Le repère mobile d Elie Cartan

Première partie Le repère mobile d Elie Cartan Avertissement! En général, nous nous placerons dans le cas de non-annulation des courbures. I. Courbure des courbes à2d Nous allons étudier la notion de repère mobile élaborée par Jean-Frédéric Frenet, Gaston Darboux, Elie Cartan. Le premier chapitre sur les courbes planes est élémentaire mais facile d accès et très instructif. Il fait bien comprendre les conséquences d une structure qui contient à la fois de la géométrie groupe opérant sur un ensemble) et des différentielles. Nous pourrons donc parler de la longueur d une courbe quand il n y a pas de longueur et de normale à une courbe quand il n y a pas d angle! Ensuite nous introduirons la machinerie d Elie Cartan et nous l appliquerons à quelques exemples plus ou moins classiques. Quel peut être l interprétation du paramètre normal pour une courbe de genre photon en relativité restreinte? Le statut et l interprétation du i des nombres complexes, objet de certaines de nos discussions en mécanique quantique, sont aussi étudiés dans ce contexte particulier. 1. Le groupe ASO2) Le groupe des déplacements dans le plan affine euclidien orienté P sera noté ASO2) translations et rotations). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point et d un vecteur unitaire. Avec ceci, le deuxième vecteur est complètement déterminé orthogonal au premier, sens direct, unitaire). D où la notion de ASO2) - repère. Une courbe peut être définie de façon cinématique : t mt), t paramètre réel, mt) P, la courbe étant l image de cette application. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-1) m t) dt. Ceci est bien invariant par ASO2) et il est bien géométrique et non cinématique car il ne dépend pas de la paramétrisation particulière choisie : dt t u avec du > 0 m u) du = dt du m t) du dt dt = m t) dt. Nous appelerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-2) ds = m t) dt autrement dit s est caractérisé à un signe près par m s) =1. Définissons le repère mobile repère de Frenet) par : e 1 s) =m s). 1

Donc e 2 s) est défini. { } e1 2 = e 2 2 =1 e 1 e 2 =0 = { e1 e 1 = e 2 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 Donc, il existe une fonction ρ, appelée courbure, telle que l on ait : I-3) m s) =e 1 s) e 1s) = 0 +ρs)e 2 s) e 2s) = ρs)e 1 s)+0 ms),e1 s),e 2 s) ) est un ASO2)-repère mobile. A ne pas confondre avec un ASO2)-repère... qui est fixe ). Etant donné unaso2)-repère il existe une bijection entre le groupe ASO2) et l ensemble des ASO2)-repères : 0,u 1,u 2 ) donné : g ASO2) donne g0),gu 1 ),gu 2 ) ). Nous sommes partis d une courbe s ms) dans le plan nous avons construit une courbe s ms),e 1 s),e 2 s) ) dans l espace des repères fibré des repères), i.e. dans le fibré des groupes puis une courbe ) 0 ρs) s dans l ensemble des algèbres de Lie fibré des algèbres ρs) 0 de Lie de ASO2)). Si deux courbes t m 1 t) et t m 2 t) ont même courbure ρ, alors il existe un déplacement g ASO2) tel que : Considérons un observateur en mouvement g m 1 t) ) = m 2 t). t mt),e 1 t),e 2 t) ) e v 2 e 1 v e 1 e 2 Soit vt) = ds sa vitesse scalaire. dt Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + ξ 2 e 2. 2

Donc l observateur voit les coordonnées de a varier : dξ 1 I-4) dt ξ2 ρv =0 dξ 2 dt + ξ1 ρv =0 Si un vecteur satisfait à ces équations l observateur saura que ce vecteur est fixe, c est-à-dire transporté de façon parallèle. Sur un navire en mouvement, ceci donne la variation de la direction d une batterie tirant sur une cible fixe. 2. Le groupe ASL2) Le groupe des transformations affines de déterminant + 1 dans le plan affine orienté P sera noté ASL2). Un repère associé à ce groupe est la donnée d un point O et de deux vecteurs e 1,e 2 tels que l aire du parallélogramme soit égal à1: déte 1,e 2 )=1. D où la notion de ASL2)-repère. Faisons une étude analogue àlaprécédente. Le premier invariant différentiel géométrique local est : I-5) dét m t),m t) ) 1/3 dt. Le changement de paramètre donne : dét m u),m u) ) dt =dét du m u), d2 t dt 2 m u)+ dt ) 3 = dét m u),m u)). du Nous appellerons paramètre normal le paramètre s défini par : I-6) ds =dét m t),m t) ) 1/3 dt. dt ) 2m u)) du Les seules courbes qui n ont pas de paramètre normal sont les droites. s est caractérisé par : I-7) dét m s),m s) ) =1 Définissons le repère mobile par e 1 = m et on peut poser, à cause de I-7) e 2 = e 1 = m déte 1,e 2 )=1 déte 1,e 2 )= déte 1,e 2) donc déte 2,e 1 )=0. Donc il existe une fonction ρ appelée ASL2)-courbure telle que : m s) = e 1 s) I-8) e 1s) = 0 +e 2 s) e 2s) = ρ e 1 s) +0 Nous avons encore fait le relèvement de la courbe dans le groupe de Lie et dans l algèbre de Lie. La ASL2)-normale direction de e 2 ) est appelée axe d aberration en optique. Courbes à courbure constante : ρ = 0 parabole ρ>0 ellipse ρ<0 hyperbole 3

3. Le groupe ASO1, 1) Le groupe laissant fixe la forme quadratique de signature 1, 1) sera noté ASO1, 1). C est le groupe de Poincaré dans un espace à deux dimensions Lorentz et translations). Pour un vecteur a =a 1,a 2 ) sa norme est a c 2 = a 2 1 c 2 a 2 2. ASO1, 1)- repère : e 1 et e 2 orthogonaux, e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2. On peut aussi prendre a c 2 = a 2 1/c 2 a 2 2. Etudions le repère mobile d une courbe : Premier cas m t) 2 c < 0 La courbe est du genre temps. Le premier invariant différentiel est : m t) c dt. Le paramètre normal, appelé temps propre est défini par : c ds= m t) c dt de telle sorte que s est caractérisé par : m s) c = c. Le paramètre normal s est appelé temps propre en relativité restreinte. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 est défini e 1 2 c = c 2 et e 2 2 c =1 e 1 e 1 =0 et e 2 e 2 =0. Donc, il existe une fonction ρ telle que : e 1s) =ρs) e 2 s). Finalement e 2s) =be 1 s), avec b tel que : be 1 e 1 = e 2 e 1 = e 2 e 1 = ρ e 2 e 2. D où les équations du repère mobile : m s) =e 1 s) I-9) e 1s) =0 +ρs)e 2 s) e 2s) = 1 c 2 ρs)e 1s) +0 Deuxième cas m t) 2 c > 0 La courbe est du genre espace. Etude analogue : ds = m t) c dt e 1 s) =m s), e 1 2 c =1, e 2 2 c = c 2 m s) =e 1 s) I-10) e 1s) =0 + 1 c 2 ρs) e 2s) e 2s) =ρs)e 1 s) +0 Remarques : si la courbe est telle que, pour tout t : m t) 2 = 0, c est une droite et elle n a pas de paramètre normal. Dans le cas c = ± i, on retrouve ASO2). Dans le cas c on retrouve AGal2), le groupe de Galilée. 4

Le groupe affine de Galilée, écrit matriciellement, 1 0 0 a 1 v 1 1 x = x + a + vt b 0 1 t t + b est associé au groupe de Galilée 1 v 0 1 ) ) x = t ) x + vt. t En tenant compte du fait que e 2 est constant, le repère mobile s écrit : dm = e 1 e 1 =0 +ρe 2 e 2 =0 +0 Le passage à la limite c est plus délicat qu il n y paraît au niveau de la structure quadratique x 2 c 2 t 2, mais est simple au niveau du repère mobile. 4. Le groupe ASSim2) Le groupe des similitudes directes du plan affine euclidien P sera noté ASSim2). Un ASSim2)-repère est donné par un point O et un vecteur e 1. Le vecteur e 2 est complètement déterminé : il est orthogonal à e 1, dans le sens direct, et tel que e 1 = e 2. Le premier invariant différentiel géométrique local d une courbe est : dét m t),m t) ) m t) 2 dt. Le changement de paramètre t u tel que du/dt > 0 donne : dt du m t), d 2 t du 2 dét m u),m u) ) m u) 2 = dét m t)+ dt du m t) 2 Le paramètre normal est défini par : I-11) ds = dét m t),m t) ) m t) 2 2m ) dt du) t) Donc s est tel que : dét m s),m s) ) = m s) 2. Les droites sont les seules courbes qui ne possèdent pas de paramètre normal. Définissons le repère mobile par e 1 s) =m s). Donc e 2 s) est défini e 1 = ρe 1 + αe 2 ; calculons α : dt. e 1 2 = e 2 2 e 1 e 1 = e 2 e 2 e 1 e 2 =0 e 1 e 2 = e 1 e 2 { } déte1,e 1)= e 1 2 déte 1,e 2 )= e 2 2 déte 1,e 1) déte 1,e 2 ) = e 1 e 2 =1. déte 1,e 1)=déte 1,e 2 ) α e 1 e 2 = e 1 e 2 donc α =1. = dt dét m t),m t) ) du m t) 2. 5

