Propriété de Haagerup pour certains produits en couronne, d après de Cornulier, Stalder et Valette, Mémoire de M2

Propriété de Haagerup pour certains produits en couronne, d après de Cornulier, Stalder et Valette, Mémoire de M2 Francois Lemeux stage encadré par R. Vergnioux Introduction Un groupe discret G est moyennable s il possède une mesure invariante i.e. une application m G des parties de G dans [0, 1] de poids total 1, possédant la propriété d additivité finie (m G (A 1... A n ) =..n m G(A i ) si les intersections des A i sont deux à deux vide) et telle que m G (ga) = m G (A) g G, A G. On peut montrer que cette propriété est équivalente au fait que la fonction constante 1 sur G est limite simple de fonction de type positif à support fini. Les groupes abéliens (Z par exemple), les groupes finis en sont des exemples. On peut aussi montrer que G est moyennable si et seulement si la représentation triviale est faiblement contenue dans la représentation régulière : 1 G λ G. Cette nouvelle caractérisation permet de trouver de nombreux autres exemples de groupes moyennables par exemple les sous-groupes fermés des groupes localement compacts sont moyennables (par exemple en notant que la représentation régulière du sous-groupe contient faiblement la représentation régulière du groupe initial). Dans le texte qui suit nous allons nous intéresser dans une première partie à définir et à donner des propriétés des fonctions sur les groupes discrets (et nous resterons dans ce cadre) : construction GNS pour les fonctions de type positif, construction GNS pour les fonctions conditionnellement de type négatif et le théorème qui relie ces deux notions : le théorème de Schoenberg. Nous passerons ensuite à l étude d une propriété que vérifient certains groupes, la propriété de Haagerup. Cette propriété admet plusieurs définitions équivalentes, nous en donnerons cinq. L une d elle stipule que la fonction constante 1 sur G est limite simple de fonctions de type positif qui tendent vers 0 lorsque g tend vers. On voit donc que les groupes moyennables possèdent tous la propriété de Haagerup. Nous démontrerons alors, après quelques rappels et définitions, que le groupes libre possède la propriété de Haagerup (nous nous restreindrons à le démontrer pour le groupe libre à deux éléments F 2, on montrera en fait que F 2 est ce qu on appelle un espace à murs). Le cas du groupe libre est intéressant puisque ce groupe n est pas moyennable, nous proposons une démonstration de ce fait basée sur la première caractérisation que nous avons donnée des groupes moyennables, c est à dire de posséder une mesure invariante. La propriété de Haagerup est aussi appelée a-t-moyennabilité afin de la mettre en opposition à la propriété -T- que vérifient certains groupes. Un énoncé de cette propriété -T- pour un groupe discret G est : si la fonction constante 1 sur G est limite simple de fonction de type positif alors la limite est uniforme. On voit donc l antagonisme entre les propriété de Haagreup et la propriété -T- puisqu alors 1 ne peut être limite uniforme de fonction de type positif tendant vers 0 à l infini. On peut alors voir la situation résumée ainsi : Nous verrons alors une construction qui permet d obtenir des groupes vérifiant la propriété de Haagerup : le produit en couronnes. Un exemple peut déjà être cité : le groupe de l allumeur de réverbère Z/2Z Z qui est moyennable. En conservant Z/2Z mais en remplaçant Z par F 2, on construit un nouvel exemple de groupe possédant la propriété de Haagerup mais non moyennable. La démonstration utilise la notion 1

Figure 1 moyennabilité, propriété de Haagerup, propriété -Td espace à murs et est tirée d un article de de Cornulier, Stalder et Valette paru en 2007. Le but de cet article était de montrer que la propriété de Haagerup n est pas équivalente à la "propriété d approximation métrique complète" (un autre affaiblissement de la moyennabilité), infirmant ainsi une conjecture émise par Cowling en 2001. En effet, un autre article de Popa et Ozawa montre que Z/2Z F 2 n a pas la "propriété d approximation métrique complète". 1 Fonctions sur les groupes et propriété de Haagerup Dans ce qui suit G est un groupe discret infini. En particulier toute application de G dans un espace topologique est continue. 1.A Construction GNS pour les fonctions de type positif sur les groupes Définition 1.A.1. Une fonction de type positif sur G est une fonction ϕ g 1,..., g n dans G et c 1,..., c n dans C on a, j=1 ( ) c i c j ϕ gj 1 g i 0 ( ). : G C telle que pour tous Exemple 1.A.2. Soit π une représentation unitaire de G sur un espace de Hilbert H et ξ un vecteur de H. Alors l application ϕ : g π (g) ξ, ξ est une fonction de type positif. En effet, pour tous g 1,..., g n dans G et c 1,...,c n dans C, on a j=1 ( ) c i c j ϕ gj 1 g i = = j=1 j=1 ( ) c i c j π gj 1 g i ξ, ξ c i c j π (g j ) ξ, π(g i )ξ La dernière égalité provient du fait que π(g j ) est unitaire. Finalement : c i c j π (g j ) ξ, π(g i )ξ = c i π (g i ) ξ, c i π (g i ) ξ 0. j=1 Cet exemple est fondamental ; nous allons en effet montrer que toute fonction de type positif ϕ sur G est associée à un espace de Hilbert et que l image de tout élément de G par ϕ se calcule à l aide d un produit scalaire. Proposition 1.A.3. Soit ϕ une fonction de type positif sur G. Alors pour tout g dans G on a : 2

1. ϕ(g) = ϕ ( g 1) 2. ϕ (g) ϕ (e). Preuve. Pour n = 2 et g 1 = g, g 2 = e, on note que la matrice : ( ) ϕ(e) ϕ(g) ϕ(g 1 ) ϕ(e) est positive (la relation ( ) prouve en effet que la forme sesquilinéaire associée est positive). Ainsi cette matrice est hermitienne d où le 1. Par ailleurs elle est positive donc de déterminant positif, on en déduit 2. Définition 1.A.4. (représentations) Une représentation unitaire du groupe G sur un espace de Hilbert H est un morphisme π de G dans U(H). Cette représentation est dite cyclique s il existe un vecteur ξ de H tel que l espace vectoriel engendré par π (G) ξ = {π (g) ξ : g G} est dense dans H. Dans ce cas ξ est appelé vecteur cyclique pour π. Deux représentations π et π de G sur H et H sont dites isomorphes s il existe un isomorphisme T : H H les entrelaçant, i.e. tel que pour tout g de G, π (g) = T π (g) T 1. Théorème 1.A.5. (construction GNS) Soit ϕ une fonction de type positif sur G. Alors il existe un triplet (π ϕ, H ϕ, ξ ϕ ) constitué d une représentation unitaire cyclique π ϕ de G sur un espace de hilbert (H ϕ,, ϕ ) et d un vecteur cyclique ξ ϕ de H ϕ tels que ϕ (g) = π ϕ (g) ξ ϕ, ξ ϕ ϕ, g G De plus ce triplet est unique au sens suivant : si (π, H, ξ)est un autre tel triplet, alors il existe un unique isomorphisme T entre les espaces H ϕ et H entrelaçant π ϕ et π, et telle que T ξ ϕ = ξ. Preuve. Existence : Pour tout x G, on note ϕ x la fonction définie sur G par ϕ x (y) = ϕ(y 1 x). On note aussi V l espace vectoriel engendré par {ϕ x : x G}. Pour φ = m a iϕ xi et ψ = n j=1 b jϕ xj, on définit, φ, ψ ϕ = m j=1 ( ) a i b j ϕ x 1 j x i = b j φ (x j ) = j=1 m a i ψ(x i ). L application F : (φ,ψ) φ,ψ ϕ est une forme hermitienne positive sur V V (c est clair par sa définition et le fait que ϕ est une fonction de type positif). On note au passage que la suite d égalité ci-dessus montre en particulier que φ, ϕ x ϕ =φ(x). F est même définie, en effet si φ,φ ϕ = 0 alors en appliquant l inégalité de Cauchy-Schwarz que vérifie la forme hermitienne positive, ϕ, on obtient pour tout x de G : φ(x) 2 = φ, ϕ x ϕ 2 φ, φ ϕ ϕ x, ϕ x ϕ = φ, φ ϕ.ϕ(e) (1) Ainsi, φ(x) = 0 pour tout x de G et par conséquent la forme hermitienne positive, ϕ est définie. On obtient donc que (V,, ϕ ) est un espace préhilbertien. Soit (H ϕ,, ϕ ) son complété hilbertien. Ce complété peut être réalisé comme un espace de fonctions sur G. Plus précisément, soit (ϕ n ) n une suite de Cauchy de V pour la norme. ϕ induite par le produit scalaire hermitien défini ci-dessus, alors la relation (1) et la complétude de C impliquent que (ϕ n (x)) n converge pour tout x de G. Le complété H ϕ est donc le sous espace de toutes les fonctions ϕ sur G qui sont limites ponctuelles de suites de Cauchy de (V,. ϕ ). On pose alors pour tout g dans G et toute fonction f sur G : (π(g).f)(h) = f(g 1 h) h G. On obtient alors (en revenant à la définition de ϕ x ) que pour toute fonction f V, f = n a iϕ xi : [ ] π ϕ (g) a i ϕ xi = a i ϕ gxi ( ) 3

