Brevet Blanc de Mathématiques 4 Points sont réservés à la propreté et à la qualité de rédaction de la copie. Exercice 1 : Le graphique ci contre représente une fonction h. Pour chaque question, donner toutes les réponses possibles. 1 1 a. Image de 2 par h? b. Antécédent(s) de 1 par h? c. Nombre(s) x tel que h(x) = 4? d. Antécédent(s) de 4 par h? e. Nombre(s) y tel que h(2) = y? Exercice 2 : Dans cet exercice, on utilisera et on complètera la figure située en annexe. Un après midi, Juliette observe son poisson Roméo en se plaçant au dessus de son aquarium de forme sphérique. Elle remarque le drôle de manège de son poisson nageant à la surface : il part d une paroi de l aquarium et nage 12 cm avant d atteindre à nouveau la paroi, il change alors de direction et nage encore 5 cm avant d atteindre à nouveau la paroi se trouvant alors en un point diamétralement opposé à son point de départ, il rejoint directement son point de départ. Le poisson effectue chaque déplacement en ligne droite. 1. Compléter l annexe (au dos de la dernière page) en représentant le déplacement de Roméo à la surface de l eau, vu de dessus. 2. Quelle est la nature de la figure parcourue par Roméo? Justifier. 3. Calculer la distance parcourue par Roméo. Exercice 3 : E On considère la figure ci contre sur laquelle les dimensions ne sont pas exactes. On ne demande pas de reproduire la figure. A L unité de longueur est le centimètre. Les points A, B et D sont alignés ainsi que les points C, B et E. 12 B 10,5 8,4 D 1. Montrer que les droites (AC) et (DE) sont parallèles. 2. Calculer la longueur du segment [ED]. 9 C
Exercice 4 : (6 points) On considère les fonctions f : x f ( x ) = 5x² + x 7 et g : x g ( x ) = 2x 7 1 ) Calculer l image de ( 3) par la fonction f. 2 ) Calculer l antécédent de ( ) par la fonction g. 3 ) On donne le tableau ci dessous obtenu à l aide d un tableur : a) Lire l image de 2 par la fonction f. b) Lire l antécédent de ( 9) par la fonction g. c) Quelle formule doit on saisir dans la cellule B3? 4 ) a) Déduire de la feuille de calcul une solution de l équation 5x² + x 7 = 2x 7. b) L équation 5x² + x 7 = 2x 7 a une 2 ème solution que celle trouvée avec le tableur. La trouver par le calcul. Exercice 5 : La figure n est pas aux bonnes dimensions. AB = 1 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, et AC = 140 cm 1. Le triangle ABC est il rectangle? 2. Déterminer la mesure de l angle ACD. (Arrondir au dixième de degré près) Exercice 6: 1. Reproduire le triangle en prenant 1 cm pour 50 m. On appellera le puits P, le cocotier C, et le manguier M. 2. Un trésor est enfoui à la même distance du puits et du cocotier, le plus au sud possible, à 200 m du manguier. Où est donc caché le trésor? (Donner la solution sur la figure précédemment construite.)
Exercice 7 : Dans une salle de cinéma, les enfants paient demi tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50. 1. Combien paiera un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants? 2. Quel est le prix payé par un adulte? Si le travail n est pas terminé, laisser tout de même une trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation. Exercice 8 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n est demandée. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. 1 Quelle est la forme factorisée de (x + 1) 2 9? Réponse A Réponse B Réponse C (x 2)(x + 4) x 2 + 2x 8 (x 8)(x + 10) 2 Que vaut 5 n 5 m? 5 nm 5 n+m 25 n+m 3 À quelle autre expression le nombre 7 3 4 3 5 2 est il égal? 3 3 5 2 7 3 3 4 2 5 27 4 5 Quelle est la forme développée de ( 3x 4 ) ²? Quel nombre est en écriture scientifique? 3x² 24x + 16 9x² 16 9x² + 16 24x 17,3 10 3 0,97 10 7 1,52 10 3
ANNEXE Nom Prénom : Classe : Départ
Exercice 1 : Le graphique ci contre représente une fonction h. Pour chaque question, tu donneras toutes les réponses possibles. a. Image de 2 par h? h ( 2 ) = 0 b. Antécédent(s) de 1 par h? h ( 5 ) = 1 ; h ( 3 ) = 1 h ( 1 ) = 1 c. Nombre(s) x tel que h(x) = 4? pas de solution d. Antécédent(s) de 4 par h? h ( 4 ) = h ( 1 ) = h ( 3 ) = h ( 5 ) = 4 e. Nombre(s) y tel que h(2) = y? h ( 2 ) = 3 Exercice 2 : D (départ) 1. Figure complétée : B 2. Le parcours de Roméo est le triangle DAB. Ce triangle est inscrit dans le cercle et son côté [BD] est un diamètre donc DAB est un triangle rectangle en A. 3. On applique la propriété de Pythagore dans le triangle ABD rectangle en A : BD 2 = AD 2 + AB 2 donc BD 2 = 12 2 + 5 2 BD 2 = 144 + 25 = 169 BD = 169 = 13 Périmètre de ABD : AD + AB + BD = 12 + 5 + 13 = 30 cm La distance totale parcourue par Roméo est 30 cm. A
