Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y) + (x ; y ) = (x + x ; y + y ) (1) Il est immédiat de vérifier que cette addition est commutative et associative, et que (0; 0) est neutre. On définit également la multiplication d un couple de réels (x; y) par un nombre réel λ par : λ.(x; y) = (λx; λy) On note cette multiplication à l aide d un point. Enfin on définit une multiplication entre deux couples de réels par : (a; b)(a ; b ) = (aa bb ; ab + a b) On pose 1 = (1; 0) et i = (0; 1). On appelle nombre complexe z de partie réelle x et de partie imaginaire y le couple : z = (x; y) = x.1 + y.i On note x = Re(z) et y = Im(z). On note C l ensemble des nombres complexes muni de ces lois. En toute rigueur, R n est pas un sousensemble de C. En effet un nombre complexe est un couple de réels, et ne peut donc jamais être égal à un réel. Par exemple le nombre complexe que l on a désigné par 1 n est pas le réel 1. Cependant, les complexes de la forme x.1, ou encore (x; 0) si on les écrit sous forme de couples, ont exactement les mêmes propriétés que les nombres réels : ils s additionnent et se multiplient de la même façon. On se permet donc un abus de langage et d écriture en identifiant le réel x et le complexe x.1. En particulier on ne distinguera plus 1 et 1 et on notera un complexe sous la forme z = a + bi = a + ib. De cette façon, on peut dire que R C. On peut vérifier que : 1. la multiplication des complexes est commutative zz = z z, 2. elle est associative : (zz )z = z(z z ), 3. elle prolonge la multiplication des réels, 4. 1z = z pour tout z C, 5. on a distributivité de la multiplication sur l addition : (z + z )z = zz + z z, 6. i 2 = 1. Exercice 1.1 KK Montrer que si on désire définir une multiplication sur les couples de réels de sorte que : 1. on ait commutativité, 2. on ait associativité, 3. on ait distributivité de la multiplication sur l addition des couples, 4. pour tous x, x, y réels on ait (x; 0)(x ; y ) = (xx ; xy ), 5. on ait (0; 1) 2 = ( 1; 0). alors on doit nécessairement poser (1). 1

2 Module et Arguments 2.1 Module Pour tout z C on note z et on appelle module de z le nombre réel z = Re(z) 2 + Im(z) 2. On rappelle les propriétés suivantes : Propriété 2.1 Pour tous complexes z, z on a : 1. z z = z 2 2. zz = z z 3. z = 0 z = 0 4. z + z z + z 5. z z z z De 2.1, 1 on déduit que tout complexe z 0 admet un inverse égal à : Exercice 2.1 Démontrer la propriété 2.1, 5. 1 z = z z 2 Exercice 2.2 K Dans quel cas a-t-on égalité dans la propriété 2.1, 4? 2.2 Exponentielle complexe Dans toute la suite on fixe (O, u, v ) un repère OND du plan. À tout point M du plan de coordonnées (x; y) on associe son affixe z = x + iy. Réciproquement on dit que M est le point image du complexe z. Dans la suite on utilise les notations (pour tout, quel que soit), (il existe) et! (il existe un unique). Définition 2.1 θ R on note e iθ = cos(θ) + i sin(θ). Remarque : En utilisant à la fois la définition de l exponentielle d un nombre réel x et la définition précédente de l exponentielle d un nombre imaginaire pur iy, on peut définir l exponentielle de tout complexe z = x + iy en posant : e z = e x e iy Nous laissons le lecteur vérifier que e z+z = e z e z pour tous nombres complexes z et z. Nous n utiliserons pas cette année l exponentielle d un nombre complexe quelconque, mais son rôle est fondamental en mathématiques. Les formules suivantes sont des rappels de Terminale. Théorème 2.1 On a, pour tous θ, θ R et n Z : e iθ = 1 e iθ = e iθ e i(θ+θ ) = e iθ e iθ e i(θ θ ) = eiθ e iθ (e iθ ) n = e inθ e iθ = e iθ ssi θ θ (2) Remarque : Puisque e iθ = 1, 1/e iθ = e iθ = e iθ. Rappel : la formule θ θ se lit «θ est congru à θ modulo 2π» et signifie qu il existe k Z tel que θ = θ + 2kπ. 2

