Calcul Différentiel. I Fonctions différentiables 3

Université de la Méditerranée Faculté des Sciences de Luminy Licence de Mathématiques, Semestre 5, année 2008-2009 Calcul Différentiel Support du cours de Glenn Merlet 1, version du 6 octobre 2008. Remarques importantes : 1. Tous les énoncés de ce document sont exigibles à l examen, de même que les démonstrations des résultats, mêmes si elles ne sont pas detaillées ici. 2. Les exercices notés (!) sont élémentaires et portent sur les notions de base. Ils doivent absolument vous sembler faciles à la fin du chapitre. Sinon, vous ne maitrisez pas le cours! Table des matières I Fonctions différentiables 3 1 Outils de topologie 3 1.1 Espaces vectoriels normés.......................... 3 1.2 Applications linéaires continues....................... 3 1.3 Exercices.................................... 4 2 Applications différentiables 6 2.1 Définition - premiers exemples........................ 6 2.2 Propriétés élémentaires............................ 6 2.3 Cas E = R n, dérivées partielles....................... 7 2.4 Cas F = R p, applications composantes................... 8 2.5 Exercices.................................... 8 3 Inégalité de la moyenne 10 3.1 Rappels : accroissements finis en dimension 1................ 10 3.2 Le théorème de la moyenne......................... 10 3.3 Applications de classe C 1........................... 11 3.4 Applications de différentielle nulle...................... 12 3.5 Exercices.................................... 13 1 Toute remarque ou question est la bienvenue à l adresse merlet@iml.univ-mrs.fr 1

4 Études locale de fonctions 15 4.1 Différentielle seconde............................. 15 4.2 Différentielles d ordres supérieurs...................... 16 4.3 Une formule explicite pour D 2 f a....................... 16 4.4 La formule de Taylor-Young......................... 17 4.5 Points critiques - extrema libres....................... 17 4.6 Exercices.................................... 18 5 Le théorème d inversion locale 19 5.1 Homéomorphismes et difféomorphismes................... 19 5.2 Le théorème d inversion locale........................ 20 5.3 Le théorème du point fixe.......................... 21 5.4 Démonstration du théorème d inversion locale............... 21 5.5 Exercices.................................... 22 6 Théorème des fonctions implicites 24 6.1 Énoncé du théorème............................. 24 6.2 Interprétation géométrique.......................... 25 6.3 Démonstration du théorème......................... 25 6.4 Exercices.................................... 25 7 Sous-variétés de R n - extrema liés 27 7.1 Sous-variétés.................................. 27 7.2 Submersions.................................. 27 7.3 Espace tangent à une sous-variété...................... 28 7.4 Extrema liés, multiplicateurs de Lagrange................. 29 7.5 Exercices.................................... 30 II Équations différentielles 31 8 Généralités 31 8.1 Définitions................................... 31 8.2 Raccordements des solutions, solutions prolongeables, solutions maximales 31 8.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz....................... 32 8.4 Méthodes d intégration............................ 33 8.5 Exercices.................................... 33 9 Équations différentielles linéaires 34 9.1 Premier ordre................................. 34 9.2 Cas des coefficients constants........................ 35 9.3 Atelier : l exponentielle de matrice...................... 36 2

Première partie Fonctions différentiables 1 Outils de topologie 1.1 Espaces vectoriels normés Définition 1.1. Un espace vectoriel normé (e.v.n.) est un couple (E,. ) où E est un espace vectoriel sur R ou C et où. est une norme sur E i.e. une application. : E R + vérifiant : (N1) x E, x = 0 ssi x = 0 (N2) x E, λ R, λx = λ x (N3) x, y E, x + y x + y (homogénéité) (inégalité triangulaire) Exemples. Sur R n, on emploie souvent les normes suivantes : pour x = (x 1,..., x n ), x = sup( x 1,..., x n ) x 1 = x 1 +... + x n x 2 = x 2 1 +... + x 2 n Notations. Soit (E,. ) un evn, soit a E et soit r 0 un réel. On note B(a, r) = {x E / x a < r} la boule ouverte de centre a et de rayon r, B(a, r) = {x E / x a r} la boule fermée de centre a et de rayon r, S(a, r) = {x E / x a = r} la sphère de centre a et de rayon r. Définition 1.2. Soient E et F des e.v.n., A un sous-ensemble de E et f : A F une application. Soient a A et b F. On dit que f(x) tend vers b quand x tend vers a si ɛ > 0, η > 0, x A, ( x a < η f(x) b < ɛ) On écrit : lim x a f(x) = b. La fonction f est dite continue en a A si f(x) tend vers f(a) quand x tend vers a. On dit que f est continue si f est continue en tout point de A. 1.2 Applications linéaires continues En calcul différentiel, les applications linéaires continues sont particulièrement importantes, car le calcul différentiel consiste essentiellement à approximer des applications par des applications linéaires continues. Proposition 1.3. Soient E et F deux espaces vectoriels normés sur R ou C et soit f : E F une application linéaire. Les assertions suivantes sont équivalentes : (i) f est uniformément continue sur E (ii) f est continue sur E 3

(iii) f est continue en 0 (iv) f est bornée sur la boule fermée unité B(0, 1) (v) il existe M > 0 tel que pour tout x E, f(x) M x Notation. On note L(E, F ) l espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F muni de la norme induite (cf. Exercice 1.5) définie pour f L(E, F ) par : f = sup f(x) F x E 1 Remarque. f = sup x E =1 f(x) F = sup x E\{0} f(x) F x E. Si F est un espace de Banach, alors L(E, F ) aussi. Proposition 1.4. (cf. Exercice 1.5) Soient E, F et G trois e.v.n. et soient f L(E, F ) et g L(F, G). Alors g f L(E, G), et g f g f. Preuve. Exercice 1.5 Proposition 1.5. Toute application linéaire d un espace vectoriel normé de dimension finie dans un espace vectoriel normé quelconque est continue. Preuve. Exercice 1.4 1.3 Exercices Exercice 1.1 (!). Soit E un R-evn, et h E. Montrer que les applications suivantes sont linéaires continues. S : E 2 E tq S(x, y) = x + y, C : E E 2 tq C(x) = (x, x) et α : R E tq α(t, x) = t.h + x Exercice 1.2. Donner un exemple d application linéaire non continue. Exercice 1.3. Soient E 1,..., E n et F des espaces vectoriels normés et soit φ : E 1 E n F une application n-linéaire. Démontrer l équivalence des assertions suivantes. (i) φ est continue sur le produit E 1 E n (ii) φ est continue en 0 (iii) φ est bornée sur le produit des boules unité des E i (iv) il existe C 0 tel que (x 1,..., x n ) E 1 E n, φ(x 1,..., x n ) C x 1 x n Exercice 1.4. Soient E et F des espaces vectoriels. Démontrer que si E est de dimension finie, alors toute application linéaire f : E F est automatiquement continue. Même question pour une application n-linéaire φ : E 1 E n F lorsque les E i sont tous de dimension finie. Exercice 1.5. 1. Soient E et F des espaces vectoriels normés. Montrer que l on définit la norme induite sur L(E, F ) vaut : f = f(x) sup x E\{0} x 4

2. Soient E, F et G des espaces vectoriels normés et soient g L(F, G) et f L(E, F ). Montrer que g f g f Exercice 1.6. On munit successivement R 2 des normes classiques : (x, y) 1 = x + y, (x, y) = max{ x, y }, (x, y) 2 = x 2 + y 2. Vérifier à la main que ces trois normes sont équivalentes. Soit φ une forme linéaire sur R 2 représentée dans la base canonique par la matrice (a b). Montrer que φ vaut successivement max{ a, b }, a + b et (x 2 + y 2 ) 5

2 Applications différentiables 2.1 Définition - premiers exemples Définition 2.1. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application. Soit a U. On dit que f est différentiable au point a s il existe une application linéaire continue L L(E, F ) et une application ɛ : U F telles que 1. x U, f(x) = f(a) + L(x a) + x a ɛ(x) 2. lim x a ɛ(x) = 0 Proposition 2.2. Si une telle application L existe, alors elle est unique. On appelle L la différentielle de f au point a, et on la note Df a. Preuve. Cela découle de la proposition 2.3 et de l unicité de la limite. Formulations équivalentes : f(a + h) = f(a) + Df a (h) + h ɛ 1 (h) avec lim x a ɛ 1 (x) ou encore : f(a + h) = f(a) + Df a (h) + o(h) (1) où o(h) se lit petit o de h et désigne une fonction g telle que g(h) h Exemple 1. Fonctions dérivables Lorsque E = R, (1) s écrit : f(a + h) = f(a) + hdf a (1) + o(h), c est-à-dire : f(a + h) f(a) lim = Df a (1) h 0 h Ce qui équivaut à dire que f est dérivable en a et que f (a) = Df a (1). On a alors : h R, Df a (h) = h.f (a) tend vers 0. Exemple 2. Différentielle d une application constante. Soit f : U F une application constante : x U, f(x) = c où c F est une constante. Alors f est différentiable en tout point a de U et Df a = 0. Exemple 3. Différentielle d une application linéaire continue. Soit f : E F une application linéaire continue. Alors f est différentiable en tout point a de E et Df a = f. 2.2 Propriétés élémentaires Proposition 2.3 (Dérivées directionnelles). Soit U un ouvert non vide d un espace vectoriel normé E et soit f : U R une application différentiable en un point a U. Alors, pour tout h E, on a la convergence suivante : 1 lim t 0 + t (f(a + t.h) f(a)) = Df a(h). 6