On définit donc ainsi une représentation de G sur V et qui s étend par ce précède en une représentation sur H ϕ et, en posant ξ ϕ = ϕ e, on vérifie bien que ϕ (g) = π ϕ (g) ξ ϕ, ξ ϕ ϕ pour tout g dans G. De plus, ξ ϕ est un vecteur cyclique pour π ϕ. En effet {π ϕ (g) ξ ϕ : g G} = {ϕ g : g G} est dense dans H ϕ par construction. On a donc construit un triplet (π ϕ, H ϕ, ξ ϕ )comme annoncé. U nicité : On se donne donc un autre tel triplet (π, H, ξ). On a, en particulier, π φ (g)ξ ϕ, π ϕ (h)ξ ϕ = ϕ(h 1 g) = π(g)ξ, π(h)ξ Cette relation implique que l application suivante, T de H ϕ sur H, définie par : T π ϕ (g) ξ ϕ = π (g) ξ, pour tout g G est une isométrie (continue), donc injective (ce qui montre, en particulier qu elle est bien définie). Cette application est également surjective. En effet Im(T ) H contient le sous-espace engendré par les π(g)ξ, g G et cet espace est dense dans H par construction. Enfin, il reste à noter que Im(T ) est fermé, car complet, puisqu il est isomorphe à H ϕ. Cette isométrie entrelace π ϕ et π. Soit g G ; Il suffit de vérifier que T π ϕ (g) ς = π (g) T ς pour ς = π ϕ (h) ξ ϕ par densité de {π ϕ (h) ξ : h G} dans H ϕ. On a en effet : T π ϕ (g) π ϕ (h) ξ ϕ = T π ϕ (gh) ξ ϕ = π (gh) ξ = π (g) π (h) ξ = π (g) T π ϕ (h) ξ ϕ = π (g) T ς. Exemple 1.A.6. 1. Soit ϕ = 1. C est une fonction de type positif sur G (cela se voit en revenant à la définition). La représentation associée π est la représentation triviale 1 G de dimension 1. 2. Soit ϕ = δ e, la fonction de Dirac en e le neure de G. Déterminons la construction GNS associée. Le théorème précédent permet de définir π, la représentation associée, sur V, l ensemble des fonctions à support fini (i.e. les combinaisons linéaires de fonctions de Dirac), comme suit : π (g) (δ h ) = δ gh, puis en étendant par linéarité. La norme sur V est donnée par la démonstration précédente : a i δ gi, a j δ gj ϕ = j=1 j=1 ( ) a i a j δ gj 1 g i = a i 2. On a donc H = l 2 G, et π est la représentation régulière sur G : si f l 2 G, on a : π (g) f (h) = f ( g 1 h ). Proposition 1.A.7. Soit ϕ et ψ deux fonctions de type positif sur G. Alors les applications suivantes sont des fonctions de type positif : 1. ϕ : g ϕ(g) = ϕ(g) 1 2. tϕ : g tϕ(g)pour t 0 3. ϕ + ψ : g ϕ (g) + ψ (g) 4. ϕψ : g ϕ (g) ψ (g) 5. Soit (ϕ t ) t une famille de fonctions de type positif sur G convergeant vers une application ϕ : G C en tout point de G. Alors ϕ est une fonction de type positif. Preuve. Les points (i),(ii) et (iii) sont clairs par définition des fonctions de type positif. L assertion (v) provient d un passage à la limite dans les inégalités vérifiées par les fonctions ϕ t. Pour démontrer (iv), on utilise le théorème précédent : soit (H ϕ, π ϕ, ξ ϕ ) et (H ψ, π ψ, ξ ψ ) les triplets obtenus par la construction GNS de ϕ et ψ et K = H ϕ H ψ le produit tensoriel des espaces de Hilbert H ϕ, H ψ. Posons π(g) = π ϕ (g) π ψ (g) et ξ = ξ ϕ ξ ψ. Alors, on a : (ϕψ) (g) = π(g)(ξ), ξ, et cette relation montre que ϕψ est bien une fonction de type positif sur G. j=1 4

1.B Construction GNS pour les fonctions conditionnellement de type négatif sur les groupes Définition 1.B.1. Une fonction conditionnellement de type négatif sur G est une fonction ψ : G R telle que : 1. ψ (e) = 0 2. ψ ( g 1) = ψ (g) pour tous g G 3. Pour tout entier positif n, tous g 1,..., g n G, et tous nombres réels c 1,..., c n avec n c i = 0, on a l inégalité : ( ) c i c j ψ gj 1 g i 0 j=1 Exemple 1.B.2. Soit H un espace de Hilbert réel,. la norme associée, et π une représentation orthogonale de G. Alors l application : ψ : g π (g) ξ ξ 2 est une fonction conditionnellement de type négatif. En effet : 1. ψ (e) = ξ ξ = 0. 2. Pour tous g, h dansg, on a : ψ(g 1 ) = π(g 1 )ξ ξ 2 = π(g 1 )(ξ π(g)ξ) 2 = π(g 1 )(ξ π(g)ξ) 2 = (ξ π(g)ξ) 2 = ψ(g) 3. Enfin, donnons-nous g 1,..., g n G et des nombres réels c 1,..., c n avec n c i = 0. Alors : j=1 ( ) c i c j ψ gj 1 g i = 2c i c j ( ξ, ξ π (g i ) ξ, π (g j ) ξ ) i,j=1 = 2 c i π (g i ) ξ, c i π (g i ) ξ 0 Nous allons voir que cet exemple est aussi fondamental pour les fonctions conditionnellement de type négatif que l exemple 1A2 pour les fonctions de type positif. Proposition 1.B.3. Les fonctions conditionnellement de type négatif ont les propriétés suivantes : 1. Pour tous s, t 0, sψ 1 + tψ 2 est conditionnellement de type positif si ψ 1 et ψ 2 le sont. 2. Soit (ψ t ) t une famille de fonctions conditionnellement de type négatif sur G convergeant simplement sur G vers une application ψ : G R. Alors ψ est conditionnellement de type négatif. 3. Soit ϕ une fonction de type positif à valeurs réelles. Alors l application g ϕ (e) ϕ(g) est conditionnellement de type négatif. Preuve. Elle est claire en revenant à la définition. Avant de poursuivre, on introduit les notions de représentation affine et de cocycle : Définition 1.B.4. (application affine sur les espaces vectoriels). Soit E un espace vectoriel. On dit que f est une application affine sur E si f possède une partie linéaire L End(E) telle que f(ζ + ξ) = f(ζ) + L(ξ) pour tout (ζ, ξ) E 2. Le choix d une origine ξ 0 dans E, permet d écrire f(ξ 0 + ξ) = ξ 0 + L(ξ) + b ξ0 avec b ξ0 = f(ξ 0 ) ξ 0. Le vecteur b ξ0 est la composante de translation en ξ 0. 5

