Cours de mthémtiques frfelues LES FRACTIONS CASSÉES Prémule Voici un cours de mthémtiques qui n ur jmis s plce dns une slle de clsse un utre jour que le er vril. Son sujet : les frctions cssées, ou prtitions, des frctions comme on en croise dns l tête de certins élèves de sixième qui, devnt un schém, préférent comprer les cses hchurées à celles restées lnches pour écrire leur "frction". Et si cette vision des choses s étit imposée dès l origine, si les scries vient procédé insi, à quoi ressemlerient les règles de clcul que nous utiliserions ujourd hui? Cette leçon constitue donc une uchronie mthémtique, juste pour voir si ces règles n urient ps été plus simples! V.E., 006. I. Que sont les prtitions? I.. Des exemples Dns le schém ci-contre, nous écririons sns hésiter. Un depte des pr- 4 titions écrir hchurées contre une qui reste lnche. Ainsi nous vons : 5 ou 7 6 ou encore 0. [lire trois contre un], considérnt que trois prts sont Remrque : l nottion mnuscrite retenue,, est identique à celle prfois utilisée pour les frctions continues en ligne... qui n ont rien à voir vec ce cours. Exercice Ecrivez, pour chcun des schéms suivnts, l prtition correspondnte. I.. Définition définition Dns une grille qudrillée, on note et du nomre de cses lissées lnches. l comprison du nomre de cses hchurées Le nomre est nommé pour de l prtition. Le nomre est le contre. Le nomre est lu contre. L somme + est nommée longueur de l prtition.
Comme on le voit, l définition des prtitions trite uniquement des frctions de vleur décimle comprise entre 0 et. Ainsi, un depte des frctions cssées se retrouve loqué dès qu on lui demnde d écrire l frction correspondnt à 9 cses hchurées pour une grille n en comportnt que 8, lors que nous écririons simplement 9 8. Dns l suite de ce cours, nous nous ffrnchirons de cette difficulté en étlissnt un lien direct entre frctions (mêmes supérieures à ) et prtitions, étendnt le domine de définition de celles-ci : déf + On donc pr exemple 9 8 9. Remrque : les églités précédentes impliquent qu une prtition du type Exercice ne peut être écrite.. Ecrire sous forme de prtition : 5 4 ; 5 ; 6 0 ; ; 4. Ecrire sous forme de frction : 7 ; 4 ; ; On constte vec l exercice que notre cerveu est conditionné pour les frctions et les prtitions nous semlent étrnges, en prticulier lorsque pour ou contre deviennent négtifs. Etudions le cs prticulier des nomres entiers : propriété Un nomre entier n non nul s écrit en prtition sous l forme n n. Démonstrtion n n n n. n Remrque : un nomre entier n noté sous l forme n 0 L entier 0 est noté indifféremment, 0, 0,... une longueur de. II. Églité des prtitions II.. Condition d églité et produits en croix propriété Deux prtitions et c d sont égles si et seulement si on d c. Démonstrtion c d + c c + d (c+d)(+)c dc. Les prtitions ont donc l même reltion d églité que les frctions clssiques, c est ien prtique. Exercice Les prtitions suivntes sont-elles égles : 5 0 et 6? 4 et 7?
II.. L règle fondmentle propriété Une prtition ne chnge ps si on multiplie son pour et son contre pr le même nomre non nul. Démonstrtion k k k k, d près l propriété d églité précédente. Il est donc très simple, comme pour les frctions clssiques, de modifier le pour et le contre d une prtition comme on l entend et de simplifier une prtition. 0 Pr exemple : 45 5 5. Exercice 4 Simplifier l écriture des prtitions suivntes : 9 ; 4 8 ; 6 7. III. Comment clculer vec les prtitions? III.. Mise à longueur définition On dit que deux prtitions ont l même longueur lorsque les sommes de leurs pour et contre sont égles. Pr exemple, 4 et ont l même longueur, égle à 5. L règle fondmentle permet de mettre des prtitions à longueur. Considérons pr exemple les prtitions et. En multiplint pour et contre de chque prtition pr l longueur de l utre, on otient : 4 4 8 4 et 9 Les deux prtitions ont mintennt l même longueur, égle à. III.. Addition propriété Pour jouter deux prtitions de même longueur, on doit : - pour le pour : jouter les pour des deux prtitions; - pour le contre : soustrire le pour de l une u contre de l utre. + c d + c c
