LES FILTRES UMERIQUES Ce sont des dispositis qui eectuent sur un signl d entrée numérique des opértions nlogues à un iltrge SIGAL UMERIQUE ET FILTRE UMERIQUE Un signl numérique est une suite de nombres obtenue à prtir d un signl nlogique onction du temps pr deux opértions successives : L échntillonnge qui consiste à ne conserver du signl que ces vleurs à des instnts réprtis régulièrement dns le temps L quntiiction qui consiste à mesurer chque échntillon et ournir un nombre. Pssge du signl nlogique u signl numérique conversion échntillonnge à l nlogique-numérique réquence /T (quntiiction) x(t) signl nlogique x(t) suite de nombres x(nt) suite de nombres codés sur bits. Le iltre numérique équivlent à un iltre nlogique peut être déini comme le montre l igure suivnte : x(t) signl nlogique y(t) signl nlogique x(t) Échntillonnge Fonction de trnsert H(j2π) Tritement de l suite de nombres y(nt) suite de nombres sur bits Filtre de lissge y(t) Quntiiction (CA) x(nt) suite de nombres sur bits Conversion numérique nlogique (DAC) On ppelle souvent iltre numérique l lgorithme de tritement ppliqué à l suite de nombre x(nt) plus tôt que l ensemble du dispositi représenté sur l igure qui it psser de x(t) à y(t).
PRICIPE ET PROPRIETES FODAMETALES D U FILTRE UMERIQUE Comme on l vu dns les chpitres précédents un iltre nlogique est un système diérentiel, il pplique u signl nlogique d entrée des opértions essentiellement linéires. Or près numéristion on ne dispose que d une suite de nombres. L opértion linéire l plus générle que l on puisse ppliquer à cette suite est une combinison linéire qui à un instnt T ( T étnt l période d échntillonnge ) délivre un nombre y(t) c'est-à-dire : y( nt ) P x[( n ) T ] + K A l P b y[( n l) T ] Si tous les coeicients b l sont nuls l vleur de sortie à un instnt T ne dépend que des échntillons présentés à l entrée et non des sorties précédentes. Si l limite inérieure A de l première sommtion est nulle seuls les échntillons d entrée ntérieurs sont pris en compte, le iltre est un iltre temps réel, sinon les vleurs de x à des instnts uturs ( pour un indice supérieur à n ) sont églement utilisés, le iltre ne peut être ppliqué qu une suite de nombres prélblement enregistrée, on prle de iltres en temps diéré. Si les coeicients b ne sont ps nuls l vleur y de sortie à un instnt nt dépend non seulement des vleurs d entrée mis ussi des vleurs de sorties précédentes, c est un iltre récursi. Deux exemples intuitis mettent en évidence les propriétés essentielles de ces iltres. Le dérivteur Il it correspondre à un signl x(t) s dérivée dx(t)/dt.en nlogique le dérivteur prit à comme onction de trnsert H(p)p x( t + t) x( t) Dns le cs présent : Lim t ne peut être évluée que de çon t pprochée puisque t ne peut ps être inérieur à l période d échntillonnge. Le diérentiteur numérique ser donc déini pr : ou en prennt T comme unité de temps : [ x( nt ) x[( n ) T ]]. T y( nt ) y ( n) x( n) x( n ) Pour évluer quel est le comportement d un tel iltre en onction de l réquence du signl d entrée (vnt qu il ne soit échntillonné ), prenons comme signl d entrée l onction propre j Les échntillons sont lors : xtt) e Et à l instnt nt le signl de sortie vut : x(t)exp(jωt) ωt l y( nt ) e jωnt e e [ e jω ( n ) T jωnt jωt ] On psse de l suite d entrée x(nt) à celle de sortie pr une multipliction pr [-e jωt ]. qui ne dépend que de l réquence et non de l indice n.ce terme multiplicti est l onction de trnsert isochrone du iltre. ous l noterons : qui se développe en : H ( jω) e jωt H ( jω ) ( cosωt ) + j sin( ωt ) son module est : 2