Proposition 1.B.5. (représentation affine). Une représentation affine d un groupe G sur un espace vectoriel E est la donnée d une application α : G GA(E), où GA(E) est le groupe des transformations affines inversibles de E. On note π(g) la partie linéaire et b(g) la composante de translation en ξ 0 E de α. Le fait que α soit un morphisme de groupes équivaut au fait que π soit une représentation linéaire et que b vérifie la relation : b(gh) = π(g)b(h) + b(g)( ) On a α(g)(ξ 0 + ξ) = ξ 0 + π(g)(ξ) + b(g), en particulier, b(g) = α(g)(ξ 0 ) ξ 0 (et souvent on prend ξ 0 = 0). Enfin, l action est isométrique (dans le cas où E=H est un espace de Hilbert) si et seulement si π est orthogonale. Preuve. La première assertion, i.e. le fait que α soit un morphisme de groupes équivaut au fait que π soit orthogonale et que b vérifie la relation de cocycle ( ) se montre ainsi : α(gh)ξ = α(g)α(h)ξ = α(g)(π(h)ξ + b(h)) = π(g)(π(h)ξ + b(h)) + b(g) d où la condition nécessaire. La condition suffisante se montre de même. Le reste est clair. Théorème 1.B.6. (Construction GNS) Soit ψ une fonction conditionnellement de type négatif sur G. Alors il existe un triplet (α, H, ξ) constitué d une représentation affine isométrique α de G sur un espace de Hilbert réel H et d un vecteur ξ tel que l espace vectoriel engendré par {α (g) ξ ξ : g G} est dense dans H ϕ et vérifiant : ψ (g) = α (g) ξ ξ 2 pour tout g G. De plus ce triplet est unique : Si (K, β, ς) est un autre tel triplet alors il existe un unique isomorphisme affine entre les espaces de Hilbert T : H K, entrelaçant α et β et tel que T ξ = ς. Preuve. On va faire la démonstration en trois étapes : 1. On commence par montrer qu il existe un espace de Hilbert réel H une application f : G H tels que : i ψ ( h 1 g ) = f (g) f (h) 2 pour tous g, h G ii l espace vectoriel engendré par {f (g) f (e) : g G} est dense dans H Pour tout g G, on considère δ g : G R, la fonction de Dirac au point g. Soit V l espace vectoriel réel composé des combinaisons linéaires du type n c iδ gi avec n c i = 0, g i G et c i R. Pour : ϕ = m a iδ gi et χ = n j=1 b jδ gj dans V, on définit, ϕ, χ ψ = 1 2 m j=1 a i b j ψ(g 1 j g i ). L application : (ϕ, χ) ϕ, χ ψ est une forme symétrique positive sur V V par hypothèse sur ψ. Elle n est en revanche pas définie en général. On pose alors N ψ = {ϕ V : ϕ, ϕ ψ = 0}. C est un sous espace vectoriel de V : en effet si ϕ, χ N ψ, on a ϕ + χ, ϕ + χ ψ = 2 ϕ, χ ψ. Mais l inégalité de Cauchy-Schwarz nous donne ϕ, χ 2 ψ ϕ, ϕ ψ χ, χ ψ = 0 d où l affirmation. On définit sur le quotient V/N ψ le produit scalaire [ϕ], [χ] ψ = ϕ, χ ψ, où l on a noté entre crochets les images des éléments de V dans V/N ψ par la surjection canonique. Ce produit scalaire est bien défini, le membre de droite ne dépendant pas des représentants ϕ [ϕ], χ [χ] par définition même de N ψ. On note (H,, ψ ) le complété hilbertien réel de V/N ψ. Posons : f : G H, g [δ g δ e ]. 6

On a alors : f (g) f (h) 2 ψ = δ g δ h, δ g δ h ψ = 1 ( ( ψ g 1 g ) ψ ( h 1 g ) ψ ( g 1 h ) + ψ ( h 1 h )) 2 = ψ(h 1 g) où l on a utilisé les propriétés (i) et (ii) de la définition 1B1. Enfin la densité de l espace vectoriel engendré par {f (g) f (e) : g G} = {[δ g δ e ] : g G} provient du fait que H est le complété de V/N ψ. On a donc prouvé l existence du couple (H, f) annoncé. 2. Soit maintenant (K, f 1 ) un autre couple répondant au problème posé en 1. (on notera simplement, et. le produit scalaire et la norme associés à K). Alors l application : [ ] V N K, a i δ gi a i f 1 (g i ) est bien définie et s étend en une isométrie T : H K. En effet, puisque n a i = 0, on a : [ ] 2 [ 2 a i δ gi = a i (δ gi δ e )] = a i a j δ gi δ e, δ gi δ e ψ ψ On utilise alors les propriétés de ψ (en notant que les coefficients des δ k vérifient 1 1 = 0) pour écrire : [ ] 2 a i δ gi = 1 ( ) ) a i a j (ψ g 1 j g i ψ (g i ) ψ (g i ) 2 ψ = 1 2 = i,j=1 i,j=1 ψ i,j=1 a i a j ( f 1 (g i ) f 1 (g j ) 2 f 1 (g i ) f 1 (e) 2 f 1 (g j ) f 1 (e) 2) a i a j f 1 (x i ) f 1 (e), f 1 (x j ) f 1 (e) i,j=1 = a i (f 1 (g i ) f 1 (e)) 2 = a i f 1 (g i ) 2 De plus, T est surjective puisque T (H) contient T (V/N ψ ) qui lui-même contient l espace vectoriel engendré par {f 1 (g) f 1 (e) : g G} dense dans K. Enfin on a T f = f 1 f 1 (e) ce qui détermine T de façon unique. D où l unicité du couple (H, f) au sens suivant : il existe un unique isomorphisme affine S de H sur Ktel que S f = f 1. 3. Démontrons maintenant le résultat annoncé. Soit ( ((H,, ), f) ) le couple obtenu en (i) et (ii) ci-dessus. Pour tout g G, on a f (gx) f (gy) 2 = ψ (gy) 1 (gx) = ψ ( y 1 x ) = f (x) f (y) 2 pour tous x, y G. Ainsi par l unicité définie et obtenue ci-dessus, on obtient l existence d une unique isomorphisme affine α(g) sur H telle que α (g) f (x) = f(gx) pour tout x G. On en déduit que α (g 1 g 2 ) f (x) = f (g 1 g 2 x) = α (g 1 ) (f (g 2 x)) = α (g 1 ) α (g 2 ) (f (x)), pour tous g 1, g 2 dans G. La densité de l espace vectoriel engendré par {f (x) f (e) : x G} dans H permet alors d obtenir : 7

α (g 1 g 2 ) = α (g 1 ) α (g 2 ) pour tous g 1, g 2 G. Ainsi α est une représentation affine orthogonale, de G sur H. Soit ξ = f (e). On vérifie bien comme annoncé : ψ (g) = f (g) f (e) 2 = α (g) ξ ξ 2. On a donc prouvé l existence d un triplet (α, H, ξ)comme dans l énoncé. Enfin, Soit (β, K, ς) un autre tel triplet. Alors pour tout g G, on a ψ (g) = β (g) ς ς 2. On en déduit alors que pour tous g, h dans G : ψ ( h 1 g ) = β ( h 1 g ) ς ς 2 = β ( h 1 g ) ς 2 2 β ( h 1 g ) ς, ς + ς 2 = 2 ς 2 2 β (g) ς, β (h) ς = β (g) ς β (h) ς 2. Par l unicité du point 2., on en déduit l existence d un isomorphisme affine T : H K tel que T α (g) ξ = β (g) ς = β (g) T ξ ( ) pour tout g dans G. Enfin la densité, dans H, de l espace vectoriel engendré par les α (h) ξ f (e) avec h G, et la relation ( ) permettent de montrer que les représentations sont isomorphes : vérifions en effet l identité T α (g) η = β (g) T η sur les éléments η de la forme α (h) ξ f (e) = α (h) ξ ξ. On a : T α (g) (α (h) ξ ξ) = T α (gh) ξ T α (g) (ξ) = T α (gh) ξ T α (g) ξ = β (gh) T ξ β (g) T ξ où l on a utilisé dans la dernière égalité la relation ( ). Réécrivons un peu le membre de droite de cette suite d égalités : β (gh) T ξ β (g) T ξ = β (g) T α (h) ξ β (g) T ξ = β (g) T (α (h) ξ ξ) d où le résultat. 1.C Théorème de Schoenberg Nous allons maintenant faire le lien entre les fonctions de type positif et les fonctions conditionnellement de type négatif. Proposition 1.C.1. Soient H un espace de Hilbert affine réel et t un nombre réel strictement positif. Il existe un espace de Hilbert réel H t et une application continue γ t : H H t, ξ ξ t tels que l espace vectoriel engendré par γ t (H) est dense dans H t et γ t (ξ), γ t (η) = exp ( t ξ η 2). Le couple (H t, γ t ) est déterminé à isomorphisme près par ces conditions. En particulier, étant donné un groupe discret G et une action affine α de G sur H, il existe une représentation orthogonale π t, de G dans H t telle que γ t (α (g) ξ) = π t (g) (γ t (ξ)) pour tous g dans G et ξ dans H. 8

