Correction du devoir maison n o 7 PARTIE I

Lycée Kléber Pour le 5 décembre 2014 PSI* 2014-2015 Correction du devoir maison n o 7 (Mines I PSI 2001) MATHEMATIQUES PARTIE I Remarquons d abord que la définition de la semi-linéarité de u est équivalente aux propriétés : u est un morphisme additif de E tel que : (a, x) C E, u(ax) = ax (dans la définition de l énoncé prendre a=1 pour le morphisme additif ; prendre y=0 pour la deuxième propriété - la réciproque est immédiate). 1 Question N o 1 : Premières propriétés : 1.a) : C est immédiat puisque l égalité (µ λ)x = 0 entraine, sachant que x est non nul, (µ λ) = 0. 1.b) : Si x est un vecteur co-propre de u associé à µ et α un réel alors : u(e iα x) = e iα u(x) = e iα µx = (µe 2iα )e iα x Il suffit donc de prendre α = θ 2 et y = e i θ 2 x qui est bien non nul et vérifie : u(y) = µe iθ y ; y est donc un vecteur co-propre de u associé à la valeur co-propre µe iθ. Cette propiété prouve donc que dès qu une application semi-linéaire u admet une valeur co-propre non nulle, elle en admet une infinité (de même module) dont une réelle positive (en prenant θ = arg(µ)). De plus il suffit de connaitre les valeurs co-propres réelles positives pour les avoir toutes : le co-spectre de u sera la réunion dans le plan complexe des cercles centrés en 0 et de rayon les valeurs co-propres réelles positives : La notion d éléments co-propres d une application semi-linéaire semble donc corrigedm7_1415.tex - page 1

sensiblement différente, malgré la définition, de la notion d éléments propres d une application linéaire. 1.c) : Puisque u est un morphisme additif de E, l ensemble E µ = (u I d ) 1 {0} est un sousgroupe additif de E. Etudions la stabilité pour la loi externe : Soit x un vecteur de E µ et a dans C. ax E µ u(ax) = µax aµx = µax (x = 0) ou (a a = 0) ou (µ = 0) On en déduit immédiatement que E µ est toujours un espace vectoriel sur R, et qu il n est un espace vectoriel sur C que si µ = 0, puisqu il n est pas réduit au vecteur nul quand µ est une valeur co-propre. 1.d) : u v est un morphisme additif de E dans E puisque u et v le sont ; de plus par involution de la conjugaison : (a, x) C E, (u v)(ax) = u(av(x)) = a(u v)(x). L application u v est donc linéaire. 2 Question N o 2 : Matrice associée à une application semi-linéaire : Introduisons ici une deuxième structure de C-espace vectoriel pour E : On définit une loi externe par : (a, x) C E, a x = ax et il est aisé de vérifier, compte tenu des propriétés de la conjugaison (automorphisme du corps C stabilisant R), que (E; +, ) est encore un C-espace vectoriel que nous noterons Ẽ. Ainsi Ẽ est le même ensemble que E mais sa structure d espace vectoriel est différente. De plus pour k k toute famille (t 1,, t k ) de E et toute famille (λ 1,, λ k ) de C, λ i t i = λ i t i ; on en déduit aussitôt que E et Ẽ ont les mêmes bases, la même dimension n et que tout vecteur x de coordonnées (x 1,, x n ) dans la base (e 1,, e n ) de E a pour coordonnées dans cette même base, mais considérée comme base de Ẽ, (x 1,, x n ). Enfin si u est une application semi-linéaire de E dans E, le même u devient une application linéaire de Ẽ dans E, ou de E dans Ẽ puisque u est un morphisme additif et que pour tout x dans E : u(a x) = u(ax) = au(x) ou u(ax) = au(x) = a u(x) (la réciproque étant également vraie). On retrouve ainsi aisément le résultat du 1.d, puique v est linéaire de E dans Ẽ et u linéaire de Ẽ dans E : par composition l application u v est bien linéaire de E dans E. i=1 i=1 corrigedm7_1415.tex - page 2