H ( jω) ( cosωt ) 2 2 + sin ωt 2. cosωt surprise, cette onction de trnsert est périodique. Si ω est petit Et l onction de trnsert tend vers : ωt cosω T [ ω² T ² / 2] 2 Lim H ( jω) ωt ω C est bien le module du dérivteur nlogique prit. L périodicité est une conséquence de l échntillonnge.le spectre d un signl échntillonné étnt périodique il est norml que l onction de trnsert du iltre numérique possède l même propriété.c est une diérence essentielle existnt entre les iltres nlogiques et numériques. Il est donc impossible de réliser un iltre numérique rigoureusement équivlent à iltre nlogique pour toute réquence. Un iltre numérique doit toujours être précédé d un iltre psse bs qui limite l étendue du spectre du signl d entrée. C est le iltre ntirepliement ( nti- lising ) Comprison des modules des iltres diérentiteur nlogique et numérique Module Diérentiteur nlogique /2T /T Diérentiteur numérique F L intégrteur L sortie est l intégrle de l entrée : y( t) t x( t) dt En nlogique l onction de trnsert d un intégrteur prit est : H ( jω) L intégrle est l surce sous l courbe que l on peut évluer pr l méthode des trpèes L surce sous l courbe à l instnt nt est celle à l instnt (n-)t ugmentée de l surce hchurée en gris oncé qui peut être pproximée pr celle du trpèe soit x[( n ) T ] + x( nt ) y ( nt ) y[( n ) T ] +. T Clcul de l intégrle pr l méthode 2 des trpèes : jω C est l lgorithme de clcul du iltre intégrteur. C est dns ce cs un iltre récursi puisque l sortie à un instnt nt dépend de ses vleurs ux instnts précédents. x(t) Dns ce cs l notion de onction de trnsert isochrone pprît moins clirement, nous y reviendrons plus loin. (n -) T nt t 3
Un outil ondmentl pour l étude des iltres numériques : L trnsormtion en Les signux échntillonnés sont constitués pr des suites de nombres que l on peut représenter pr des peignes de Dirc (suite d impulsions* de Dirc dont les poids sont les mplitudes des échntillons ) *(Pour plus de détil voir le cours de tritement de signl.) ous mettrons donc le signl échntillonné du signl (t) sous l orme ^ ( t) ( t). δ ( t T) () ou ce qui revient u même : ^ ( t) ( T). δ ( t T) (2) On sit que l trnsormée de Fourier d un Dirc est le nombre I[ δ ( t)] En vertu du théorème du retrd celui du Dirc déclé est I [ δ ( t KT )] e L trnsormée de Fourier de l expression 2 est lors : j 2πT ( T) e ( T) [ exp( j2πt ] I[ ^ ( t)] F^ ( j2π ) ) En posnt exp(j2πt) cette expression devient : F ^ ( j2π ) ( T). C est ce que l on ppelle l trnsormée en de l suite de nombres (T). j 2πKT * Le terme impulsion de Dirc est impropre, voir dns le cours de tritement de signl le chpitre sur l théorie des distributions --- Propriété ondmentle : opérteur retrd Soit l suite x() x()2 x(2)3 x(3)4. Qui peut être obtenue en échntillonnnt un signl en dent de scie croissnte. 4 5 6 Il lui correspond l trnsormée en : F() + 2 - +3-2 +4. -3 + 2 3 Lorsque l suite de nombres une longueur ininie l trnsormée en n existe que si l suite est convergente. T 2T 3T 4T 5T Soit mintennt une suite x() x() x(2) x(3).. Elle comme trnsormée en X()x() + x(). - + x(2). -2 + x(3). -3 +. Retrdons cette suite d une période, elle devient : y() y()x() y(2)x() y(3)x(2) y(4)x(3) de trnsormée C'est-à-dire : Y() X(). - Y()y(). - +y(2). -2 + x(). - + x(). -2 +x(2). -3 + 4