Preuve. On vectorialise l espace de Hilbert affine H en une origine 0 H et on identifie H à l espace H 0 de ses translations (h t Oh ). Pour tout entier n 0, on note (H 0 ) n l espace de Hilbert produit tensoriel de n copies de H 0 (on a (H 0 ) 0, une copie de R) et posons EXP (H) = (H 0 ) n. Pour tout ξ H, posons EXP (ξ) = (n!) 1/2 ξ n = 1 ξ 1 2! ξ.... On obtient alors : EXP (ξ), EXP (η) = exp ξ, η pour tous ξ, η dans H. Pour tout t > 0 et tout ξ dans H, posons : ( ξ t = exp t ξ 2) EXP ( 2tξ) ( Alors on a ξ t, η t = exp t ξ 2 t η 2) ( exp (2t ξ, η ) = exp t ξ η 2). En particulier, ξ t est un vecteur unitaire pour tous ξ H et t > 0. On définit H t comme le sous-espace fermé de EXP (H) engendré par les ξ t avec ξ H. Soient (H t, γ t) et (H t, γ t ) deux couples vérifiant les conditions de l énoncé. On écrit ξ t = γ t(ξ) et ξ t (t) = γ t (ξ) pour tout ξ dans H. D une part il existe au plus un isomorphisme U : H t H t U (ξ t) = ξ t pour tout ξ H, par définition de H t et H t. D autre part, on a : ξ t, η t = exp tel que ( t ξ η 2) = ξ t, η t (2) pour tous ξ, η dans H, de sorte que l application ξ t ξ t est bien définie et s étend en un isomorphisme isométrique de H t sur H t. En effet, U est bien définie car U( s α iξ t,i ) = 0 = s α iξ t,i implique par (2) que 0 = s α2 i ξ t,i 2 et donc α i = 0 pour tous i = 1..s. L application est isométrique car elle conserve le produit scalaire des éléments qui engendrent les espaces H t et H t, enfin elle est surjective toujours par définition des espaces H t et H t. On en déduit le résultat. Théorème 1.C.2. Soit ψ : G R une application telle que ψ (e) = 0 et ψ ( g 1) = ψ(g) pour tout g G. Alors les assertions suivantes sont équivalentes : 1. ψ est conditionnellement de type négatif ; 2. la fonction exp( tψ) est de type positif pour tout t 0. Preuve. Supposons que ψ est conditionnellement de type négatif. La construction GNS pour la fonction conditionnellement de type négatif ψ nous donne l existence d un espace de Hilbert réel H, d une représentation affine orthogonale α de G sur H et d un vecteur ξ de H tels que ψ (g) = α (g) ξ ξ 2. Pour t = 0, la fonction 1 est bien de type positif. Soit t > 0 fixé. Par la proposition précédente il existe : un espace de Hilbert H t, une application γ t : H H t dont l image engendre H t topologiquement, vérifiant γ t (ξ), γ t (η) = exp ( t ξ η 2) et, enfin, une représentation orthogonale π t de G sur H t telle que π t (g) (γ t (ξ)) = γ t (α (g) ξ). Alors : ( exp ( tψ (g)) = exp t α (g) ξ ξ 2) = γ t (α (g) ξ), γ t (ξ) = π t (g) (γ t (ξ)), γ t (ξ) En complexifiant l espace de Hilbert H t, on obtient l expression d une fonction de type positif sur G (cf. exemple 1A2). 9

Réciproquement, supposons que exp( tψ) est de type positif pour tout t 0. Alors l application g G 1 exp ( tψ) R est conditionnellement de type négatif (cf. proposition 1B3 (3)) ainsi que la limite (cf. proposition 1B3 (2)) : D où le théorème. ψ = lim t 0 t 0 1 exp ( tψ). t 2 Propriété de Haagerup sur les groupes, exemple du groupe libre 2.A Propriété de Haagerup sur les groupes Nous allons définir la propriété de Haagerup (ou a-t-moyennabilité) sur un groupe discret infini G de différentes façons et voir que les définitions sont équivalentes. Voici tout d abord quelques résultats sur les représentations : Définition 2.A.1. Si (π, H) est une représentation unitaire de G sur un espace de Hilbert H, on a vu (exemple 1A2) que l application g π (g) ξ, ξ pour tout ξ H est une fonction de type positif. On appelle ces fonctions les fonctions de type positif associées à π. Définition 2.A.2. Soit (π, H)et (ρ, K) des représentations unitaires de G sur des espaces de Hilbert. On dit que π est faiblement contenu dans ρ si toute fonction de type positif associée à π peut être approchée uniformément sur les sous-ensembles compacts de G par des sommes finies de fonctions de type positif associées à ρ. Autrement dit : pour tout ξ H, pour tout sous-ensemble compact Q de G et tout ε > 0, il existe η 1,..., η n dans K tels que pour tout x Q, π (x) ξ, ξ ρ (x) η i, η i < ε. Remarque 2.A.3. La convergence sur tous les compacts évoquée dans la définition précédente équivaut dans le cadre qui nous intéresse particulièrement (le cas des groupes discrets) à la convergence simple sur G. Nous conservons néanmoins cette dénomination qui nous sera utile dans certaines démonstrations et qui a l avantage de s étendre au cas des groupes localement compacts. Notation 2.A.4. Si π est faiblement contenu dans ρ, on notera π ρ. Proposition 2.A.5. Soit (π, H)et (ρ, K) des représentations unitaires de G sur des espaces de Hilbert telles que π ρ. Supposons π irréductible et soit ξ H, un vecteur unitaire. Alors π (.) ξ, ξ peut être approchée, uniformément sur tous les sous-ensembles compacts de G par des fonctions de type positif associées à ρ normalisées (i.e. ρ (e) ς, ς = ς 2 = 1). Preuve. On admet ce résultat. Voir par exemple [1]. Corollaire 2.A.6. Soit (π, H) une représentation unitaire de G, on note 1 G la représentation triviale sur G. Alors 1 G π si et seulement si, pour tout sous-ensemble compact Q de G, et tout ε > 0, il existe un vecteur unitaire ξ H, tel que : max π (x) ξ ξ < ε x Q On dit que π admet des vecteurs quasi-invariants. Preuve. Pour x G et ξ H un vecteur unitaire, on a : 10