Quand elle existe, la limite de l équation précédente est appelée la dérivée de f en a dans la direction h. Une fonction peut admettre des dérivées directionnelles en un point dans toutes les directions même si elle n est pas différentiable en ce point. (cf. Exercices 2.2 et 2.3.) Théorème 2.4 (Extrema locaux). Soit U un ouvert non vide d un espace vectoriel normé sur R, et soit f : U R une application différentiable en un point a U et admettant un extremum local en ce point a. Alors sa différentielle en ce point Df a est la fonction nulle. Proposition 2.5 (Continuité des applications différentiables). Soient E et F des espaces vectoriels normés, U un ouvert de E et f : U F une application différentiable en un point a de U. Alors f est continue en a. Théorème 2.6. Soient F et G des evn, et f : U F et g : V G des applications. Linéarité Si F = G et si f et g sont différentiables en a U V. Alors pour tous scalaires λ et µ, λ.f + µ.g est différentiable en a et D(λf + µg) a = λdf a + µdg a. Composition Si V est un ouvert de F tel que f(u) V et si f est différentiable en a U et g l est en f(a), alors g f est différentiable en a et vérifie D(g f) a = Dg f(a) Df a. 2.3 Cas E = R n, dérivées partielles Considérons une fonction numérique f : U R définie sur un ouvert U de R n. Soit a = (a 1,..., a n ) U. Fixons i {1,..., n}, et notons I i : R R n l injection I i (x) = (a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n ) et U i = I 1 i (U). Si la fonction f I i : U i R, (f I i )(x) = f(a 1,..., a i 1, x, a i+1,..., a n ) est dérivable au point a i, on dit que f est dérivable en a par rapport à la i-ème variable. On note (f I i ) (a i ) = f x i (a) la dérivée, et on l appelle i-ème dérivée partielle de f au point a. Proposition 2.7. Si f : U F, U ouvert de R n est différentiable en a, alors f admet des dérivées partielles en a par rapport à toutes les variables, et h = (h 1,..., h n ), Df a (h) = h 1 f x 1 (a) +... + h n f x n (a) Réciproque fausse : Une fonction peut admettre des dérivées partielles en a par rapport à toutes les variables en un point sans être différentiable en ce point (cf. Exercices 2.2 et 2.3). En revanche, la situation change quand les dérivées partielles sont continues. C est une des raisons pour lesquelles on introduira la notion d application de classe C 1 au prochain chapitre. 7

2.4 Cas F = R p, applications composantes Soit U un ouvert de l evn E et soit f : U R p une application. Pour tout x U, f(x) = (f 1 (x),..., f p (x)). Les f i : U R s appellent les applications composantes de f. On note f = (f 1,..., f p ). Proposition 2.8. Soit a U. f est différentiable au point a si et seulement si pour tout i = 1,..., p, f i est différentiable au point a, auquel cas, h E, Df a (h) = (Df 1 a(h),..., Df pa (h)) Définition 2.9. La matrice de l application linéaire Df a : R n R p dans les bases canoniques s appelle la matrice jacobienne de f. C est la matrice : f 1 f x 1 (a) 1 f x 2 (a)... 1 x n (a) ( ) f 2 f fi x 1 (a) 2 f x 2 (a)... 2 x n (a) Jf a = (a) = x j... f p f x 1 (a) p f x 2 (a)... p x n (a) 2.5 Exercices Exercice 2.1 (!). Redémontrer la proposition 2.3 à partir des applications dérivables connues et des règles de composition. Exercice 2.2 (!). Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = x3 y si y 0 et f(x, 0) = 0 Calculez les dérivées partielles de f en (0, 0). Montrer qu il existe une application linéaire continue L telle que f(t.u) tend vers L(u) t pour tout u R 2 mais que f n est pas continue en 0. f est elle différentiable en (0, 0)? Exercice 2.3. Déduire du premier exercice de la section précédente une fonction f et une application linéaire L telle que f(t.u) tend vers L(u) pour tout u R 2 mais que L t n est pas continue en 0. Exercice 2.4. 1) Soient E 1, E 2 et F des espaces vectoriels normés et soit f : E 1 E 2 F une application bilinéaire continue. Démontrer que f est différentiable sur E 1 E 2 et déterminer sa différentielle. 2) Soient E, F et G trois R-espaces vectoriels normés de dimension finie. On considère l application f : L(F, G) L(E, F ) L(E, G) définie par : f(a, B) = AB(= A B) Démontrer que f est différentiable sur L(F, G) L(E, F ) et déterminer Df (A,B) pour tout (A, B) L(F, G) L(E, F ). 8

Exercice 2.5. Soit E un espace vectoriel normé. On considère l application f : L(E) L(E) définie par f(a) = A 2. Démontrer que f est différentiable sur L(E) et déterminer Df A pour tout A L(E). Exercice 2.6 (!). Soit f = (f 1, f 2, f 3 ) l application de R 3 dans R 3 définie par : f 1 (x, y, z) = x + y + z ; f 2 (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 ; f 3 (x, y, z) = x 3 + y 3 + z 3 On admet que f est différentiable partout. Calculer la matrice jacobienne de f au point (a, b, c). Exercice 2.7. (Coordonnées cylindriques) Calculer la matrice jacobienne de l application de R 3 dans R 3 définie par : (r, θ, z) (r cos θ, r sin θ, z) Exercice 2.8. E 1, E 2,..., E n et F des espaces vectoriels normés et soit f : E 1 E 2 E n F une application n-linéaire continue. Démontrer que f est différentiable sur E 1 E 2 E n et déterminer sa différentielle. 2) Soit E un espace vectoriel normé. On considère l application f n : L(E) L(E) définie par f(a) = A n. Démontrer que f n est différentiable sur L(E) et déterminer Df n (A) pour tout A L(E). 3) On pose E = R n. a) Démontrer que l application déterminant det : L(E) R est différentiable sur L(E) et calculer sa différentielle. b) Soit u Gl(E) et soit h L(E). Démontrer que D det(u).h = det(u)trace(u 1 h) Exercice 2.9. Considérons l application N : R n R définie par x = (x 1,..., x n ) R n, N(x) = n x i i=1 1) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i 0. Démontrer que N est différentiable au point a. 2) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i = 0. Fixons i 0 tel que a i0 = 0. Soit h = (h 1,..., h n ) R n défini par h i0 = 1 et h i = 0, i i 0. Pour t R, calculer N(a + th) N(a). En déduire que N n est pas différentiable au point a. 3) Calculer chaque dérivée partielle de N en précisant son ensemble de définition. Exercice 2.10. Soit (E, <, >) un espace préhilbertien. 1) Déterminer l ouvert maximal sur lequel l application <, >: E E R est différentiable et déterminer sa différentielle. 2) Même question pour la norme n : E R associée au produit scalaire <, >. 9

3 Inégalité de la moyenne 3.1 Rappels : accroissements finis en dimension 1 Théorème 3.1 (des accroissements finis). ( c.f. L1 et L2) Soient a, b R, a < b. Soit f[a, b] R une application continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Alors il existe c ]a, b[ tel que f(b) f(a) = (b a)f (c) Remarque. Ce théorème ne se généralise pas à une application f : [a, b] R n. Contre-exemple : f : [0, π 2 ] R2 définie par f(t) = (cos t, sin t). Nous allons généraliser son corollaire, dit inégalité des accroissements finis (IAF) : Théorème 3.2. (IAF) Soient a, b R, a < b. Soit f : [a, b] R une application continue sur [a, b] et dérivable sur ]a, b[. Supposons qu il existe une constante M 0 telle que t ]a, b[, f (t) M, alors f(b) f(a) M(b a) 3.2 Le théorème de la moyenne Proposition 3.3. (IAF) Soit F un R-evn, [a, b] un intervalle borné de R et une application continue de [a, b] dans F, dérivable sur ]a, b[ et telle qu il existe une constante M 0 telle que t ]a, b[, f (t) F M Alors f(b) f(a) F M(b a) Démonstration. Fixons ɛ > 0, et notons I ɛ l ensemble des points x [a, b] tels que f(x) f(a) (M + ɛ)(x a) + ɛ (2) I ɛ est non vide puisque a I ɛ. Soit c la borne supérieure de I ɛ. Pour tout n N, il existe x n I ɛ tel que c 1/n < x n c. En écrivant l inéquation (2) pour tout n et en faisant tendre n vers +, la continuité de f implique f(c) f(a) (M + ɛ)(c a) + ɛ (3) c est-à-dire c I ɛ. Nous allons montrer que c = b. On a : c > a. En effet, puisque f est continue en a, alors l application φ : x f(x) f(a) (M + ɛ)(x a) est aussi continue en a. Or φ(a) = 0, donc il existe η > 0 tel que x [a, a + η], φ(x) ɛ. D où [a, a + η] I ɛ et c a + η. Supposons que c < b. Alors, c ]a, b[, donc f est dérivable en c. Il existe donc un η > 0 tel que t ] η, +η[, f(c + t) f(c) f (c) < ɛ t 10

Pour un tel t ]0, η[, on a donc : ce qui donne, compte tenu de (3) : f(c + t) f(c) f (c) t + ɛt (M + ɛ)t f(c + t) f(a) (M + ɛ)(c + t a) + ɛ Conclusion : c + t I ɛ et donc c n est pas la borne sup de I ɛ. Contradiction. Donc b = c, et donc b I ɛ. On obtient donc f(b) f(a) F (M + ɛ)(b a) + ɛ Ceci étant vrai pour tout ɛ > 0, on conclut par passage à la limite ɛ 0. Théorème 3.4. (Le théorème de la moyenne) Soient E et F des espaces vectoriels normés, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application diférentiable sur U. On suppose qu il existe une constante M 0 telle que pour tout a U, Df a M. Soient a et b deux points de U tels que le segment soit contenu dans U. Alors on a : [a, b] = {tb + (1 t)a; t [0, 1]} f(b) f(a) F M b a E Remarque. On voit ici le passage d une propriété locale à une propriété globale. Preuve. On applique la proposition 2.8 à la composée g = f α : [0, 1] F, où α : [0, 1] U désigne l application α(t) = tb + (1 t)a. Corollaire 3.5. Soient E et F des espaces vectoriels normés, soit U un ouvert convexe de E et soit f : U F une application diférentiable sur U. On suppose qu il existe une constante M 0 telle que pour tout a U, Df a M. Alors 3.3 Applications de classe C 1 a, b C, f(b) f(a) F M b a E Définition 3.6. Soient E et F des evn, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application. On dit que f est de classe C 1 sur U si f est différentiable en tout point de U et si l application Df : U L(E, F ) définie par a Df a est continue sur U. Lorsque E = R, on retrouve la notion habituelle de classe C 1. Lorsque E = R n, il suffit de vérifier que les dérivées partielles sont continues, d après le théorème suivant. Théorème 3.7. f : U F, U ouvert de R n est de classe C 1 sur U, si et seulement si f admet des dérivées partielles par rapport à toutes les variables en tout point de U et si pour tout i {1,..., n}, la fonction f x i est continue sur U. 11

