4. LE CALCUL LITTÉRAL

LE CALCUL LITTÉRAL

AVERTISSEMENT L pluprt des exemples utilisés dns ce chpitre sortent du cdre défini pr le pln d études destiné ux élèves de niveu B de l section générle et ux élèves de niveu C des collèges à niveux et à options. Aussi étit-il difficile de mettre en évidence, comme dns les utres chpitres, les notions que doivent connître, en clcul littérl, ces élèves-là. Pour mémoire, voici un extrit du pln d études concernnt ce regroupement d élèves. 2. Algèbre 2.1. Clcul lgébrique (Polynômes à une vrible et du premier degré; coefficients entiers) 2.1.1 Monômes et polynômes Opérer dns l ensemble des monômes: ddition, multipliction d un monôme pr un entier. Opérer dns l ensemble des polynômes: ddition. Multiplier un polynôme pr un nombre entier.

THÉORIE 4. LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE 1. LE CALCUL LITTÉRAL: TROIS EXEMPLES Nous vons vu en 7e qu'on utilise souvent des lettres pour représenter des nombres. Nous vons résolu des problèmes comme ceux-ci: Problème 1 L longueur du côté d'un losnge est c. Comment peut-on exprimer le périmètre de ce losnge? Solution Les 4 côtés d'un losnge ont l même longueur. Son périmètre se clcule en dditionnnt les longueurs de ses côtés; il est donc égl à c c c + c + c + c = 4 c (et on écrir: 4c u lieu de 4 c). Nous vons insi démontré l formule suivnte: Formule Le périmètre d'un losnge est égl à 4c, si c est l longueur de son côté. Avec cette formule nous pouvons éviter de répéter le même risonnement chque fois qu'il s'git de clculer le périmètre d'un losnge. Pr exemple, pour clculer le périmètre d'un losnge dont le côté mesure 12 cm, on remplce c pr 12 dns l'expression 4c que donne l formule. On voit lors que le périmètre de ce losnge est égl à 4 (12 cm) = 48 cm Comme on l' ppris en 7e on dit, dns cette sitution, que c est une vrible. c c Problème 2 On forme un rectngle en ssemblnt 3 crrés identiques. L longueur du côté de chque crré est. Comment peut-on exprimer l'ire de ce rectngle? Solution L'ire de chque crré est égle à. L'ire du rectngle est égle à l somme des ires des 3 crrés; elle est donc égle à + + = 3 MATHÉMATIQUES 8E 137

4. LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE (et on écrir: 3 2, ou encore 3 2 ; pour bréger l'écriture, on utilise l nottion "puissnce" introduite u Chpitre 1). Nous vons donc démontré l formule suivnte: Formule L'ire du rectngle formé en ssemblnt 3 crrés égux est égle à 3 2, si est l longueur du côté de chque crré. Certines formules s'écrivent vec plusieurs vribles. Pr exemple, le périmètre de ce rectngle est égl à x + x + y + y c'est-à-dire à 2x + 2y. y x y x Pour trouver ces formules, nous vons clculé vec des lettres (c pour le losnge; pour le crré; x et y pour le rectngle), comme on clcule vec des nombres. En clculnt vec des lettres comme on le ferit vec des nombres, on fit du clcul littérl. 2. LES OPÉRATIONS DU CALCUL LITTÉRAL 2.1 LES MONÔMES Une expression comme 9 x (qu'on peut ussi écrire: 9x) est ppelée un monôme. Un monôme est formé d'un nombre (pr exemple, 9) et d'une vrible (pr exemple, x). Leur produit (dns cet exemple, c'est 9x) est un monôme. Dns le monôme 9x on dit que le nombre 9 est le coefficient, et l lettre x est l vrible. Voici d'utres exemples de monômes: 3 2 ; 9b ; 4c ; 2y 3 ; x Remrque Comme dns le dernier exemple (le monôme x), on omet souvent d'écrire le coefficient s'il est égl à 1. En fit, x est le monôme 1 x. De même, x désigne le monôme ( 1) x. 138 MATHÉMATIQUES 8E