i π (x) ξ ξ 2 = 2 (1 Re π (x) ξ, ξ ) 2 1 π (x) ξ, ξ ii 1 π (x) ξ, ξ 2 2 (1 Re π (x) ξ, ξ ) = π (x) ξ ξ 2 Notons tout d abord que l application x 1 est la seule fonction de type positif normalisée associée à 1 G. Supposons 1 G π, et soit Q un sous-ensemble compact de G et ε > 0. Alors par la proposition précédente, il existe un vecteur unitaire ξ H tel que sup 1 π (x) ξ, ξ = max 1 π (x) ξ, ξ < x Q x Q ε2 /2 Alors par (i), on en déduit que max x Q π (x) ξ ξ < ε. Réciproquement, si max x Q π (x) ξ ξ < ε alors 1 G π par (ii). Donnons maintenant des définitions qui nous serviront dans cette partie. Définition 2.A.7. 1. On dit qu une fonction f : G C tend vers 0 à l infini si pour tout ε > 0 l ensemble { f (x) ε} est fini. On note C 0 (G) l espace de telles fonctions. 2. Une C 0 -représentation unitaire (π, H) de G est une représentation telle que ϕ ξ,η : g π(g)ξ, η tend vers 0 à l infini. Définition 2.A.8. (applications propres) On dit qu une fonction f : G C est propre si f tend vers + à l infini ou encore si pour tout A > 0 l ensemble { f (x) A} est fini. Autrement dit, l image réciproque de tout compact est compact. Détaillons un peu les différentes notions d applications et d actions propres : 1. Une application entre deux espaces topologiques est dite propre si l image réciproque de tout compact est compact. 2. Une application continue entre espaces métriques est dite métriquement propres si l image réciproque de tout fermé borné est compact. Lemme 2.A.9. (actions propres) 1. (X-espace topologique séparé). Soit α une action par isométries d un groupe G sur un espace X (On note α(g).x = g.x). On considère F : G X X X, (g, x) (g.x, x). Alors : F est propre si et seulement si A, B X compacts, {g G : g.b C } est fini. On dit alors que l action est topologiquement propre. 2. (X-espace métrique) B, C X bornés {g G : gb C } est fini si et seulement si x 0 X, lim g d(gx 0, x 0 ) = +. On dit alors que l action est métriquement propre. Preuve. 1. Supposons que F est propre. On se donne B, C X compacts et on considère G B,C = {g G : gb C }. On note p 1 l application de projection (continue), p 1 : X X X, (x, y) x, alors : G B,C = p 1 (F 1 (C B)). Ainsi G B,C est compact puisque C B est compact, F est propre et p 1 continue. G B,C est donc fini puisque G est discret. Réciproquement, supposons que les ensembles G B,C sont finis pour B, C X compacts. Soit K un compact de X X. Il s agit de montrer que F 1 (K) = {(g, x) G X : (g.x, x) K} est compact. Soit 11

p 2, la projection p 2 : X X X. On a (g.x, x) K x = p 2 (g.x, x) B, i.e. B = p 2 (K). On note que B X est compact. Par ailleurs, (g.x, x) K implique (en composant par p 1 ) : C X compact tel que C = p 1 (K). On utilise maintenant le fait que {g : gb C } est un ensemble fini, appelons-le F. On en déduit que {(g, x) G X : (g.x, x) K} est inclus dans F B, compact dans G X, d où l équivalence souhaitée. 2. Commençons par la condition nécessaire. Soient x 0 X et M 0. On note B(x 0, M), la boule de centre x 0 et de rayon M dans X. On a {g G : d(gx 0, x 0 ) M} = {g G : g.x 0 B(x 0, M)}. Or {g : g.{x 0 } B(x 0, M)} est fini, d où lim d(gx 0, x 0 ) = +. La réciproque se montre de manière tout à g fait analogue, en notant que deux ensembles bornés B, C X sont inclus, respectivement, dans des boules B(x 0, M B ) et B(x 0, M C). Voici maintenant le théorème principal de cette partie : Théorème 2.A.10. Soit G un groupe discret infini. Les assertions suivantes sont équivalentes. 1.a Il existe une fonction propre, conditionnellement de type négatif ψ : G R +. 1.b G est a-t-moyennable : il existe un espace de Hilbert réel ou complexe H et une action affine isométrique α de G sur H métriquement propre. 2.a C 0 (G) possède une approximation de l unité par des fonctions de type positif normalisées : il existe une suite (ϕ n ) n de fonctions de C 0 (G)telles que ϕ n (e) = 1 pour tout n et ϕ n 1 uniformément sur les sous-ensembles compacts de G. 2.b Il existe une C 0 représentation unitaire (π, H) de G telle que 1 G π. 3 Il existe un espace métrique (X, d), sur lequel G agit isométriquement et métriquement proprement, une représentation unitaire π de G sur un espace de hilbert H π et une application continue c : X X H π telle que : i c (x, z) = c (x, y) + c(y, z) pour tous x, y, z X [relation de Chasles] ii c (gx, gy) = π (g) c(x, y) pour tous x, y X et g G [équivariance] iii c (x, y) + si d (x, y) + [c est propre] Si le groupe G vérifie l une des assertions précédentes, on dit qu il possède la propriété de Haagerup (ou encore que G est a-t-moyennable). Preuve. 1.a 1.b Soit ψ une fonction conditionnellement de type négatif sur G (non nécessairement propre pour l instant). Alors la construction GNS nous donne l existence d un triplet (H, α, ξ) constitué d un espace de Hilbert réel H, d une représentation affine isométrique α de G sur H et d un vecteur cyclique ξ. On a par ailleurs, ψ (g) = α (g) ξ ξ 2. On pose b(g) = α(g)ξ ξ, le π cocycle associé à α en ξ, on a donc ψ (g) = b (g) 2 D autre part, si l on dispose d une action affine sur H, et donc d un cocycle b, la fonction g b (g) 2 est conditionnellement de type négatif sur G (c est même l archétype de telles fonctions, vu dans la partie 1.B). L équivalence entre 1.a et 1.b provient du fait que ψ est propre si et seulement si α l est. En effet d(α(g)ξ, ξ) 2 = α(g).ξ ξ 2 = ψ(g) et le reste découle du lemme précédent (2.A.9 2.). 2.a 2.b. Soit (ϕ n ) n comme dans 2.a et (H n, π n, b n ) le triplet de la construction GNS associé. On pose : π = π n. Alors π est une C 0 représentation. Il s agit de montrer que : π(g)ζ, ξ 0, pour tous ζ, ξ H n = H lorsque g tend vers l infini. Montrons tout d abord que π n (g)ζ n, ξ n 0 (3) 12

pour tout n N lorsque g. On fixe n N. Par hypothèse sur les fonctions ϕ n et leurs constructions GNS associées, on a ϕ n (g) = π n (g)b n, b n 0 lorsque g. Ainsi pour tous les vecteurs du type ζ = π n (h)b n, ξ = π n (k)b n, on a : π n (g)ζ, ξ = π n (g)π n (h)b n, π n (k)b n = π n (k 1 gh)b n, b n 0 lorsque g. Alors les combinaisons linéaires de ce type tendent également vers 0 lorsque g tend vers. Comme V ect{π n (g)b n : g G} =: H n est dense dans H n, on en déduit (3) : soit en effet ɛ > 0. On fixe ζ n H n et ξ n H n, puis on se donne ζ n, ξ n H n tels que ζ n ζ n < ɛ et ξ n ξ n < ɛ. On a : d où : π n (g)ζ n, ξ n = π n (g)ζ n, ξ n + π n (g)(ζ n ζ n), ξ n + π n (g)ζ n, ξ n ξ n, π n (g)ζ n, ξ n π n (g)ζ n, ξ n + π n (g)(ζ n ζ n), ξ n + π n (g)(ζ n ), ξ n ξ n π n (g)ζ n, ξ n + ζ n ζ n. ξ n + ζ n. ξ n ξ n Il est clair que le premier terme de cette dernière somme tend vers 0 lorsque g et que le troisième est majoré par ε ζ n ( ). Pour le second, on remarque que ξ ξ < ɛ implique ξ < ξ + ɛ, d où une majoration du type ( ). La relation (3) en découle. Revenons maintenant à notre problème initial : on écrit π(g)ζ, ξ = n= n=0 π n(g)ζ n, ξ n. La convergence des séries ζ n 2 et ξ n 2 implique que leurs restes tendent vers 0. On fixe alors ε > 0. Pour tout N N, on a : n= n=n π n (g)ζ n, ξ n π n (g)ζ n, ξ n + n=0 n=0 n=n n=0 n=n n=0 π n (g)ζ n, ξ n + π n (g)ζ n, ξ n + ( n= n=n+1 n= n=n+1 n= n=n+1 π n (g)ζ n, ξ n (4) ζ n. ξ n (5) ζ n 2 ) 1/2.( n= n=n+1 ξ n 2 ) 1/2 (6) où les passages entre (4) et (5) est légitimé par l inégalité de Cauchy-Schwarz et le fait que π n soit unitaire, et entre (5) et (6) par l inégalité de Cauchy-Schwarz, classiques, pour les suites. Enfin, le premier terme du second membre de l inégalité (6) tend vers 0 lorsque g par (3) et le second terme est aussi petit qu on le souhaite si N est assez grand. Il suffit donc de choisir N tel que ( n= n=n+1 puis de faire tendre g vers l infini pour avoir ζ n 2 ) 1/2.( n=n n=0 n= n=n+1 π n (g)ζ n, ξ n < ε 2, ξ n 2 ) 1/2 < ε 2, et on obtient le résultat : π est une C 0 -représentation. Enfin, π contient faiblement 1 G car les fonctions π étant une C 0 représentation on peut appliquer le corollaire 2.A.6 (plus particulièrement l inégalité i. de la démonstration). Réciproquement si G possède une C 0 représentation (π, H), qui contient faiblement 1 G, on se donne (η n ) n une suite de vecteurs unitaires telle que pour tout sous-ensemble fini Q de G, lim max π (g) η n η n = 0 ( ) n g Q 13