I-12) m s) =e 1 s) e 1s) =ρs)e 1 s) +e 2 s) e 2s) = e 1 s) +ρs)e 2 s) Remarque : dans le livre de Guy Laville, Courbes et Surfaces, éditeur ellipses, cette étude doit remplacer celle exposée au chapire VI, paragraphe 4, car l invariant introduit est bien invariant, différentiel, géométrique, mais pas local! Courbes à ASSim2) courbure constante Il est plus facile de faire les calculs dans le plan complexe. Posons zs) = ms), alors e 1 s) =z s), e 2 s) =iz s) et la deuxième égalité I-12) s écrit : qui a pour solution : z s) =ρz s)+iz zs) =a + be ρ+i)s avec a C et b C. En termes réels { xs) =a0 + b 0 e ρs coss) ys) =a 1 + b 1 e ρs sins) on trouve une spirale logarithmique. Soit a un vecteur fixe a = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 0= da dt = ξ1 e 1 + ξ 1 ρe 1 + e 2 )+ξ 2 e 2 + ξ 2 e 1 + e 2 ). Donc, dans le repère mobile un observateur voit les coordonnées de a varier : I-13) { ξ 1 + ξ 1 ρ ξ 2 =0 ξ 2 + ξ 2 ρ + ξ 2 =0 S il sait que le vecteur est fixe et constate ces équations, il saura que le groupe de sa géométrie est ASSim2), en particulier les longueurs ne sont pas constantes. 5. Comparaison entre ASO2) et ASSim2) Reprenons le ASO2)-repère mobile avec ASO2)-paramètre normal. Le repère ms), e 1 s), e 2 s) ) devient pour ASSim2) : ms), λs)e 1 s), λs)e 2 s) ) avec λ fonction pouvant être choisie. d λs)e1 s) ) = λ s)e 1 s) +λs)ρs)e 2 s) ds d λs)e2 s) ) = λs)ρs)e 1 s) +λ s)e 2 s) ds 6

Nous pouvons choisir λs). Prenons-la telle que : Soit σ le ASSim2)-paramètre normal : λs)ρs) =1. dσ = dét m s),m s) ) m s) 2 ds =dét e 1 s),e 1s) ) ds = ρs)ds. D où : d dσ λe 1)= 1 ρ courbure semblable = 1 ρ d ds λe 1)= 1 ρ λ λ = 1 ρ ρ d ds λ λ λe 1 + ρ ρ λe 2. 1 ρ = ρ ρ 2 carré audénominateur. Formule donnée où) par H. Weyl. 6. Conclusions Les notions de paramètre normal et de repère de Frenet ne sont pas définies que pour la géométrie euclidienne. Elles peuvent être définies dès que l on se donne un groupe. Pour chaque groupe, nous avons une longueur entre deux points de la courbe. La longueur euclidienne correspond à notre intuition habituelle. La longueur en relativité restreinte à deux dimensions une de temps, une d espace) est interprétée classiquement comme le temps propre. Les particules de type photon à deux dimensions n ont pas de temps propre. Le groupe des similitudes est utilisé quand on étudie les modèles réduits en mécanique. II. Le repère mobile de Gaston Darboux et d Elie Cartan 1. Terminologie Nous supposons que le lecteur saurait définir ou, du moins, a une idée claire) les notions suivantes, G étant un sous-groupe de AGLn) : repère d un espace affine groupe AGLn)). G-repère, G-repère mobile. Nous en avons étudié des cas particuliers précédemment. G-référentiel d inertie. Nous préciserons ces notions de référentiel par la suite. Commençons par étudier la notion de repère mobile de façon générale. Nous utiliserons la notion de forme différentielle et de différentielle extérieure. 2. Equations de structure de Maurer-Cartan Considérons un espace affine de dimension n, son groupe AGLn) et un repère mobile m, e 1,e 2,...,e n ). II-1) { dm = ω h e h de k = ω h k e h 7

Nous avons utilisé la convention de sommation. Les indices vont de 1 à n. d 2 m = 0 donne dω h e h ω l de l =0 donc dω h e h = ω l ω h l e h d 2 e k = 0 donne dω h k e h ω l k de l =0 donc dω h k e h = ω l k ωh l e h. D où les équations de structure de AGLn) II-2) { dω h = ω l ω h l dω h k = ωl k ωh l Sous-groupe ASLn) C est le sous-groupe de AGLn) qui conserve les n-volumes. Les ASLn) repères ont une seule contrainte : déte 1,...,e n ) = 1. Par dérivation : II-3) n h=1 n h=1 déte 1,...,e h,...,e n )=0 ω h h =0 Donc, pour ASLn) on a les équations II-1), II-2), II-3). Sous-groupe ASOn) Contrainte : e k e h = δ kh. Par dérivation de k e h = e k de h. Donc : II-4) ω k h = ω h k. Nous avons antisymétrie, en particulier, pour tout h : ωh k = 0 ici, pas de somme!). Donc, pour ASOn), nous avons les équations II-1), II-2), II-4). Sous groupe ASOn 1, 1). Prenons e k 2 = 1 pour k =1,...,n ; e n 2 = c 2. Un calcul analogue, mais en tenant compte de : de k e n = e k de n, k =1,...,n 1 ωk h e h e n = e k ωne k h ω n k c 2 )= ω k n II-5) ωh k = ωh k pour k et h de 1 à n 1 ωk n = 1 c 2 ωk n pour k de 1 à n 1 = 0 pas de somme) h de 1 à n. ω h h Donc pour ASOn 1, 1) nous avons les équations II-1), II-2), II-5). Remarques : pour c = i nous retrouvons ASOn). Pour c nous avons les équations de structure du groupe de Galilée. Nous avons pris e n e n = c 2, mais on peut aussi prendre e 1 e 1 = c 2, par échange des indices 1 et 2. 8

Sous-groupe ASSimn) Les contraintes sur le ASSimn) repère sont : e k e h = 0 pour k h et e 1 e 1 = e 2 e 2 = = e n e n. De la même façon que précédemment : II-6) { ω k h = ω h k pour k h ω k k = ωl l pas de somme, pour tout k et l). Remarque : interprétation de de j = ω i j e i. Supposons que le repère suive une courbe dont le vecteur tangent est e 1 en un certain point que nous n écrirons pas) ωje i e j p + εe 1 ) e j p) 1 )e i = de j e 1 ) au point p = lim. ε 0 ε Donc ωj ie 1) est le taux de rotation de e j autour de e i quand le repère mobile se déplace le long de cette courbe. Ecriture matricielle : Après le choix d une base de n vecteurs : v =v 1,...,v n ) peut être considéré comme une matrice et on peut faire des multiplications matricielles : va)b =va)b = vab). Posons ω =ωj) i matrice carrée à coefficients formes ϖ =ω i ) matrice ligne à coefficients formes. Alors, les équations II-2) s écrivent : { dϖ = ϖ ω dω = ω ω le signe moins est dû à la multiplication matricielle dans ωj i ), i est l indice de la ligne, j de la colonne. 3. Groupe de Lie, algèbre de Lie et son dual Etant donné un groupe de Lie, nous pouvons utiliser soit son algèbre de Lie et l opération [X, Y ] soit le dual de cet algèbre, i.e. l espace vectoriel des formes différentielles et l opération de différentielle extérieure. C est ce dernier point de vue qui est adopté car il est très adapté à l étude du repère mobile. Nous passons de l un à l autre au niveau algèbrique par dualité et au niveau analyse par dωx, Y )= ω[x, Y ]). 9

4. Le repère mobile d une courbe en trois dimensions pour le groupe ASSim3) Comme exemple d application àlaméthode ci-dessus, calculons les équations du repère mobile d une courbe en 3 dimensions pour le groupe constitué des déplacements et des homothéties, conservant l orientation. D après II-1) et II-6) dm = ω 1 e 1 de 1 = ω1 1 e 1 + ω2e 1 2 + ω3 1 e 3 de 2 = ω2 1 e 1 + ω1e 1 1 + ω2 3 e 3 de 3 = ω3 1 e 1 ω2e 3 2 + ω1 1 e 3 Prenons comme invariant différentiel géométrique local : m t) m t) m t) 2 dt s est donc caractérisé par m s) m s) = m s) 2. Choisissons e 2 dans vecte 1,e 1). Donc : rappelons que e 1 = e 2 = e 3 ). Donc ω 1 ω 1 2 =ω 1 ) 2 d où ω 1 2 = ω 1. ω3 1 =0 ω 1 e 1 ω1e 1 1 + ω2e 1 2 )=ω 1 ω2e 1 1 e 2 ω 1 e 1 ω 1 e 1 =ω 1 ) 2 e 1 2 et e 1 e 2 = e 1 2 Nous avons ω 1 = ds, les relations II-2) donnent : 0=d 2 s = dω 1 = ω 1 ω 1 1 donc, il existe une fonction ρ 1 telle que : ω 1 1 = ρ 1 ω 1 ω 3 1 =0 0=dω 3 1 = ω 1 1 ω 3 1 + ω 2 1 ω 3 2 + ω 3 1 ω 3 3 = ω 1 ω 3 2 donc, il existe une fonction ρ 2 telle que : ω2 3 = ρ 2 ω 1. D où les équations pour ce repère mobile. m = e 1 e 1= ρ 1 e 1 + e 2 + 0 e 2= e 2 + ρ 1 e 2 + ρ 2 e 3 e 3=0 ρ 2 e 2 + ρ 1 e 3 5. Le repère mobile des courbes à 4 dimensions Nous allons considérer le groupe de Poincaré ASO3, 1) Lorentz plus translations) en conservant la constante c. Pour c = i on trouvera ASO4), pour c on trouvera AGal3, 1) groupe de Galilée. Forme quadratique : x 2 1 + x 2 2 + x 3 3 c 2 x 2 4. Soit t mt) une courbe. Il faut distinguer 3 cas : m t) > 0, m t) < 0, m t) =0. 10