Le produit pr - est équivlent à un retrd. Il serit logique d introduire l grndeur r -, c est l trnsormée en r elle est -rrement utilisée. Fonction de trnsert en trvillent vec des suites de nombres.a prtir d une suite d entrée e(n) ils délivrent une suite de sortie s(n).a chcune de ces suites on peut ssocier une trnsormée en et nous montrerons qu i existe une onction de H() telle que : H() est l onction de trnsert en du iltre. S()E().H() Soit pr exemple un iltre numérique d lgorithme : s(nt) e(nt)+.e[(n-)t]+ 2.e[(n-2)T] Si l suite e(nt) comme trnsormée en E(), en vertu du résultt précédent e[(n-)t] comme trnsormée -.E() et.e[(n-)t]. -.E() de même à 2.e[(n-2)T] correspond 2. -2.E() L trnsormée en d une suite qui est l somme de plusieurs suites étnt évidemment l somme des trnsormées des diérents termes, l trnsormée de l suite de sortie est : S() E() +. -.E()+ 2. -2.E() [ +. - + 2. -2 ].E() C est à dire que : H() +. - + 2. -2 Cette notion de onction de trnsert en s pplique églement ux iltres récursis. Pour l intégrteur nous vions : s(n)s(n-)+[e(n-)+e(n)]/2 (près normlistion T ) L reltion entre les trnsormées en des suites qui interviennent est en vertu de ce qui précède : S()S() - + ½[E() - +E()] S( ) + Soit: E( ) 2( ) C est l onction de trnsert en de l intégrteur numérique. L trnsormtion en est un outil très commode cr elle permet de remonter imméditement à l lgorithme de clcul. Stbilité. Un iltre numérique peut être instble, (dns le cs récursi seulement). Soit pr exemple le iltre de onction de trnsert H ) ( 2 correspondnt à l lgorithme s(n)e(n)+2.s(n-) Introduisons à l entrée l suite impulsion ne contennt qu un seul terme non nul : e() e(n ) Il vient s()+ s()+22 s(2)+44 S(3)+88, le signl de sortie ugmente de çon exponentielle. 5
Cette instbilité est prévisible directement à prtir de l onction de trnsert, elle dépend essentiellement de l position dns le pln complexe des rcines du dénominteur, c'est-à-dire les pôles de l onction de trnsert. Pour mettre en évidence ces pôles mettons l onction de trnsert sous l orme : A H ( ) α les pôles sont les termes α Injectons à l entée une suite impulsionnelle..e(n)δ(n) L trnsormée de cette suite est bien sûr L trnsormée de l suite de sortie est donc S()H(). Mis c est ussi à un coeicient près l somme de l suite géométrique ininie 2 3 3 + α + α + α +... j e θ Posons divergente si le module est supérieur à en eet dns ce cs le module des termes successis tend vers l inini. Soit le résultt importnt : α ρ isnt pprître le module et l phse du pôle., l suite est Un iltre numérique n est stble que si tous les pôles de s onction de trnsert en sont dns le pln complexe à l intérieur du cercle de ryon. FILTRES TRASVERSAUX OU A REPOSE IMPULSIOELLE FIIE (FIR) Ce sont des iltres pour lesquels les coeicients b sont nuls, l sortie est clculée à prtir d un nombre ini d échntillons d entrée. H est l horion du iltre. y( nt ) H x[( n ) T ] Réponse impulsionnelle Le signl d entrée est l équivlent numérique de l impulsion de Dirc utilisée pour les iltres nlogiques.c est l suite impulsionnelle : d(n).. Soit le iltre FIR décrit pr : y( n) x( n) + x( n ) + 2 x( n 2) +... + H s( n H ) S réponse à l suite impulsionnelle est : y() d() y() x() + x() y( n) x() + x() +... + n n L suite de sortie n est ps utre chose que l suite des coeicients. Cette propriété v nous permettre de déterminer les coeicients d un iltre numérique correspondnt à un iltre nlogique. 6