On pose ϕ n = π (.) η n, η n. Alors ϕ n est une fonction de type positif (cf. l exemple fondamental 1A2), normalisée (car η n est unitaire), dans C 0 (G) par hypothèse sur π. Il reste à vérifier que ϕ n 1 uniformément sur les sous-ensembles finis de G : c est la relation ( ) et le (ii.) de la preuve du corollaire 2.A.6. 1.a 2.a. Si ψ vérifie 1.a alors par le théorème de Schoenberg, ϕ n = exp( nψ) est une fonction de type positif pour tout n 0. De plus : 1. ϕ n (e) = exp ( nψ (e)) = 1, 2. pour tout n et tout ε, {g G : ϕ n (g) ε} est fini car lim g ψ(g) = +, 3. ϕ n converge uniformément vers 1 sur tout sous-ensemble fini {g 1,..., g s } de G, car pour tout i {1,..., s}, ϕ n (g i ) 1 < ε pour n assez grand. d où le 2.a. Réciproquement, si G vérifie 2.a, on se donne (K n ) n une suite croissante de sous-ensembles finis de G et de réunion G (que l on obtient à partir d une énumération de G). On se donne maintenant une suite positive croissante (α n ) n non bornée (par exemple α n = n) et une suite (ε n ) n tendant vers 0 et telle que la série α n ε n est convergente (par exemple ε n = 1/(n + 1) 3 ). Pour tout n, on choisit une fonction de type positif normalisée sur G telle que max g Kn ϕ n (g) 1 ε n. On suppose de plus que pour tout n, ϕ n est réelle (ce qui est toujours possible par exemple en prenant sa partie réelle si ce n est pas le cas). On a alors φ n 1 par la proposition 1.A.3. On pose pour g G : ψ (g) = + n=0 α n (1 ϕ n (g)), La convergence de la série est claire par le choix des suites (ε n ) n et (α n ) n ainsi que des fonctions ϕ n. De plus ψ est une fonction conditionnellement de type négatif sur G par 1.B.3. Il reste à vérifier que ψ est propre. Soit donc R > 0, et soit n tel que α n 2R. La fonction ϕ n étant dans C 0 (G), il existe un sous-ensemble fini L de G tel que ϕ n (g) < 1 2 pour tout g dans le complémentaire de L. Alors : {g G : ψ (g) R} {g G : 1 ϕ n (g) 1/2} L. Il suit que ψ est propre. 1.b 3. Supposons que 1.b est vérifiée. Alors, on pose X = H muni de l action α, π la partie orthogonale de α et c le cocycle canonique c (ξ, η) = ξ η. On obtient alors bien les conditions de 3, toutes facilement vérifiées. Réciproquement, si l on fixe un élément x 0 X, alors l action de α de G sur H π définie par α (g) η = π (g) η + c (gx 0, x 0 ) η est affine. Elle est isométrique car π(g) est orthogonale : α(g)ξ α(g)ζ = π(g)ξ π(g)ζ = ξ ζ. Il reste à vérifier que g c(gx 0, x 0 ) est un π cocycle de π pour α. On utilise les relation (i) et (ii) vérifiées par c : c(ghx 0, x 0 ) = c(ghx 0, gx 0 ) + c(gx 0, x 0 ) = π(g)c(hx 0, x 0 ) + c(gx 0, x 0 ). Enfin α, est métriquement propre par la propriété (iii.) et le lemme (2.A.9 2) de c car : α(g)η η c(gx 0, x 0 )η π(g)η η lorsque g. 14

2.B Exemple du groupe libre Définition 2.B.1. On fixe a 1,..., a n des symboles. Le groupe libre F n est l ensemble des mots réduits sur les lettres a 1,..., a n, a 1 1,..., a 1 n, où un mot réduit désigne une suite finie de lettres telle qu aucune lettre n est précédée par son inverse. On admettra que F n est un groupe, en particulier que la concaténation suivie de la simplification définissent une loi de groupe. Propriété 2.B.2. (Propriétés du groupe libre) 1. Le neutre de F n est le mot vide, noté e. 2. Si x 1,..., x k sont des lettres, on a (x 1,..., x k ) 1 = (x 1,..., x 1 k Définition 2.B.3. (Graphes) Un graphe G est un ensemble de 5 éléments (V, E, s, b, θ) où V est un ensemble de sommets, E un ensemble d arêtes orientées et s, b, θ des applications vérifiant : 1. s, b : E V, source et but arêtes. 2. θ : E E, retournement des arêtes, telle que θ θ = id, b θ = s, e E, s(e) b(e). Définition 2.B.4. (Chemin) Un chemin de v V à w V dans un graphe G est une suite d arêtes e 1,..., e n E telle que : s(e 1 ) = v, b(e 1 ) = s(e 2 ),..., b(e i ) = s(e i+1 ),..., b(e n ) = w. Définition 2.B.5. (graphe de Cayley) On se donne un groupe G et une partie finie S G ne contenant pas le neutre e de G et telle que g S g 1 S. Le graphe de Cayley de G, S est le graphe tel que : 1. V = G 2. E = {(g, h) V 2 : s S, h = gs} 3. s(g, h) = g 4. b(g, h) = h 5. θ(g, h) = (h, g) On note que (g, h) E si et seulement si (h, g) E car h = gs g = hs 1 Définition 2.B.6. (direction d une arête) Soit G un graphe de Cayley et (g, h) E. Par définition s G : h = gs. Cette formule définit s de manière unique. On l appelle la direction de l arête (g, h). Ainsi, si α 1,..., α n est un chemin sans aller retour (i.e. une suite d arêtes non opposées) de e à g dans G et de directions s 1... s n alors, g=s 1... s n. Exemple 2.B.7. On considère le groupe libre F 2 engendré par les lettres a, b. On pose S = {a, b, a 1, b 1 }. Le graphe de Cayley de F 2 est représenté sur la figure 2. On a placé au centre le neutre, chaque intersection est un élément du groupe, i.e. un produit de lettres. La multiplication par a peut être modélisée par une translation vers la droite, celle par a 1 par une translation vers la gauche... C est un arbre, i.e. ce graphe est connexe et ne contient pas de cycle. Proposition 2.B.8. Le groupe G agit sur son groupe de Cayley : 1. action sur V : G V V, g.v = gv 2. action sur E : G E E, g.e = g(v, w) = (gv, gw) 1 ) 15