Premier cas : m t) > 0. La courbe est du genre espace. Construisons le repère mobile. Origine : m. Premier vecteur : e 1 tangent, e 1 =1 dm = ω 1 e 1 donc ω 2 = ω 3 = ω 4 =0. Deuxième vecteur : e 2 orthogonal à e 1, e 2 = 1, dans la direction de de 1 e 1 de 1 =0) de 1 = ω1 2 e 2 donc ω1 3 =0,ω2 3 =0. dω 2 = 0 donc II-2) donne ω 1 ω1 2 = 0. Il existe une fonction ρ 1 telle que ω1 2 = ρ 1 ω 1. Choisissons e 3 dans vecte 1,e 2,de 2 ), orthogonal à e 1,e 2, sens direct, e 3 =1. de 2 = ρ 1 ωe 1 1 + ω2e 3 3 puisque II-5) donne ω2 2 =0 et ω2 1 = ω1. 2 De plus : ω1 3 = 0 donc : 0=dω1 3 = ω j 1 ω3 j on a : ω1 1 = ω3 3 =0, ω1 4 =0 ω1 2 ω2 3 =0 ρ 1 ω 1 ω2 3 =0. Donc, il existe une fonction ρ 2 telle que ω2 3 = ρ 2 ω 1. de 2 = ρ 1 ω 1 e 1 + ρ 2 ω 1 e 3. Le vecteur e 4 est maintenant complètement déterminé e 4 2 = c 2 de 3 = ω j 3 e j, on a ω3 1 = ω1 3 =0,ω3 3 =0 de 3 = ρ 2 e 2 + ω3 4 e 4 ω 4 1 = 0 donc 0 = dω 4 1 = ω j 1 ω4 j. Comme précédemment ω 4 3 = 1 c 2 ρ 3ω 1. Enfin, II-5) donne : 0=ω 4 1 = 1 c 2 ω1 4, 0=ω 4 2 = 1 c 2 ω2 4, 0=ω 4 4, ω 4 3 = 1 c 2 ω3 4 donc ω 3 4 = ρ 3 ω 1. D où les équations du repère mobile dm = ω 1 e 1 II-7) de 1 =0 +ρ 1 ω 1 e 2 +0 +0 de 2 = ρ 1 ω 1 e 1 +0 +ρ 2 ω 1 e 3 +0 de 3 =0 ρ 2 ω 1 e 2 +0 + 1 c 2 ρ 3 ω 1 e 4 de 4 =0 +0 +ρ 3 ω 1 e 3 +0 On peut prendre un paramètrage tel que : ω 1 = ds = m t) dt. Deuxième cas : m t) < 0. La courbe est du genre temps. Etude analogue ou changement d indices : dm = ds e 1 de 1 =0 +ρ 1 dse 2 +0 +0 II-8) de 2 = 1 c 2 ρ 1dse 1 +0 +ρ 2 dse 3 +0 de 3 =0 ρ 2 dse 2 +0 +ρ 3 dse 4 de 4 =0 +0 ρ 3 dse 3 +0 Faire c 2 = 1 pour retrouver le repère mobile de ASO4). 11

6. L algèbre de Clifford mobile R 3,0 Considérons le groupe ASO3) et son algèbre de Clifford R 3,0. Les équations du repère mobile en paramétrage normal s d une courbe s écrivent : m = e 1 e 1 =0 +ρ 1 e 2 +0 e 2 = ρ 1 e 1 +0 +ρ 2 e 3 e 3 =0 ρ 2 e 2 +0 L algèbre de Clifford peut être engendrée par e 1 s),e 2 s),e 3 s). Considérons le pseudoscalaire is) =e 1 s) e 2 s) e 3 s) et calculons sa dérivée : i = ρ 1 e 2 e 2 e 3 + e 1 ρ 1 e 1 + ρ 2 e 3 )e 3 + e 1 e 2 ρ 2 e 2 ) = ρ 1 e 3 ρ 1 e 3 + ρ 2 e 1 ρ 2 e 1 =0. Donc i est indépendant de s. Il est universel. Ceci est intuitivement évident : i représente l espace tout entier. C est une raison supplémentaire pour supprimer les nombres complexes et les absorber dans l algèbre de Clifford! 7. Dynamique galiléenne du point matériel Ici on peut prendre un paramètre universel t qui peut être interprété comme le temps. Un observateur suit une trajectoire t mt). Soit st) son paramètre normal, vt) = dst) dt vitesse scalaire, at) = d2 st) dt accélération scalaire. Equations du repère mobile de l observateur : m t) =vt)e 1 t) e 1t) = 0 +vt)ρ 1 t)e 2 t) +0 e 2t) = vt)ρ 1 t)e 1 t) +0 +vt)ρ 2 t)e 3 t) e 3t) = 0 vt)ρ 2 t)e 2 t) +0 Soit Mt) la masse. Elle est en général variable exemple : un rafale décollant d un porte-avion) F mt) ) = d dt Mt)m t) ). II-9) F mt) ) = M t)vt)+mt)v t) ) e 1 t)+mt)vt) 2 ρ 1 t)e 2 t). La force se décompose en deux, la composante orthogonale à la trajectoire provoque la première courbure. II-10) ρ 1 = F e 2 Mv 2. 12

Ces formules ne doivent pas faire croire que la deuxième courbure dite torsion ) ρ 2 n intervient pas. En paramétrage quelconque, on a : ρ 2 = détm,m,m ) m m 2. { F = M m + Mm F = M m +2M m + Mm détm,m,m )= 1 M 2 détm,f,f ). II-11) df mt) ) dt = df mt),m t) ) = m t) ) F mt) ) ρ 2 = dét m,f,m )F ) m F 2. La seconde courbure est indépendante de la masse. 8. Dynamique en relativiste restreinte Un observateur suit une trajectoire de genre temps sa ligne d univers). Le repère mobile m, e 1,e 2,e 3,e 4 ), dont le mouvement est décrit en II-8), a pour noms classique : repère de référence propre proper reference frame), tétrade de l observateur, tétrade orthogonale. A ne pas confondre avec la tétrade de Fermi-Walker. Critiquons d abord la notion de masse au repos. Par définition celle-ci est la masse d une particule de vitesse nulle dans un référentiel d inertie. Cette masse au repos est un invariant par changement de référentiel d inertie. Mais m, e 1,e 2,e 3,e 4 ) n est pas toujours un référentiel d inertie. C est pourquoi nous utiliserons la notion de masse propre. Nous allons étudier si celle-ci est constante. A priori la particule est définie en utilisant le paramètre normal s par sa masse propre s Ms) et sa trajectoire s ms) de genre temps. Soit f une 4-force et ps) l impulsion f ms) ) = dps) ds. d Ms)m s) ) = M s)e 1 s)+ms)ρ 1 s)e 2 s) ds f e 1 = M e 1 e 1 = c 2 M. La masse propre est constante si et seulement si la force est orthogonale à la ligne d univers. Ce qui est le cas pour l électromagnétisme classique. Etudions comment la force engendre les courbures II-12) f e 2 = Mρ 1 f e 3 = Mρ 1 ρ 2 f e 4 = Mρ 1 ρ 2 ρ 3 Remarque : observateur regardant un vecteur fixe. Soit v un vecteur fixe, dv = 0. 13

Dans le repère mobile v = ξ i e i, dv = 0, d où : II-13) ξ 1 + ξ2 ρ 1 c 2 =0 ξ 2 +ρ 1 ξ 1 ρ 2 ξ 3 =0 ξ 3 +ρ 2 ξ 2 ρ 3 ξ 4 =0 ξ 4 +ρ 3 ξ 3 =0 9. Le repère mobile pour une courbe de genre photon Reprenons l étude faite dans le paragraphe 4, mais dans le cas où la courbe t mt) est du genre photon : m t) = 0. Nous suivons ici certaines idées de Heinz Krüger Differential geometry and dynamics of Lightlike point in Lorentzian space time, annales de la fondation Louis de Broglie, vol. 24, 1999 39-66)). Remarquons d abord que nous ne pouvons pas utiliser les idées classiques de courbe dessinée sur une sous-variété et repère de Darboux : une sous-variété d une variété pseudoriemannienne n est pas toujours pseudoriemannienne! La courbe t mt) est dessinée sur le cône de lumière sous-variété de dimension 3). Pour faire l étude la plus simple possible, suivons les idées de I paragraphe 1. Cherchons le premier invariant différentiel géométrique local ; premier signifie qu il utilise les ordres de dérivation m t),m t),m t) le plus petit possible m t) = 0 est identiquement nul donc inutilisable. Fixons un référentiel inertiel de Lorentz u 1,u 2,u 3,u 4 avec u 4 2 = c 2 m t) =vt)+v 4 t)u 4 vt) vt) 2 v 4 t)c 2 =0 v 4 2 t) =±. c Posons ε = ±1 vt) m 2 t) =vt)+ε u 4 c m t) =v t)+ ε v c v 2 3 v u 4 le produit scalaire étant dans R 3 : v v 2 3 v v. Deux cas possibles : Soit on a égalité, alors v et v sont colinéaires, la projection de t mt) est une droite de R 3 donc t mt) est une droite sur le cône. Dans ce cas on n aura pas de paramètre normal et pas de repère de Frenet ; nous avons vu un cas analogue pour ASL2). v Soit on a v 2 v < v. v Alors m t) 2 = v 2 v 2 3 v ) 2 > 0. D où le premier invariant différentiel géométrique local : II-4) m t) 1/2 dt, 14

nous avons bien pour t ut), du dt > 0 m u) 1/2 du = d2 t dt ) 2m du 2 m t)+ t) 1/2 du du dt dt = dt ) 2m t) 1/2 du du dt dt puisque m et m sont orthogonaux et m =0. Nous définirons le paramètre normal en posant : Il est caractérisé par : ds = m t) 1/2 dt. II-15) m s) =1. Nous ne pouvons pas prendre pour premier vecteur de base un vecteur colinéaire à m serait de norme nulle et les vecteurs d un ASO3, 1)-repère sont de norme non nulle. Posons σ = 1 2 m 2. car il Dans vectm,m ) il y a des vecteurs de genre temps et de genre espace espace quadratique de dimension 2, signature +, -). Prenons e 1 et e 4 base de cet espace : e 2 1 =1, e 2 4 = c 2 et e 1 e 4 =0: II-16) m = e 1 + 1 c e 4 m = σ 1 ) e1 + σ + 1 2 2)1 c e 4. Ce choix est possible parce que : D où e 2 1 =1 et e 2 4 = c 2. Vérifions enfin que e 1 e 4 =0 0=m 2 = e 2 1 + 1 c 2 e2 4 e 2 4 = c 2 e 2 1 2σ = m 2 = σ 1 2 e 2 2) 1 + σ + 1 2 1 2) c 2 e2 4 = σ 1 ) 2 + σ + 1 ) 2 ) e 2 2 2 1. m 2 =0 m m =0 m m = m 2 = 1 m m = σ 1 2 + σ + 1 1 σ 2) c 2 c2 )+ c + 1 2c σ c 1 ) e 1 e 4 2c 1 = 1+ 2σ ) e 1 e 4. c Mais si σ = 0, alors m et m sont dans le cône, dans celui-ci tous les produits scalaires sont dégénérés m m = 0 contradiction. Donc σ 0 et e 1 e 4 =0. Pour fixer e 2 remarquons que : { } m 2 =0 m m =0 m 2 =1 m m m orthogonal à e 1 et e 4 =0 15