Corollaire 2.2 (Formules de Moivre) θ R, p Z, on a : (cos(θ) + i sin(θ)) p = cos(pθ) + i sin(pθ) (cos(θ) i sin(θ)) p = cos(pθ) i sin(pθ) (3) Exercice 2.3 K Exprimer cos(3θ) et sin(3θ) en fonction de cos(θ) et sin(θ). On aime souvent aller dans l autre sens, c est-à-dire linéariser des expressions polynomiales en cos et sin. Pour cela on peut utiliser les formules d Euler : cos(θ) = eiθ + e iθ, sin(θ) = eiθ e iθ 2 2i Exercice 2.4 K Linéariser cos 3 (θ). (4) 2.3 Représentation polaire Théorème 2.3 z C!ρ R + θ R, z = ρe iθ On dit que θ est un argument de z. Le réel θ est un autre argument de z ssi θ θ.! Quand on note arg(z) on veut dire «un argument quelconque de z». Quand on écrit une formule concernant des arguments, il faut donc toujours des «modulo».! Attention, 0 n a pas d argument. Proposition 2.1 (interprétation géométrique) Soit z C et M le point image de z. Alors arg(z) est une mesure de l angle orienté de vecteurs ( u, OM). Théorème 2.4 On a, pour tous z, z complexes non-nuls, et tout n Z : arg(zz ) arg(z) + arg(z ) arg(z n ) n arg(z) arg(1/z) arg(z) arg( z) arg(z) (5) Ces formules montrent que l on peut interpréter la multiplication par e iθ de façon géométrique. Soit le complexe z de point image M. Alors le point image M de z = e iθ z est l image de M par la rotation de centre O et d angle θ. Il résulte également de ce qui précède la formule suivante : Théorème 2.5 Soient A, B, C trois points distincts d affixes respectives a, b, c. Alors : ( AB, AC) arg( c a b a ) Exercice 2.5 K Soit M d affixe z. Quelle figure forment les points d affixes respectives z, e 2iπ 3 z et e 4iπ 3 z? Exercice 2.6 K Montrer que ABC (direct) est équilatéral ssi c a b a = e iπ 3. Comme on l a vu dans les exercices, on peut utiliser les nombres complexes pour vérifier certaines propriétés géométriques des figures planes. En particulier le théorème suivant est une simple application du théorème 2.5. Théorème 2.6 Soient A, B, C trois points distincts d affixes respectives a, b, c. Alors A, B, C sont alignés ssi c a b a R. 3

Plus remarquable est le théorème suivant : Théorème 2.7 Soient A, B, C, D quatre points distincts d affixes respectives a, b, c, d. Alors ces quatres points sont cocycliques ou alignés ssi c a b a : c d b d R Exercice 2.7 KK Démontrer ce théorème. Indication : utiliser le théorème de l arc capable. (Voir la solution en appendice.) 3 Nombres complexes et transformations du plan Principe : soient A d affixe a et B d affixe b. Alors au vecteur AB correspond le complexe b a. On en déduit les expressions complexes des transformations usuelles du plan : transformation notation de l application définition vectorielle définition complexe translation de vecteur u t u (M) = M MM = u z = z + u rotation de centre Ω et d angle θ r Ω,θ (M) = M ΩM = ΩM ( ΩM, ΩM z ω = e iθ (z ω) )=θ homothétie de centre Ω et de rapport λ R h Ω,λ (M) = M ΩM = λ ΩM z ω = λ(z ω) En considérant les deux dernières lignes, on voit que la multiplication par un complexe non-nul écrit sous forme polaire z = λe iθ revient à composer une rotation avec une homothétie de même centre. Une telle transformation s appelle une similitude directe. Ainsi la multiplication par un nombre complexe nonnul s interprète géométriquement comme une similitude directe. Quitte à ajouter π à θ, on peut supposer λ > 0, on l appelle alors «rapport de la similitude» et il est unique, tandis que θ appelé «angle de la similitude» est unique modulo 2π. Remarque : Certains auteurs englobent les translations dans la famille des similitudes directes. Les résultats des trois exercices suivants sont à connaître et à savoir retrouver. Exercice 3.1 K Soient a, b C tels que a 0 et soit f : C C telle que f(z) = az + b. Identifier géométriquement f