Figure 2 graphe de Cayley du groupe libre à deux éléments L action définie ainsi respecte les applications du graphe de Cayley de G : par exemple, b(g.(v, w)) = b((gv, gw)) = gw = g.b(v, w) Remarque 2.B.9. On obtient ainsi des représentations linéaires unitaires de G sur l 2 (V ) et l 2 (E) comme suit : i. Si f l 2 (V ), g G, on pose (g.f) = (x f(g 1 x)) pour x V. ii. Si f l 2 (E), g G, on pose (g.f) = (e f(g 1 e)) pour e E. On va montrer, en utilisant la caractérisation 1.b du théorème 2.A.10, que le groupe F 2 possède la propriété de Haagerup. Théorème 2.B.10. (Propriété de Haagerup pour le groupe F 2 ) Soient G le graphe de Cayley de F 2 et π la représentation de F 2 sur l 2 (E) comme ci-dessus. Alors il existe une action affine isométrique α de G sur l 2 (E), propre au sens défini précédemment. En particulier F 2 possède la propriété de Haagerup. Preuve. On définit, pour tout g G, b(g) comme la somme des arêtes le long du chemin e g moins la somme des arêtes le long du chemin g e (on voit l ensemble des fonctions sur E à support fini comme combinaisons linéaires formelles d arêtes du graphe de Cayley de F 2 ). Alors l action suivante : α(g)ξ = π(g)ξ + b(g) de F 2 sur l 2 (E) est affine, isométrique et propre. Notons tout d abord que b(g) 2 est égal à deux fois la longueur du chemin e g. Il suit donc que b est propre. On en déduit, également, que α est propre : ξ E α(g)ξ ξ b(g) 2 ξ lorsque g. Le fait que cette application soit isométrique est clair vu que π est orthogonal. Montrons enfin, que b est un cocycle de π pour α. Il s agit donc de vérifier la relation : b(gh) = π(g)b(h) + b(g) pour tous g, h G. C est ce que la (figure 3) explicite. ceci termine la démonstration. On termine cette section par une proposition que nous avions annoncé en introduction 16

Figure 3 action de g Proposition 2.B.11. Le groupe libre F 2 n est pas moyennable. Preuve. En effet, par l absurde, supposons que F 2 possède une mesure invariante m. On rappelle que tous les éléments de F 2 s écrivent sous forme de mots irréductibles en a, b, a 1, b 1. Soit alors A, le sousensemble des mots de F 2 commençant pas une puissance non nulle de a. On a donc F 2 = aa A et puisque m(aa) = m(a), par invariance de m, et que m(f 2 ) = 1, on obtient 2m(A) = 1 + m(aa A) i.e. m(a) 1/2. D autre part les sous-ensembles A, ba et b 2 A sont disjoints deux à deux donc 1 = m(f 2 ) m(a) + m(ba) + m(b 2 A) = 3m(A) 3/2 d où une contradiction et le résultat souhaité. 3 Actions sur les espaces à murs et propriété de Haagerup pour certains produits en couronne. 3.A Actions sur les espaces à murs. Définition 3.A.1. Un espace à murs (X, W ) est un ensemble X muni d une famille W de partitions de X en 2 classes, appelés murs, et tels que le nombre w(x, y) de murs séparant deux éléments x, y X soit fini. Exemple 3.A.2. 1. Le graphe de Cayley du groupe libre F 2 est un espace à murs, les murs correspondant aux arêtes du graphe. En effet, les deux parties du graphe relié par une arête forment les deux composantes connexes du graphe privé de cette branche ; ceci permet de séparer tous les couples d éléments du graphe. De plus, le nombre de chemins (sans aller-retour) entre deux éléments du graphe est fini donc le nombre de murs séparant deux éléments l est aussi. (voir figure 1) 2. le groupe Z n est un espace à murs. En effet, une partition de Z n en demi-espaces est donnée par {E + i,k, E i,k } avec E+ i,k = {(z 1,..., z n ) Z n : z i > k} et E i,k = {(z 1,..., z n ) Z n : z i k} pour i {1,..., n}. Définition 3.A.3. Un groupe G agit proprement sur un espace à murs (X, W ) si G agit sur X en préservant la famille W (i.e. Si X est la réunion disjointe de Y et Z avec {Y, Z} W alors pour tout g G X est encore réunion disjointe de gx et gy et on demande que {gy, gz} W ) et s il existe x 0 X tel que la fonction g w(gx 0, x 0 ) est propre sur G). 17

Proposition 3.A.4. (inégalité triangulaire et conséquence) Soit (X, W ) un espace à murs. La fonction w définie précédemment vérifie l inégalité triangulaire. De plus, si cette fonction g w(gx 0, x 0 ) est propre sur G pour un x 0 alors elle est propre pour tous les éléments x 0 X. Preuve. On va montrer que W (x, y) W (x, z) W (z, y), si W (x, y) designe l ensemble des murs separant x de y. Soit donc W x,y un mur séparant x de y. Alors ce mur sépare nécessairement x de z ou y de z, sinon il ne séparerait pas x de y, d où l inclusion souhaitée. Par conséquent, w(x, y) w(x, z) + w(y, z). La deuxième assertion découle de cette inégalité triangulaire. En effet, supposons que g w(gx 0, x 0 ) est propre pour un certain x 0 X et donnons-nous y X. On a : w(gx 0, x 0 ) w(gx 0, gy) + w(gy, y) + w(y, x 0 ) = w(x 0, y) + w(gy, y) + w(y, x 0 ). Par conséquent, pour tout M > 0, w(gy, y) M w(gx 0, x 0 ) M + N avec N = 2w(x 0, y). Donc, puisque g w(gx 0, x 0 ) est propre, il suit que g w(gy, y) l est également. Théorème 3.A.5. Soit (X, W ) un espace à murs, G un groupe discret. Si G agit proprement sur (X, W ), alors G a la propriété de Haagreup. Preuve. On rappelle que w(x, y) désigne le nombre de murs séparant x et y. Montrons tout d abord que l on peut supposer w(x, y) > 0 si x y. En effet, w vérifie l inégalité triangulaire w(x, z) w(x, y) + w(y, z) ( ) pour tous x, y, z X. On identifie alors les points x et y tels que w(x, y) = 0 et on note Y le quotient de X par la relation d équivalence (qui en est bien une par ( )) xry w(x, y) = 0. Les murs dans le quotient sont les mêmes que dans X. En effet, si deux murs {S, T } et {S, T } sont distincts alors leurs images dans le quotient le sont encore : puisque {S, T } = {S, T } il existe un couple d éléments (x, y) de X tel que {S, T } sépare ces éléments mais pas {S, T } (ou l inverse, mais on peut se placer dans ce cas sans perdre de généralité). On peut, toujours sans perte de généralité, et pour rendre la situation plus concrète, supposer que x S, y T et x, y S. Les images x, y de x et y sont séparées par l image {S, T } du mur {S, T } (car un élément ne peut pas être à la fois toujours dans le même demi-espace que x et toujours dans le même demi-espace que y, à cause du mur {S, T }, autrement dit les classes d équivalence de x et y sont disjointes). Par conséquent, si les deux murs ont une image identique dans le quotient on obtient que {S, T } sépare x et y. Or, x, y S x, y S d où une contradiction. Y est alors un espace à murs (avec la même famille de murs que X) sur G lequel agit proprement. De plus (Y, w) est, par construction, un espace métrique. En remplaçant si nécessaire X par Y, on peut donc supposer que w est une distance sur X. On construit maintenant une représentation unitaire π associée à un espace de Hilbert H π, et une application c : X X H π vérifiant les conditions du théorème 2.A.10 (3.). Définissons un demi-espace comme étant l une des deux classes dans la partition de X par un de ses murs. On définit alors H comme étant l ensemble des demi-espaces de X, et π la représentation par permutations sur l 2 (H). Pour x X, soit χ x la fonction caracteristique des demi-espaces contenant x. Par définition des espaces à murs, pour tous x, y X, la fonction χ x χ y est à support fini dans l 2 (H). On définit c(x, y) = χ x χ y, et on a χ x χ y 2 = 2w(x, y). Vérifions que c vérifie les conditions du théorème 2.A.10 (3.). - La relation de Chasles est claire par définition de c. - L équivariance de c provient des égalités suivantes : pour tous x, y X et g G, π(g).c(x, y) = π(g)(χ x χ y ) = χ gx χ gy = c(gx, gy) L avant dernière égalité s obtient en remarquant que χ x (g 1 H 1/2 ) = 1 x g 1 H 1/2 gx H 1/2 où l on a noté H 1/2 H un demi-espace. - Si w(x, y) alors c(x, y) 2 = 2w(x, y). D où le résultat. 18