Nous pouvons donc poser : II-17) e 2 = m. Complétons le repère mobile, e 3 est complètement déterminé. Posons : ρ = e 1 e 3. D après m = e 2, II-16) première ligne dérivée, multipliée par e 4 : 0=e 4 e 2 = e 4 e 1 + 1 c e 4 e 4 = e 4 e 1. D où en tenant compte de m = e 2, e 1 e 2 = e 1 e 2 = σ + 1 2 : e 1 =0+ σ + 1 ) e 2 + ρe 3 +0 2 II-16) deuxième ligne donne : e 2 = m = σ + 1 ) e 1 +0+0+ σ + 1 1 2 2) c e 4. Calculons e 3 e 4 : 0=e 3 e 2 = e 3 m = e 3 e 1 + 1 c e 3 e 4 e 3 e 4 = e 3 e 4 = c e 3 e 1 = cρ. Les coefficients de e 4 sont obtenues par les relations de symétrie. Finalement les équations du repère mobile s écrivent : II-18) m = e 1 + 1 c e 4 e 1=0 + σ + 1 ) e 2 + ρe 3 +0 2 e 2= σ + 1 ) e 1 + 0 + 0 + σ + 1 1 2 2) c e 4 e 3= ρe 3 + 0 + 0 + ρ 1 c c e 4 e 4=0 + σ + 1 ) ce 2 + c) ρe 3 +0 2 Il serait intéressant d appliquer ces relations à une particule ayant pour vitesse c et subissant certaines interactions. Remarque A tout ASO3, 1)-repère m, e 1,e 2,e 3,e 4, on peut faire correspondre un repère m, u 1,u 2,u 3,u 4 tel que les 3 premiers vecteurs soient de norme 0, u 2 4 = 1, u i u j = 1 u j = e j + 1 c e 4 pour j =1, 2, 3, u 4 = 1 c e 4 e j = u j u 4 pour j =1, 2, 3, e 4 = cu 4. Et on peut écrire le mouvement du repère m, u 1,u 2,u 3,u 4. Mais ceci nous fait sortir du cadre groupe de Lie-algèbre de Lie. 16

III. Courbures des surfaces plongées dans un espace à trois dimensions 1. Le groupe ASO3) Soit P le plan affine 2 dimensions) et E l espace affine 3 dimensions). Une surface sera donnée par : m : P E en fait le domaine de m est une partie de P ). Nous allons utiliser la méthode de II-2) pour étudier. m est maintenant à deux variables, la notion de paramètrage normal est beaucoup plus délicat. Le vecteur e 3 sera choisi orthogonal à la surface avec e 3 = 1. Dans le plan tangent deux vecteurs orthogonaux unitaires v 1,v 2 restent àpréciser ; dm est dans le plan tangent donc ω 3 = 0. D après II-2) : ω 1 ω1 3 + ω 2 ω2 3 =0. Donc, il existe 3 fonctions a, b, c telles que : ω1 3 = aω 1 + bω 2 et ω2 3 = bω 1 + cω 2. D après II-3) de 3 = ω3v 1 1 + ω3v 2 2 =aω 1 + bω 2 )v 1 +bω 1 + cω 2 )v 2 =av 1 + bv 2 )ω 1 +bv 1 + cv 2 )ω 2. ) a b Le choix sur v 1,v 2 ) va être utilisé pour rendre la matrice symétrique M = b c diagonale. Soient ρ 1 et ρ 2 les deux valeurs propres. Elles sont réelles. Supposons-les distinctes : ρ 1 ρ 2. Soient e 1,e 2 des vecteurs propres correspondant. Ils sont orthogonaux et définis à une constante près. Nous pouvons donc les choisir tels que e 1 =1, e 2 = 1 et e 1,e 2,e 3 ) trièdre direct. ρ 1 et ρ 2 sont appelées courbures principales. K = ρ 1 ρ 2 = ac b 2 courbure totale. ρ m = 1 2 ρ 1 + ρ 2 )= 1 a + c) courbure moyenne. 2 e 1,e 2 directions principales. D où : III-1) ω3 1 = ρ 1 ω 1 et ω3 2 = ρ 2 ω 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 D après II-2) dω2 1 = ω2 l ωl 1 = ω3 2 ω3 1 d où : III-2) dω2 1 = ρ 1 ρ 2 ω 1 ω 2 = Kω 1 ω 2 ω 2 3 ω 1 2 = dω 1 3 = dρ 1 ω 1 + ρ 1 dω 1 ρ 2 ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 + ρ 1 ω 2 ω2 1 Soit ρ 1,1 la dérivée de ρ 1 par rapport à la première variable, etc... ω 2 ω2 1 = ρ 1,2 ω 2 ω 1 ρ 2 ρ 1 échangeons 1 2 ω 1 ω2 1 = ρ 2,1 ω 1 ω 2 ρ 1 ρ 2 Finalement : III-3) ω2 1 = ρ 1,2 ω 1 + ρ 2,1 ω 2. ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ 1 17

Nous avons finalement les équations du repère mobile : III-4) dm = ω 1 e 1 + ω 2 e 2 + 0 ρ1,2 de 1 = 0 + ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 2 + ρ 1 ω 1 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 ρ1,2 de 2 = ω 1 + ρ 2,1 ω 2) e 1 +0+ρ 2 ω 2 e 3 ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 de 3 = ρ 1 ω 1 e 1 ρ 2 ω 2 e 2 +0 Etant donné une surface dans E, nous avons construit une surface dans le fibré des repères et une surface dans le fibré en algèbres de Lie. Première forme quadratique fondamentale : c est la restriction de la forme de E à la surface Pour v 1 et v 2 deux vecteurs tangents : dm dm. dm 2 v 1,v 2 )=dmv 1 ) dmv 2 ) = ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 ) v 1 )e 2 ω 1 v 2 )e 1 + ω 2 ) v 2 )e 2 = ω 1 v 1 ) 2 + ω 2 v 2 ) 2. III-5) dm 2 =ω 1 ) 2 +ω 2 ) 2. Dans une paramétrisation de la surface : ds 2 = dm 2 = C est le g ij de la surface : = t 1,t 2 ) mt 1,t 2 ) ) m ) m ) 2 dt 1 + dt 2 t 1 t 2 m )2 m dt 2 1 +2 m ) m )2 dt 1 dt 2 + dt 2. t 1 t 1 t 1 t 2 g ij = m t i m t j. Deuxième forme quadratique fondamentale : c est la partie tangentielle des variations de la normale dm de 3 = d 2 m e 3 puisque dm e 3 =0) dm de 3 v 1,v 2 )= ω 1 v 1 )e 1 + ω 2 v 2 )e 2 ) ρ1 ω 1 v 1 )e 1 + ρ 2 ω 2 v 2 )e 2 ) III-6) = ρ 1 ω 1 v 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 v 2 ) 2 dm de 3 = ρ 1 ω 1 ) 2 + ρ 2 ω 2 ) 2. Définition.- Une propriété est dite intrinsèque ou géodésique) quand elle ne dépend que de la première forme quadratique fondamentale. 18

Théorèma egregium Gauss).- La courbure totale est géodésique. Démonstration ω 1 = dm e 1 et ω 2 = dm e 2. Donc ω 1,ω 2 et leurs dérivées successives ne dépendent que du ds 2. D après III-2) et III-3) avec notations évidentes : { dω 1 2 = Kω 1 ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 + r 2 ω 2 { dω 1 = ω 2 ω 1 2 = r 1 ω 1 ω 2 dω 2 = ω 1 ω 2 1 = r 2 ω 1 ω 2 Donc r 1 et r 2 ne dépendent que de la première forme Donc K ne dépend que de la première forme. Kω 1 ω 2 = dω 1 2 = dr 1 ω 1 + r 2 ω 2 ). 2. Le repère mobile de Darboux pour le groupe ASO3) Considérons une courbe tracée sur une surface S paramètre plan espace t ut) m ut) ) = mt) Changeons le paramètre t en prenant le paramètre normal s. Posons e 1 s) =m s). Alors le repère est complètement déterminé, e 2 dans le plan tangent orthogonal à la courbe e 3 orthogonal à la surface e 1,e 2,e 3 ) direct. Il existe trois fonctions ρ g,ρ n,τ 2 telles que : III-7) dm = ds e 1 de 1 = 0 +ρ g ds e 2 + ρ n ds e 3 de 2 = ρ g ds e 1 +0 + τ r ds e 3 de 3 = ρ n ds e 1 τ r ds e 2 + 0 ρ y et ρ n sont appelées courbures géodésique et normale, τ r torsion relative. En paramétrage quelconque : ρ g = e 2 e 1 = e 3 e 1 e 1 =déte 1,e 1,e 3 ) ρ g s) =dét m s),m s),ns) ). ρ g t) = dét m t),m t),nt) ) m t) 3 où nt) est le vecteur normal, unitaire, à la surface m t) = vt)e 1 t) m t) =v t)e 1 t)+vt) 2 ρ g t)e 2 t)+ρ n t)e 3 t) ) m m = v 3 ρ g e 3 ρ n e 2 ). 19

