0, L) (0, H). On pose l = L/n l, h = H/n h, x i = i l et y j = j h. On suppose que l = h. K i, j = [ x i 1, x i ] [ yj 1, y j ] u i j (t) 1 u(x, t) dx, v i j (t) 1 l h K l h i+ 1, j 2 p i j (t) 1 p(x, t) dx. l h K i j u v p K i j+ 1 2 v(x, t) dx F.H. Harlow et J.E. Welch, Numerical calculation of time-dependent viscous incompressible flow of fluid with free surface, Phys. Fluids 8, 1965. 9/41 Eq. de N-S pour un fluide incompressible Théorie phénoménologique de la turbulence Conséquences en Numérique Directe en temps Schéma M.A.C.
10/41 Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s
Opérateurs d interpolation : restriction u f v f u g v g R P ( Ru )i, j = ( u 2i 1, 2j + u 2i 1, 2j 1 +u 2i, 2j+1 + u 2i, 2j +u 2i, 2j 1 + u 2i, 2j 2 +u 2i+1, 2j + u 2i+1, 2j 1 )/8 11/41 Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s u n R BDJ u n
Opérateurs d interpolation : prolongement 12/41 ( [ Pu )2i, 2j = u i 1, j + 2u i, j+1 P BDJ u n/2 + 4u i, j + u i+1, j ]/8 ( [ Pu )2i 1, 2j = u i 1, j+1 + 3u i 1, j P BDJ u n/2 u n/2 u n/2 + u i, j+1 + 3u i, j ]/8 Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s
Propriétés des opérateurs 13/41 Opérateurs d ordre deux : Ru n u n/2 Ch 2, Pu n/2 u n Ch 2 Conservation de la divergence discrète : D n/2 (Ru) i, j = d p, q D n (u) p, q p, q D n (Pu) i, j = e p, q D n/2 (u) p, q p, q Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s où D n est la divergence discrète sur la grille G n.
Séparation des échelles : 2 niveaux u = y + z, Å y z ã Å = PRu u PRu ã 14/41 1e+00 1e-01 1e-02 1e-03 1e-04 1e-05 1e-06 1e-07 z Ch 2 Du = 0 Dy = 0 = Dz Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s 1e-08 1e-09 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512
Séparation des échelles : n niveaux 15/41 G n u n F 1 u n... F i u n R n P n P n G n/2 R n/2i 1 P n/2i 1 G n/2 i 10 1...... 10 1 F i = P (i) R (i), δfu i = ( F i 1 F i) u, ( n ) u = δfu i + F n u. i=1 Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s 0,1 0,01 0,1 0,01 0,001 0,001 0,0001 0,0001 (f) cas résolu (g) cas sous-résolu 1 Figure: Energie des différentes échelles, 4 niveaux.
Algorithme multi-niveaux 16/41 1. énergie cinétique (locale) des niveaux d échelle sur des groupements de mailles E p, q (δ i Fu), i {1, 2, 3} 2. coefficients de locaux : E p, q (δf 2 c p, q =» u) E p, q (δf 3 u)e p, q(δf 1 u) 3. limitateur c min c p, q 1 (dans la pratique c min = 0.99) 4. interpolation des coefficients de sur chaque maille 5. de la vitesse intermédiaire : Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s u y + c z
s : périodique accumulation énergie maîtrisée pente du spectre Ck 3 dynamique des grandes échelles retrouvée 1 0,1 0,01 0,001 0,0001 17/41 Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s 1e-05 1e-06 1 2 4 8 16 32 64 128
s : cavité 18/41 DNS grossière accumulation petites structures près de la paroi Méth. multi-niveaux développement de la couche limite amélioré Opérateurs d interpolation Propriétés des opérateurs Séparation des échelles Algorithme multi-niveaux s (a) DNS 256 (b) Muli-niv. 256 (c) DNS 1024
19/41 de immergée Schéma s de immergée Schéma s