Effectuons pr exemple l ddition 8 4 + 9 : + 8 4 + 9 8 + 4 L règle d ddition mène à l conséquence suivnte sur le complément à : loi du complément L prtition est le complément à de l prtition. Démonstrtion : + + + 0. Très prtique lors du clcul d un reste, cette loi du complément lisse une question en suspens : quel est l inverse de? Exercice résolu Les chocolts de mmn Flvien et Nthn ont découvert l oîte de chocolts que mmn vient d cheter. Tndis que Flvien mnge chocolt contre, Nthn en déroe contre.. Quelle prt de l oîte ces polissons engloutissent-ils à eux deux?. Quelle prt v-t-il rester à mmn? Solution :. + + +. Les deux filous ont englouti chocolts contre.. L réponse est ici évidente, puisqu ils ont mngé l loi du complément. III.c. Soustrction des chocolts, il en reste donc d près propriété Pour otenir l différence de deux prtitions de même longueur, on doit : - pour le pour : soustrire leurs pour; - pour le contre : jouter le contre de l première u pour de l seconde. c d c + c 4
Effectuons pr exemple l soustrction 8 4 9 : 8 4 9 8 4 + 5 7 Exercice 5 L rgent de poche Ce mtin, Flvien mis quelques pièces dns s poche. Mlheureusement, s poche est trouée et lorsque Flvien est entré dns l oulngerie, de son rgent déjà pris l poudre d escmpette. 5 6 Il demnde une guette qui coûte de l rgent qu il vit emporté.. Flvien ur-t-il ssez d rgent pour pyer cette guette?. Quelle est l différence entre ce qu il doit et l rgent qu il lui reste? III.d. multipliction Commençons pr l multipliction pr un entier. Le pour se retrouve multiplié pr cet entier tndis que l longueur de l prtition ne chnge ps. On donc : propriété Soit Ainsi, on pr exemple : une prtition de longueur l et k un entier quelconque. k k l k. 5 7 6 L règle de multipliction de deux prtitions est semlle à l précédente : propriété Pour clculer le produit de deux prtitions, on doit : - pour le pour : fire le produit des pour; - pour le contre : soustrire le produit des pour u produit des longueurs. Démonstrtion : c d + c c + d c ( + )(c + d) c ( + )(c + d) c c d c d + c + d ou c d c l l c vec l et l les longueurs des deux prtitions. 5
Un schém illustre simplement cette règle : cses se trouvent hchurées sur une longueur totle de 5. 6 5 6 6 9 Exercice 6 Prouver l musnt résultt suivnt : ( ) Exercice 7 Voyons sur un prolème complet : Antoine touche un slire de 500e. prtent pour pyer le loyer et il dépense. Quelle prt de son slire économise-t-il?. Quelle somme cel représente-t-il, ene? III.e. division +. du reste. Voyons d ord l division pr un entier non nul : le pour demeure inchngé tndis que l longueur se trouve multipliée pr cet entier. On donc : propriété Soit une prtition de longueur l et k un entier non nul. k lk. Pr exemple : 4 4 0, soit 5. L règle de division de deux prtitions est similire : propriété Pour clculer le quotient de deux prtitions, on doit : - pour le pour : fire le produit du pour de l première pr l longueur de l seconde; - pour le contre : soustrire le pour otenu u produit de l longueur de l première pr le pour de l seconde. Pr exemple : c c + d ou d c d c d l cl l vec l et l les longueurs des deux prtitions et c 0. 5 8 5 4 5 4 que l on simplifie en. Exercice 8 Les esprits chgrins, regrettnt l règle de division des frctions clssiques pourront continuer à "multiplier pr l inverse", dès qu ils uront prouvé que : - l inverse de l prtition - c + d d s écrit l ; donne ien le résultt nnoncé pour l division. 6
IV. Comprer les comprisons? Pourquoi ps... À titre de trvil personnel, le lecteur pourr justifer les résultts suivnts : Prtitions de même pour : Si > 0 et si > c, lors Prtitions de même contre : < c. Si > 0 et > 0 et si < lors Prtitions de même longueur : Si + c + d > 0 et si < c lors d < d. V. Correction des exercices < c d. Exercice Les prtitions sont : ; ; 5 ; 6 0 Exercice. 5 4 5 ; 5 5 ; 6 0 6 4 ;. 7 0 ; 4 4 5 ; ; 5 ; ; 4 4 7 Exercice 5 6 0 40. Donc 5 0 6. 4 et 7 4. Donc 4 7. Exercice 4 9 4 ; 4 8 7 4 ; 6 7 7 Exercice 5. Flvien ynt perdu. il doit pyer 6 5 de son rgent, il lui en reste 5, il n ps ssez l rgent. d près l loi du complément. Comme 6 5 6 6 5 7 4. L différence est de contre 4. Il mnque si peu d rgent à Flvien que l oulngère ne le lui reproch ps! 7
Exercice 6 ( ) ( + ) +. Exercice 7. Après voir pyé son loyer, il lui reste de son slire. Autres dépenses : 9 0 9 9. Économies : 9 8 9 7. Antoine prvient à économier prts contre 7 de son slire.. 500 7 4500 0 4500 4500 4480, soit en simplifint pr 0 : 5 4. On reconnît une prtition de longueur : 5 4 5. Antoine économise 5e. Exercice 8 - inverse de l prtition : 0 ( + ) ( + 0) ( + ) - Clcul du produit : c + d (c + d) d ( + )(c + d d) (c + d) l règle de division. + l. l cl l, qui est ien l formule nnoncée pr 8