Université Claude Bernard, Lyon I Licence Sciences & Technologies 43, boulevard 11 novembre 1918 Spécialité Mathématiques 69622 Villeurbanne cedex, France Option: M2AO 2007-2008 Série n 5 : Optimisation non linéaire Exercice 1. Minimisation avec contraintes Soient E = IR d, f C(E, IR), et soit K un sous ensemble de E. On s intéresse à la recherche de u K tel que : { u K f(u) = inf v K f(v) Étudier l existence et l unicité des solutions du problème avec les données E = IR, f : IR IR est définie par f(x) = x 2 et pour les quatre différents ensembles K suivants: (i) K = {x IR; x 1} ; (ii) K = {x IR; x = 1} ; (iii) K = {x IR; x 1} ; (iv) K = {x IR; x > 1}. Exercice 2. Maximisation de l aire d un rectangle Nous cherchons à maximiser l aire d un rectangle de périmètre donné et égal à 2. 1) Montrer que ce problème peut se formuler comme un problème de minimisation de la forme, f( x) = inf y K f(y) où K est de la forme K = {x IR 2 ; g(x) = 0}. Nous donnerons f et g de manière explicite. 2) Montrer que le problème de minimisation ainsi obtenu est équivalent au problème { x = ( x1, x 2 ) T K f( x 1, x 2 ) f(x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) T K, où K = K [0, 1] 2, K et f étant obtenus à la question 1. En déduire que le problème de minimisation de l aire admet au moins une solution. 3) Calculer g(x) pour x K et en déduire que si x est solution du problème alors x = (1/2, 1/2) T. En déduire que ce problème admet une unique solution donnée par x = (1/2, 1/2). 1
X 1 X 2 Exercice 3. Maximisation de l aire d un stade Nous définissons un stade comme étant composé d un terrain rectangulaire et de deux demi-cercles à ses extrémités Nous cherchons à maximiser l aire de jeu dans un stade de périmètre donné et égal à 400 m. 1) Montrer que ce problème peut se formuler comme un problème de minimisation de la forme, A( x) = inf y K A(y) où K est de la forme K = {x IR 2 ; P (x) = 0}. Nous donnerons A et P de manière explicite. 2) Montrer que le problème de minimisation ainsi obtenu est équivalent au problème { x = ( x1, x 2 ) T K A( x 1, x 2 ) A(x 1, x 2 ), (x 1, x 2 ) T K, où K = K [0, 200] 2, K et A étant obtenus à la question 1. En déduire que le problème de minimisation de l aire admet au moins une solution. 3) Calculer x P (x) pour x K et en déduire que la solution est unique x et donner son expression. Exercice 4. Minimisation d une fonctionelle quadratique Soit f une fonction quadratique, c est-à-dire f(x) = 1 2 xt A x x T b, où A M n,n (IR) est une matrice symétrique définie positive et b IR n. On suppose que la contrainte linéaire de IR n dans IR, c est-à-dire définie par une fonction g de la forme où c IR et d IR n, et que d 0. On pose g(x) = d T x c, K = {x IR n, g(x) = 0} et on cherche à résoudre le problème de minimisation sous contraintes. 2
1) Montrer que l ensemble K est non vide, fermé et convexe. En déduire que le problème de minimisation sous contraintes admet une unique solution. 2) Montrer que si x est solution du problème de minimisation sous contraintes, alors il existe λ IR tel que y = (x, λ) T soit l unique solution du système [ A d d T 0 ] [ x λ Exercice 5. Fonctionelle quadratique générale 1) Pour (x, y) IR 2, on pose : f(x, y) = y, g(x, y) = x 2 + y 2 1. Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g(x, y) = 0. ] = [ b c ] 2) Soit a = (a 1,..., a n ) IR n, avec a 0. Pour x = (x 1,..., x n ) IR n, on pose : f(x) = x i a i 2, g(x) = x i 2. Chercher le(s) point(s) où f atteint son maximum ou son minimum sous la contrainte g = 1. 3) Soient A M n,n (IR) symétrique, B M n,n (IR) symétrique et définie positive. et b IR n. Pour v IR n, on pose f(v) = 1 2 vt A v b T v et g(v) = v T B v. Peut-on appliquer le théorème de Lagrange et quelle condition donne-t-il sur u si avec K = {v IR n ; g(v) = 1 }? f(u) = min v K f(v) Exercice supplémentaire I : méthode du gradient à pas variable Soit E un espace de Hilbert réel, et f : E IR une fonctionnelle de classe C 1 (E, IR). On suppose qu il existe deux constantes α et M telles que α > 0et (x, y) E E, ( f(x) f(y), x y) > α x y 2 et (x, y) E E, f(x) f(y) M x y. On cherche à résoudre le problème sans contrainte : trouver x E f(x) = inf{f(y), y E} en utilisant la méthode du gradient à pas variable, qui consiste en la construction d une suite (x (k) ) k IN telle que k IN, x (k+1) = x (k) + ρ k f(x (k) ) Les paramètres ρ k seront ajustés au cours des itérations selon des critères particuliers. 3
(a) Montrer que le problème de minimisation a une solution unique ; comment est-elle caractérisée? (b) Montrer que k IN, où τ(ρ) est un trinôme du second degré. x (k+1) x 2 τ(ρ k ) x (k) x 2 (c) En déduire que, s il existe deux nombres a et b tels que k IN, 0 < a ρ k b < 2α M 2 la méthode de gradient à pas variable converge, et que la convergence est géométrique : β ]0, 1[, x (k) x β k x 0 x. (d) Les conditions sont-elles vérifiées pour une fonctionnelle quadratique elliptique Que représentent alors α et M? f : x IR n 1 (Ax, x) (b, x) 2 Exercice supplémentaire II : minimisation avec contraintes a) Déterminer les triangles de surface maximale pour un périmètre donné. b) Déterminer le parallélépipède rectangle à arêtes parallèles aux axes inscrit dans l ellipsoïde d équation x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 et de volume maximal. c) Dans IR 2, trouver le point qui minimise la distance entre x = y = 0 et la courbe y 2 = (x 1) 3. d) Trouver le rayon de la sphère de IR 3, centrée en 0, tangente au plan x + y + z = 1. Exercice supplémentaire III : minimisation avec contraintes d inégalités 1) Écrire (en le justifiant) le système de Kuhn et Tucker pour Inf{ x 2 i, x 4 i 0} (P 1) et résoudre (P1). 4
2) On considère la problème où b > 0 est donné. Inf{ 1 2 x2 + bx, x IR, x 1, 1 x} (P 2) (a) Résoudre (P2) graphiquement (discuter par rapport à b). (b) Écrire, en le justifiant, le système de Kuhn et Tucker correspondant avec deux multiplicateurs λ 1 et λ 2. Ce système est-il une condition suffisante pour le problème (P2)? Combien y a-t-il de de cas à considérer a priori à partir des relations λ i ϕ i (u) = 0, en éliminant les contraintes saturées incompatibles? (c) Résoudre ce système ; en déduire la solution du problème (P2). 5
Correction de l exercice 1. La fonction f : IR IR définie par f(x) = x 2 est continue, strictement convexe, et croissante à l infini. Etudions maintenant les propriétés de K dans les quatre cas proposés : (i) L ensemble K est fermé borné et convexe. On peut donc appliquer le théorème d existence et d unicité. En remarquant que f(x) 0 pour tout x IR et que f(0) = 0, on en déduit que l unique solution du problème est donc x = 0. (ii) L ensemble K est fermé borné mais non convexe. Le théor eme d existence s applique donc, mais pas le