Filtre intégrteur équivlent u RC psse bs Le iltre intégrteur RC comme onction de trnsert H ( j2π ) + de réquence de coupure j2πrc C 2πRC On connît s réponse impulsionnelle : t) e RC t RC Il ut choisir l réquence d échntillonnge. Si on veut pr exemple points pr période à l réquence de coupure ( pour lquelle le gin est de -3dB ) l période d échntillonnge est : inérieure à 2πRC πrc T 5 Pour respecter le théorème de Shnnon l réquence des signux d entrée doit rester 5 2T 2πRC Les échntillons prélevés sur l réponse impulsionnelle sont : T) L lgorithme du iltre est donc : T exp( ) RC RC π exp( ) RC 5 y( T) [ x( T) + exp( π / 5). x[( ) T ] + exp( π / 5). x[( 2) T ] +...] RC πrc π soit 5 RC 5 π π π y( ) x( ) + exp( ) x( ) + exp( ) x( 2) +... 5 5 5 en prennt pour simpliier T comme unité de temps : on peut utiliser utnt de coeicients que l on veut. Il ut mintennt évluer le comportement de ce iltre en le comprnt u iltre nlogique qui servi de modèle. Pour cel clculons l onction de trnsert isochrone en ppliqunt à l entrée l «demi sinusoïde» exp(jωt).alors : y n j n T e ω ( ) ( ) jnωt c'est-à-dire y( n) e e L onction de trnsert isochrone est H D où en module et en phse : H ( j2π ) tgϕ( ) j2πt ( jω) e sin 2πT cos 2πT cos 2πT 2 + H Intégrteur RC jωt [cos 2πT sin 2πT 2 j sin 2πT] ces expressions sont cilement clculbles sur une clculette progrmmble.. Avec 5 coeicients : R Gin (module),77 C /2πRC F 7
On constte que l courbe est u dessus de celle du iltre nlogique. Le gin à réquence est,34 u lieu de.on peut pour se rpprocher de l nlogique diviser tous les coeicients pr ce,34 ; mis l courbe numérique reste u dessus de l nlogique cr elle est périodique. On peut montrer que ce coeicient,34 n est ps du u nombre limité de coeicients, 5 seulement, mis u nombre trop ible de points sur l courbe entre le continu et l réquence de coupure.,628,355 2,79 3,95 4,5 Fonction de trnsert du iltre numérique(près division des coeicients pr,34 ( normlistion ) Périodique Fonction de trnsert de RC nlogique Fc Filtres à phse linéire 5c Limite de Shnnon F Un iltre numérique ne peut jmis être pritement équivlent à un iltre nlogique mis il peut voir des propriétés qui sont interdites à ce dernier. En eet : Si un iltre à une onction de trnsert réelle, il introduit pour toute réquence un déphsge nul,mis dns ce cs l réponse impulsionnelle est symétrique pr rpport à l origine des temps. Un tel iltre est irrélisble cr non cusl. En eet :cette réponse impulsionnelle est : t) + H ( j2π ) e j2πt mis on toujours H(j2π)H*(-j2π) et si H est réelle H(j2π)H(-j2π) Alors d j2πt t) H ( j2π ) e d t) (il suit d eectuer le chngement de vrible - ) L réponse impulsionnelle est symétrique pr rpport à l origine, elle une mplitude qui décroît vec le temps. On procède lors à une troncture de çon à ce que l longueur soit inie et l on décle l réponse de çon qu elle soit celle d un iltre cusl. t) devient t-to), s trnsormée de Fourier est lors en vertu du théorème du retrd H(j2π)exp(-j2πto) l phse vrie linéirement vec le temps. H() Fonction de trnsert réelle Pssé t) Avenir Réponse impulsionnelle symétrique Filtre non cusl t Exemple : ous cherchons à réliser un iltre numérique qui se rpproche le plus possible d un psse bs idél dont le gin est constnt du continu à l réquence de coupure et nul u-delà. ous choisirons une réquence de coupure égle u eme de l réquence d échntillonnge.soit : 8