lorsque a = 1, puis lorsque a 1 (dans ce dernier cas on cherchera les points fixes). On distinguera les cas a R et a = 1. Solution: Si a = 1, il est clair que f est l expression complexe d une translation. Si a 1 alors f(ω) = ω admet pour unique solution ω =. On a donc : b 1 a f(z) f(ω) = f(z) ω = a(z ω) On reconnaît une similitude directe de centre Ω d affixe ω, de rapport a et d angle arg(a). En particulier, si a = 1 il s agit d une rotation, et si a R il s agit d une homothétie. D après l exercice précédent, les applications affines (non-constantes) de C dans lui-même s interprètent géométriquement comme des similitudes directes/translation. Comme réciproquement il est clair par définition que toute similitude directe/translation a une expression complexe de la forme z az + b avec a, b C et a 0, on peut conclure que cette écriture complexe caractérise ce type de transformation du plan. Exercice 3.2 K Montrer qu une similitude/translation F admet toujours une application réciproque G telle que F G = G F = id et que G est aussi une similitude/translation. Solution: Il est clair que la réciproque d une translation de vecteur v est une translation de vecteur v. Dans les autres cas, une similitude directe s = r h est la composé d une rotation r et d une homothétie h de même centre. Or s admet pour réciproque h 1 r 1, qui est également la composée d une homothétie et d une rotation de même centre, mais de rapport inverse, et d angle opposé. D où le résultat. 4

Exercice 3.3 K Soient A, B, A, B quatre points tels que A B et A B. Montrez qu il existe une soit unique similitude directe, soit une unique translation, transformant A en A et B en B. Solution: En notant a, b, a, b les affixes respectives de A, B, A, B, il suffit de trouver f : C C de la forme f(z) = αz + β tel que f(a) = a et f(b) = b. Ceci conduit au système suivant : { αa + β = a αb + β = b Ce système a une solution unique car a b. On trouve α = a b a b 0 car a b. On conclut par l exercice précédent. Théorème 3.1 Une transformation du plan est une similitude directe ou une translation ssi elle conserve les angles orientés. Démonstration: Il est clair qu une similitude directe conserve les angles orientés puisque c est le cas pour une homothétie ainsi que pour une rotation. De même, une translation conserve les angles orientés. Il faut montrer la réciproque. Soit F une transformation vérifiant la propriété. Soient O, I et M trois points non-alignés. L image du triangle OIM par F est un triangle O I M qui lui est directement semblable. En particulier on a O I. D après l exercice précédent, il existe une translation/similitude G qui envoie O sur O et I sur I. Notons M l image de M par G. Considérons la transformation H = G F. On a H(O) = O, H(I) = I et H(M) = M. De plus, H conserve les angles orientés car F et G le font. Donc OIM est directement semblable à OIM, et de plus il a un côté commun. Ces deux triangles sont donc égaux, et M = M. Le point M étant quelconque, on voit que H est la transformation identique. Il en résulte que F est la réciproque de G, c est donc une similitude/translation. Exercice 3.4 K Soit h une homothétie de rapport 1 et r une rotation d angle θ 0. Montrer que h r et r h sont deux similitudes de même angle et de même rapport, mais de centres différents. Si on compose une symétrie axiale 1 avec une similitude directe ou une translation, on obtient une transformation du plan qui renverse les angles orientés. Une telle transformation s appelle une similitude indirecte, on peut citer en exemple les symétries axiales et les glissements 2 ). Réciproquement, en composant une transformation du plan s qui renverse les angles orientés avec une symétrie axiale σ (n importe laquelle), on obtient une