D où : ρ n t)e 1 t) = m t) m t) ) nt) m t) 3. Un point matériel de masse fixe M ayant sa trajectoire sur une surface S et soumis à une force F satisfait à l équation : F mt) ) + R mt) ) = d dt Mm t) ) = Mv t)e 1 t)+mvt) 2 ρ g t)e 2 t)+mvt) 2 ρ n t)e 3 t). R étant la réaction de la surface, elle est dans la direction de e 3. Les courbures ρ n et τ r ρ g = F e 2 Mv 2 ρ n = F e 3 + r Mv 2 avec R = re 3. sont liées aux variations de la force de réaction R = r e 3 + r ρ n e 1 τ r e 2 ) ρ n = R e 1 r τ r = R e 2. r Interprétation géométrique de la courbure géodésique = F e 3 + r Mv 2 Considérons le plan tangent T m0) S et la projection de la courbe s ms) sur ce plan tangent s ps). On a m0) = p0) et p0)ps) =m0)ms) e 1 0)e 1 0) + m0)ms) e 2 0)e 0 0) p s) =m s) e 1 0)e 1 0) + m s) e 2 0)e 2 0) p s) =m s) e 2 0)e 2 0) + m s) e 2 0)e 2 0) ρ g 0) = dét m 0),m 0),e 3 0) ) m 0) e 1 m 0) e 1 = m 0) e 2 m 0) e 2 dét p 0),p 0) ) = ρ0) p 0) = 1)) courbure de la courbe plane projetée. Interprétation géométrique de la courbure normale Considérons un plan P contenant la normale. La courbe plane P S est telle que e 2 est constant c est le vecteur normal au plan). Donc, ρ g =0, τ r = 0 et le repère de Frenet de cette courbe dans le plan P vecteurs e 1,e 3 ) montre que la courbure est égale à la courbure normale. Pour trouver toutes les formules reliant les courbures principales de la surface, les courbures d une courbe tracée sur la surface, les courbures de cette courbe considérée pour elle-même, il suffit d utiliser les formules de changement de base des trois repères. 20

3. Etude de la surface en coordonnées La surface S est donnée paramétriquement par : u 1,u 2 ) mu 1,u 2 ). Notations : m,j = m u j et m,ij = 2 m u i u j. Définissons : g ij = m,i m,j et m,ij =Γ l ijm,l + L ij n avec n vecteur normal unitaire. Première forme quadratique fondamentale appliquée à un vecteur v = v 1 m,1 + v 2 m,2 dm 2 v) =m,1 ω 1 + m,2 ω 2 ) 2 v) =g 11 v 1 ) 2 +2g 12 v 1 v 2 + g 22 v 2 ) 2. Deuxième forme quadratique fondamentale d 2 m n)v) =m,11 n)v 1 ) 2 +2m,12 n)v 1 v 2 +m,22 n)v 2 ) 2 Les quantités g ij, Γ l ij,l ij = L 11 v 1 ) 2 +2L 12 v 1 v 2 + L 13 v 2 ) 2. Montrons que la courbure totale s écrit : sont liées par un certain nombre de relations. K = ρ 1 ρ 2 = K = L 11L 22 L 2 12 g 11 g 22 g12 2. Dans la base particulière trouvée au paragraphe 1, les déterminants des première et deuxième forme sont : ) ) 1 0 ρ1 0 et 0 1 0 ρ 2 ) ρ1 0 dét 0 ρ 2 dét 1 0 0 1 ) = dét II) dét I). Nous avons vu que K ne dépend que de la première forme, donc L 11 L 22 L 2 12 Montrons que les Γ l i,j ne dépendent aussi que de la première forme : montrons aussi. g ik,g + g kj,i g ji,k =2Γ ijk m,i m,k ),j = m,ij m,k + m,i m,kj m,k m,j ),i = m,ki m,j + m,k m,ji m,j m,i ),k = m,jk m,i m,j m,ik et de plus, m,ij m,k =Γ l ij m,l m k =Γ l ijg lk =Γ ijk. 4. Géodésiques pour le groupe ASO3) Une courbe tracée sur une surface est dite géodésique quand, en paramétrage normal, m s) est orthogonale à la surface. Ceci est équivalent d après les équations du repère mobile de Darboux à ρ g =0. 21

L interprétation mécanique est qu une particule mobile sur une surface, sans frottement soumis à une force extérieure orthogonale à la surface avec en plus, la force de réaction qui est aussi orthogonale) suit une géodésique. Equation de géodésiques : III-9) { m s) m,1 u 1 s),u 2 s) ) =0 m s) m,2 u 1 s),u 2 s) ) =0 ou encore : m = m,1 u 1 + m,2 u 2 m = m,11 u 1 ) 2 +2m,12 u 1 u 2 + m,22 u 2 ) 2 + m,1 u 1 + m,2 u 2. D où III-9 devient, pour i =1, 2 III-10) Γ 11i u 1 ) 2 +2Γ 12i u 1 u 2 +Γ 22i u 2 ) 2 + g 1i u 1 + g 2i u 2 =0. 5. Le transport parallèle pour ASO3) Données : une surface S, une courbe s ms) sur cette surface, deux points ms 1 ),ms 2 ). Problème. Comment un observateur ms),e 1 s),e 2 s),e 3 s) ) se déplaçant le long de cette courbe peut-il définir un vecteur fixe du plan tangent? Solution. Utiliser deux idées. 1) Seule la courbure géodésique ρ g ne dépend que de la première forme quadratique fondamentale g ij. 2) Nous avons résolu ce problème dans le cas particulier d une courbe plane, formules I-4). Donc, à la courbe s ms) dessinée sur la surface de courbure géodésique ρ g s) on fait correspondre la courbe plane s ps) de courbure ρs) =ρ g s) unique si l on fixe des conditions initiales). Un vecteur est transporté parallèlement quand on a I-4). Donc, le transport parallèle est défini par les mêmes équations. Pour vs) T ms) S), III-11) vs) =ξ 1 s) e 1 s)+ξ 2 s)e 2 s). { ξ 1 ρ g ξ 2 =0 ξ 2 + ρ g ξ 1 =0 6. Le repère mobile de Darboux pour le groupe ASSim3) Suivons les idées du paragraphe 2. Ici, le paramètre normal est défini par : ds = m t) m t) m t) 2 dt. Il est donc caractérisé par : m s) m s) = m s) 2. 22

Posons e 1 s) = m s). Alors le repère est complètement déterminé puisque e 1 s) = e 2 s) = e 3 s). Décomposons e 1 sur la base : e 1 = ρe 1 + αe 2 + βe 3 e 1 ρe 1 + αe 2 + βe 3 ) = e 1 2. Les vecteurs e 1 e 2 et e 1 e 3 sont orthogonaux et toutes les normes sont égales : α e 1 e 2 + βe 1 e 3 2 = e 1 4 α 2 e 1 2 e 2 2 + β 2 e 1 2 e 3 2 = e 1 4 α 2 + β 2 =1 il existe un angle θ tel que : α = cosθ), β = sinθ). Finalement, il existe deux fonctions ρ, τ et un angle θ tel que : III-12) dm = ds e 1 de 1 = ρdse 1 + cosθ)ds e 2 + sinθ)ds e 3 de 2 = cosθ)ds e 1 + ρds e 2 + τdse 3 de 3 = sinθ)ds e 1 τdse 2 + ρdse 3. Interprétation géométrique de ρ : Considérons un plan P contenant la normale. La courbe plane P S est telle que e 2 s) est dans T ms) S donc toujours orthogonale à P, donc e 2 est colinéaire à e 2 : cosθ) =0 et τ = 0. Donc sinθ) = 1 et on retrouve les équations du ASSim2) repère mobile dans le plan P voir I-12)) avec égalité du ρ dans III-12) et du ρ dans I-12). Fixons m0) et considérons la courbe projetée dans le plan T m0) S. Alors le e 3 s) de la courbe plane est proportionnel à e 3 donc sin θ0) ) =0 et τ0) = 0 ; mais alors cos θ0) = 1 ou -1...) et on retrouve que la courbure ρ0) de la courbe plane, I-12), coïncide avec ρ0) de III-12). 7. Le transport parallèle pour ASSim3) Mêmes idées que dans le paragraphe 4 en prenant ρ, voir I-13) III-13) { ξ 1 + ξ 1 ρ ξ 2 =0 ξ 2 + ξ 2 ρ + ξ 1 =0 23

8. Conclusion Dans les études des repères mobiles ci-dessus, nous nous sommes toujours placés dans le cas générique ou cas non-dégénéré i.e. non annulation des courbures. Dans le cas d annulation il n y a plus unicité du repère mobile. Par exemple, pour le groupe ASO3) et une droite, e 1 s) est bien défini de façon unique mais e 2 s) peut être n importe quel vecteur orthogonal à e 1 s). C est justement le cas des référentiels d inertie. Pour le groupe de Galilée ou le groupe de Poincaré Lorentz) les référentiels d inertie seront définis en partant de la cinématique : t mt) tel que m t) = 0, la courbe est donc une droite. L origine et le premier vecteur sont bien définis mais il n y a pas unicité pour les autres vecteurs. Nous n avons pas abordé la question du référentiel d inertie pour les autres groupes. Nous avons vu que pour une courbe plane et pour le groupe ASL2), une parabole est de ASL2)-courbure nulle. Donc le principe de l inertie unimodulaire n est pas forcèment basé sur les droites. L objet principal de notre étude a été lagéométrie et un peu de cinématique) découlant du choix du groupe. La dynamique mécanique) n a été abordée qu exceptionnellement pour illustrer la notion de courbure. Les deux mécaniques utilisées : newtonienne groupe de Galilée) et einsteinienne groupe de Lorentz) sont conséquences du choix du groupe. Il serait très intéressant d approfondir les mécaniques pour certains autres groupes. Quel que soit le groupe, la notion de référentiel est de nature cinématique. Mais il n y a pas de cinématique quantique. C est là l une des nombreuses) difficultés soulevée par le lien entre mécanique quantique et relativité générale. 24