H(j2π) pour - <Fe/ H(j2π) pour > Fe/ L onction de trnsert est une onction rectngle (onction porte ) centrée sur l origine. L réponse impulsionnelle est trnsormée de Fourier d une onction rectngle soit : H réel t) Déclge et troncture 2 coeicients Déclge et troncture coeicients ),2 ±),87 ±2),5 ±3), ±4),47 ±5) F FcFe/ ±6) -,3 ±7) -,43 +8) -,38 ±9) -,2 +) T) 5T π sin 5 π 5 umériquement ces coeicients sont présentés sur le tbleu ci-joint. Si on eectue une troncture de l réponse impulsionnelle u premier éro et que l on décle l courbe pour rendre le iltre cusl, il reste coeicients (courbe en bleu ) L lgorithme de déinition du iltre est lors : y(n).x(n)+,47 x(n-)+,.x(n-2)+,5.x(n-3)+ +,2.x(n-5)+ +.x(n-) Si l on conserve les coeicients jusqu u eme, il reste 2 coeicients et l courbe est celle trcée en rouge. En utilisnt les clculs présentés plus hut il est possible dns chque cs de trcer l onction de trnsert isochrone obtenue.les résultts sont présentés ci-dessous. Les courbes sont loin du gbrit nlogique visé et ceci d utnt plus que le nombre de coeicients est ible., mis le gin vut ½ à l réquence de coupure dns tous les cs. Le gin s nnule en plusieurs points dns l bnde coupée et présente des ondultions dns cette one. On retrouve ces oscilltions dns l Module de l onction de trnsert pour ( en bleu) ou 2 coeicients ( en rouge ),5 Fe/ 2/ 3/ 4/ F 9
mjorité des iltres FIR. Détermintion des coeicients directement à prtir de l onction de trnsert en ω Les coeicients du iltre sont les vleurs prélevées sur l réponse impulsionnelle qui se clcule pr : + h ( t) H ( j2π )exp( j2πt) d Pour obtenir les vleurs de t) en points on remplcer cette intégrle pr une sommtion discrète eectuée à prtir du même nombre de points réprtis réguliérement sur l onction de trnsert H(j2π) supposée réelle (c'est-à-dire son module ). Prélevons donc sur H() points réprtis régulièrement dns l one utile de réquence +Fe/2 Fe/2 donc distnts de Fe/ Les réquences sont donc de l orme Fe/, si tnt l intégrle devient : F nt ) ( + ) e / 2 ( ) / 2 Fe Fe H ( j2π ).exp( j2π. nt ) en normlisnt à T et en remrqunt que H est symétrique pr rpport à l réquence nulle : ( + ) / 2 n n) H () 2 H ( ).cos(2π ) Expression ournissnt les coeicients cherchés à prtir des points prélevés sur l onction de trnsert Exemple : Reprenons le iltre psse bs idél précédent de réquence de coupure Fe/ ( points pr période à l réquence de coupure ). Pour voir un point à l réquence nulle il ut un nombre de points impir, pr exemple réprtis dns -,5 < /e < +,5 donc écrtés de /. Avec H() H(±) H(±2)H(±3)+ Les points sur l réponse impulsionnelle sont en ppliqunt l ormule précédente : ) [ + 2 ** cos(2π ) ],272 * ± ) + 2 * cos(2π ),243 * 2 ± 2) + 2 ** cos(2π,66 ± 3),65 ± 4),28 ± 5),83 éro. pour réliser un iltre cusl à déphsge linéire ces coeicients sont déclés à droite du -,83 -,28 2 +,65. 5,272
Le iltre est donc déini pr : y(n)-,83x(n)-,28x(n-)+,65x(n-2)+ -,28x(n-9)-,83x(n-). L onction de trnsert numérique obtenue est représentée ci-dessous. On noter : - Elle psse exctement pr les points utilisés de l onction de trnsert nlogique - Entre eux elle présente des ondultions dont l mplitude v en s tténunt lorsque l réquence ugmente. Pour se rpprocher le plus possible de l courbe nlogique le plus simple est d ugmenter le nombre de coeicients. Fonction de trnsert obtenue pr le clcul directe à prtir de H(),,2,3,4,5 F/Fe Rélistion des iltres trnsversux Un iltre FIR est constitué - D