Démonstration. Le sens direct découle des règles de composition des applications différentiables d une part et continues d autre part, appliquées à f I i, où I i est l injection du paragraphe 2.3. Pour la réciproque, on montre par récurrence sur n que si f de R n dans F admet des dériées partielles continues, alors elle est différentiable et en tout point Df a (h) = n i=1 h i f x i (a). (4) Le cas n = 1 est trivial. Pour passer de n à n + 1, considérons une application f de R n+1 dans F admettant des dériées partielles continues. On note x = ( x, x n+1 ), avec x = (x 1,, x n ), les éléments de R n+1. Il faut estimer n+1 f δ(h) = f(a + h) f(a) h i (a) x i i=1 = f(ā + h, a n+1 + h n+1 ) f(ā + h, f a n+1 ) h n+1 (a) x i +f(ā + h, n f a n+1 ) f(ā, a n+1 ) h i (a) x i Applique le théorème de la moyenne au premier morceau et l hypothèse de récurrence au deuxième morceau, et on obtient δ(h) h n+1 sup f (x) f (a) x i x i + o( h) = o(h), x B(a, h ) ce qui conclut la récurrence. La continuité de Df est évidente d après (4). Pour montrer la différentiabilité en a, on a utilisé la continuité des dérivées partielles qu en a. On a donc aussi prouvé le résultat suivant. Proposition 3.8. Si f : U F, U ouvert de R n admet des dérivées partielles sur un voisinage de a et que ces dérivées partielles sont continues en a, alors f est différentiable en a. Lorsque E = R n et F = R p, la proposition 2.8 implique que f = (f 1,..., f p ) est de classe C 1 sur U si et seulement si seulement si ses applications composantes sont de classe C 1 sur U. 3.4 Applications de différentielle nulle Réciproque du théorème de différentiation des applications constantes : Définition 3.9. Un espace topologique X est dit connexe si pour tous les couples (U 1, U 2 ) d ouverts de X tels que U 1 U 2 = et U 1 U 2 = X, on a U 1 = ou U 2 =. 12 i=1

Proposition 3.10. Soit X un connexe. Les seuls sous-ensembles de X à la fois ouverts et fermés de X sont X et. Théorème 3.11. Soient E et F des R evn, soit U un ouvert connexe de E et soit f : U F une application différentiable sur U telle que x U, Df x = 0. Alors f est constante sur U. Démonstration. Fixons a U. Soit B = {x U /f(x) = f(a)}. B est non vide puisque a B. B = f 1 ({f(a)}), donc B est un fermé de U puisque f est continue. B est un ouvert de U. En effet, soit b B. Puisque U est un ouvert de E, il existe r > 0 tel que B(b, r) U. Appliquons le théorème de la moyenne sur le convexe B(b, r) : pour tout x B(b, r), on obtient : f(x) f(b) 0. x b, donc f(x) = f(b). D où B(b, r) B. Conclusion : B est non vide et à la fois ouvert et fermé dans U. Donc B = U puisque U est connexe. 3.5 Exercices Exercice 3.1 (!). Montrer que les applications polynomiales (i.e. dont toutes les applications composantes sont polynomiales) de R n dans R p sont C 1. Exercice 3.2. Soit E un espace vectoriel normé sur R et soit f : R 2 E une application de classe C 1 sur R 2. On suppose que f vérifie : (s, t) R 2, (m, n) Z 2, f(s + m, t + n) = f(s, t) ( ) a) Démontrer que Df : R 2 L(R 2, E) vérifie aussi la propriété ( ). b) Démontrer qu il existe M 0 tel que x R 2, y R 2, f(x) f(y) M x y Exercice 3.3 (!). Soient E et F espaces vectoriels normés, soit Ω un ouvert convexe de E et soit f : Ω F une application différentiable sur Ω. Démontrer que f est lipschitzienne sur Ω si et seulement si Df est bornée sur Ω. Exercice 3.4. Si A désigne une partie d un espace vectoriel normé, on désigne par δ(a) son diamètre. Soient E et F deux espaces vectoriels normés et soit (f n ) n 1 une suite d applications différentiables de E dans F telles que n 1, x E, Df n (x) x n Soit B une partie bornée de E. Que peut-on dire de lim n δ(f n (B))? Exercice 3.5. Soit E un espace vectoriel normé et soit g : E E une application différentiable vérifiant k ]0, 1[, x E, Dg(x) k 1) Montrer que f = Id E + g est injective. 2) Démontrer que l application réciproque de f est Lipschitzienne. 13

Exercice 3.6. Soit n 1 un entier et soit U un ouvert non vide et borné de R n. Soit f : U R une fonction continue sur U (U désignant, l adhérence de U dans R n ), différentiable sur U, telle que u U \ U, f(u) = 0. Démontrer qu il existe u U tel que Df(u) = 0. Ceci généralise un résultat bien connu. Lequel? Exercice 3.7 (!). Dire si les fonctions définies par les formules suivantes sont différentiables en (0, 0). f(x, y) = cos(3x + tan(y)) ; g(0, 0) = 0 et g(x, y) = x3 si (x, y) (0, 0) ; h(x, y) = y 2 +x 2 arcsin( x2 ) x 2 1 Exercice 3.8. Soient x 1, x n [0, 1] et P R[X 1,, X n ]. Montrer que la fonction de C([0, 1]) dans R qui envoie f sur P [f(x 1 ),, f(x n )] est différentiable en tout point. Exercice 3.9 (!). Soient f, g : R n R des applications différentiables (resp. C 1 ) en a et h : R 2 R différentiable (resp. C 1 ) en (f(a), g(a)). Montrer que x h (f(x), g(x)) est différentiable en a (resp. C 1 ). 14

4 Études locale de fonctions 4.1 Différentielle seconde Soient E et F des e.v.n., soit U un ouvert de E et soit f : U F une application différentiable sur U. On considère la différentielle Df : U L(E, F ) Définition 4.1. On dit que f est deux fois différentiable en a U si f est différentiable sur un voisinage de a et Df est différentiable en a. Dans ce cas, on note D 2 f a la différentielle de Df en a et on l appelle la différentielle seconde de f au point a. Si f est deux fois différentiable en tout point de U et si l application D 2 f : U L(E, L(E, F )) est continue sur U, on dit que f est de classe C 2 sur U. La différentielle seconde vue comme application bilinéaire Notons L 2 (E, F ) l espace vectoriel normé des applications bilinéaires continues de E E dans F. Alors on a un isomorphisme d espaces vectoriels Φ : L(E, L(E, F )) L 2 (E, F ) défini pour u L(E, L(E, F )) par Φ(u)(h, k) = [u(h)](k). Soit f : U F une application deux fois différentiable en a U. On regardera D 2 f a comme un élément de L 2 (E, F ) en l identifiant avec son image par Φ et on notera D 2 f a (h, k) pour (D 2 f a (h))(k). Théorème 4.2. (Théorème de Schwarz) Soit f : U F une application deux fois différentiable en a U. Alors, l application bilinéaire D 2 f a est symétrique, i.e. Démonstration. (h, k) E E, D 2 f a (h, k) = D 2 f a (k, h) 1. La fonction g est définie dans un voisinage de (0, 0) par g(x, y) = f(a + x.h + y.k) f(a + x.h) f(a + y.k) + f(a). Alors g est deux fois différentiable en (0, 0) et A := 2 g (0) = x y D2 f a (h, k) et B := 2 g (0) = y x D2 f a (k, h). En outre, on a g(0, y) = g(x, 0) = 0, donc g (x, 0) = x g y (0, y) = 0. 2. Fixons ɛ > 0. Par définition de A, il existe un voisinage convexe de (0, 0) (une boule centrée en ce point), sur lequel on a : ( ) g (x, y) y.a x = y 1 g g (x, y) (x, 0) A y x x ɛ y. D après l IAF, on a donc sur ce voisinage g(x, y) xy.a ɛ yx. De même on montre que g(x, y) yx.b ɛ xy, donc yx.b xy.a ɛ yx et enfin B A 2ɛ. En faisant tendre ɛ vers 0, on conclut la preuve. 15

4.2 Différentielles d ordres supérieurs On définit de la même façon par récurrence les notions de fonction n fois différentiable en a, sur U et de classe C n sur U : On note L n (E, F ) l e.v.n. des applications n-linéaires de E n dans F muni de la norme usuelle M = sup x (E\{0}) n M(x) F x 1 E... x n E On identifie L(E, L n (E, F ) avec L n+1 (E, F ) (écrire l isomorphisme!). On note D 1 f pour Df. Définition 4.3. Soit n 2. On dit que f est n fois différentiable en a U s il existe un ouvert U U contenant a sur lequel f est n 1 fois différentiable et si l application D n 1 fu L n 1 (E, F ) est différentiable en a, auquel cas on note D n f a L n (E, F ) la différentielle et on l appelle la différentielle n-ième de de f au point a. Si f est n fois différentiable en tout point de U et si l application D n f : U L n (E, F ) est continue sur U, on dit que f est de classe C n sur U. 4.3 Une formule explicite pour D 2 f a Rappel. Soit f : U R n F une application différentiable au point a U. Alors pour tout h = (h 1,..., h n ), Df a (h) = n i=1 f x i (a)h i Cette formule se généralise de la façon suivante : Soit F un e.v.n et soit f : U R n F une application deux fois différentiable en a U. Alors pour tous h = (h 1,..., h n ) et k = (k 1,..., k n ) dans R n, on a : ( La matrice H(f) = ) f x i x j D 2 f a (h, k) = n i=1 n j=1 2 f x i x j (a)h i k j de Df est appelée matrice hessienne de f. Lorsque f est deux fois différentiable sur U, alors le théorème de Schwarz implique : a U, i, j, c est à dire que H a (f) est symétrique et 2 f x i x j (a) = 2 f x j x i (a), D 2 f a (h, k) = hh a (f)k = n i=1 2 f (a)h x 2 i k i + i 1 i<j n 2 f x i x j (a)(h i k j + h j k i ) La forme quadratique q : R n F associée à la forme bilinéaire D 2 f a s exprime donc par : 16

