Lycée Roland Garros Mathématiques BCPST 1ère année 2013-2014 Chapitre n o 3 : Trigonométrie 1 Premières propriétés de cos, sin et tan Dénition 1. Soit x R. Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O, i, j ), on note M le point tel que OM = 1 et ( i, OM) = x [2π]. On dénit cos x comme l'abscisse du point M, sin x comme l'ordonnée du point M. On dénit en outre tan x = sin x, pour x π/2[π] ; cos x cotanx = cos x, pour x 0[π]. sin x Remarque. les fonctions tan et cotan ne sont pas dénies sur R entier, ce à cause des divisions par zéro. Comme on le voit sur la gure ci-dessus, tan x a aussi une interprétation graphique sur le cercle trigonométrique. Proposition 1. Pour x R, on a cos 2 x + sin 2 x = 1. Remarque. On en déduit la formule suivante, parfois utile : 1 + tan 2 x = 1 cos 2 x. 1
Les propriétés suivantes découlent de simples considérations sur les symétries et les rotations. Proposition 2. Les fonctions cos et sin sont 2π-périodiques : cos(x + 2π) = cos x, sin(x + 2π) = sin x; cos est une fonction paire et sin est une fonction impaire : cos( x) = cos x, sin( x) = sin x; cos(x + π) = cos x et sin(x + π) = sin x ; sin(x + π/2) = cos x et cos(x + π/2) = sin x. La proposition suivante est fondamentale pour résoudre des équations trigonométriques. Proposition 3. On a { cos x = 0 x = π/2 [π] x = kπ, k Z; sin x = 0 x = 0 [π] x = π/2 + kπ, k Z. Les valeurs suivantes sont à connaître par c ur. Ce tableau ne concerne a priori que les angles du quart supérieur droit du plan, mais pour les trois autres quarts on s'en sortira en tirant prot de la proposition 2. x 0 π/6 π/4 π/3 1 cos x 1 3/2 2/2 1/2 0 sin x 0 1/2 2/2 3/2 1 Démonstration. utiliser la formule de cos(2x) avec x = π/4 et cos(3x) avec x = π/6. Moyen mnémotechnique : ces valeurs sont en fait 0/4, 1/4, 2/4, 3/4 et 4/4. En cas de trou de mémoire, refaites le dessin suivant : Démonstration.... Pour tan, il sut de connaitre tan 0 = 0 et tan(π/4) = 1. 2
2 cosinus et sinus d'une somme Dénition 2. Soient a, b R. On a cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b, et sin(a + b) = cos a sin b + sin a cos b. Cas particulier a = b : formules de duplication d'un angle. On a cos(2a) = cos 2 a sin 2 a = 2 cos 2 a 1 = 1 2 sin 2 a, sin(2a) = 2 cos a sin a. Remarque. En utilisant la parité de cos et l'imparité de sin on obtient également cos(a b) = cos a cos b + sin a sin b, sin(a b) = sin a cos b cos a sin b. 3 Fonctions trigonométriques inverses : résolution d'équations Dénition 3. Soit c [ 1, 1]. L'équation cos x = c admet une unique équation dans l'intervalle [0, π] notée arccos c. Soit s [ 1, 1]. L'équation sin x = s admet une unique équation dans l'intervalle [ π/2, π/2] notée arcsin s. Soit t R. L'équation tan x = t admet une unique équation dans l'intervalle ] π/2, π/2[ notée arctan t. Solutions sur R entier : Solutions de cos x = c : Solutions de sin x = s : Solutions de tan x = t : x = arccos c [2π] ou x = arccos c [2π] x = arcsin s [2π] ou x = π arcsin s [2π] x = arctan t [π] 3
4 Amplitude et phase Supposons qu'on ait une expression de la forme f(θ) = α cos θ + β sin θ, avec α, β R. On souhaite trouver des constantes ρ et φ telles que où ρ et φ sont des constantes à déterminer. f(θ) = ρ cos(θ φ), (1) Proposition 4. Soient α, β R. On a α cos θ + β sin θ = ρ cos(θ φ) si et seulement si Démonstration.... ρ = α + iβ, et φ = Arg(α + iβ) [2π]. Remarque. En physique on a fréquemment aaire à des signaux (électriques par exemple) de la forme α cos θ + β sin θ. On préfère l'expression ρ cos(θ φ) car elle est plus maniable. On appelle alors ρ l'amplitude du signal et ρ son déphasage ou sa phase. Application. Résolution d'équation. Résoudre 3 cos x + 3 sin x = 6 5 Linéarisation Le but est de transformer une expression de la forme cos p θ sin q θ en une combinaison linéaire de termes cos(kθ) et sin(kθ). C'est intéressant pour le calcul d'intégrales par exemple. La méthode consiste à 1. remplacer cos θ par eiθ +e iθ et sin θ par eiθ e iθ (formule d'euler) ; 2 2i 2. Développer le produit obtenu ; 3. Identier les termes de la forme cos(kθ) et sin(kθ) (encore par la formule d'euler). Exemple. ( ) e sin 2 θ cos 3 iθ e iθ 2 ( e iθ + e iθ θ = 2i 2 = 1 32 = 1 16 ) 3 ( e i5θ + e i3θ 2e iθ 2e iθ + e i3θ + e i5θ) (cos(5θ) + cos(3θ) 2 cos θ). Application. Calcul d'intégrale. Calculer π/2 (résultat : I = 2 15 ) I = 0 sin 2 t cos 3 tdt. 4
6 Développement de cos(nθ) ou sin(nθ) Voyons comment transformer une expression de la forme cos(nθ) en une combinaison linéaire de termes cos p θ sin q θ. La méthode consiste à 1. utiliser la formule de De Moivre : (e iθ ) n = e inθ ; 2. Développer (e iθ ) n = (cos θ + i sin θ) n ; 3. Garder la partie réelle : cos(nθ) = Re(e inθ ). De même sin(nθ) = Im(e inθ ). cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ). Il sut donc de développer cette puissance et d'identier la partie réelle. Exemple. cos(3θ) = Re ( (cos θ + i sin θ) 3) = Re ( cos 3 θ + 3i cos 2 θ sin θ 3 cos θ sin 2 θ i sin 3 θ ) = cos 3 θ 3 cos θ sin 2 θ. Application. Calcul de valeurs de cos. La formule de cos(3θ) donne une relation entre cos θ et cos(3θ). Elle permet par exemple de calculer une valeur du type cos(θ/7) à partir de cos(θ/21), ou l'inverse. 5