2.a) : Notons A la matrice carrée complexe d ordre n de u considéré comme application linéaire de Ẽ dans E : Les colonnes de A sont les coordonnées habituelles des vecteurs (u(e 1 ),, u(e n )) dans la base (e 1,, e n ) de E et la matrice colonne des coordonnées du vecteur x de Ẽ dans cette même base est X. On sait qu alors la relation y = u(x) est caractérisée matriciellement par Y = AX. 2.b) : Si S est la matrice de passage de la base (e 1,, e n ) de E à la base (f 1,, f n ) de E, ses colonnes sont les coordonnées des vecteurs de la nouvelle base dans l ancienne ; Considérons maintenant ces bases comme des bases de l espace Ẽ, d après les remarques ci-dessus, les coordonnées de ces nouveaux vecteurs dans l ancienne base de Ẽ sont les conjuguées de leurs coordonnées dans cette même ancienne base considérée dans E. Finalement la matrice de passage de la base (e 1,, e n ) de Ẽ à la base (f 1,, f n ) de Ẽ est donc S. En appliquant la formule de changements de base pour les applications linéaires de Ẽ dans E, on obtient : B = S 1 AS 3 Question N o 3 : Exemple : 3.a) : ( ) a Pour X = 0, la relation AX = µx est équivalente à (b = µa, a = µb). b D où par conjugaison de la deuxième relation et report dans la première : b = µµb = µ 2 b. Comme 1 + µ 2 > 0 on obtient nécessairement b = 0 puis a = 0 ce qui contredit la non nullité de X : A n a aucune valeur co-propre ni bien sur aucun vecteur co-propre. 3.b) : Si A est réelle et admet une valeur propre réelle λ, alors λ est une racine réelle du polynôme caractéristique de cette matrice et donc une valeur propre de A considérée dans l espace M n (R) : il existe donc un vecteur propre réel X associé à λ : AX = λx = AX. Ainsi A admet λ comme valeur co-propre. corrigedm7_1415.tex - page 3

4 Question N o 4 : Correspondance entre les valeurs co-propres de A et les valeurs propres de AA : 4.a) : Soit X un vecteur co-propre de A associé à µ : AX = µx et puisque la conjugaison, automorphisme involutif du corps C, est compatible avec le produit matriciel : AAX = AAX = AµX = µax = µµx = µ 2 X. Puisque X est non nul c est bien un vecteur propre de AA associé à la valeur propre µ 2. 4.b) : i) 1er cas : AX et X sont liés. Comme X est non nul, il existe un nombre complexe µ tel que : AX = µx et qui est donc une valeur co-propre de A. Les calculs du 4.a et l unicité d une valeur propre associée à un vecteur propre, montrent que µ 2 = λ et donc µ = λ. Utilisons maintenant la remarque rédigée à la question 1.b, valable ici pour l application semi-linéaire u de C n caractérisée par sa matrice A dans la base canonique (compte tenu des définitions, les éléments co-propres de u et de A sont les mêmes) : Tous les nombres complexes de même module que µ sont des valeurs co-propres de A et en particulier parmi eux µ = λ. ii) 2ème cas : AX et X sont indépendants. Il est donc impossible d obtenir X comme vecteur co-propre de A, mais cherchons une combinaison linéaire non triviale, αax + βx qui soit vecteur co-propre de A associé à la valeur co-propre λ : A ( αax + βx ) = λ ( αax + βx ) αaax+βax = β λx+α λax puisque par hypothèse AAX = λx et que la famille ( AX, X ) est libre. Les valeurs α = 1 et β = λ vérifient les conditions ci-dessus ; on obtient alors le vecteur non nul (car la famille ( AX, X ) est libre) Y = AX + λx qui convient donc. Dans tous les cas la valeur λ est bien une valeur co-propre de A. ( β = α λ et α 4.c) : La condition est nécessaire d après 4.a et suffisante d après 4.b (µ étant un réel positif, µ2 = µ). corrigedm7_1415.tex - page 4

4.d) : Il suffit, compte tenu du résultat précédent, ( d étudier ) les valeurs propres réelles et positives de la matrice A m A m = A 2 2 1 m m m = (m est réel). m 1 Or le polynôme caractéristique χ A 2 m (X) = X 2 (m 2 2)X + 1 est un trinôme de discriminant = (m 2 2) 2 4 = m 2 (m 2 4) ; les deux racines lorsqu elles existent dans R sont de produit 1 et donc de même signe qui est aussi celui de leur somme S = m 2 2. Ainsi il y a des racines réelles (qui sont aussi les valeurs propres) si et seulement si m = 0 (-1 est alors valeur propre double) ou m 2 4 et dans ce dernier cas elles sont positives (S = m 2 2 2). compte tenu du 4.c, la condition m 2 est donc nécessaire et suffisante pour que la matrice A m admette des valeurs co-propres réelles positives qui sont m µ = 2 2 + m m 2 4 et 1 (dans le cas m = ±2, il y a une valeur propre double 2 µ 1 et donc une valeur co-propre réelle de A m égale à 1). Remarquons que le cas m = 0 correspond à l exemple du 3.a pour lequel la matrice A n a pas de valeur co-propre conformément à 4.a et à l étude ci-dessus. 5 Question N o 5 : Cas d une matrice triangulaire supérieure : Les résultats des questions 4.c et 1.b conduisent aux équivalences suivantes : µ C, (µ valeur co-propre de A) ( µ valeur co-propre de A) ( µ 2 valeur propre de AA ) Si maintenant A est une matrice triangulaire, d éléments diagonaux (λ 1,..., λ n ) qui en sont donc les valeurs propres, alors AA est encore triangulaire et d éléments diagonaux ( λ 1 2,..., λ n 2 ) qui en sont les valeurs propres. 5.a) : D après la caractérisation des valeurs co-propres que l on vient de démontrer, les valeurs co-propres de A sont exactement les complexes µ tels que µ 2 soit valeur propre de la matrice AA et donc ici tels que : µ soit de même module qu une des valeurs propres de A ; c est bien le cas de la valeur λe iθ proposée. corrigedm7_1415.tex - page 5