transformation f qui conserve les angles orientés. Donc f est une similitude directe ou une translation d après le théorème précédent. Or de σ s = f on tire s = σ f puisque σ σ = Id. On peut donc conclure que les transformations du plan qui renversent les angles orientés sont les similitudes indirectes et sont de la forme σ f, où σ est une réflexion et f une similitude directe/translation. Exercice 3.5 K Montrer que l expression complexe d une symétrie axiale ou d un glissement est de la forme : f(z) = e iθ z + b. (Indication : composer avec des rotations et des translations bien choisies pour se ramener au cas où l axe de la symétrie est l axe réel.) Montrer qu il s agit d une symétrie axiale ssi f(b) = 0. Exercice 3.6 K Montrer que l expression complexe d une similitude indirecte est f(z) = a z+b. Identifier les cas particuliers. Proposition 3.1 Les transformations du plan qui conservent les distances (isométries) sont : les rotations, les translations, les symétries axiales (réflexions) et les glissements. Démonstration: La preuve nécessite un lemme dont la démonstration, très simple, est laissée en exercice. Lemme 3.2 Une isométrie qui fixe trois points non-alignés est nécessairement égale à l identité. Soit f une isométrie et soient A, B, C trois points non-alignés et A, B, C leurs images par f. On voit immédiatement qu en composant la translation t de vecteur A A avec une rotation r de centre A 1 Toutes les symétries axiales que nous utilisons sont des symétries orthogonales, c est-à-dire des réflexions. 2 Symétrie axiale composée avec une translation dans la même direction que l axe, également appelée symétrie glissée. 5

et d angle ( AB, AB), on amene A sur A et B sur B. Il est alors clair que soit r t(c ) = C, soit r t(c ) est le symétrique de C par rapport à (AB). Dans le premier cas on pose g = r t et dans le second on pose g = s r t, où s est la symétrie orthogonale d axe (AB). Dans les deux cas on a : g(a ) = A, g(b ) = B et g(c ) = C. Donc l application g f, qui est une isométrie en tant que composée d isométries, fixe les points A, B et C. Par lemme, g f = Id, d où f = g 1 = t 1 r 1 ou t 1 r 1 s, suivant les cas. L application f est dans la composée d une translation, d une rotation, et éventuellement d une symétrie axiale. En étudiant les différents cas, on voit facilement qu une telle composée est nécessairement soit une rotation, soit une translation, soit une réflexion, soit un glissement. Nous laissons le lecteur effectuer cette vérification (voir exercice suivant). Exercice 3.7 KK Étudier (géométriquement) la composée de deux réflexions. En utilisant ce résultat, déterminer la nature de la composée d une réflexion et d une rotation, puis d une réflexion et d une translation. En déduire que toute isométrie du plan est la composée d au plus trois réflexions. Solution: (esquisse) Soient s et s les réflexions, et δ et δ leurs axes respectifs. Si δ δ, on trouve une translation dans une direction orthogonale aux axes, et d une longueur égale à deux fois la distance entre eux. Le sens dépend de l ordre dans lequel on compose les réflexions : la translation s s se fait dans le sens allant de δ vers δ. Si δ et δ se coupent en O, et forment un angle θ [0; π], mesuré de δ vers δ dans le sens direct, alors s s est la rotation de centre O et d angle 2θ dans le sens direct. Pour déterminer la composé s r d une réflexion s et d une rotation r, on décompose r en produit de deux réflexion s 1 s 2, de sorte que l axe de s 1 et de s soient confondus : d où s = s 1. On a donc s r = s s s 2 = s 2. Pour t s, où t est une translation, on commence par décomposer t en t 2 t 1, où t 1 est une translation dans une direction orthogonale à l axe de s, et t 2 dans une direction