Exercice 3 : BD AB = 8,4 12 = 84 120 1. BE BC = 10,5 = 105 105 = 0 = 84 12 120 12 = 7 10 0 = 7 10 B [AD], B [CE] et BD AB = BE BC BD AB = BE BC La réciproque du théorème de Thalès est vérifiée donc les droites (AC) et (ED) sont parallèles. 2. On applique la propriété de Thalès dans ABC et BED, B [AD], B [CE] et (AC) // (ED) BD AB = BE BC = ED AC BE BC = ED donc 10,5 AC = ED donc ED = 9 10,5 = 63 ED = 6,3 cm 9 10 Exercice 4 : (6 points) A 9 C 12 B 10,5 8,4 E D On considère les fonctions f : x f ( x ) = 5x² + x 7 et g : x g ( x ) = 2x 7 1. Calculer l image de ( 3) par la fonction f. f : x f ( x ) = 5x² + x 7 f : 3 f ( 3 ) = 5 ( 3)² + ( 3) 7 = 5 9 3 7 = 45 3 7 = 35 f( 3 ) = 35 2. Calculer l antécédent de ( ) par la fonction g. g : x g ( x ) = 2x 7 = 2x 7 = 2x = + 7 2x = 8 x = 8 2 x = 4 L antécédent de ( ) est ( 4) 3. On donne le tableau ci dessous obtenu à l aide d un tableur : a) Lire l image de 2 par la fonction f. f ( 2 ) = b) Lire l antécédent de ( 9) par la fonction g. g ( 1 ) = 9 c) Quelle formule doit on saisir dans la cellule B3? = 2 * B1 7 4. a) Déduire de la feuille de calcul une solution de l équation 5x² + x 7 = 2x 7. 5x² + x 7 = 2x 7 si x = 0 b) Cette équation a t elle une autre solution que celle trouvée avec le tableur? Si oui, laquelle? 5x² + x 7 = 2x 7 5x² + x 2x = 7 + 7 5x² x = 0 x ( 5x 1 ) = 0 un produit est nul si au moins l un de ses facteurs est nul. x = 0 5x 1 = 0 5x = 1 x = 1 5 L équation admet deux solutions x 1 = 0 et x 2 = 1 5
Exercice 5 : La figure n est pas aux bonnes dimensions. AB = 1 cm, BC = 80 cm, DC = 100 cm, et AC = 140 cm 1. Le triangle ABC est il rectangle? AB 2 + BC 2 = 1 2 + 80 2 = 13 225 + 6 400 = 19 625 AC 2 = 140 2 = 19 600 AB 2 + BC 2 AC 2 L égalité de Pythagore n est pas vérifiée donc ABC n est pas un triangle rectangle. 2. Déterminer la mesure de l angle ACD. Dans le triangle ACD rectangle en D : cos ACD = CD AC cos ACD = 100 140 ACD = cos 1 100 140 ACD 44,4 (arrondi au dixième de 44,4 ) Exercice 6: 1. Reproduis le triangle en prenant 1 cm pour 50 m. On appellera P le puits, C le cocotier, et M le manguier 2. Un trésor est enfoui à la même distance du puits et du cocotier, le plus au sud possible, à 200 m du manguier. Où est donc caché le trésor? 1. PC = 480 50 = 9,6 cm CM = 550 50 Rayon du cercle de centre M : 200 50 = 4 cm = 11 cm PM = 400 50 = 8 cm 2. Le trésor est enfoui à égale distance de P et de C, donc il appartient à la médiatrice de [PC] et au cercle de rayon 4cm de centre M P 9,6 8 cm C 11 cm M Trésor
Exercice 7 : Dans une salle de cinéma, les enfants paient demi tarif et les adultes paient plein tarif. Deux adultes et cinq enfants ont payé au total 31,50. 1. un groupe composé de quatre adultes et de dix enfants (deux fois plus d adultes et deux fois plus d enfants) paiera le double donc 63. 2. Si on désigne par x le prix d une entrée enfant, le coût d une entrée adulte est le double donc 2x. La seconde phrase de l énoncé se traduit par l équation 2 2x + 5 x = 31,5 donc 4x + 5x = 31,5 soit 9x = 31,5 d où x = 31,5 9 = 3,5. Un enfant paie 3,50 donc le prix payé par un adulte est 7. Exercice 8 : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n est demandée. Une réponse correcte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse n enlève aucun point. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte. Réponse A Réponse B Réponse C 1 Quelle est la forme factorisée de (x + 1) 2 9? (x 2)(x + 4) x 2 + 2x 8 (x 8)(x + 10) (x + 1) 2 9 = ( x + 1 3 ) ( x + 1 + 3 ) = ( x 2 ) ( x + 4 ) réponse A 2 Que vaut 5 n 5 m? 5 nm 5 n+m 25 n+m 5 n 5 m = 5 n + m réponse B 3 À quelle autre expression le nombre 7 3 4 3 5 2 est il égal? 3 3 5 2 7 3 3 4 2 5 27 7 3 4 3 5 2 = 7 3 4 3 2 5 = 7 3 8 = 35 5 = 27 réponse C Quelle est la forme développée de 4 3x² 24x + 16 9x² 16 9x² + 16 24x ( 3x 4 )²? ( 3x 4 )² = 9x² 24x + 16 = 9x² + 16 24x réponse C 5 Quel nombre est en écriture scientifique? 17,3 10 3 0,97 10 7 1,52 10 3 1,52 10 3 car 1 1,52 9 réponse C