5.b) : De même si µ est une valeur co-propre de A, µ a même module qu une valeur propre λ de A et donc sera de la forme : µ = λe iθ (avec θ réel). Finalement pour une matrice A triangulaire, son co-spectre est la réunion dans le plan complexe des cercles centrés en 0 et rencontrant son spectre. 5.c) : A est ici triangulaire et d après 5. les valeurs co-propres de A sont exactement les complexes de module 1, ce qui est le cas de 1. Cherchons un vecteur co-propre ( X associé à 1. ) (b + c) + i(a d) Si a+ib et c+id sont les écritures algébriques des coordonnées de X : AX =, d + ic d où AX = X ((b + c) + i(a d) = a + ib, d + ic = c + id) (a = b + c, d = c) ( ) b(1 + i) + c X =. c(1 + i) Conformément à 1.c, ( l espace ) ( E 1 (A) ) n est autre que le plan vectoriel sur R engendré par 1 + i 1 les deux vecteurs,. 0 1 + i 6 Question N o 6 : Une caractérisation des valeurs co-propres B (respectivement C) est la matrice dont les coefficients sont les parties réelles (respectivement les parties imaginaires) des coefficients de A. Remarquons tout d abord, ce qui facilitera les calculs qui vont suivre, que d après l étude du 1.b, µ est valeur co-propre de A si et seulement si µ l est. Soit X un vecteur non nul décomposé sous la forme X = Y + iz, où Y et Z sont respectivement les parties réelles et imaginaires de X ; on a les équivalences suivantes : ( AX = µ X ) (BY + CZ + i(cy BZ) = µ Y + i µ Z) { BY + CZ = µ Y CY BZ = µ Z par unicité des parties réelles et imaginaires et sachant que µ est réelle. Le système obtenu est équivalent au système de taille 2n, défini par les blocs suivants : ( ) ( ) ( ) B C Y Y = µ C B Z Z corrigedm7_1415.tex - page 6

( ) Y où est non nul. Ce système n est autre que celui qui caractérise les vecteurs propres ( ) Z Y dans R 2n associé à la valeur propre µ pour la matrice blocs D. On a bien la Z caractérisation demandée. PARTIE II compte tenu de l interprétation de la semi-linéarité étudiée au I)2., des résultats du I)2.b et des définitions de l énoncé, sachant de plus que pour S dans GL n (C), S 1 = S 1 puisque SS 1 = S 1 S = SS 1 = I n, les deux matrices A et B sont co-semblables (dans cet ordre) si et seulement si elle sont associées à une même application semi-linéaire u dans deux bases B et B de E ; S 1 étant la matrice de passage de la base B (dans laquelle A est la matrice de u) à l autre base B. 1 Question N o 1 : Une relation d équivalence : La relation de co-similitude entre deux matrices carrées complexes d ordre n est la même que la relation binaire représenter une même application semi-linéaire de l espace E dans deux bases qui est clairement Reflexive, Symétrique et Transitive donc d équivalence. 2 Question N o 2 : Indépendance des vecteurs copropres : Démontrons la propriété demandée par récurrence sur l entier k : i) Pour k=1 c est immédiat puisque, X 1 étant non nul, la famille (X 1 ) est libre. ii) Pour k 2, supposons la propriété vraie au rang (k-1) : la famille (X 1,..., X k 1 ) est libre et ce sera donc le cas de la famille (X 1,..., X k ) si et seulement si X k n est pas combinaison linéaire de (X 1,..., X k 1 ). Supposons par l absurde qu il existe (k 1) k 1 complexes (α 1,..., α k 1 ) tels que X k = α p X p alors p=1 k 1 k 1 k 1 AX k = α p AX p = α p µ p X p = µ k X k = α p µ k X p p=1 p=1 et puisque la famille (X 1,..., X k 1 ) est libre : p=1 p {1,..., k 1}, µ k α p = µ p α p d où µ k α p = µ p α p corrigedm7_1415.tex - page 7