h = (h 1,..., h n ) R n, q(h) = D 2 f a (h, h) = 4.4 La formule de Taylor-Young n i=1 2 f x 2 i (a)h 2 i + 2 1 i<j n 2 f x i x j (a)h i h j Théorème 4.4. Soient E et F des e.v.n, soit U un ouvert de E et soit f : U F une application n fois différentiable au point a U. Alors x U, f(x) = f(a) + 1 1! Df a(x a) + 1 2! D2 f a (x a, x a) +... +... + 1 n! Dn f a (x a,..., x a) + o((x a) n ) Remarque. Pour n = 1, c est la définition de la différentielle Df a. Pour n = 0, c est celle de la continuité en a. Preuve La démonstration se fait par récurrence sur n. La remarque assure l initilisation. Pour l hérédité, on appelle φ la différence f(a + h) n+1 k=0 applique l hypothèse de récurrence à Dφ et l IAF à φ. 4.5 Points critiques - extrema libres 1 k! Dk f a (h,..., h) puis on Définition 4.5. Soit E un e.v.n., soit U une ouvert de E et soit f : U R. On dit que f admet au point a U un minimum local (resp. maximum local) s il existe un ouvert U U contenant a tel que x U, f(x) f(a) (resp. f(x) f(a)). Si les inégalités sont strictes, on parle de minimum (resp. maximum) local strict. Définition 4.6. Un point a U tel que Df a = 0 s appelle un point critique de f. D après le théorème 2.4, les extrema locaux des fonctions réelles différentiables sont atteints en des points critiques. Les autres points critiques sont appelés points-selle. Le résultat suivant donne des conditions suffisantes pour distinguer les extrema et les points-selle. Théorème 4.7. Soit E un e.v.n. de dimension finie, U un ouvert de E et f : U R une application deux fois différentiable en a U. On suppose que a est un point critique de f. 1. Si la forme quadratique q : h E D 2 f a (h, h) est définie positive, alors f admet en a un minimum local strict. 2. Si la forme quadratique q est définie négative, alors f admet en a un maximum local strict. 3. S il existe h, k E tels que D 2 f a (h, h) > 0 et D 2 f a (k, k) < 0, alors a est un point-selle. Corollaire 4.8 (E = R 2, Lagrange, 1759). Soit U un ouvert de R 2 et soit f : U R une application deux fois différentiable en a U telle que Df a = 0. On pose : r = 2 f x 2, t = 2 f y 2, s = 2 f x y 17

1. Si rt s 2 > 0, alors f admet au point a un extremum local strict. Si r > 0, il s agit d un minimum ; Si r < 0, il s agit d un maximum. 2. Si rt s 2 < 0, alors f n admet pas d extremum local au point a. 4.6 Exercices Exercice 4.1 (!). Calculer la différentielle seconde d une application linéaire. Même question pour une application bilinéaire. Exercice 4.2 (!). Soit f : R 2 R l application définie par : (x, y) R 2, f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 + 2y 2 Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle). Exercice 4.3. Soit f : R 2 R l application définie par : (x, y) R 2, f(x, y) = x 3 + y 3 3xy 1) Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle). 2) En déduire une esquisse dans R 2 des lignes de niveau de l application f (i.e. les ensembles d équation f(x, y) = constante). Exercice 4.4. Soit f : R 2 R définie par f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 8xy 1) Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle) 2) En déduire une esquisse de la surface de R 3 d équation z = f(x, y) et l allure des lignes de niveau de f. 18

5 Le théorème d inversion locale Dans ce chapitre, les espaces vectoriels normés considérés sont de dimension finie. Nous allons généraliser le résultat suivant : Théorème 5.1. Soit f :]a, b[ R une application de classe C 1 sur ]a, b[ telle que en x 0 ]a, b[, f (x 0 ) 0. Alors il existe un intervalle ouvert I ]a, b[ contenant x 0 et un un intervalle ouvert de J tels que la restriction de f à I soit un difféomorphisme de I sur J. 5.1 Homéomorphismes et difféomorphismes Définition 5.2. Soient E, F et G des evn, U un ouvert de E, V un ouvert de F. Une application f : U V est un homéomorphisme si f est bijective et si f et f 1 sont continues. Une application f : U V est un difféomorphisme si f est bijective et si f et f 1 sont de classe C 1. Remarque. f difféomorphisme f homéomorphisme. Réciproque fausse : une application f : U V de classe C 1 peut admettre une fonction inverse f 1 continue sans être un difféomorphisme. Par exemple f : R R définie par f(x) = x 3 est bijective et C 1. Son inverse est f 1 (y) = x 1/3 qui est continue mais pas différentiable en 0. La proposition suivante donne une condition pour qu un homéomorphisme soit un difféomorphisme : Proposition 5.3. Soient E et F des evn, U E et V F des ouverts. Soit f : U V un homéomorphisme de classe C 1. Alors f est un difféomorphisme si et seulement si pour tout x U, la différentielle Df x est un isomorphisme de E sur F, auquel cas, on a : D(f 1 ) f(a) = (Df a ) 1 Remarque. Si en un point x U, la différentielle est un isomorphisme, alors en particulier dim E = dim F. Preuve. Si f est un difféo, alors en particulier f 1 est inversible et f 1 f = Id U et f f 1 = Id V. Donc pour tout a U et b = f(a), D(f 1 ) b Df a = Id E Ceci prouve que Df a est inversible d inverse D(f 1 ) b. et Df a D(f 1 ) b = Id F Soit a U. Supposons Df a inversible. Posons b = f(a), et A = Df a. a) Supposons que E = F et A est l identité. Montrons que f 1 est différentiable en b de différentielle l identité. Soit k F tel que b + k V. Posons γ(k) = f 1 (b + k) f 1 (b) = f 1 (b + k) a γ 1 (k) = f 1 (b + k) f 1 (b) k = γ(k) k 19

On doit montrer que γ 1 (k) lim k 0 k Exprimons la différentiabilité de f en a. Pour h E tel que a + h U, on a : = 0 f(a + h) = b + h + h ɛ(h) avec lim h 0 ɛ(h) = 0. Comme f 1 est continue, lim k 0 γ(k) = 0, donc on peut remplacer h par γ(k) dans la derniere équation, ce qui donne b + k = f(f 1 (b + k)) = f(a + γ(k)) = b + γ(k) + γ(k) ɛ(γ(k)) et donc k = γ(k) + γ(k) ɛ(γ(k)). γ(k) De là on déduit d une part γ 1 (k) = γ(k) ɛ(γ(k)) et d autre part lim k 0 = 1. k En combinant les deux on voit que γ 1 (k) lim k 0 k γ(k) = lim lim ɛ(γ(k)) = 0. k 0 k k 0 b) On obtient le cas général en appliquant le cas précédent à g = A 1 f c) D(f 1 ) : V L(F, E) est continue sur V. En effet, D(f 1 ) y = (Df f 1 (y)) 1, donc D(f 1 ) = Inv Df f 1 où Inv désigne l application Inv : Gl(E, F ) Gl(E, F ) définie par Inv(u) = u 1 dont les coordonnées sont des fractions rationnelles. Donc D(f 1 ) est continue comme composée d applications continues. 5.2 Le théorème d inversion locale Définition 5.4. Soient E et F des evn, U un ouvert de E. Une application f : U F est un difféomorphisme local en a s il existe un ouvert U 1 U contenant a et un ouvert V de F tel que f se restreigne en un difféomorphisme de U 1 sur V. Il résulte de la proposition 5.3 que si f est un difféomorphisme local en a, alors Df a est inversible. Le théorème suivant dit que la réciproque est vraie : Théorème 5.5. d inversion locale Soient E et F des evn, U un ouvert de E, et soit f : U F une application de classe C 1. Soit a U tel que Df a soit inversible. Alors f est un difféomorphisme local en a. La démonstration sera donnée plus loin. Application. Soit f : R 2 R 2 définie par f(x, y) = (x + y 4, y + x 3 y). Alors f est un difféomorphisme local en (0, 0) car sa matrice jacobienne ( ) 1 0 Jf (0,0) = 0 1 est inversible. Cela entraîne que si (a, b) est assez proche de f(0, 0) = (0, 0), alors le système d équations 20

x + y 4 = a y + x 3 y = b admet une solution (x(a, b), y(a, b)) qui dépend différentiablement de (a, b) et telle que x(0, 0) = 0 et y(0, 0) = 0. Si on essaie de faire la résolution explicite, on a à résoudre l équation du treizième degré y + (a y 4 ) 3 y = b, ce qui n est pas facile! 5.3 Le théorème du point fixe La preuve du thm d inversion locale utilise de manière essentielle le théorème du point fixe dans les espaces métrique complets (cf. cours de topologie), dont nous donnons un énoncé moins général ici : Théorème 5.6. Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et soit B un fermé de E. Soit g : B B une application vérifiant la propriété suivante : il existe k < 1 tel que x, y B, g(y) g(x) k y x (on dit que g est une contraction) Alors il existe un unique x B tel que g(x) = x. 5.4 Démonstration du théorème d inversion locale Soit f : U F une application de classe C 1 et soit a U tel que Df a soit inversible. Puisque l on travaille en dimension finie, on a dim E = dim F et on peut supposer sans perdre en généralité que E = F = R n. Première étape. On se ramène au cas où a = 0, f(a) = 0 et Df a = Id E en remplaçant f par : h(x) = (Df a ) 1 (f(x + a) f(a)). En effet, on a bien h(0) = 0 et Dh 0 = Dfa 1 Df a = Id E. Par ailleurs, f est un difféomorphisme local en a si et seulement si h est un difféomorphisme local en 0. Deuxième étape. Pour montrer que h est un difféomorphisme local, il faut montrer que l équation y = h(x), où y est donné proche de h(0) = 0 admet une unique solution proche de 0. Considérons g : U R n définie par g(x) = x h(x) et posons g(x) = g(x) + y. On a : y = h(x) g(x) = x Nous allons appliquer le théorème du point fixe à g sur un fermé de R n. On a Dg 0 = Id R n Dh 0 = 0 L(R n,r n ) Or Dg est continue en 0 puisque f est C 1. Donc il existe r > 0 tel que la boule ouverte B(0, r) soit contenue dans U et tel que x B(0, r), Dg x < 1 2 21