Méthode de immergée sur maillage cartésien 20/41 ère i mmergéëe t exte.jpgèëre i mmergéëe t exte.jpg Écoulements plus réalistes Application de la méthode multi-niveaux développée. Dans la littérature : forçage, ghost cell, pénalisation, cut cell (avec mergin cell, slaving cell),... Développement d une nouvelle méthode de type cut cell. fronti\unhbox \voidb@x \b de immergée Schéma s
Domaine d étude rectangulaire. Obstacle Ω S délimité par une courbe fermée Γ Ω. 21/41 Ω F Ω S Distance algébrique à la courbe Γ d : Ω R ß d(x, Γ) x d(x, Γ) Γ si x Ω S sinon de immergée Schéma s
22/41 r u i j σu i, j ΩF σ u i, j [0, 1], où σ u i, j = {x i } [y j 1, y j ]. de immergée Schéma s
Placement 23/41 y i v ij y i 1 x i 1 p ij x i u ij Γ h Position de la vitesse adaptée à l expression de la divergence discrète. Interpolation du gradient de la pression. de immergée Schéma s
Construction du schéma : étape de 24/41 Loin de l obstacle : discrétisations centrées d ordre 2. A proximité de l obstacle ß u : discrétisation D. F. d ordre 1 div (u u) : discrétisation V. F. d ordre 1 N. Matsunaga et T. Yamamoto, Superconvergence of the Shortley-Weller approximation for Dirichlet problems, J. Comp. Appl. Math. 116, 2000. elliptique lineaire = Schéma d ordre 2. de immergée Schéma s
étape de : u Schéma D. F. d ordre un Approx. exacte pour P R 2 [X, Y ]. 25/41 V = {O, N, S, E, W, P} O la position de u i j, N, S, E, W parmis inconnues/bord, P arbitraire. Trouver les coeff. α M R t.q. α M u(m) = u(o) + O(h). M V W O S N E P de immergée Schéma s
étape de : div (u u) (1/3) 26/41 x i+1 F E ij K i, j = K i, j Ω F F N ij F B ij F N ij 1 F E i+1 j y j Ω F h Γ h Ω S h u ij y j 1 x i 1 x i x i+1 I i, j = = K i+ 1 2, j K i+ 1 2, j ( x (u 2 ) + y (uv) ) dx ( u 2 n x + (uv)n y ) ds = F E i+1, j F E i, j + F N i, j F N i, j 1 + F B i, j. reconstruction des flux Fij N Fi B Fij E de immergéef Schéma ij 1 N s
étape de : div (u u) (2/3) 27/41 I i, j F E app i+1, j F E app i, j + F N app i, j F N app i, j 1 + F B app i, j = NL 1 (u) i, j. Ordre d approximation C h = min K i+ 1 2, j >0 /h2. Ki+ 1 2, j S il existe une constante C 0 > 0 t.q. C h > C 0, h, alors dès que Ki+ 1 2, j > 0. 1 (NL K i+ 1 1 (u) i, j I i, j ) = O(h), 2, j de immergée Schéma s
étape de : div (u u) (3/3) 28/41 0,15 0,1 0,05 0 0,001 0,01 0,1 0,01 0,001 0,0001 0,001 0,01 0,1 Coefficient C h en fonction du pas d espace h Erreur d approximation de la non-linéarité en fonction de h ordre 1 de immergée Schéma s
Construction du schéma : étape de 29/41 div u : Divergence discrète / maille p : Opérateur d interpolation du gradient de pression de immergée Schéma s
Divergence discrète en présence d un obstacle (1/2) div u dx = u.n ds K i, j K i, j = uds u ds σ u i, j ΩF σ u i 1, j ΩF + vds v ds + σ v i, j ΩF σ v i, j 1 ΩF où ÂB = Γ K i, j. A n B Γ ıab u.n ds, 30/41 de immergée Schéma s
Divergence discrète en présence d un obstacle (2/2) v ij u i 1 j v ij 1 g.n u ij Si h rayon de courbure de Γ : u.n ds u.n ds ıab u ds ri, u j h u i, j et σ u i, j ΩF [AB] ( (A ) ) L g + B /2.n i, j. σ v i, j ΩF v ds r v i, j h v i, j. (D obs u) i, j = h (ri, u ju i, j ri 1, u ju i 1, j ) + h (ri, v jv i, j r v ( (A ) ) + L g + B /2. n i, j = (D 0 obsu) i, j + D supp i, j i, j 1v i, j 1 ) 31/41 de immergée Schéma s