parallèle à l axe de s. On peut alors décomposer t 1 sous la forme t 1 = s s où s est une réflexion par rapport à un axe parallèle à celui de s. Ainsi t s = t 2 s s s = t 2 s : c est un glissement. En utilisant ce qui précède et la proposition 3.1 on déduit immédiatement que toute isométrie du plan se décompose en produit d au plus trois réflexions. Remarque : Le théorème précédent permet de justifier pleinement la terminologie utilisée depuis la Seconde. En effet, deux triangles tels que ABC et A B C sont isométriques, par définition de ce terme, c est-à-dire que leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Mais d après la démonstration précédente, ceci est vrai si, et seulement si, il existe une isométrie permettant de passer de l un à l autre, avec deux cas suivant que cette isométrie est directe (on dit alors que c est un déplacement) ou indirecte. Isométries du plan f(z) = e iθ z + b (directe) f(z) = e iθ z + b (indirecte) θ = 0 θ 0 θ qqc θ qqc b = 0 b 0 b qqc f(b) = 0 f(b) 0 Identité translation rotation d angle θ réflexion glissement plan fixe pas de point fixe 1 point fixe droite fixe pas de point fixe Les isométries du plan et leur expression complexe. 4 Équations polynomiales dans C. On connaît une méthode pour résoudre les équations du second degré à coefficients dans R. On peut reprendre la démonstration qui reste valide dans C, à condition de remplacer la racine du discriminant par une solution quelconque de l équation ω 2 =. Ainsi, les solutions de l équation : az 2 + bz + c = 0, a, b, c C, a 0 (6) 6

sont : z 1 = b + ω 2a, z 2 = b ω, où ω 2 = = b 2 4ac (7) 2a Ce qu on peut vérifier directement en injectant ces solutions dans (6). Pour trouver ω, on pose ω = X +iy et on obtient deux équations en élevant au carré et en séparant partie réelle et partie imaginaire. On peut ajouter à ces équations X 2 + Y 2 = ω 2 =. D où : X 2 Y 2 = Re( ) 2XY = Im( ) X 2 + Y 2 = On obtient facilement X 2 et Y 2, d où X et Y au signe près. On utilise la deuxième équation pour trouver le signe du produit, d où deux solutions opposées pour ω. Il n existe pas de méthode algébrique pour résoudre les équations générales de degré 5 (résultat de Galois). Néanmoins certaines équations particulières peuvent se résoudre à l aide des fonctions trigonométriques via la représentation polaire. Ainsi, l équation : ω n = 1 (8) pour n N admet n racines distinctes nommées «racines n-ièmes de l unité». Il suffit de remarquer que ω = 1 donc ω = e iθ. L équation (8) est donc équivalente à : d où les solutions : {1; e 2iπ n e inθ = 1 e inθ = e 0 nθ 0 ;... ; e 2ikπ n ;... ; e 2i(n 1)π n }. θ 0 [ 2π n ] (9) Exercice 4.1 K Résoudre les équations z 3 = 1, z 5 = 1, z 6 = 1, z 3 = 2, z 3 = 2i dans C Exercice 4.2 K Soit w = 1 + i. Trouver les racines carrées puis cubiques de w, et placer les points correspondants dans le plan complexe. On admet le théorème suivant, dont la démonstration dépasse le niveau de ce cours. Théorème 4.1 (Théorème de d Alembert-Gauss) Toute équation polynomiale de degré n 1 à coefficients dans C, i.e. a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 0 = 0 avec a 0,..., a n C et a n 0, admet au moins une solution dans C. On en déduit très simplement que tout polynôme de degré n à coefficient dans C se décompose de la façon suivante : a n z n +... + a 0 = a n n i=1 k (z z i ) = a n (z z i) mi (10) Les z i sont les racines de P. Dans la seconde égalité on a regroupé les racines égales, et l entier m i est appelé multiplicité de la racine z i. On a m i N tels que m 1 +... + m k = n. En développant l équation (10) on obtient des relations entre les coefficients a 0, a 1,..., a n du polynôme et ses racines. Ces relations sont très importantes et à savoir retrouver rapidemment. On les appelle les formules de Viète. Pour un polynôme de degré 2 on a en particulier : i=1 z 1 + z 2 = a 1 a 2 ; z 1 z 2 = a 0 a 2 7