Deuxième partie Géométrie différentielle Il est possible de présenter la théorie des variétés différentiables de deux façons. W: méthode d Hermann Weyl. C est la méthode utilisée systématiquement depuis plus d un demi-siècle. Nous l adopterons ici. L: méthode de Tullio Levi-Civita. Il définit la variété comme sous-variété d un espace euclidien. Puis il sépare les propriétés intrinsèques des propriétés extrinsèques. Les premières sont celles indépendantes du plongement. Les deux méthodes sont, au fond, équivalentes. D après un théorème de Whitney toute variété de dimension m définie par W se plonge dans un espace vectoriel de dimension 2m +1. Il faut définir ce qu est une propriété intrinsèque. Dans le cas des variétés quadratiques dites Riemanniennes ou pseudo-riemanniennes), c est une propriété qui ne dépend que du g ij. Elle est invariante par les isométries de la surface. L peut-être considérée comme naïve. Mais elle permet de faire des découvertes : la courbure totale, le transport parallèle, etc... ont été obtenus de cette façon. L espace vectoriel tangent est toujours introduit. Il semble que la notion d espace vectoriel osculateur est maintenant un peu négligé. La notion d espace vectoriel de raccordement le long d une ligne n apparaît pas beaucoup dans la littérature. Les définitions adoptées ici sont parfois à l ancienne, i.e. un objet est défini par son algorithme de base. Les définitions modernes me paraissent moins immédiatement utilisables pour faire des calculs. Il y a encore un choix pour présenter le calcul différentiel sur une variété : langage des champs de vecteurs ou langage des formes différentielles. Nous commençons en langage des vecteurs puis nous traduisons en langage des formes. IV. Variétés différentielles 1. Définition d une variété différentiable Soit E un espace affine de dimension m, d espace vectoriel normé associé E. Une variété différentielle de classe C k est la donnée d un espace topologique séparé V, d une famille d ouverts Ω α, α A, d une famille de fonctions ϕ α telle que : 1) Ω α = V. α A 2) ϕ α :Ω α E est injective, continue ainsi que son inverse. 3) ϕ β ϕ 1 α est k fois continûment dérivable noté C k, quand elle est bien définie. Remarquons que : Ω α Ω β ϕ α ϕ β ϕ α Ω α Ω β ) E ϕ β Ω α Ω β ) E. ϕ β ϕ 1 α 25

Ω α,ϕ α ) est dite carte locale. Cette définition est faite pour pouvoir faire du calcul différentiel sur V : soit f : V R et a V, il existe α tel que a Ω α : U α f R ϕ α f ϕ 1 α ϕ α U α ) E nous pouvons faire du calcul différentiel avec f ϕ 1 α. f est dite de classe C k quand toutes les f ϕ 1 α sont de classe C k. Dans toute la suite, on prendra k =. 2. Système de coordonnées locales Fixons p V, il existe α tel que p Ω α ϕ α : Ω α ϕ α Ω α ) E x ϕ α x). Prenons un repère affine ϕ α p),e 1,...,e m ) un point ϕα x) ϕ α Ω α ) a pour coordonnées x i. Ils sont appelés système de coordonnées locales de a. On peut changer de coordonnées de deux façons : changer la base e 1,...,e n ) ou changer la carte Ω α,ϕ α ). 3. Espace vectoriel tangent Soit C V ) l ensemble des fonctions numériques de classe C. On appelle champ de vecteurs sur V une application X : C V ) C V ) telle que IV-1) { 1) linéarité Xaf + bg) =axf + bxg, a R, b R,f C V ), g C V ) 2) dérivation Xf g) = f Xg + Xf)g L ensemble des champs de vecteurs est muni de façon naturelle d une structure d espace vectoriel, il est noté Λ 1 V. Exemple : V = E, une seule carte Ω α = E ϕ α = identité. Fixons un repère affine 0,e 1,...,e m ). / x i est un champ de vecteurs, tout champ de vecteurs est de la forme : Soit X un champ de vecteurs p V f i / x i avec f i : E R. et α tel que p Ω α Ω α X f R ϕ α Xf) ϕ α ϕ α Ω α ) E 26

Nous avons un isomorphisme entre les champs de vecteurs X sur Ω α et les champs de vecteurs Y sur ϕ α Ω α ):Xf) ϕ α = Y f ϕ α ). Posons Xp)f =Xf)p), on a l isomorphisme : Xp) Y ϕαp). L espace vectoriel des Xp) est de dimension m et est appelé espace vectoriel tangent en p à V et est noté Λ 1p V.Laréunion pour tous les p V donne Λ 1 V appelé fibré tangent àla variété. Considérons deux variétés V et W et une application ψ : V W. Elle est dite différentiable quand on peut construire une application dérivée : dψ :Λ 1 V Λ 1 W en posant : Nous avons : dϕ ψ) =dϕ dψ puisque dψx)f) =Xf ψ). dϕ ψ)x)f) =Xf ϕ ψ) dϕ dψx) ) f) =dψx)f ϕ) =Xf ϕ ψ). Crochet de Lie : structure d algèbre de Lie sur les champs de vecteurs : [X, Y ]=XY YX. Ceci est bien un champ de vecteurs, car il satisfait à 1) mais aussi à 2) de IV-1) : XY fg) YXfg)=XY f)g + Y b)xg) +Xf)Y g) +fxyg) YXf)g Xf)Y g) Y b)xg) fyxg) =XY YX)f)g +XY YX)g)f. Partant de cet espace vectoriel, on peut construire de façon classique son algèbre tensorielle : Λ V =Λ 0 V Λ 1 V Λ 2 V... avec Λ 0 V espace vectoriel des fonctions numériques. Λ p V est l espace vectoriel des tenseurs contravariants d ordre p. Soit p V, une carte locale Ω α,ϕ α ) le contenant, un repère étant choisi dans cette carte ) locale ϕ α p),,...,. Au champ de vecteurs dans la carte correspond un x 1 x m x i champ de vecteurs X i localement) défini par : X i fq) = ) f ϕ 1 α ϕα q) ). x i Par abus de notation, on confond souvent / x i et X i. Par exemple, dans ce langage, le changement de coordonnées s écrit : deux bases / x i et / y j, v Λ p V donc v = v i x i = w j y j = w j x i y j x i IV-2) v i = w j x i y j. 27

4. Espace vectoriel cotangent et différentielle L espace vectoriel cotangent Λ 1 V est le dual algébrique de Λ 1 V. Son algèbre extérieure, algèbre graduée sera notée : avec Λ V =Λ 0 V Λ 1 V... Λ m V Λ 0 V =Λ 0 V fonctions numériques champ de scalaires). La dualité peut s écrire de deux façons : ωx) =<ω,x>. Rappel de calcul différentiel pour une fonction f de R n dans R. df est une fonction d un point p et d un vecteur v définie par : df p, v) = lim ε 0 fp + εv) fp). ε Définissons la différentielle pour une fonction f Λ 0 V par : pour p V et X Λ 1 V : df p, X) =Xf)p) donc df :Λ 1 V Λ 0 V d où df Λ 1 V df X) =Xf). En termes de coordonnées / x i, base duale dx i : df / x i )=<df, > = f. x i x i < f x j dx j, > = f x i x i d où : df = f dx l. x l Définissons la différentielle pour un champ de vecteurs : Z Λ 1 V donc Z :Λ 0 V Λ 0 V dz :Λ 1 V Λ 1 V R ω, X) dzω, X) =X<ω,Z> donc dz Λ 1 V Λ 1 V, c est un tenseur de type 1,1). En termes de coordonnées : pour Z = f i / x i dz = df i x i = f i x j dx j x i. Différentielles des formes. Définissons pour k 1: IV-3) m dωx 1,...,X k+1 )= 1) i+1 X i ωx 1,..., X i,...x k+1 )+ + 1 i<j m i=1 1) i+j ω [X i,x j ],X 1,..., X i,..., X j,...,x k+1 ). 28

On vérifie que d est caractérisé par : 1) d :Λ k V Λ k+1 V IV-4) 2) d 2 =0 3) dω 1 ω 2 )=dω 1 ω 2 + 1) k ω 1 dω 2 avec ω 1 Λ k V. Remarque : f Λ 0 V est un tenseur 0, 0) ; f : V R X Λ 1 V est un tenseur 1, 0), 1-contravariant X dérivation sur Λ 0 V ; X :Λ 0 V Λ 0 V i.e. f Xf X :Λ 1 V Λ 0 V i.e. ω ωx) ω Λ 1 V est un tenseur 0, 1), 1-covariant ω :Λ 1 V Λ 0 V i.e. X ωx). Par exemple, si on a une application R-quadrilinéaire Λ 3 1V =Λ 1 V Λ 1 V ) 3 Λ 0 V c est un élément de : donc c est un tenseur 1,3). Λ 1 3V =Λ 1 V Λ 1 V ) 3 Expressions dans un repère mobile. Le crochet de deux champs de vecteurs définit des fonctions c i jk. Prenons une base X j : IV-5) [X j,x k ]=c l jkx l Pour tout j, k, l : c l jk = cl kj. Prenons une base duale ω i = ω i X j )=δj i. Pour j k dω i X j,x k )=X j ω i X k ) X k ω i X j ) ω i [X j,x k ]) = 0 0 c i jk. En utilisant ω j ω k X j,x k ) = 1, on obtient IV-6) dω i = c i jkω j ω k. 5. Courbe sur une variété Considérons une courbe sur la variété V donnée cinématiquement : t mt). Pour toute fonction numérique f : V R on a : vecteurs m t) le long de la courbe t f mt) ). Définissons le champ de m t)f) = d dt f mt) ) m t) satisfait bien àladéfinition d un champ de vecteurs. On peut donc considérer Λ 1,p V comme l ensemble des vecteurs vitesses des courbes passant par p. 29