et puisque p k µ k = µ p, on en déduit que tous les α p sont nuls ce qui k 1 contredit la non nullité du vecteur co-propre X k = α p X p. Remarquons que ce résultat devient faux avec des valeurs propres différentes et de même module comme on l a vu au I)1.b. Dans l hypothèse où la matrice AA a n valeurs propres positives et distinctes, d après I)4.c la matrice A admet les n co-valeurs propres réelles positives distinctes (donc de modules ( distincts) λ1,..., ) λ n auxquelles on peut associer une famille de n vecteurs copropres (X 1,..., X n ). L étude précédente montre que cette famille est libre dans C n et en estdonc une base B. Soit u l application semi-linéaire de C n de matrice A dans la base canonique de C n ; dans cette nouvelle base de vecteurs co-propres de u, la matrice B de u a pour colonnes les coordonnées des vecteurs (u(x k )) 1 k n = ( λ k X k ) 1 k n exprimés dans ( la base B = (X 1,..., X n ). (cf. I)2.) On a ainsi B = Diag λ1,..., ) λ n diagonale : D après II)1., A et B sont co-semblables : A est bien co-diagonalisable. 3 Question N o 3 : Quelques propriétés : 3.a) : compte tenu des propriétés déja rappelées de la conjugaison dans C, et du fait que (cf. II)1.) S GL n (C), S 1 = S 1, on obtient : p=1 AA = SS 1 SS 1 = I n Ainsi une matrice A co-semblable à I n est inversible et d inverse A. 3.b) : S(θ) = e iθ ( A + e 2iθ I n ) est donc inversible si et seulement si ( e 2iθ ) n est pas valeur propre de A, ce qui est toujours réalisable (pour une infinité de valeurs réelles de θ) puisque le spectre de A est fini et l ensemble des complexes unitaires est infini. Pour un tel θ on peut écrire puisque AA = I n : AS(θ) = e iθ AA + e iθ A = S(θ) et finalement puisque S(θ) inversible entraine S(θ) inversible : A = S(θ)S(θ) 1. 3.a et 3.b prouvent qu une matrice A carrée complexe d ordre n est co-semblable à I n si et seulement si elle est inversible et A 1 = A. corrigedm7_1415.tex - page 8

4 Question N o 4 : Une condition nécessaire : Si D = S 1 AS = Diag(λ 1,..., λ n ), alors A = SDS 1 d où : A = SDS 1 et AA = S(DD)S 1 ce qui prouve la diagonalisabilité de la matrice AA (semblable à la matrice diagonale DD = Diag( λ 1 2,..., λ n 2 )) ainsi que Spectre(AA)= Spectre(DD) = { λ 1 2,..., λ n 2 )} R +. Ce résultat est compatible mais plus précis que celui du I)4. De plus rang(aa)=rang(dd) est le nombre d éléments diagonaux non nuls de DD qui est le même que celui de D, c est-à-dire rang(d). Or A et D ont le même rang car elles sont équivalentes (la multiplication par les matrices inversibles S et S 1 conserve le rang). Finalement rang(aa) = rang(a). 5 Question N o 5 : Exemples : 5.a) : A est donc diagonalisable et semblable dans M n (R) à une matrice diagonale D : il existe une matrice P dans GL n (R) (et même dans O n (R)) telle que A = P 1 DP = P 1 DP : donc, dans M n (C), A est co-semblable à une matrice diagonalisable : A est co-diagonalisable. 5.b) : A et C sont des matrices non scalaires n ayant qu une seule valeur propre : A et C ne sont pas diagonalisables. AA = I 2 prouve que A est co-semblable à I 2 d après 3.b : A est codiagonalisable ; Par contre CC = C 2 = 0, donc rang(c) = 1 rang(cc) = 0 prouve d après 4. que C n est pas co-diagonalisable. B et D ont le même polynôme caractéristique x 2 2x + 2 et les mêmes deux valeurs propres distinctes : 1 ± i donc B et D sont diagonalisables. ( ) 0 2 Or BB = B 2 = a pour valeurs propres (1+i) 2 = 2i et (1 i) 2 = 2i qui ne sont 2 0 pas réelles : la condition nécessaire du 4. n est pas vérifiée par B : B n est donc pas co-diagonalisable. Enfin DD = 2I 2 prouve, en appliquant la caractérisation du 3. (matrices co-semblables à I 2 ) à la matrice 1 D, que D est co-semblable à 2I 2 : D est co-diagonalisable. 2 corrigedm7_1415.tex - page 9

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