un plus ou moins grnd nombre de cellules de retrd permettnt de disposer des signux x[(n-)t] à un instnt nt Il n est ps bsolument nécessire que les signux soient numériques, on construit des iltres à prtir de registres à déclge nlogiques (CCD), mis c est un cs exceptionnel et rre. - De multiplicteurs qui introduisent les coeicients - Un circuit sommteur de sortie. A cuse de cette structure les iltres FIR sont souvent ppelés iltres trnsversux. Structure d un iltre trnsversl (FIR) Conversion nlogique numérique mots de P bits Signl nlogique Z - Z - Z - Z - x(n) x(n-) x(n-2) x(n-3) x(n-4) 2 3 4 Sommteur y(n)
Atténution des ondultions : Méthode des enêtres Pour se limiter à un nombre ini de coeicients on est conduit dns tous les cs à tronquer l réponse impulsionnelle sur une durée T ( T étnt l période d échntillonnge.).cette troncture peut être ssimilée à l multipliction de l réponse impulsionnelle t) pr une onction rectngle. Le iltre dont on clcule ensuite l équivlent numérique donc en rélité une réponse impulsionnelle : h (t) t) * Rect T (t) S onction de trnsert est donc : H '( j2π ) H ( j2π ) Rect T ( ) rect T () étnt l trnsormée de Fourier de l onction rectngle c'est-à-dire (résultt bien connu, voir cours TDS ) et un produit de convolution. sin( π T ) Re ct T ( ) T π T Troncture de t). Cette onction sinus crdinl possède de nombreuses oscilltions à décroissnce lente, et c est son produit de convolution vec H(j2π) qui est l cuse des ondultions observées. L méthode des enêtres consiste à remplcer l onction rectngle pr une orme dont l trnsormée de Fourier est l moins ondulnte possible. t) h (t) T Rect (t) T Fenêtre tringulire Fenêtre de Hnning Le rectngle est remplcé pr un tringle (igure ci contre ).Les coeicients sont prélevés sur l courbe h (t) t) * tri T (T) L onction tringle à comme trnsormée de Fourier le crré d un sinus crdinl dont les ondultions u delà du lobe Fenêtre tringulire tri (t) T h (t) principl décroissent beucoup plus vite que dns le cs précédent. On peut trouver choqunt de remplcer l vrie réponse impulsionnelle pr une orme complètement diérente, mis c est le prix à pyer pour compenser Fenêtre de Hnning hn (t) T h (t) t) T prtiellement l eet de l troncture. Cette enêtre très simple est rrement utilisée, d utres ormes ont été proposées dont l trnsormée de Fourier décroît beucoup plus vite en dehors du lobe principl. C est le cs pr exemple de l enêtre de Hnning qui est un cosinus sur-élevé (igure ci contre ). Pour plus d inormtions sur cette méthode consulter les ouvrges cités à l in du chpitre Un petit utilitire DOS ourni vous permettr de visuliser l eet de ces enêtres. (FILTRUM.EXE) t) T LES FILTRES RECURSIFS ous vons vu plus hut que l outil de bse pour l étude de ces iltres étit l trnsormtion en.de plus à l diérence des iltres trnsversux ils peuvent être instbles. ous verrons que cette structure permet de se rpprocher du comportement d un iltre nlogique vec un ible nombre de coeicients, mis une grnde précision sur ces coeicients est souvent nécessire. 2