V. Connexion sur une variété 1. Calcul différentiel sur une variété Etant donnée une variété nous avons un calcul différentiel sur celle-ci ; en particulier la différentielle extérieure et le crochet de champs de vecteurs sont bien définis. Les espaces vectoriels Λ 1p V et Λ 2p V sont isomorphes car de même dimension) mais il existe beaucoup d isomorphismes possibles. Nous allons étudier maintenant ce problème. Nous allons donner une définition des connexions avec la même idée que les définitions précédentes : définition par l algorithme de base de la notion étudiée. 2. Connexion affine Nous avons vu l opération : Λ 1 V Λ 0 V Λ 0 V X, f) Xf) est Λ 0 V linéaire en X et est une dérivation. Le remplacement de Λ 0 V en Λ 1 V en gardant les mêmes algorithmes donne la définition d une connexion. Définition.- On appelle connexion linéaire une application : possédant les propriétés : 1) Λ 0 V linéaire en sa première variable : f1x 1+f 2X 2 = f 1 X1 + f 2 X2. :Λ 1 V Λ 0 V Λ 1 V ) Λ 0 V Λ 1 V X,f+ Y ) X f + Y ) 2) respecte l ordre des tenseurs : f Λ 0 V X f) Λ 0 V ; Y Λ 1 V X Y ) Λ 1 V. 3) Sur Λ 0 V l action de X est égale à l action de X : X f) =Xf). 4) est une dérivation en sa seconde variable X fy)=f X Y )+ X f)y = f X Y )+Xf)Y. Remarque : ne pas confondre R-linéarité avec Λ 0 V -linéarité. D après 1) et 4) est R-linéaire en ses deux variables mais est Λ 0 V -linéaire en sa première variable. Définition des symboles de Christoffel : fixons un système de coordonnées locales : V-I) / xi x j ) =Γ k ij x k. Changement de système de coordonnées : Γ γ ) xj αβ x = / x α γ x = / x α β x β = x j x β x i x α / xi x j ) + 2 x j x α x β x α x i ) = x j x j x β x j = x j x β x i x α / x α Γ k ij x γ x k x j ) + 2 x j x α x β x γ + 2 x j x α x β x j x γ. x j x j 30

D où les formules : V-2) Γ γ αβ = x j x β x i x α x γ x k Γ k ij + 2 x j x α x β x γ x j. 3. Parallélisme Etant donnée une courbe et un champ de vecteurs Y, le champ de vecteurs Y mt) ) est dit parallèle le long de cette courbe) quand m t)y ) mt) ) =0. Choisissons un système de coordonnées : m t) =x i t) / x i Y = y j / x j sur la courbe on a : x i / x i y j / x j ) =0. x i x i yj x i yj x i ) + x i y j / xi =0 x j x j + x i y j Γ k ij x j x k =0. Donc, en fixant k : V-3) x i yk + x i y j Γ k ij =0 x i dy k dx i dt +Γk ij y j =0. dt Remarques : 1. En fait, il faut étendre le champ de vecteurs m t) au voisinage de la courbe pour justifier ces calculs, puis montrer l indépendance par rapport aux prolongements possibles. 2. Etant donné un vecteur v Λ 1mt0)V on peut l étendre en champ de vecteurs le long de la courbe par l équation ci-dessus. 3. Pour une fonction f Λ 0 V m t)f) mt) ) = m t)f ) mt) ) = df mt),m t) ) = d dt f mt) ). f est transportée parallélement le long de la courbe si et seulement si la restriction de f à la courbe est constante. 4. Dérivée covariante Soit X un champ de vecteurs. Une courbe t mt) est dite courbe intégrale de X quand m t) =X mt) ). Le théorème de Cauchy sur les équations différentielles linéaires donne l existence d une telle courbe. 31

Théorème.- Soit V une variété différentiable munie d une connexion linéaire, X, Y deux champs de vecteurs tels que Xp) 0. Soit t mt) une courbe intégrale de X telle que m0) = p, m 0) = X m0) ) soit ϕt) :Λ 1m0) V Λ 1mt) V le transport parallèle défini par la connexion et la courbe. Alors : V-4) 1 X Y )p) = lim t 0 t ϕt) 1 Y mt) ) Y m0) )). Démonstration : prendre une carte et calculer... Prolongement de l opérateur X Pour un tenseur quelconque T nous prendrons V-4) comme définition de l opération X T ). X est une dérivation qui respecte le type des tenseurs. Torsion d une connexion La torsion d une connexion est une application T :Λ 1 V Λ 1 V Λ 1 V X, Y ) T X, Y )= X Y ) Y X) [X, Y ]. T est Λ 0 V bilinéaire antisymétrique. A un signe près, X et Y jouent le même rôle. Il va donc définir un tenseur 1,2) ω, X, Y ) ω T X, Y ) ) qui est appelé champ de tenseurs de torsion. Remarque : nous pouvons voir T comme une application Λ 1 V Λ 1 V Λ 0 V dérivations Λ 0 V ). Courbure d une connexion La courbure d une connexion est une application R :Λ 1 V Λ 1 V Λ 1 V Λ 1 V ) X, Y ) RX, Y )= X Y Y X [X,Y ]. Nous avons RX, Y )Z) = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z, qui est Λ 0 V -trilinéaire. Nous pouvons définir un tenseur 1,3) ω, Z, X, Y ) ω RX, Y )Z) ) qui est appelé champ de tenseur de courbure. 32

5. Expressions dans un repère mobile Calcul des tenseurs de torsion et de courbure dans un repère. V-5) { T Xi,X j ) = T ij X k RX i,x j )X l )=R k lij X k La variété donne les c i jk, la connexion Γi jk. Un calcul de routine donne : V-6) { T i jk =Γ i jk Γi kj ci jk R k lij =Γp jl Γk ip Γp il Γk jp + X iγ k jl X jγ k il cp ij Γk pl. Introduisons des formes différentielles représentatives de la connexion : V-7) ω i j =Γ i kjω k. Equations de structure d Elie Cartan : dω i = ω p ωp i + 1 V-8) 2 T jkω i i ω k dωj i = ωp j ωi p + 1 2 Ri jklω k ω l Ces équations se démontrent en notant tout en dualité et en calculant. Une connexion est dite symétrique quand sa torsion est nulle : T i jk =0. Dans ce cas Γ i jk Γi kj = ci jk. En résumé, nous avons deux langages possibles : le langage des vecteurs : on se donne l opérateur crochet les c i jk ) et l opérateur les Γi jk ). le langage des formes : on se donne l opérateur d les c i jk ) et les formes ωi j les Γ i jk ). Nous savons traduire une langue dans une autre. 6. Opérateur sur les formes Nous avons défini sur les vecteurs, prolongeons cet opérateur sur les formes : soit ω Λ 1 V une 1-forme, définissons : Y ω) Λ 1 V ω) Λ 2 V par Y ω)x) := Y < ω,x>) par ω)x, Y ):=Y < ω,x>) Ceci nous donne : ω)x, Y )=< Y ω),x >. opère sur tout tenseur et est une dérivation. Par exemple : Y a b c) = Y a) b c + a Y b) c + a b Y c). Remarque : l opération algébrique de contraction Ck h :Λ p qv Λ p 1 q 1 V Ck hx 1... X p ω 1... ω q )=<X h,ω k > X 1... X k... X p ω 1... ω k... ω q ) commute avec : Ck h = Ck h. 33

7. Repère mobile sur une variété Les deux structures ainsi introduites permettent de définir le mouvement d un repère mobile en posant : V-9) { dm = ω h e h de k = ω h k e h Inversement, ces équations du repère mobile donnent les deux structures via IV-6) et V-7). Nous pouvons maintenant comparer : II-1) avec V-9) : mêmes équations. II-2) avec V-8) : apparition de la torsion et de la courbure. Dans l espace tangent Λ 1p V nous avons toujours le groupe linéaire AGLn) ; mais dans un G-repère, si les ωk h ont des relations particulières, par exemple II-3), II-4), II-5) ou II-6), nous pouvons voir apparaître des sous-groupes de celui-ci. Dérivée covariante des composantes d un vecteur X Λ 1 V est indépendant des repères, la différentiation d aussi : dx est indépendant des repères. Dans un repère : X = X h e h, dx =dx h )e h + X h de h D où : =dx h )e h + X h ω k he k. dx =dx h + X l ω h l )e h V-10) DX h = dx h + X l ω h l sont les composantes contravariantes d un vecteur à coefficients formes. Décomposons-le sur la base duale selon la règle de l écriture d une différentielle de fonction dans une base duale V-11) DX h = X h ;l ω l. D où ladérivée covariante du vecteur contravariant! X h ) est un tenseur 1,1) de composantes X h ;l. Nous pouvons faire de même avec des tenseurs de type p, q). 8. Géodésiques et application exponentielle Définition.- Soit t mt) une courbe dans V. Elle est dite géodésique quand les vecteurs tangents m t) sont parallèles par rapport à la courbe elle-même. Une géodésique est dite maximale si elle n est pas restriction propre d une autre géodésique. Dans un repère l équation des géodésiques se déduit de V-3), en remplaçant y k par dx k dt : V-12) d 2 x k dt 2 +Γk ij dx i dt dx j dt =0. Nous avons unicité d une géodésique maximale satisfaisant aux conditions initiales m0) = p m 0) = Xp). La notion de connexion permet d obtenir une carte locale de la variété. 34

Pour tout p V il existe un voisinage ouvert Ω 0 de 0 dans Λ 1p V, un voisinage ouvert Ω p de p dans V, une géodésique de conditions initiales m0) = p, m 0) = Xp) telle que : V-13) Ω 0 Ω p X m1) soit un difféomorphisme. Ceci permet de définir les cercles géodésiques, des triangles,... Un changement de repère pourra ainsi s interpréter comme un changement de carte. Si l ouvert Ω 0 est étoilé, Ω p est dit voisinage normal. L application V-13) est appelé application exponentielle et, en prenant une base de Λ 1p V le difféomorphisme se note Exp : a 1,...,a m ) Expa 1 X 1 +...+ a m X m ). Pour tout a Ω p,b Ω p il existe une et une seule géodésique joignant ces deux points. 9. Groupe et connexion Soit G un sous-groupe de GLn). Etudions la compatibilité de et de G. Etant donné un repère, donne les Γ k ij d après V-I) qui donne les ωj i d après V-7). Mais si on se donne un G-repère et les ωj i satisfont à des relations supplémentaires comme II-3) ou II-4) ou II-5) ou II-6) alors la connexion est associée àce G particulier. Réciproquement, un sous-groupe G du groupe GLn) étant donné, on se donne un G-repère d origine p, le mouvement du repère II-1) donne les ωk h on les décompose sur une base ω j i =Γj ik ωk ce qui donne les Γ j ik et donc la connexion. Mais attention, le fait que tout dépend du point p et du repère fait que, par dérivation nous obtenons V-8) et non II-2). Liaison groupe-symbole de Christoffel : Dans une G-base, on a : Groupe ω Γ Gln) pas de contrainte pas de contrainte SLn) ωh h = 0somme) Γh hk = 0 somme) SOn) ωh k = ωh k pour tous k, h Γk hj = Γh kj { SOn 1, 1) { SSimn) ωh k = ωh k,ket h de 1 à n 1 Γk hj = Γh kj ωh n = 1 c ωn,kde k 1 à n 1 Γ n 2 hj = 1 c Γ h 2 nj = 0 pas de somme) h de 1 à n Γh = 0 pas de somme) ω h h ω k h = ωh k k h hj Γk hj = Γh kj ωk k = ωl l pas de somme) Γ k kj =Γl lj pas de somme) 35