théorème d unicité. De fait, on peut remarquer que K = { 1, 1}, et donc {f(x), x K} = {1}. Il existe donc deux solutions du problème : x = ±1 (iii) L ensemble K est fermé, non borné et non convexe. Cependant, on peut écrire K = K 1 K 2 où K 1 = [1, + [ et K2 =], 1] sont des ensembles convexes fermés. On peut donc appliquer le théorème : il existe un unique x 1 IR et un unique x 2 IR solution du problème de minimisation sous cotraintes pour K = K 1 et K = K 2 respectivement. Il suffit ensuite de comparer x 1 et x 2. Comme x 1 = 1 et x 2 = 1, on a existence mais pas unicité. (iv) L ensemble K nõest pas fermé, donc le théorème d existence ne s applique pas. De fait, il n existe pas de solution dans ce cas, car on a lim f(x) = 1, x 1 + et donc inf K f = 1, mais cet infimum n est pas atteint. Correction de l exercice 2. 1) On peut se ramener sans perte de généralité au cas du rectangle [0, x 1 ] [0, x 2 ], dont l aire est égale à x 1 x 2 et de périmètre 2(x 1 + x 2 ). On veut donc maximiser x 1 x 2, ou encore minimiser x 1 x 2. Pour x = (x 1, x 2 ) T IR 2, posons Définissons f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2, et g(x 1, x 2 ) = x 1 + x 2. K = {x = (x 1, x 2 ) T IR 2 + tel que x 1 + x 2 = 1} Le problème de minimisation de l aire du rectangle de périmètre donné et égal à 2 s écrit alors : f( x) = inf x K f(x), avec x K. 2) Comme x 1 et x 2 sont tous deux positifs, puisque leur somme doit être égale à 1, ils sont forcément tous deux inférieurs à 1. Il est donc équivalent de résoudre l un des deux problème. L ensemble K est un convexe fermé borné, la fonction f est continue, et donc par le théorème du cours, il existe au moins une solution. 6
3) Calculons g : g(x) = (1, 1) T, donc rang g(x, y) = 1. Par le théorème de Lagrange, si x = (x 1, x 2 ) T est solution, il existe λ IR tel que f(x, y) + λg(x, y) = 0, avec x + y = 1. Or f(x, y) = ( x, y) T, et g(x, y) = (1, 1) T. Le système précédent s écrit donc : On a donc x = y = 1/2. Correction de l exercice 4. y + λ = 0 x + λ = 0, x + y = 1. 1) Comme d 0, il existe x IR n tel que d T x = α 0. Soit x = c α x alors dt x = c. Donc l ensemble K est non vide. L ensemble K est fermé car noyau d une forme linéaire continue de IR n dans IR, et K est évidemment convexe par linéarité de g. La fonction f est strictement convexe et f(x) + quand x +, et donc par le théorème du cours; il existe un unique x solution du problème de minimisation avec contraintes. 2) On veut calculer le solution x. Pour cela, on a : z T g(x) = d T z, et donc g(x) = d. Comme d 0 on a rang( g(x)) = 1, ou encore Im( g(x)) = IR pour tout x. Donc le théorème de Lagrange s applique. Il existe donc λ IR tel que f(x) + λg(x) = 0, c est-à-dire A x b + λd = 0. Le couple (x, λ) est donc solution du problème suivant : Ax b + λd = 0, d T x = c, qui s écrit sous forme matricielle : By = e, avec ( ) A d B = d T 0 et y = (x, λ) T IR n+1 et e = (b, c) T Montrons maintenant que B est inversible. En effet, soit y 0 = (x 0, λ 0 ) T IR n+1, avec x 0 IR n et λ 0 IR tel que B y 0 = 0. Alors A x 0 d λ 0 = 0 et d T x 0 = 0 On a donc x T 0 Ax 0 x T 0 dλ 0 = 0. On en déduit que x 0 = 0, et comme d 0, que λ 0 = 0. On a donc finalement y 0 = 0. On en conclut que B est inversible, et qu il existe un unique (x, λ) T IR n+1 solution du problème de Lagrange et x est solution du problème de minimisation avec contraintes. 7