Opérateur d interpolat o du gradient de pression P φ 32/41 En l absence d obstacle Å ( ) ã pi+1, Gp = ( j p i, j ) /h pi, j+1 p i, j /h p ij u ij p i+1 j D(Gδp) = 3 h2 2 δt D(ũ) u = ũ 2 δt 3 h 2 Gδp D(u) = 0 En présence d obstacle p ij p ij 1 u ij p i+1 j p i+1 j 1 D 0 obs(p φ (Gδp)) = 3 h2 2 δt D obs(ũ) u = ũ 2 δt 3 h 2 P φ(gδp) Γ D obs (u) = 0 de immergée Schéma s
(1/2) Obstacle systèmes linéaires non symétriques Méthode de résolution de systèmes linéaires itératives. Mailles coupées Systèmes mal conditionnés Convergence difficile sur maillage grossier à Re faible Méthode de résolution des systèmes linéaires directe. 1. Etape de pré-traitement : O(n 3 ) opérations. Si obstacle immobile, une fois par simulation. 2. Dans ce cas, O ( n 2 logn ) opérations par itération (idem écoulement sans obstacle). B.L. Buzbee, F.W.Dorr, J.A. George et G.H. Golub, The direct solution of the discrete Poisson equation on irregular regions, SIAM J. Num. Anal. 8, 1971. 33/41 de immergée Schéma s
(2/2) 34/41 Exemple de simulation : Ω = ( 5, 5) 2, obstacle = disque, D = 1, Maillage uniforme, n = 1024, 412 mailles coupées Tps CPU prétraitement : 6 min Tps CPU par itération : 1.6 s Mémoire allouée : 300 Mo an 2, a = 310 octets/point. de immergée Schéma s
s : Re = 1, 10, 20, 40 Écoulements stationnaires a θ l b Forces/obstacle = Å Fd F l R. Bouard et M. Coutanceau, Experimental determination of the main features of the viscous flow in the wake of a circular cylinder in uniform translation, J. Fluid Mech. 79, 1977. ã = 1 2 ρau Å Cd C l ã, Auteurs Re = 40 C d θ l a b Bouard et al 53.8 2.13 0.76 0.59 Calhoun 1.62 54.2 2.18 Dennis et al 1.52 53.8 2.35 Fornberg 1.50 55.6 2.24 Linnick et al 1.54 53.6 2.28 0.72 0.60 Taira et al 1.55 54.1 0.73 0.60 Présente étude 1.50 53.4 2.26 0.710 0.60 35/41 de immergée Schéma s
s : Re = 80, 200 Écoulement instationnaire. Fréquence d émission des tourbillons = nombre de Strouhal St. Auteurs Re = 200 C d C l St Linnick et al 1.34 ± 0.044 0.69 0.197 Liu et al 1.31 ± 0.049 0.69 0.192 Miyake et al 1.34 ± 0.043 0.67 0.196 Présente étude 1.380 ± 0.0445 0.678 0.197 1 0,5 0-0,5-1 -1,5-3 -2-1 0 1 2 3-3 -2-1 0 1 2 3 Figure: Répartion de la pression et de la contrainte de cisaillement sur l obstacle. 0,4 0,3 0,2 0,1 0-0,1-0,2-0,3-0,4 36/41 de immergée Schéma s
Ecoulement d un cylindre, Re = 200. 37/41 de immergée Schéma s
s : Re = 9500 38/41 Figure: Décollement de la couche limite : comparaison avec des résultats expérimentaux. de immergée Schéma s
Ecoulement d un cylindre, Re = 9500. 39/41 de immergée Schéma s
40/41
Conclusion et méthode multi-niveaux originale dans le contexte MAC qui permet un gain du temps de calcul. nouvelle méthode cut cell qui apporte précision et rapidité. 41/41 1. méth. multi-niveaux d un obstacle 2d 2. méth. multi-niveaux en 3d 3. écoulements tri-dimensionnels (cylindre) 4. méthode de raffinement local 5. méthode de décomposion de domaine