En degré 3 : z 1 + z 2 + z 3 = a 2 a 3 ; z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 = a 1 a 3 ; z 1 z 2 z 3 = a 0 a 3 Exercice 4.3 Retrouver ces formules et trouver la formule en degré 4. Le principe se comprend aisément même si la formule générale est lourde à écrire. On remarque que les fonctions des racines z 1, z 2,... qui apparaissent sont symétriques : elles sont invariantes lorsque l on permute les racines. On appelle ces fonctions les polynômes symétriques élémentaires. Exercice 4.4 K Démontrer à l aide de (10) que les fonctions des racines apparaissant dans les formules précédentes sont bien symétriques. Exercice 4.5 Soient deux nombres dont la somme fait 4 et le produit fait 2. Déterminer ces deux nombres. Il est bon de savoir que tout polynôme symétrique en les variables z 1,..., z n peut s écrire commme un polynôme des polynômes symétriques élémentaires 3. Par exemple, on peut vérifier que z 1 z 2 z 3 3 + z 1 z 3 2z 3 + z 3 1z 2 z 3 = e 3 (e 2 1 2e 2 ) où e 3 = z 1 z 2 z 3, e 2 = z 1 z 2 + z 2 z 3 + z 1 z 3 et e 1 = z 1 + z 2 + z 3. Exercice 4.6 K Combien vaut la somme des cubes des racines du polynôme P (z) = z 3 + 2z 2 3z + 5? A Points cocycliques et birapport On commence par rappeler le théorème suivant : Théorème A.1 Soient A, B, C trois points distincts du plan et O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Alors on a : ( CA, 1 CB) 2 ( OA, OB) [π] C O A B Démonstration: On a : car OCA isocèle en O et : 2( CA, CO) + ( OC, OA) π 2( CO, CB) + ( OB, OC) π car OCB isocèle en O. En faisant la somme et en appliquant la «relation de Chasles pour les angles» on obtient : 2(( CA, CO) + ( CO, CB)) + ( OB, OC) + ( OC, OA) 0 3 La démonstration est une récurrence assez délicate. ( CA, 1 CB) 2 ( OA, OB) [π] 8

On en déduit le théorème dit de l arc capable : Théorème A.2 Soit θ R et A, B deux points distincts. Alors le lieu des points M du plan tels que ( MA, MB) θ [π] est : 1. la droite (AB) si θ 0 [π], 2. un cercle passant par A et B sinon. Démonstration: Le cas θ 0 [π] est trivial. Supposons donc θ 0 [π]. Soit un point O sur la médiatrice de [AB] et tel que l on ait ( OA, OB) 2θ : il est facile de voir que O existe et est unique. Alors d après le théorème précédent tout point M du cercle de centre O et de rayon OA vérifie l égalité. Réciproquement, si on a ( MA, MB) θ [π] alors d après le théorème précédent on a ( O A, O B) 2θ où O est le centre du cercle circonscrit au triangle AMB. Donc O = O par unicité du point O vérifiant cette condition angulaire sur la médiatrice de [AB]. Donc finalement M appartient au cercle précédemment défini. Corollaire A.3 Soient A, B, C, D quatre points distincts du plan, alors ces points sont cocycliques ou alignés ssi : ( CA, CB) ( DA, DB) [π] Démonstration: Premier cas : ( CA, CB) 0 [π]. Alors A, B, C sont alignés, et on applique au point D le premier cas du théorème précédent. Second cas : ( CA, CB) 0 [π]. Alors d après le second cas du théorème précédent, D appartient au cercle circonscrit à ABC ssi ( DA, DB) θ [π] ( CA, CB) [π] Il ne reste plus qu à traduire en terme d affixes : ( CA, CB) ( DA, DB) arg( b c a c ) arg( b d a d ) 0 arg( b c a c : b d a d ) 0 b c a c : b d a d R Remarque : On ne trouve pas les lettres dans le même ordre, mais il est évident que ABCD sont cocycliques ou alignés ssi BCAD le sont. En procédant à cette permutation de lettres on arrive au résultat exact du cours. Remarque : Il faut prendre garde à énoncer les points en suivant une orientation fixée, par exemple le sens trigonométrique pour éviter les ennuis avec les angles orientés... [π] [π] [π] 9