Pour psser d une onction de trnsert en p à une onction en l idél serit de déinir une trnsormtion p mis l diérence ondmentle de comportement des iltres numériques (l périodicité de leur onction de trnsert ) interdit toute solution rigoureuse. L description du comportement réquentiel d un iltre nlogique est obtenue en isnt vrier le prmètre p de à l inini sur l xe imginire dns le pln complexe (p jω) Mis lorsque vrie de à l inini l vrible exp(j2π) décrit l prtie supérieure d un cercle de ryon dns le pln complexe. L trnsormtion (p) devrit donc : - Trnsormer le demi xe imginire en un demi cercle de ryon - Trnsormer l prtie droite du pln complexe en l extérieur du cercle unité (de çon à conserver l stbilité ) Eectuons d bord une recherche intuitive : ous vons vu que le diérentiteur nlogique H(p)p vit comme équivlent numérique un iltre de onction de trnsert en H()- -, on est donc tenté de proposer l trnsormtion : p - ou /(-p). Mis cette ormule ne stisit ps u critère précédent, en eet si p décrit Essi de trnsormtion /(-p) l xe imginire ( pjω) le point décrit un demi cercle de ryon ½ centré en (/2 ).( igure ci Trnsormtion contre ) p/(- -) Une meilleure trnsormtion est obtenue en prtnt de l intégrteur. soit : + p 2 Si pjω ( le point p décrit l xe imginire ) p 2 ou inversement + 2 + jω 2 jω 2 + 2 p p pjω est de module, le point est donc bien sur le cercle de ryon. Il ut remrquer que cette propriété est conservée si le 2 est remplcé pr un nombre quelconque K.C est l trnsormtion bilinéire déinie pr l reltion : p K + K p K + p Mlheureusement si bien un module, il n ps l bonne phse. En eet en régime hrmonique, si ω o est l réquence de normlistion : ω p j lors + ω j ω ω j ω pour rgument mis pr déinition exp( j2πt ) c'est-à-dire d échntillonnge ω ω ω rg( ) 2 rctg K rg( ) 2πT 2π e étnt l réquence e 3
Une identité prite entre iltre nlogique et numérique ne serit possible que si ces deux expressions de rg() étient égles : O 2 rctg 2π K e or cette églité ne peut ps être stisite pour toute réquence. Pour un iltre donné nous seront menés à choisir le prmètre K de çon qu il y it identité pour une seule réquence choisie en onction des crctéristiques du iltre. En désignnt pr les réquences mesurées sur l onction de trnsert nlogique et sur le iltre numérique, les ormules de l trnsormtion bilinéire sont lors : Trnsormtion bilinéire.trjet de dns le O K pln complexe. Exemple : Intégrteur RC K tgπ e π tg e e rctg π K F/2T Pjw L intégrteur RC qui nous sevi de premier exemple comme onction de trnsert normlisée : H ( p) p + ou en introduisnt l réquence de coupure o H ( j2π ) j + En remplçnt p pr son expression en conormément à l trnsormtion bilinéire, l onction de trnsert en est : + H ( ) ( + K) + ( K) reste à déterminer le coeicient K. Avec l trnsormée bilinéire les iltres nlogique et numérique sont équivlents à l réquence nulle, ( ils ont en continu un déphsge nul ) et pour une utre réquence qui dépend de K. ous choisirons cette seconde vleur à l réquence de coupure o. Imposons nous d bord cette réquence o H et un échntillonnge de points pr période à cette réquence, c'est-à-dire une réquence d échntillonnge de H. L réquence de coupure du iltre numérique est le eme de s réquence d échntillonnge e soit et il lui correspond pour le iltre nlogique. En reportnt ces vleurs dns l expression de K de l pge précédente : Z F/4T F 4