10. Comparaison de deux connexions : 1ère version Soit et deux connexions sur M. Définissons l opérateur de différence diffx, Y )= X Y X Y diff est Λ 0 V -bilinéaire donc définit un tenseur, le tenseur de différence entre les deux connexions. Dans un repère, on a : diff = Γk ij Γ k ) ij dx i dx j x k diff peut être décomposé en une partie symétrique et une partie antisymétrique : SX, Y )= 1 ) diffx, Y ) + diffy,x) 2 AX, Y )= 1 ) diffx, Y ) diffy,x) 2 diff = S + A. Proposition 1.- Nous avons : T T =2A. Donc et ont même torsion équivaut à la partie antisymétrique est nulle. Démonstration : calculez T X, Y ) T X, Y )= T X, Y )+[X, Y ] T X, Y ) [X, Y ] = X Y ) Y X) X Y )+ Y X) =2AX, Y ). Proposition 2.- Les propositions suivantes sont équivalentes : 1) Les connexions et ont les mêmes géodésiques avec les mêmes paramétrisations. 2) Pour tout X, diffx, X) =0. 3) S =0. Démonstration : 1) 2). Soit p V, X un champ de vecteurs au voisinage de p, γ une géodésique commune telle que γ0) = p, γ 0) = Xp) et γ t) =X γt) ) dans le voisinage { Xp X) =0 Xp X) =0 transport parallèle le long de γ diff X p,x p )= Xp X) Xp X) =0. 2) 1). Soit γ une géodésique pour et X un champ de vecteurs égal à γ t) le long de γ Xp X) = diff X p,x p ) + Xp X) =0+0=0 donc γ est une géodésique. 2) 3). S est bilinéaire symétrique, donc : SX + Y, X + Y )=SX, X)+SY,Y )+2SX, Y ) X, Y, SX, Y )=0 X, SX, X) =0 X, diffx, X) =0. 36

Théorème.- Si deux connexions et ont même géodésiques avec même paramétrisation et même torsion, elles sont égales. Pour toute connexion il existe une unique connexion avec les mêmes géodésiques avec même paramétrisation et de torsion nulle. Démonstration : Les propositions 1 et 2 montrent que A =0 et S = 0 donc diff = 0. L unicité est donnée par la première partie du théorème. Pour l existence, définissons : X Y )= X Y ) 1 2 T X, Y ). On vérifie d abord que c est une connexion. diff = 1 2 T antisymétrique donc S = 0 et diff = A. D après la proposition 2, et ont les mêmes géodésiques avec même paramétrisation. Enfin, T = T 2A d après la proposition 1 = 2diff 2A =0. 11. Comparaison de deux connexions : 2ème version Nous allons avoir besoin d un résultat d algèbre linéaire : Lemme.- Soit E un espace vectoriel et S : E E E une application bilinéaire symétrique telle que : v E λ v R : Sv, v) =λ v v. Alors il existe ϕ E telle que : Sv, w) =ϕv)w + ϕw)v. Démonstration : Montrons que λ v est une forme linéaire : Multiplication pour v 0: λ kv kv = Skv, kv) =k 2 Sv, v) =kλ v kv donc λ kv = kλ v. Additivité : λ v+w v + w) =Sv + w, v + w) =λ v v + λ w w +2Sv, w) λ v w v w) =Sv w, v w) =λ v v + λ w w 2Sv, w). Par addition : ) ) λv+w + λ v w 2λ v v + λv+w λ v w 2λ w w =0. Si v et w sont linéairement indépendants : { } λv+w + λ v w 2λ v =0 λ λ v+w λ v w 2λ w =0 v+w = λ v + λ w. S ils sont linéairement dépendants, par exemple v 0 et w = kv λ v+kv v + kv) = 1 + k) 2 Sv, v) = 1 + k)λ v v + k v ) donc λ v+kv =1+k) =λ v + λ kv. Posons ϕv) = 1 2 λ v Sv, v)+sw, w)+2sv, w) =Sv + w, v + w) =λ v+w v + w) =λ v + λ w )v + w) 2ϕ v v)+2ϕ w w)+2sv, w) =2ϕv)v +2ϕw)w +2ϕv)w +2ϕw)v. D où : Sv, w) =ϕv)w + ϕw)v. 37

Remarque : si E est de dimension finie m, alors ϕv) = 1 m +1 tr w Sv, w) ) où tr est la trace de l application linéaire. Ceci se montre en calculant : prenons une base v 1,...,v m ) avec v 1 = v Sv 1,v j )=ϕv 1 )v j + ϕv j )v 1. Calculons la j ième composante de ce vecteur : si j = 1, on trouve 2ϕv 1 ) si j 1, on trouve ϕv 1 ). Donc tr w Sv, w) ) =2ϕv 1 )+m 1)ϕv 1 )=m +1)ϕv). Théorème d Hermann Weyl.- Les propositions suivantes sont équivalentes : 1) Les connexions et ont les mêmes géodésiques, avec des paramétrisations qui peuvent être différentes. 2) Pour tout X Λ 1 V, il existe λ X R tel que diffx, X) =λ X X. 3) Il existe une unique ω Λ 1 V telle que SX, Y )=ωx)y + ωy )X. Démonstration : 1) 2) Soit p V, γ une géodésique pour telle que γ0) = p, γ 0) Xp), γ une autre paramétrisation qui la transforme en géodésique pour. Posons X γt) ) ) = γ t) et X γt) = γ t). Il existe une fonction f fonction de changement de paramètre) telle que γ t) =ft) γ t), donc : X = f X le long de la géodésique diff Xp),Xp) ) = Xp X Xp X = fp) Xp) f X 0 D où λ X, qui est p, vaut fp) X p)f). = fp) Xp)f) Xp + fp) Xp) X) = fp) X p)f) Xp). 2) 1) Soit γ une géodésique pour et X un champ de vecteurs tel que X γt) ) = γ t). Soit p sur cette géodésique : i) Xp X = diff ) X p,x p + Xp X = λ Xp X p = gt)x p en faisant varier t, p = γt). Soit G une primitive de g : G t)=gt) etft) =e Gt) 0. ii) f t) =gt)ft). Construisons le champ de vecteurs X par : iii) X γt) ) = 1 ft) X γt) ) = 1 ft) γ t). Prenons comme nouvelle paramétrisation : γ = γ ψ 1 en prenant ψ = f précédemment construite. ψ 1 ) 1 u) = ψ ψ 1 u) ) 1 = f ψ 1 u) ). 38

Donc : ψ 1 ) u) = 1 f ψ 1 u) ) γ ψ 1 u) ) γ ψ 1 ) u) = X γ ψ 1 u) )). Finalement, on retrouve le champ de vecteurs X : d du γ ψ 1 u) = X γ ψ 1 ) u)). Noter qu il faut respecter le sens de parcours de la géodésique : ψ = f>0 ce qui est vrai car f est une exponentielle. 3) 2) Evident. 2) 3) Voir le lemme. Remarque : Nous sommes en dimension finie, donc : ωx) = 1 m +1 tr Y SX, Y ) ). Corollaire.- et ont même torsion et mêmes géodésiques convenablement reparamétrisées si et seulement si il existe une unique forme ω Λ 1 V telle que : diffx, Y )=ωx)y + ωy )X. Démonstration : utiliser ce théorème et la proposition 1 du paragraphe 10. 12. La forme quadratique considérée comme fondement Définition.- Soit V une variété. Une structure quadratique sur V est un champ de tenseurs g Λ 2 V, symétrique et tel que pour p V gp) induit une forme bilinéaire symétrique non dégénérée sur Λ 1 V Λ 1 V. Une variété connexe munie d une structure quadratique est appelée variété riemannienne ou pseudo-riemannienne. Cette structure donne un groupe : le groupe orthogonal défini par gp), et une connexion dite connexion pseudo-riemannienne). Théorème.- Sur une variété pseudo-riemannienne, il existe une et une seule connexion satisfaisant à: 1) le tenseur de torsion est nul V-14) 2) le transport parallèle est compatible avec le groupe orthogonal, i.e. il conserve le produit scalaire. Remarque : les deux conditions sont équivalentes à: V-15) { 1) X Λ 1 V Y Λ 1 V X Y Y X =[X, Y ] 2) Z Λ 1 V Z g =0 Démonstration : Z est une dérivation qui commute avec la contraction Z g X, Y )= Z gx, Y )+g Z X, Y )+gx, Z Y ). 39

Utilisons 2) puis 1) Z gx, Y )=0=g X Z, Y ) g Z X, Y )+g[z, X],Y). Donc : Z g X, Y )=g X,Z,Y ) + g X, Z Y )+g[z, X],Y). Par permutation circulaire X Y Z X, on obtient 3 relations du même type, on élimine X et y d où : V-16) 2g X, Z Y ) = ZgX, Y )+gz, [X, Y ]) + Y g X, Z)+gY,[X, Z]) X g Y,Z) gx, [Y,Z]). Ceci définit une unique connexion puisque g est non-dégénéré, on vérifie les conditions de définition d une connexion. Remarque 1 : g définit un groupe orthogonal mais aussi une algèbre de Clifford. Toute variété pseudo-riemannienne définit un fibré de Clifford. Remarque 2 : g définit une connexion donc des applications exponentielles, donc des cartes locales voir 8). 40