3.B Propriété de Haagerup sur certains produits en couronnes Dans cette partie, on va montrer que sous certaines conditions le produit en couronne de deux groupes (que l on va définir tout de suite) possède une structure d espace à murs sur lequel il agit métriquement proprement, et donc, en particulier possède la propriété de Haagerup. Notation 3.B.1. Dans toute la suite G désignera un groupe dénombrablemuni d une structure d espace à murs propre, c est à dire telle que l action par translation à gauche est propre (on a déjà vu que le groupe libre en est un exemple). H désignera un groupe fini. Définition 3.B.2. 1. On pose Λ := H (G) = {λ : G H : #(Supp λ) < } où le support de λ = (h g ) g G Λ est l ensemble des g G tels que h g 1 H. On note que G agit sur Λ par permutation sur les indices de λ = (h g ) g G Λ comme suit : k.λ = k.(h g ) g G = (h kg ) g G 2. On note Γ = H G le produit en couronne de H et G, défini comme le produit semi-direct de Λ par G, c est à dire l ensemble Λ G muni de la multiplication suivante : où g.λ a été défini en 1. (λ, g)(λ, g ) = (λ(g.λ ), gg ) Notation 3.B.3. On notera, dans ce qui suit, λg = (λ, g) Γ un élément du produit en couronne. Théorème 3.B.4. Soit H un groupe fini et G un groupe dénombrable possédant une structure d espace à murs propre. Alors H G lui aussi possède une structure d espace à murs propre. En particulier un tel produit en couronne possède la propriété de Haagerup. Preuve. On notera comme dans la démonstration du théorème 3.A.5, H l ensemble des demi-espaces de G. Pour A H, on note A c l autre demi-espace séparé par ce mur, c est à dire le complémentaire de A dans G. Pour A H et µ : A c H une fonction à support fini, on pose : E(A, µ) := {γ = λg Γ : g A, λ A c = µ} On définit alors une famille de murs dans Γ à l aide des partitions {E(A, µ), E(A, µ) c }. On va vérifier que ceci muni Γ d une structure d espace à murs sur lequel il agit proprement. 1. Γ est un espace à murs : En effet, soient γ 1 = λ 1 g 1 et γ 2 = λ 2 g 2 des éléments de Γ. Montrons alors qu il n y a qu un nombre fini de E(A, µ) séparant γ 1 et γ 2 i.e. qu il n y a qu un nombre fini de E(A, µ) tels que γ 1 E(A, µ) et γ 2 E(A, µ). D une part, puisque γ 1 E(A, µ), on a g 1 A et λ 1 A c = µ. D autre part, puisque γ 2 E(A, µ), on a g 2 A ou λ 2 A c µ. En particulier, soit g 2 est dans A c soit il existe un indice g 0 A c tel que dans λ 1 1 λ 2 = (h g ) g on ait h g0 1 H. Ceci s écrit encore : A c ({g 2 } Supp(λ 1 1 λ 2)). Par conséquent, A doit séparer g 1 de l ensemble fini {g 2 } Supp(λ 1 1 λ 2), et par hypothèse G est muni d une structure d espace à murs donc il existe seulement un nombre fini de tels A. Le nombre de murs E(A, µ) dans Γ séparant γ 1 et γ 2 est donc fini puisqu une fois que A est connu, µ est donné par la formule µ = λ 1 A c. 19

2. Γ préserve la structure d espace à murs définie ci-dessus : Ceci découle des égalités : ge(a, µ) = E(gA, gµ), g G λe(a, µ) = E(A, λ A cµ), λ Λ 3. Γ agit proprement sur sa structure d espace à murs : Soit w Γ (γ) le nombre de murs séparant le neutre 1 Γ de γ Γ. Il s agit de montrer que pour tout N N, il n y a qu un nombre fini de γ Γ tels que w Γ (γ) N. On définit de même w G (g) le nombre de murs séparant 1 G d un élément g de G. On pose enfin, B G (N) = {g G : w G (g) N}, qui est fini, pour tout N N, par hypothèse. Prouvons le lemme suivant : Lemme 3.B.5. Si γ = λg vérifie w Γ (γ) N alors {g} Supp(λ) B G (N). Preuve. Supposons qu il existe g {g} Supp(λ) tel que w G (g ) > N. Alors on trouve N + 1 demi-espaces distincts A 0,..., A N de G tels que 1 G A i et g A i i {0,..., N} ( ). Alors les N + 1 demi-espaces de Γ : E(A i, 1 Λ ) séparent 1 Γ = (1 λ, 1 G ) E(A i, 1 Λ ) et γ = λg E(A i, 1 Λ ) (en effet soit g = g et alors g A i ce qui implique λg E(A i, 1 Λ ), soit g Supp(λ) ce qui implique que λ n est pas constante, égale à 1 H, sur A c i g, et donc on a encore λg E(A i, 1 Λ )). Le résultat suit par contraposition puisqu on a montré sous l hypothèse faite que w Γ (γ) > N Concluons le théorème : l hypothèse w Γ (γ) N implique par le lemme que {g} Supp(λ) B G (N). Ainsi H et B G (N) étant finis, le nombre d éléments λ Λ tels que supp(λ) B G (N) est fini. Il suit que le nombre d élément γ = λg aussi, d où le résultat. Exemple 3.B.6. 1. Si G = Z n (on sait que G possède une structure d espace à murs voir Exemple 3.A.2 et cette structure est propre clairement) et H un groupe cyclique, on obtient H Z n un groupe qui possède la propriété de Haagerup. 2. Si G = Z et H = Z/2Z on retrouve l exemple déjà évoqué de l allumeur de réverbère Z/2Z Z. Les éléments de Z/2Z Z sont donnés par un couple (λ, z) avec z Z et λ = (ɛ 1, ɛ 2,...) tel que ɛ n {0, 1}. On peut aussi noter cet élément (ɛ n ) n.z où z désigne la position de l allumeur de réverbère. L action par multiplication à droite d un élément du type a = (0,..., 0, 1, 0,...).1 (avec le 1 en position 0 Z) sur l élément précédent donne : ((ɛ n ) n.z).((0,..., 0, 1, 0,...).1) = ((ɛ n ) n + (0,..., 0, 0, 0,..., 0, 1, 0,...)).z Les régles de calcul dans Z/2Z montrent alors que l élément obtenu est identique à l élément initial (ɛ n ) n.h sauf à la position h, où l allumeur de réverbère à modifié l état du réverbère. 3. Si G = F 2 et H = Z/2Z alors Z/2Z F 2 est un groupe qui possède la propriété de Haagerup bien qu il ne soit pas moyennable (F 2 n est lui même pas moyennable). Ce groupe peut aussi être modilisé par un allumeur de reverbère, sauf que celui-ci ne se déplace plus sur une "ligne droite" mais sur le graphe de Cayley de F 2. On peut d ailleurs expliciter une fonction ψ conditionnellement de type négatif propre sur ce produit en couronnes (son existence est assurée par le théorème 2.A.10 1.a) : ψ(g) = w(γ, γ 0 ) où γ 0 = (λ 0, g 0 ) = (0, 0...). ( est le mot vide, le neutre de F 2 ) et où w désigne le nombre de murs séparant γ = (λ, g) = Z/2Z F 2 du neutre γ 0 Z/2Z F 2. Il reste à donner une expression simple de ce nombre de murs, pour un γ = (λ, g) = Z/2Z F 2 quelconque fixé. En reprenant les notations du théorème 3.B.4, on cherche donc le nombre d ensembles 20