d où l onction de trnsert inle : K 3,77 tg π + H ( ) 4,77 2,77 En remplçnt pr son expression en ω il est cile comme plus hut de trcer le module de l onction de trnsert isochrone obtenue. Elle est conondue vec le trcé nlogique pour le continu et à l réquence de coupure, mis s en éloigne ensuite, le gin est pr exemple nul à l limite de Shnnon e/2 Intégrteur RC Intégrteur RC,77 Anlogique umérique,,2,3,4,5 h 5H / e Attention ce iltre n est ps à déphsge linéire. Psse bs du second ordre L onction de trnsert normlisée en p est : H ( p) + Q( p + L trnsormtion bilinéire ournit une trnsormée en : K( ) H ( ) [ Q( K ² ) K] 2Q[ K ² ] + [ K + Q( K ² + )] ous considérerons un iltre de coeicient de qulité Q, centré à H, vec une cdence d échntillonnge telle qu il y it poins pr période à cette réquence c'est-à-dire H. Si comme c est logique nous cherchons à identiier nlogique et numérique à l réquence centrle le coeicient K prend l même vleur que dns l exemple précédent K3,77. En eectunt le clcul de l onction de trnsert isochrone obtenue on constte que l bnde pssnte à -3dB n est ps de H comme le Q de l imposerit. Ceci est une conséquence de l distorsion introduite pr l trnsormtion bilinéire. Pour un Q de le gin doit être de -3dB à 95 et 5H.( exctement 95,25 et 5,25) Mis à une réquence de 95 H sur le iltre numérique correspond une réquence nlogique ( en utilisnt une des ormules du prgrphe précédent ) ) p 5
π *95 3,77 ** tg( ) 946,6 De même à 5 H sur le iltre numérique correspond une réquence nlogique de 53,7H. Le Q du prototype nlogique doit donc être : Q A 9,355 (53,7 946,6) C est cette vleur de Q qui doit être utilisée dns le clcul.il vient inlement : 2 3,77 3,77 H ( ) 94,85 58,43 + Au voisinge de l réquence centrle les trcès nlogiques et numériques sont presque indiscernbles. On noter pour terminer que si le nombre de coeicients est ible, leur vleur numérique doit être précise. Et ceci d utnt plus que le Q est élevé. Les pôles de l onction de trnsert en sont d utnt plus proches du cercle de ryon que Q est grnd et une erreur sur les coeicients peut les ire psser à l extérieur de ce cercle ce qui provoque une instbilité. Une erreur sur les coeicients en générl une inluence importnte sur l onction de trnsert, à l diérence des iltres nlogiques pour lesquels une précision de 5% sur l vleur des composnts R ou C est souvent suisnte. En conséquence les coeicients du iltre et les clculs doivent être eectués vec des nombres déinis sur un grnd nombre de bits, 6 u moins. ous ne développerons ps ce point pourtnt très importnt. A titre d exemple reprenons le iltre précédent mis en rrondissnt les vleurs numériques des coeicients, l erreur commise est de l ordre de %. L onction en est lors : 3,( ) H ( ) 95 6 + On constte en eectunt le clcul que l erreur sur l courbe est bien supérieure à %, l mplitude à l ccord psse de à,24 (24%) et l réquence centrle de à 97H Inluence de l précision des coeicients,24 Coeicients erreur % 97H Coeicients excts Bnde H,77 95H H 5H Structure des iltres récursis sont implntés sous orme de progrmme dns un ordinteur. Les vleurs des échntillons insi que les coeicients sont stocés en mémoire.. 6
Soit pr exemple un iltre récursi du second ordre. + + b H ( ) + c + d il correspond à l lgorithme : y ( n) cy( n ) dy( n 2) + x( n) + x( n ) + bx( n 2) il ut gérer en mémoire l tble des x(n) mis ussi celle des y(n).or si l on pose : Y ( ) W ( ) H ( ). W ( ) X ( ) Y ( ) W ( ) vec : + + b et W ( ) X ( ) + c + d On obtient : w(n)x(n)-cw(n-)-dw(n-2) y(n)w(n)+.w(n-)+b.w(n-2) Seules les vleurs de w doivent être gérées en mémoire.. Structure logicielle d une cellule du second ordre. x(n) y(n) Z - X -C A X X Z - -D B X Bibliogrphie Un bon ouvrge d introduction : P Fondneche et P Gilberts Les Filtres umériques MASSO 98 Plus complet R Boite et H Leich MASSO 98 Prtique du Filtrge J AUVRAY Techniques de L Ingénieur 22 7