Thème N 1 : RACINES CARREES (1)

Thème N 1 : RACINES CARREES (1) EQUATION (1) ESPACE (1) CALCUL LITTERAL (1) A la fin du thème, tu dois savoir : Utiliser le théorème de Pythagore (rappels de 4 ). Réduire une écriture littérale (rappels de 4 ). Résoudre une équation du premier degré (rappels de 4 ). Les pyramides et les cônes. : Description calculer un volume (rappels de 4 ). Savoir que si a désigne un nombre positif, a est le nombre positif dont le carré est a. 6 Sur des exemples numériques où a est nombre positif, utiliser les égalités : ( a )² = a ; a² = a. 7 Déterminer, sur des exemples numériques, les nombres x tels que x² = a, où a est un nombre positif. 8 Mettre en équation un problème. A - RAPPELS : LE THEOREME DE PYTHAGORE Dans un triangle ABC, le carré de l hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. B hypoténuse A C Si l on sait que ABC est un triangle rectangle en A, alors on peut écrire : BC ² = AC ² + AB ² Remarque : L hypoténuse est le plus long côté d un triangle rectangle. Méthode 1 : Calculer une longueur dans un triangle rectangle Soit ABD un triangle rectangle en B. On sait que AD = 0 cm et AB = 15 cm. Calculer BD à 0,01 près. Commencer par faire un croquis. A 15 cm 0 cm Le triangle ABD est rectangle en B. Donc, d après le théorème de Pythagore, on a : AD ² = AB ² + BD ² 0² = 15² + BD ² 400 = 5 + BD ² BD ² = 400 5 BD ² = 175 BD = 175 BD 1,8 Conclusion : La longueur BD est environ égale à 1, cm B? D

Méthode : Démontrer qu un triangle est rectangle. Soit RST un triangle tel que RS = 4,8 cm, RT = 5,5 cm et ST = 7, cm. Le triangle est-il rectangle? Commencer par faire un croquis. Dans le triangle RST, on a : ST ² = 7, ² = 5,9 RS ² + RT ² = 4,8 ² + 5,5 ² =,04 + 0,5 = 5,9 On constate que : ST ² = RS ² + RT ² On a l égalité de Pythagore dans le triangle RST, Conclusion : le triangle RST est rectangle en R. Méthode : Démontrer qu un triangle n est pas rectangle. Soit ABC un triangle tel que BC = 7 cm, AB = 4 cm et AC = 6 cm. Le triangle est-il rectangle? Commencer par faire un croquis. Dans le triangle ABC, on a : BC ² = 7 ² = 49 AB ² + AC ² = 4 ² + 6 ² = 16 + 6 = 5 On constate que : BC ² AB ² + AC ² L égalité de Pythagore n est donc pas vérifiée Conclusion : Comme, le triangle ABC n est pas rectangle. B - RAPPELS : LA REGLE DES SIGNES Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif Le produit de deux nombres de signes contraires est un nombre négatif ( +.. ) ( +.. ) = +.. (.. ) (.. ) = +.. (.. ) ( +.. ) =.. ( +.. ) (.. ) =.. Exemples : 4 5 = 0 ; 5 6 = 0 ; 8 ( ) = 4 ; 6 ( 8 ) = 48 C - RAPPELS : REDUIRE UNE EXPRESSION

Réduire une expression signifie l écrire sous la forme la plus simple possible, que l on appellera la forme réduite. Dans une expression littérale, on peut additionner entre eux les nombres, «les x avec les x», «les x avec les x», «les y avec les y», etc. Quand le signe n est pas écrit, c est le signe. A savoir : x x = x. Méthode 4 : Réduire une expression littérale. Enoncé : réduis, si possible, les expressions suivantes : A = x + x A = x + x A = x ( + ) A = x B = x + 4 5x + 7 B = x 5x + 4 + 7 On regroupe les termes en x B = x 1 5 x. + 4 + 7 ( on compte les x ) B = x ( 1-5 ) + 4 + 7 On factorise par x B = - 4x + 11 C = x + x ² - 5x 4x ² C = x ² - 4x² + x 5x On regroupe les, x ² puis les x C = x ² ( 4 ) + x ( 1-5 ) On factorise par x ² puis par x ( on compte les x ² et les x ) C = x² - 4x - D = 6 x x = x ( 6 ) = x E = x 7 x = 7 x x = 14 x ² F = 7 + 5 x ( déjà réduis ) G = x 5 = 5 x = 15 x H = 5y + x 7y + 9x 1 = x + 9x + 5y 7y 1 = 1x y 1 D RAPPELS : RESOUDRE UNE EQUATION DU PREMIER DEGRE Résoudre une équation consiste à travers la valeur (ou les valeurs) de x qui vérifie l équation. Une équation du 1 er degré n a pas de x. Exemple : dans l équation 5 x - 9 = x 1, l inconnue est x. 1 er membre nd membre de l équation Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, on regroupe les termes contenant l inconnue dans le membre de gauche et les autres nombres dans le membre de droite. Méthode 5 : Résoudre une équation.

