Contrôle de mathématiques n o 6 Correction du sujet Exercice (Questions de cours, points) Compléter la propriété : Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC sont colinéaires Compléter le tableau de signe de la fonction définie par f(x) = ax+b, avec a et b réels, et a < 0 x b/a + f(x) = ax+b + 0 Exercice (5 points) Dans un repère du plan, on considère les points A( ;), B(;), C(6;) Étudier si les points A, B et C sont alignés Justifier Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB et AC ( sont colinéaires ) ( ) x B x A AB, donc 5 AB y B y A xy yx = 5 8 = 0 Donc AB et AC ne sont pas colinéaires A, B et C ne sont pas alignés De même, AC ( ) 8 Soit a un nombre réel Posons D(0;a) Déterminer a pour que les droites (AD) et (BC) soient parallèles Donner la valeur ( exacte ) ( ) AD, et BC a (AD)//(BC) ssi AD et BC sont colinéaires (AD)//(BC) ssi (a ) = 0, ssi a+ = 0, ssi a = 5 (AD)//(BC) ssi a = 5 (, soit D 0; 5 ) Exercice ( points) Soit f la fonction définie sur [ ;6] par f(x) = x+ si x < x si x 6 Tracer la courbe représentative de f dans un repère du plan Justifier f est affine par morceaux, il suffit de points pour chaque intervalle Tableaux de valeurs : Sur [ ;[, f(x) = x+ Sur [;6], f(x) = x C f y x - 0 f(x) x 6 f(x) - - -5 - - - -0 x 5 6 7 8 - -
Exercice (6 points) (x+5)( x 8) < 0 x+5 = 0 ssi x =,5 x 8 = 0 ssi x = 8 x 8, 5 + x+5 0 + x 8 + 0 (x+5)( x 8) 0 + 0 S =] ; 8[ ],5;+ [ 6 5x + 0 6 5x = 0 ssi x = 6 5 + = 0 ssi x = S = x / 6/5 + 6 5x + + 0 + 0 + + 6 5x + ] ; 6 ] 5 + 0 Exercice 5 ( points) Un cinéma propose deux forfaits semestriels Avec le forfait, on paie 5 euros, et chaque place de cinéma coûte alors euros Avec le forfait, on paie 50 euros, et chaque place coûte,50 euro On note respectivement f (x) et f (x) le montant dépensé avec le forfait et avec le forfait en fonction du nombre x de places de cinéma achetées dans le semestre Exprimer f (x) et f (x) f (x) = x+5, et f (x) =,5x+50 Déterminer à partir de quel nombre de places le forfait devient plus intéressant On résout f (x) f (x),5x+50 x+5 ssi 5,5x, ssi x 5,5 = Le forfait devient plus intéressant à partir de places achetées dans le semestre On prévoit d aller au cinéma 5 fois dans le semestre Quel le prix moyen d une place de cinéma en prenant le meilleur forfait? Pour 5 places, le forfait est moins cher f (5) = 50+,5 5 = 7,5 5 5 5,8 Dans ce cas, avec le forfait, on paie en moyenne,8 euros la place de cinéma Exercice 6 (bonus, points) ( ) < 6x ( ) < 6x ( ) 6x < 0 ( ) (x) < 0 ( +x) ( x) < 0 (x+)( 7x) < 0
Valeurs clés : x+ = 0 donne x = 7x = 0 donne 7x =, et donc x = 7 x /7 + x+ 0 + + 7x + + 0 (x+)( 7x) 0 + 0 S =]0 ; 8] x 0 8 + 56 7x + + 0 0 + + 56 7x + 0 Donc S =] ; [ ] [ 7 ;+ 0 6x 0 6x 0 56 7x 0 Valeurs clés : 56 7x = 0 donne 7x = 56, donc x = 8 = 0 donne x = 0 (valeur interdite puisqu elle annule le dénominateur)
Contrôle de mathématiques n o 6 Réponses du sujet Exercice 7 (Questions de cours, points) Énoncer la propriété décrivant le sens de variation d une fonction affine Compléter le tableau de signe de la fonction définie par f(x) = ax+b, avec a et b réels, et a > 0 x + f(x) = ax+b Exercice 8 (5 points) Dans un repère du plan, on considère les points A(;), B( ;), C(6;) Étudier ( si) les points( A, B) et C sont alignés Justifier 6 AB, et AC AB = AC, ces vecteurs sont colinéaires, et A, B et C sont alignés Soit a un nombre réel Posons D(0;a) et E(;0) Déterminer a pour que les droites (AB) et (DE) soient parallèles ( Donner ) la valeur ( exacte ) DE et 6 AB sont colinéaires ssi a = a D(0;) Exercice 9 ( points) Soit f la fonction définie sur [ ;5] par f(x) = 5 si x < x si x 5 Tracer la courbe représentative de f dans un repère du plan Justifier C f y -5 - - - -0 x 5 6 7 8 - - Exercice 0 (6 points) ( x+5)(x+8) < 0 Valeurs clés : 8 et,5 x 8, 5 + x+5 + + 0 x+8 0 + + ( x+5)(x+8) S =] ; 8[ ],5;+ [ 6x+0 0 Valeurs clés : 5 et 0 + 0 Après le tableau de signe, on trouve S = [ 5; [
Exercice ( points) Un cinéma propose deux forfaits semestriels Avec le forfait, on paie 5 euros, et chaque place de cinéma coûte alors euros Avec le forfait, on paie 50 euros, et chaque place coûte,50 euro On note respectivement f (x) et f (x) le montant dépensé avec le forfait et avec le forfait en fonction du nombre x de places de cinéma achetées dans le semestre Exprimer f (x) et f (x) f (x) = x+5, et f (x) =,5x+50 Déterminer à partir de quel nombre de places le forfait devient plus intéressant x 5,5, Le forfait devient moins cher à partir de places achetées par s On prévoit d aller au cinéma 5 fois dans le semestre Quel le prix moyen d une place de cinéma en prenant le meilleur forfait? f (5) = 5+ 5 = 5 5 5 On paie en moyenne 5 euros la place avec le forfait Exercice (bonus) ( ) < 6x Identique au sujet 5