Appliquons le théorème de la moyenne à g dans le convexe B(0, r) : et donc, on a aussi : x, x B(0, r), g(x) g(x ) 1 2 x x (5) x, x B(0, r), g(x) g(x ) 1 2 x x Pour x = 0, on obtient en particulier : x B(0, r), g(x) y 1 x, donc 2 g(b(0, r)) B(y, r/2). Choisissons alors y dans B(0, r/2). On obtient : g(b(0, r)) B(0, r). Donc pour y fixé dans B(0, r/2), la restriction g : B(0, r) B(0, r) est une contraction de rapport 1/2. Donc il existe un unique x B(0, r) tel que x = g(x), c est à-dire tel que h(x) = y. Conclusion : h est une bijection du voisinage ouvert de 0 Ω = B(0, r) h 1 (B(0, r/2)) sur le voisinage ouvert B(0, r/2) de h(0) = 0. Troisième étape. Notons h : Ω B(0, r/2) la restriction de h. D après ce qui précède h est une bijection. De plus, h est de classe C 1 par hypothèse. Donc d après la proposition 5.3, pour montrer que h est un difféomorphisme il reste à démontrer que (h ) 1 est continue sur B(0, r/2). Soient y, y B(0, r/2). Posons x = (h ) 1 (y) et x = (h ) 1 (y ). D après (5), on a : (h ) 1 (y) (h ) 1 (y ) = x x = h(x)+g(x) (h(x )+g(x )) h(x) h(x ) +1/2 x x Donc En particulier (h ) 1 est continue. 5.5 Exercices (h ) 1 (y) (h ) 1 (y ) 2 y y Exercice 5.1. Calculer la matrice jacobienne des applications suivantes. En quels points peut-on appliquer le théorème d inversion locale? a) f : R 2 R 3 (x, y) (x + y, x 2 + y 2, x 2 y 2 ) b) c) f : R 2 R 2 (x, y) (sin x cosh y, cos x sinh y) f : R 3 R 3 (x, y, z) (x + y 2, y + z 2, z + x 2 ) 22

Exercice 5.2. 1) Démontrer que l application P : R 2 R 2 (ρ, θ) (ρ cos θ, ρ sin θ) est un difféomorphisme local au voisinage de tout point de R R. 2) Déterminer un ouvert maximal U R 2 tel que la restriction P U de P à U soit un difféomorphisme de U sur P (U). Décrire P (U). 3) Pour (x, y) P (U), calculer D(P 1 )(x, y). Exercice 5.3. Soit f : R 2 R une application différentiable sur R 2 et soit f : R 2 R l application définie par f(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ). 1) Calculer les dérivées partielles de f en fonction de celles de f. 2) Résoudre l équation aux dérivées partielles x f f (x, y) + y x y (x, y) = x 2 + y 2 Exercice 5.4. Déterminer les fonctions f : R 2 R de classe C 1 qui sont solutions de α f f (x, y) + β (x, y) = 0 x y Exercice 5.5. Déterminer les fonctions f : R 2 R de classe C 1 qui vérifient simultanément les deux équations suivantes : x f f (x, y) + y x y = 0 (1) y f (x, y) x f x y = 1 (2) 23

6 Théorème des fonctions implicites Considérons l équation du cercle x 2 +y 2 = 1. On sait expliciter la variable y en fonction de x sur un voisinage ouvert U d un point y 0 > 0 : y(x) = 1 x 2. Cet exemple est particulier : en général, étant donné f, on ne peut pas décrire explicitement une variable en fonction de l autre. Comme son nom l indique, le théorème des fonctions implcites donne des conditions pour que, dans une équation du type f(x, y) = 0, l on puisse exprimer localement une variable en fonction de l autre, mais sans formule explicite. 6.1 Énoncé du théorème Soient n, p et q trois entiers, soit U un ouvert de R n R p et soit f : U R q une application différentiable sur U. Si (x, y) U avec x R n et y R p, on notera f(x, y) la valeur de f en (x, y). Fixons (a, b) U. Définition 6.1. L application x f(x, b) est définie sur un voisinage de a dans R n et est différentiable en a. On note D 1 f (a,b) sa différentielle et on l appelle la différentielle partielle de f par rapport à la variable x. De même, on note D 2 f (a,b) la différentielle au point b de l application y f(a, y) et on l appelle la différentielle partielle de f par rapport à la variable y. Ceci généralise la notion de dérivée partielle. En effet, lorsque n = p = q = 1, alors pour h R, on a : D 1 f (a,b).h = f (a, b).h et D x 2f (a,b).h = f (a, b).h. y Au chapitre 1, nous avons démontré une relation entre la différentielle d une application f : R n R : h = (h 1,..., h n ), Df a (h) = h 1 f x 1 (a) +... + h n f x n (a) Avec les mêmes arguments, on obtient une relation entre les différentielles partielles et la différentielle d une application f : U R q où U est un ouvert de R n R p : Proposition 6.2. Pour tout (h, k) R n R p, Df a (h, k) = D 1 f (a,b).h + D 2 f (a,b).k Théorème 6.3. Soient n et p deux entiers, soit U un ouvert de R n R p et soit f : U R p une application de classe C 1 sur U. Soit (a, b) U tel que f(a, b) = 0. On suppose que la différentielle partielle D 2 f (a,b) est inversible. Alors il existe un voisinage ouvert V de a dans R n, un voisinage ouvert W de b dans R p et une application φ : V W tels que ( (x, y) V W et f(x, y) = 0 ) ( x V et y = φ(x) ) De plus, pour tout x V et y = φ(x), on a : Dφ x = [D 2 f (x,y) ] 1 D 1 f (x,y) 24

Remarque. Dire que D 2 f (a,b) est inversible équivaut à dire que la matrice est inversible. ( ) fi y j (a, b) 1 i,j p 6.2 Interprétation géométrique Le sous-espace de R n+p défini par l équation f(x, y) = 0 est localement, au voisinage du point (a, b), le graphe d une application φ : R n R p. Cas particuliers n = p = 1 : courbes dans R 2 n = 2, p = 1 : surfaces dans R 3 6.3 Démonstration du théorème Considérons l application h : U R n R p définie par h(x, y) = (x, f(x, y)). Calculons sa différentielle au point (a, b) : Dh (a,b) (h, k) = (h, Df (a,b) (h, k) = (h, D 1 f (a,b).h + D 2 f (a,b).k) On constate que Dh (a,b) est inversible. En effet, pour (z, t) fixé dans R n R p, l équation Dh (a,b) (h, k) = (z, t) admet pour unique solution : h = z et k = [D 2 f (a,b) ] 1 (t D 1 f (a,b).z) On peut donc appliquer le théorème d inversion locale à h en (a, b) : il existe un voisinage ouvert U 1 de (a, b) dans R n R p et un ouvert V 1 de R n R p contenant (a, b) tels que h se restreigne en un difféomorphisme de U 1 sur V 1. Le difféomorphisme inverse de h U1 est de la forme (z, t) g(z, t) où g : V 1 R p est de classe C 1. Si (x, y) U 1, alors l équation f(x, y) = 0 est équivalente à h(x, y) = (x, 0) et donc à (x, y) = (x, g(0, x)), c est-à dire y = g(x, 0). Finalement, soit V un voisinage ouvert de a dans R n et W un voisinage ouvert de b dans R p tels que V W U 1. Si x V, on pose φ(x) = g(x, 0). Alors l application φ : V W vérifie les propriétés du théorème. Pour calculer Dφ x, on pose y = φ(x) et on différencie la relation f(x, φ(x)) = 0 : pour tout h R n, D 1 f (x,y).h + (D 2 f (x,y) Dφ x ).h = 0 6.4 Exercices Exercice 6.1. On considère pour α réel positif fixé, la courbe du plan définie implicitement par x 3 + y 3 3αxy = 0 a) Posant y = tx, t R (passage aux coordonnées paramétriques), dessiner cette courbe x = x(t), y = y(t). b) En utilisant le théorème des fonctions implicites, déterminer la tangente à la courbe au point (x(1), y(1)). 25

c) Déterminer les points de la courbes où le théorème des fonctions implicites ne peut pas s appliquer. Exercice 6.2. Dans cet exercice, E = R n, où n est un entier 1. Soit f : L(E) L(E) L(E) l application définie par : A, B L(E), f(a, B) = B 1 (Id A + B)2 2 1) Déterminer la différentielle de f. 2) Le théorème des fonctions implicites s applique-t il à f au voisinage de (Id, O) L(E) L(E)? Exercice 6.3. En quels points a de la surface de R 3 d équation x 2 yz = 0 existe-t-il un paramétrage local de la forme z = φ(x, y)? Calculer explicitement φ φ (a) et (a) en choisissant un point a de la surface. x y Exercice 6.4. Soit P a (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n un polynôme à coefficients réels. On pose a = (a 0,..., a n ). Fixons a = (a 0,..., a n) dans R n+1. On suppose que P a possède une racine réelle x 0. Ecrire une condition suffisante pour que, pour a proche de a, le polynôme P a possède une racine réelle x 0 proche de x 0 dépendant différentiablement de a. Exercice 6.5. Soit U un voisinage ouvert de 0 dans R n et f : U R m une fonction C 1 telle que f(0) = 0. On note Jf(0) la matrice jacobienne de f en 0. On remarquera que permuter les lignes ou les colonnes de Jf(0) revient a composer f avec des isomorphismes de R m ou de R n (donc avec des difféomorphismes). On suppose que que Df(0) est injective (n m). De plus, on suppose, quitte à les permuter, que les n premières lignes de Jf(0) sont linéairement indépendantes. Considérons la fonction F : U R m n R m définie par F (x, x ) = f(x ) + (0, x ) 1) Montrer, en appliquant le théorème d inversion locale à F, qu il existe un difféomorphisme local v défini sur un voisinage de 0 dans R m tel que : (v f)(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n, 0,..., 0) 2) Interpréter géométriquement le résultat. 3) Soit f : R R 2 définie par f(t) = (t 2, t 3 ). Dessiner f(r). Qu en pensez-vous? 26