Exemple 1 : Résoudre l équation 4x 1 = 8 x 1. On écrit l égalité : 4x 1 = 8 x. On regroupe les termes en x dans un des deux membres ( pour cela, on ajoute l opposé de ce terme dans chaque membre ) : 4x 1 + x = 8 x + x 5x 1 = 8. On fait de même avec les termes ne contenant pas l inconnue 5x 1 + 1 = 8 + 1 5x = 0 4. On divise par 5 de chaque côté de l égalité 5 x = 0 5 5 x = 4 5. On vérifie : 4x - 1 = 4 4 1 = 16 1 = 4 et 8 x = 8 4 = 4 Conclusion : L équation 4x 1 = 8 x a une seule solution : 4 Exemple : «Rédaction plus rapide» 5 x 9 = x 1 On repère les termes en x et les autres nombres. 5 x 9 x = - 1 On regroupe les termes en x dans le membre de gauche. 4 x = - 1 + 9 On regroupe les autres nombres dans le membre de droite et on calcule le nombre de x. 4 x = 8 On calcule le membre de droite. x = 4 8 On «isole» x. x = On écrite le résultat plus simplement. Conclusion : La solution de l équation est E - RAPPELS : 1) PYRAMIDES : VOCABULAIRE sommet arête latérale face latérale hauteur Polygone de base ) - CONES DE REVOLUTION : VOCABULAIRE

sommet génératrice hauteur Base ( disque ) Remarque : On appelle cône de révolution lorsque la hauteur passe par le sommet et le centre de la base et est perpendiculaire à celle-ci. ) - VOLUMES Pour une Pyramide ou un cône de révolution, le volume V est donné par: aire de la base hauteur Dans le cas d'un cône de révolution de hauteur h et dont le rayon de base est r : V r h = π. Méthode 6 : Comment calculer le volume d une pyramide et d un cône Exemple 1 : Une pyramide a pour baes un carré de côté 5 cm et pour hauteur AH = 6 cm. Calcule le volume de la pyramide en cm Etape 1 : On écrit la formule aire de la base hauteur Etape : On remplace par les données du problème. BE AH Etape : On calcule et on conclut. 5 6 = 50 Le volume de la pyramide est 50 cm Exemple : Un cône de révolution a pour hauteur 5 cm et pour rayon de base cm. Calcule l arrondi du volume du cône au dixième de cm Etape 1 : On écrit la formule aire de la base hauteur Etape : On remplace par les données du problème. OA SO π Etape : On calcule et on conclut. π 5 = 15π Le volume du cône de révolution est 15π l arrondi demandé est 47,1 cm. cm et F - DEFINITION DE LA RACINE CARREE

Définition : Le symbole «Soit a un nombre positif, la racine carrée de a est le nombre positif dont le carré est a. La racine carrée de a se note a.» s appelle le radical. Exemples : La racine carrée de 49 est 7, car 7 = 49 et 7 est positif. On note 49 = 7. La racine carrée de 1 est 1, car 1 = 1 et 1 est positif. On note 1 = 1. La racine carrée de 17,64 est4,, car 4, = 17,64 et 4, est positif. On note 17,64 = 4,. Attention : la racine carrée d un nombre négatif n existe pas, car le carré d un nombre est toujours positif! Quel que soit le nombre a positif : ( a ) = a et a = a Par exemple : ( 7) = 7 7 = 7 5 5 = 5 = 5, donc 5 = 5 = 5 Un carré parfait est le carré d un nombre entier, sa racine carrée est un nombre entier 16 est un carré parfait car 16 = 4 et 4 est un entier 65 est un carré parfait car 65 = 5 et 5 est un entier Méthode 6 : Comment réduire une somme de racines carrées Exemple : A = 5 7 + 8 7 15 7 On remarque que 7 est un facteur commun au trois termes. A = ( 5 + 8 15) 7 On factorise par 7. A = 7 G - RESOLUTION DE L EQUATION x ² = a Propriété : Si a > 0, alors l équation x ² = a admet deux solutions : a et a et de. L équation x ² = 0, admet une seule solution : 0 Si a < 0, alors l équation x ² = a n admet pas de solution Méthode 7 : Comment résoudre une équation de la forme x = a 1 ) Résoudre l équation x ² = 9. 9 est positif donc les solutions de l équation x ² = 9 sont 9 = et 9 = ) Résoudre l équation x ² = 7. 7 est négatif donc l équation n a pas de solution ) Résoudre l équation 7x ² = 49. 49 7x ² = 49 soit x = = 7. 7 est positif donc les solutions sont 7 et 7 7 Brevet des collèges : Extrait session 01 exercice n 6 question 1)b) et )

Dans les marais salants, le sel récolté est stocké sur une surface plane comme l illustre la photo cidessous. On admet qu un tas de sel a toujours la forme d un cône de révolution. 1) b) Le cône de sel a pour hauteur,50 mètres et un diamètre 5 mètres. rayon hauteur π cône A l aide de la formule, déterminer, en m, le volume de sel contenu dans ce cône. Arrondir le résultat au m près. V cône = π,5,5 16,6 Conclusion : Le volume de sel au m près est environ 16 m. ) Le sel est ensuite stocké dans un entrepôt sous la forme de cônes de volume 1 000 m. Par mesure de sécurité, la hauteur d un tel cône de sel ne doit pas dépasser 6 mètres. Quel rayon faut-il prévoir au minimum pour la base? Arrondir le résultat au décimètre près. Soit r le rayon qu il faut prévoir au minimum pour la base. π r 6 On a : = 1000 π r = 1000 π r r 500 = π = 500 500 Comme un rayon est positif, r = 1, 6 π Conclusion : Le rayon qu il faut prévoir au minimum pour la base est au décimètre près 1,6 m.