7 Sous-variétés de R n - extrema liés 7.1 Sous-variétés Définition 7.1. Une partie M de R n est une sous-variété différentiable de dimension p n de R n si pour tout a M, il existe un voisinage ouvert U a de a dans R n et un difféomorphisme φ : U a V a R n tel que φ(u a M) = V a (R p {0 R n p}) Si φ est de classe C n, on parle de sous-variété C n. Si φ est de classe C, on parle de sous-variété lisse. 7.2 Submersions Définition 7.2. Soit Ω un ouvert de R n. Une application de classe C 1 f : Ω R k est une submersion sur Ω si pour tout a Ω, la différentielle Df a est surjective. Théorème 7.3. Soit Ω un ouvert de R n et soit f : Ω R k une submersion avec k < n. Alors le sous-ensemble M = f 1 (0) de R n est une sous-variété de dimension n k de R n. On dit que f(x) = 0 est une équation de M. Preuve Fixons a Ω. Puisque Df a est de rang k, alors la matrice jacobienne de f possède k colonnes linéairement indépendantes. Quitte à composer f par un difféomorphisme de R n qui permute les variables, on peut supposer qu il s agit des k dernières colonnes. On définit F : Ω R n = R n k R k par : La matrice jacobienne de F s écrit : F (x 1,..., x n ) = (x 1,..., x n k, f(x)) 1 n k 0 f 1 f x 1 (a)... 1 f x n k (a) 1 x n k+1 (a)... JF a =... f k f x 1 (a)... k f x n k (a) k x n k+1 (a)... f 1 x n (a). f k x n (a) JF a est inversible, donc d après le théorème d inversion locale, F est un difféomorphisme local au voisinage de a : il existe un voisinage ouvert U a de a dans R n et un ouvert V a de R n tel que F : U a V a soit un difféomorphisme. On vérifie aisément que F (U a M) = V a (R n k {0 R k}). Exemples. La sphère unité dans R n, le cône épointé, le cylindre, le tore dans R 3, etc. (cf. exercices) 27

7.3 Espace tangent à une sous-variété Théorème 7.4. Soit M une sous-variété de R n de dimension n k d équation f(x) = 0, où f : Ω R k désigne une submersion avec k < n. Alors 1. M est partout localement le graphe d une application φ : R n k R k 2. Pour tout x M, ker Df x est formé des vecteurs vitesses de courbes de classe C 1 tracées sur M et passant par x. Preuve 1) Posons f = (f 1,..., f k ). Soit a M. Puisque f est une submersion, la matrice jacobienne Jf a admet k colonnes linéairement indépendantes. Quitte à permuter les variables, on peut supposer que ce sont les k dernières. Pour (x 1,..., x n ) R n, posons x = (x 1,..., x n k ) et y = (x n k+1,..., x n ). et regardons f comme (x, y) f(x, y). Alors D 2 f a est un isomorphisme de R k, donc d après le des fonctions implicites, il existe un voisinage U de (a 1,..., a n k ) dans R n k, un voisinage V de (a n k+1,..., a n ) dans R k et une application φ : U V tels que ( x U, y V et f(x, y) = 0 ) ( x U et y = φ(x) ) i.e. M est localement le graphe de φ au voisinage du point a. 2) Soit c : I R n une courbe de classe C 1 tracée sur M et passant par a, c est-à-dire : I est un intervalle de R contenant 0, c(0) = a et t I, f(c(t)) = 0. Alors (f c) (0) = Df a (c (0)) = 0 Donc c (0) ker Df a. Réciproquement, soit (h x, h y ) ker Df a. Posons A = (a 1,..., a n k ) et considérons la courbe définie par c x (t) = A + th x et c y (t) = φ(a + th x ) Alors t I, c(t) M, et c (0) = (h x, c y(0)) avec c y(0) = Dφ A (h x ). Donc d après le théorème des fonctions implicites, c y(0) = D 2 f 1 a D 1 f a (h x ). Or (h x, h y ) ker Df a implique que Df a h = D 1 f a (h x ) + D 2 f a (h y ) = 0. Donc c y(0) = h y. Définition 7.5. Soit M une sous-variété de R n définie par une équation f(x) = 0, où f : Ω R k désigne une submersion avec k < n. On appelle espace tangent à M au point x M le sous espace vectoriel ker Df x. Il est noté T x M. Le sous-espace affine tangent à M en x est défini comme x + T x M. Exemples 28

1. Courbes dans R 2 k = 1 et n = 2. f : Ω R 2 R submersion. On considère la courbe M R 2 donnée par l équation f(x, y) = 0. Alors en a = (x 0, y 0 ) M, la droite affine tangente a + T a M est donnée par l équation : (x x 0 ) f x + (y y 0) f y = 0 2. Surfaces dans R 3 k = 1 et n = 3. f : Ω R 2 R submersion. On considère la surface M R 3 donnée par l équation f(x, y, z) = 0. Alors en a = (x 0, y 0, z 0 ) M, le plan affine tangent a + T a M est donnée par l équation : (x x 0 ) f x + (y y 0) f y + (z z 0) f z = 0 7.4 Extrema liés, multiplicateurs de Lagrange On recherche les extrema de la restriction à une sous variété de R n d une fonction de n variables. Théorème 7.6. Soit Ω un ouvert de R n et soit g : Ω R k une submersion. On considère la sous-variété M de R n d équation g(x) = 0. Soit f : Ω R de classe C 1. Si la restriction f M admet un extremum au point a M, alors il existe k réels λ 1,..., λ k tels que : Df a = λ 1 Dg 1 (a) +... λ k Dg k (a) Définition 7.7. Les réels λ 1,..., λ k s appellent des multiplicateurs de Lagrange. Pour prouver le théorème, on utilisera le lemme suivant. Lemme 7.8. Pour toutes applications linéaires f : E F et g : E G, il existe une application linéaire L : Imf F telle que f = L g si et seulement si Kerg Kerf. Preuve du Thm 7.6. Montrons d abord qu on a ker Dg a ker Df a. Soit donc v ker Dg a. D après le théorème 7.4, il existe une courbe c tracée sur M telle que c(0) = a et c (0) = v. Comme a est un point extremum de f M, f c admet un extremum en 0, donc (f c) (0) = 0, i.e. v = c (0) ker Df a. D après le lemme, il existe donc L L(R k, R) telle que Df a = L Dg a. Maintenant, soit e 1,..., e k la base canonique de R k. Pour tout i = 1,..., k, posons λ i = L(e i ). Alors pour tout h R n, Df a (h) = (L Dg a )(h) = L(Dg 1 a(h),..., Dg k a(h)) Donc Df a (h) = (λ 1 Dg 1 (a) +... + λ k Dg k (a)).h 29

7.5 Exercices Exercice 7.1. Notons S n le sous ensemble de R n+1 d équation x 2 1 +... + x 2 n+1 = 1 Montrer que S n est une sous-variété de R n+1 dont on précisera la dimension. Dessiner Exercice 7.2. Même question pour le sous ensemble T 2 de R 3 d équation avec 0 < r < 1. Dessiner T 2. ( x 2 + y 2 1) 2 + z 2 = r 2 Exercice 7.3. L équation x 2 + y 2 z 2 = 0 définit-elle une sous-variété de R 3? Donner un ouvert maximal de R 3 sur lequel l équation définit une sous-variété. Exercice 7.4. Décrire l espace tangent en (1, 1, 1) à la courbe de R 3 équations x 2 yz = 0 3x 2 y 2z = 0 Exercice 7.5. 1) Soit A le sous-ensemble de R 3 défini par : A = {(x, y, z) R 3 / 5x 2 + 9y 2 + 6z 2 + 4yz 1 = 0} Démontrer que A est un sous-espace compact de R 3. 2) Soit f : R 3 R l application définie par : x R 3, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 définie par les Soit (x 0, y 0, z 0 ) A. Donner une condition nécessaire pour que la restriction de f à A admette un extremum en (x 0, y 0, z 0 ). 3) En déduire les extrema de la restriction de f à A. Exercice 7.6. Soit A le sous-ensemble de R 3 défini par : A = {(x, y, z) R 3 / x 2 + 2y 2 1 = 0 et 3x 4z = 0} et soit f : R 3 R l application définie par : x R 3, f(x, y, z) = x y z Déterminer les extrema de la restriction de f à A. Exercice 7.7. La densité d une surface métallique Σ définie par l équation x 2 +y 2 +z 2 = 4 est donnée par ρ(x, y, z) = 2 + xz + y 2. Déterminer les points de Σ où la densité est la plus faible et ceux où elle est la plus forte. Exercice 7.8. Mettre le nombre 1728 sous la forme d un produit xyz = 1728 de nombre positifs de telle sorte leur somme soit minimum. Exercice 7.9. Soit A le sous-ensemble de R 3 défini par : A = {(x, y, z) R 3 / x 2 + 2y 2 1 = 0 et 3x 4z = 0} et soit f : R 3 R l application définie par : x R 3, f(x, y, z) = x y z Déterminer les extrema de la restriction de f à A. 30

Deuxième partie Équations différentielles 8 Généralités 8.1 Définitions Définition 8.1. Une équation différentielle ordinaire d ordre n est une relation G(x, y, y,..., y (n) ) = 0 où G : U E p désigne une application continue d un ouvert U de R E n+1 dans un e.v.n E (de dimension finie pour nous), et y : x y(x) une application de la variable réelle x à valeurs dans E, n fois dérivable. Définition 8.2. On dit que l équation différentielle est sous forme résolue si elle s écrit : Exemples : y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) 1. xy 2y = 0 E = R, n = 1, p = 1, pas sous forme résolue. 2. { y 1 = y 1 + 2y 2 5y 2 + 2x y 2 = y 1 + y 2 + y 1 2y 2 + 3x E = R, n = 2, p = 2, y = (y 1, y 2 ), sous forme résolue. Définition 8.3. On appelle solution de l équation différentielle G(x, y, y,..., y (n) ) = 0 tout couple (I, φ) où I désigne un intervalle de R et φ : I E une application n fois dérivable sur I telle que x I, G(x, φ(x), φ (x),..., φ (n) (x)) = 0 8.2 Raccordements des solutions, solutions prolongeables, solutions maximales Exemple : xy 2y = 0 (E) a) On se place sur un intervalle I ne contenant pas 0. Alors (I, φ) solution de (E) k R / x I, φ(x) = kx 2 b) Maintenant, on cherche une solution sur R : (R, φ) est solution de (E) si et seulement si φ R + et φ R sont solutions, φ est dérivable en 0 et φ(0) = 0. 31

D après a) (R, φ) est donc solution de (E) si et seulement si il existe deux réels k 1 et k 2 tels que x R, φ(x) = k 1 x 2 et x R +, φ(x) = k 2 x 2 Exemple : la fonction φ : R R définie par φ(x) = x2 2 sur R et φ(x) = x 2 sur R + est solution. Définition 8.4. On appelle prolongement d une solution (I, φ) de (E) toute solution (J, ψ) de (E) telle que I J et ψ I = φ. Dans l exemple, la solution (R +, φ), φ(x) = x 2 admet une infinité de prolongements. Définition 8.5. On appelle solution maximale une solution qui n admet pas de prolongement. Bilan : On sera amenés à faire des raccordements de solution dés que pour des raisons pratiques ou théoriques, on travaillera sur des intervalles ne contenant pas certains points. Ce sera souvent le cas des équations non résolues. 8.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz Problème de Cauchy On se donne une équation différentielle G(x, y, y,..., y (n) ) = 0. Définition 8.6. On appelle conditions initiales tout n-uplet (x 0, y 0, y 0,..., y (n 1) 0 ). On appelle solution aux conditions initiales toute solution (I, φ) de (E) vérifiant y 0 = φ(x 0 ), y 0 = φ (x 0 ),..., φ (n 1) (x 0 ). Définition 8.7. On dit que (E) admet une solution unique aux conditions initiales (x 0, y 0, y 0,..., y (n 1) 0 ) si (E) admet une unique solution maximale sitisfaisant à ces conditions initiales., et si toute solution satisfaisant à ces conditions initiales en est restriction. On dit alors qu il y a unicité au problème de Cauchy (E), (x 0, y 0, y 0,..., y (n 1) 0 ) Exemple : xy 2y = 0. Discuter suivant les cas. Le résultat suivant donne une solution au problème de Cauchy dans le cas des équations résolues. Théorème 8.8. (admis) Considérons l équation différentielle y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) où U désigne un ouvert de R E n, F : U E une application de classe C 1 à valeurs dans un e.v.n. de dimension finie n. Alors pour tout (x 0, y 0, y 0,..., y (n 1) 0 ) U, (E) admet une unique solution maximale sur U satisfaisant aux conditions initiales (x 0, y 0, y 0,..., y (n 1) 0 ). 32

Idée de la dem pour n = 1 : l ingrédient essentiel est l idée suivante : y est solution au problème de Cauchy y = F (x, y), (x 0, y 0 ) si et seulement si y(x) = y 0 + x x 0 F (t, y(t))dt On applique le thm du point fixe sur une certaine partie fermée de C([x 0 T, x 0 + T ]) munie de la norme de la convergence uniforme à l application Ψ : A A définie par Ψ(y)(x) = y 0 + x Exemple d utilisation Intégrer l équation y = y 2 8.4 Méthodes d intégration x 0 F (t, y(t))dt Changement de variables ou de fonction inconnue (ex. : t = y/x, x = ρ cos θ, y = ρ sin θ) par difféomorphisme. Variables séparables. b(y)y = a(x) Les solutions sont données sous forme implicite par : b(y) dy = a(x)dx + k où k est une constante. 8.5 Exercices Exercice 8.1. Montrer que le problème de Cauchy suivant possède une solution unique : y (t) = y(t) sin(2t), t R, y(0) = 0, y (0) = 1 Exercice 8.2. Résoudre les problèmes de Cauchy suivants : a) y = t2 y 2, y(0) = 1 b) y = 1 + y 2, y(0) = 0 Exercice 8.3. Intégrer l équation différentielle (y 1)y = x 1 Exercice 8.4. Intégrer l équation différentielle 2y = 1 y 2 Exercice 8.5. Intégrer l équation différentielle y (y x) + y = 0 Exercice 8.6. Intégrer l équation différentielle y (y + x) = y x 33

9 Équations différentielles linéaires 9.1 Premier ordre Définition 9.1. Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation de la forme : y = A(t).y + B(t) (E) où : I est un intervalle de R, l inconnue y : I R n une application dérivable sur I, A : I L(R n ) et B : I R n des applications de continues. L équation homogène associée à (E) est : y = A(t).y (H) Fixons l intervalle I de R. On peut démontrer que dans le cadre équation linéaire, la conclusion du thm 8.8 reste vraie sous l hypothèse A et B continues : à toute condition initiale (t 0, y 0 ) I R n correspond une unique solution maximale (I, φ) de (E). Théorème 9.2. Soit I un intervalle de R. Notons E l espace des solutions de (E) sur I et H l espace des solutions de (H) sur I. Alors H est un espace vectoriel réel de dimension n, et E est un espace affine de direction vectorielle H. Autrement dit, la solution générale de (E) s écrit : SG (E) = SP (E) + SG (H) où SP (E) désigne une solution particulière de (E) et SG (H) la solution générale de (H) Preuve. Soient y 1 : I R n et y 2 : I R n des solutions de (E). Alors y 1 y 2 est solution de H. Donc si ψ : I R n désigne une solution particulière de (E), alors toute solution y de (E) s écrit : y(t) = ψ(t) + z(t) où z : I R n est solution de (H). Si z 1, z 2 H, alors pour tous λ 1, λ 2 R, λ 1 z 1 +λ 2 z 2 est solution de (H), ce qui montre que H est un sous-espace vectoriel de l espace vectoriel des applications différentiables de I dans R n. Reste à déterminer la dimension de H. Fixons t 0 dans I, et considérons l application linéaire Ψ : H R n définie par : Ψ(z) = z(t 0 ). D après 8.8, pour tout z 0 R n, il existe un unique z H tel que z(t 0 ) = z 0. Donc Ψ est un isomorphisme d espaces vectoriels et H est de dimension n. Cas n = 1 Soit α une primitive de A sur I, par exemple t t t 0 A(u)du. Alors la solution générale de (E) sur I est : où k R. φ(t) = e α(t) t t 0 e α(t) b(u)du + ke α(t) 34

9.2 Cas des coefficients constants On considère l équation homogène y = A.y On cherche la solution sur l intervalle I au problème de Cauchy (H) en les conditions initiales (t 0, y 0 ), où t 0 I et y 0 R n. Comme dans le paragraphe 8.3, la solution est construite par la méthode des approximations successives (thm du point fixe), comme limite de la suite définie par récurrence par : Par récurrence, on obtient : y 0 (t) = y 0, y n (t) = y 0 + (H) t t 0 A.y n 1 (u)du y n (t) = [Id R n + (t t 0 )A +... + (t t 0) n A n ].y 0 n! En passant à la limite, on obtient : [ ] (t t 0 ) n y(t) = A n n! Définition 9.3. On définit l exponentielle d une matrice carrée par : n=0 exp(a) = n=0 A n n! La solution de (H) passant par (t 0, y 0 ) est donc : y(t) = exp[(t t 0 )A].y 0 35

9.3 Atelier : l exponentielle de matrice Propriétés de l exponentielle de matrice Soit E un espace vectoriel normé complet. On note End(E) l espace vectoriel normé complet des endomorphismes de E muni de la norme usuelle. On rappelle que End(E) est complet pour cette norme. 1) Soit A End(E). Considérons la suite S n = 1 + A + A2 +... + An 2! n! Démontrer que S n est de Cauchy dans End(E). On note exp(a) la limite de la suite S n et on l appelle exponentielle de la matrice A. 2) Démontrer que exp(a) exp( A ) 3) On rappelle que si x R, exp(x) = lim n (1 + x n )n Soit A End(E). Démontrer que exp(a) = lim n (1 + A n )n 4) Soit B un isomorphisme de E. Montrer que exp(b 1.A.B) = B 1. exp(a).b 5) Soient A et B End(E). a) Démontrer que A n B n n.[max( A, B )] n 1. A B b) En déduire que l application exp : End(E) End(E) est continue sur End(E). 6) Soient A et B End(E) tels que AB = BA a) Posons u = 1 + A + B et v = (1 + A n n )(1 + B n ) Démontrer que lim n u n v n = 0 b) En déduire que exp(a) exp(b) = exp(a + B) 7) On suppose ici E de dimension finie d. a) Soit A End(E) et soient (A 1,..., A d ) les colonnes de A. Soit h = (h 1,..., h d ) E d. Démontrer que D(det) A = d det(a 1,..., A k 1, h, A k+1,..., A d ) k=1 b) En déduire que c) Démontrer que det(1 + A n ) = 1 + 1 n tr(a) + o( 1 n ) det[exp(a)] = exp[tr(a)] Résolution explicite de y = A.y : exemples 36

Rappel : soit A End(E), soit t R et soit y 0 E. La solution y : R E de l équation différentielle y (t) = A.y(t) (H) passant par (t 0, y 0 ) est : y(t) = exp[(t t 0 )A].y 0 1) Posons A = 1. Calculer exp(ta). En déduire les trajectoires dans R 2 des solutions de l équation (H) passant par (0, y 0 ) suivant les valeurs de y 0 R 2. 2) Même question avec ( ) 0 1 A = 1 0 3) Même question avec A = ( ) 0 1 1 0 4) Soit A un endomorphisme diagonalisable. Soit e 1,..., e d une base de vecteurs propres associés aux valeurs propres λ 1,..., λ d de A. a) Pour k = 1,..., d, exp(ta).e k = exp(t.λ k ).e k b) En déduire que les t exp(t.λ k ).e k forment une base de l espace des solutions de (H). 5) Soit A End(E) un endomorphisme nilpotent d indice N, c est-à-dire que A N = 0 tandis que A p 0 pour p {1, 2,..., N 1}. a) Calculer exp(ta) b) En déduire la forme des solution de l équation (H). Trouver la solution passant par (t 0, y 0 ) = (0, (1, 2). 37

Annales d examen Année 1998-1999, session 1, 1h30 I Soit E et F deux espaces vectoriels normés sur R de dimensions finies et soit f : E F une application différentiable sur E. 1) a) Considérons l application α : R E E définie par α(t, x) = tx Soit (t, x) R E. Calculer D 1 (f α)(t, x)(1). b) Soit n N. Considérons les applications β : R E R F et γ : R F F définies par β(t, x) = (t n, f(x)) et γ(s, y) = sy Soit (t, x) R E. Montrer que D 1 (γ β)(t, x)(1) = nt n 1 f(x). 2) On suppose que f est homogène de degré n, c est-à-dire telle que Démontrer que x E, Df(x).x = nf(x) x E, t R, f(tx) = t n f(x) 1) (question de cours) Enoncer le théorème des fonctions implicites. 2) Soit H le sous-ensemble de R 3 défini par : II H = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 z 2 1 = 0} a) Le théorème des fonctions implicites peut-il s appliquer en tout point de H? Expliquer géométriquement le résultat. b) Déterminer l équation du plan tangent à H au point (1, 1, 1). 3) Pour tout x 0 R, on note C x0 le sous-ensemble de R 3 défini par C x0 = {(x, y, z) R 3 / x 2 + y 2 z 2 1 = 0 et x x 0 = 0} a) En quels points de C x0 peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites? (discuter suivant les valeurs de x 0 ). b) Décrire l ensemble C 1, puis expliquer géométriquement le résultat obtenu en 3)a) pour x 0 = 1. III Soit f : R 2 R l application définie par : (x, y) R 2, f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 2x 2 + 2y 2 Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle). 38

Année 1999-2000, session 1, 1h30 (question de cours) 1) Enoncer l inégalité des accroissements finis pour les convexes (sans démonstration). 2) Soient E et F des R-espaces vectoriels normés, soit U un ouvert connexe de E et soit f : U F une application différentiable sur U dont la différentielle Df(x) est nulle en tout point x de U. Que peut-on dire de f? (avec démonstration) II Soit f : R 2 R l application définie par f(x, y) = x 4 + 3x 2 y 4 + 8y 2, et soit C la courbe de R 2 d équation f(x, y) = 0. 1) Déterminer l ensemble des points de C au voisinage desquels le théorème des fonctions implicites permet d exprimer localement y en fonction de x? Même question pour x en fonction de y. 2) En quels points (x 0, y 0 ) C existe-t-il une tangente à C? 1) Soit A le sous-ensemble de R 3 défini par : III A = {(x, y, z) R 3 / 5x 2 + 9y 2 + 6z 2 + 4yz 1 = 0} Démontrer que A est un sous-espace compact de R 3. 2) Soit f : R 3 R l application définie par : x R 3, f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 Soit (x 0, y 0, z 0 ) A. Donner une condition nécessaire pour que la restriction de f à A admette un extremum en (x 0, y 0, z 0 ). 3) En déduire les extrema de la restriction de f à A. 39

Année 2000-2001, session 1, 3h I (question de cours) Soit E un R-espace vectoriel normé et soit U un ouvert de E. Soit f : U R une application deux fois différentiable au point a U. Donner une condition suffisante pour que f admette au point a un maximum local strict (avec démonstration détaillée). II (Différentiabilité d une norme) Considérons l application N : R n R définie par x = (x 1,..., x n ) R n, N(x) = n x i 1) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i 0. Démontrer que N est différentiable au point a. 2) Soit a = (a 1,..., a n ) R n tel que i {1,..., n}, a i = 0. Fixons i 0 tel que a i0 = 0. Soit h = (h 1,..., h n ) R n défini par h i0 = 1 et h i = 0, i i 0. Pour t R, calculer N(a + th) N(a). En déduire que N n est pas différentiable au point a. 3) Calculer chaque dérivée partielle de N en précisant son ensemble de définition. i=1 III Soit E un R-espace vectoriel normé et soit g : E E une application différentiable sur E telle qu il existe une constante k ]0, 1[ vérifiant : x E, Dg(x) k 1) Démontrer que f = Id E + g est injective. 2) Démontrer que l image réciproque par f d une partie bornée de E est une partie borné de E. IV (Coordonnées sphériques) Soit Ψ : R 3 R 3 l application définie par (r, θ 1, θ 2 ) R 3, Ψ(r, θ 1, θ 2 ) = (r cos θ 1, r sin θ 1 cos θ 2, r sin θ 1 sin θ 2 ) 1) Démontrer que la restriction de Ψ à ]0, [ ]0, π[ ] π, π[ est un C 1 -difféomorphisme. 2) Décrire géométriquement Ψ (faire un dessin). V 40

Soit S le sous-ensemble de R 3 défini par l équation xz + sin(xy) + cos(xz) = 1 1) Déterminer si, dans un voisinage de (0, 1, 1), le théorème des fonctions implicites permet de définir localement S par une équation de la forme z = f(x, y). Même question avec y = g(x, z). Et avec x = h(y, z). 2) Donner une équation du plan tangent à S en (0, 1, 1). VI La densité d une surface métallique Σ définie par l équation x 2 +y 2 +z 2 = 4 est donnée par ρ(x, y, z) = 2 + xz + y 2. Déterminer les points de Σ où la densité est la plus faible et ceux où elle est la plus forte. 41

Année 2001-2002, session 1, 3h I (question de cours) Soit U un ouvert de R 2, soit g : U R une application de classe C 1 sur U et soit f : U R une application différentiable sur U. On pose A = {(x, y) U /g(x, y) = 0}. Soit w A tel que Dg(w) 0. Donner (avec démonstration) une condition nécessaire pour que la restriction de f à A admette en w un extremun local. II Soit E et F deux espaces vectoriels normés sur R de dimensions finies et soit f : E F une application différentiable sur E. 1) a) Considérons l application α : R E E définie par α(t, x) = tx. Soit (t, x) R E. Calculer D 1 (f α)(t, x)(1). b) Soit n N. Considérons l application β : R E R F définie par β(t, x) = (t n, f(x)) et l application γ : R F F définie par γ(s, y) = sy Soit (t, x) R E. Montrer que D 1 (γ β)(t, x)(1) = nt n 1 f(x). 2) On suppose que f est homogène de degré n, c est-à-dire telle que Démontrer que x E, Df(x).x = nf(x) x E, t R, f(tx) = t n f(x) A tout triplet a = (a 0, a 1, a 2 ) R 3, on associe le polynôme P a R[X] défini par III P a (X) = a 2 X 2 + a 1 X + a 0 Fixons a = (a 0, a 1, a 2 ) R 3 tel que P a admette une racine réelle x. 1) Démontrer que si x est racine double de P a, alors pour tout voisinage V de a dans R 3, il existe a V tel que P a n admet aucune racine réelle. 2) Donner une condition nécessaire et suffisante sur a et x pour qu il existe un voisinage V de a dans R 3, un voisinage W de x dans R et une application ψ : V W de classe C 1 tels que (a, x) V W ( P a (x) = 0 x = ψ(a) ) 42

IV 1) Démontrer que l application Φ : R 2 R 2 définie par Φ(u, v) = ( u+v, u v ) est un 2 2 difféomorphisme de classe C. 2) Soit F : R 2 R une application deux fois différentiable sur R 2. Pour (u, v) R 2, calculer 2 (F Φ) (u, v) u v 3) Trouver les fonctions F : R 2 R de classe C 2 qui sont solutions de l équation des cordes vibrantes : 2 F x 2 2 F y 2 = 0 Soit f : R 2 R définie par V f(x, y) = (x 2 + y 2 ) 2 8xy 1) Déterminer les points critiques de f et leur nature (extrema, points-selle) 2) En déduire une esquisse de la surface de R 3 d équation z = f(x, y) et l allure des lignes de niveau de f. 43

Année 2002-2003, session 1, 3h I 1) (question de cours) Enoncer soigneusement le théorème de Lagrange concernant la nature des points critiques d une application f : U R, où U désigne un ouvert de R 2. 2) Considérons l application f : R 2 R définie par f(x, y) = x(x 2 + y 2 2x). a) Déterminer les points critiques de f. b) Le théorème de Lagrange permet-il de déterminer la nature du point critique (0, 0)? c) Décrire et dessiner l ensemble C 0 = {(x, y) R 2 /f(x, y) = 0} d) Démontrer que f garde un signe constant sur chacune des composantes connexes de R 2 \ C 0 et déterminer ces signes? e) En déduire que f n admet pas d extremum en (0, 0), mais que la restriction de f à toute droite D passant par (0, 0) admet un maximum en (0, 0). f) Donner l allure des lignes de niveau C λ = {(x, y) R 2 /f(x, y) = λ} de f. II Soit E un R-espace vectoriel normé de dimension finie. Munissons l espace vectoriel L(E) des endomorphismes de E de sa norme usuelle u = On note I l application identité de E sup u(x) E x E =1 1) Soit u L(E) tel que u < 1. Démontrer que I + u est inversible d inverse (I + u) 1 = ( 1) n u n 2) Vérifier que l ensemble Gl(E) des isomorphismes de E est un ouvert de L(E). 3) Considérons l application f : Gl(E) L(E) qui à u Gl(E) associe u 1. Démontrer en utilisant 1) que f est différentiable en tout point a de Gl(E) et déterminer Df(a). n=0 III Soit f : R 3 R la fonction définie par f(x, y, z) = x 2 xy 3 y 2 z + z 3 et soit S = {(x, y, z) R 3 /f(x, y, z) = 0 }. Montrer que S s exprime localement comme le graphe d une application φ : (y, z) x au voisinage du point (1, 1, 1) et donner une équation du plan tangent à S en (1, 1, 1). 44