THÉORIE 4. LE CALCUL LITTÉRAL 2.2 LE DEGRÉ D'UN MONÔME On dit que: le degré du monôme 2x 3 est 3 le degré du monôme 7y est 1 le degré du monôme 6 2 est 2. Le degré d'un monôme est l'exposnt de s vrible (u sujet du mot "exposnt", voir le Chpitre 1). 2.3 CALCULS AVEC DES MONÔMES L'ddition de monômes On peut dditionner des monômes qui sont écrits vec l même vrible, u même degré. Pour cel, on dditionne leurs coefficients; on grde l même vrible. Pr exemple, 2b + 3b = 5b (cr 2 + 3 = 5). Voici encore trois exemples d'ddition de monômes: 1) x + x = 2x (cr 1 + 1 = 2) 2) 7 + 12 + = 20 (cr 7 + 12 + 1 = 20) 3) 2 + 6 2 + 3 2 = 10 2 (cr 1 + 6 + 3 = 10). L soustrction de monômes On peut soustrire un monôme d'un utre, s'ils sont écrits vec l même vrible, u même degré. Leur différence se clcule en clculnt l différence de leurs coefficients; on grde l même vrible. Pr exemple, 5y 3y = 2y (cr 5 3 = 2). Voici encore trois exemples de soustrction de monômes: 1) 12x 8x = 4x (cr 12 8 = 4) 2) 7b b = 6b (cr 7 1 = 6) 3) 2 6 2 = 5 2 (cr 1 6 = 5). MATHÉMATIQUES 8E 139

4. LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE L multipliction de monômes On peut multiplier un nombre et un monôme; on peut ussi multiplier deux monômes. Le produit d'un nombre et d'un monôme. Pour multiplier un nombre et un monôme, on multiplie le coefficient du monôme pr le nombre. On grde l même vrible. Pr exemple, 2 (3y) = (2 3) y = 6y (pour le vérifier, on peut écrire: 2 (3y) = 3y + 3y = 6y). Voici encore deux exemples du produit d'un nombre et d'un monôme: 3 (12) = 36 (cr 3 12 = 36) 5 (7x 3 ) = 35x 3 (cr 5 7 = 35). Le produit de monômes. Pour multiplier des monômes on multiplie leurs coefficients, et on multiplie leurs vribles. Pr exemple, cr 2 3 = 6 et = 2. (2) (3) = (2 3) ( ) = 6 2 Voici trois utres exemples de multipliction de monômes: 1) ( 3) (2) = ( 3 2) ( ) = 6 2 2) (2x 2 ) 7x = (2 7) (x 2 x) = 14x 3 3) 5x x 2x = (5 1 2) (x x x) = 10x 3 2.4 LA DISTRIBUTIVITÉ L distributivité est une propriété qui lie l'ddition et l multipliction. L distributivité peut être utilisée lorsqu'on multiplie une somme de monômes pr un nombre, ou pr un monôme. Exemple Cherchons une formule qui exprime l longueur de l ligne polygonle suivnte: b b 140 MATHÉMATIQUES 8E

THÉORIE 4. LE CALCUL LITTÉRAL On peut clculer d'bord l longueur d'un des cinq éléments dont l répétition permet de constituer l ligne polygonle: b b L longueur d'un tel élément est: + b + b = + 2b. Ensuite, on multiplie l longueur d'un élément (c'est-à-dire + 2b) pr le nombre d'éléments (c'est-à-dire, pr 5). Voici ce qu'on obtient: 5 ( + 2b). On peut trnsformer cette écriture du résultt, de l mnière suivnte: Donc, 5 (+2b) = ( + 2b) + ( + 2b) + ( + 2b) + ( + 2b) + ( + 2b) = ( + + + + ) + (2b + 2b + 2b + 2b + 2b) = 5 + 5 (2b) = 5 + 10b. 5 ( + 2b) = 5 + 5 (2b) C'est un exemple de l règle de distributivité: Si A, B et C sont des nombres, ou des monômes, lors A (B + C) = A B + A C Lorsqu on psse (comme dns l exemple ci-dessus) de l écriture à l écriture 5 ( + 2b) KK K produit de deux fcteurs 5 + 5 (2b) KK KKK somme de deux termes on dit qu on développe le produit 5 ( + 2b) en utilisnt l distributivité. Voici un exemple importnt de l ppliction de cette règle: ( + b) = ( 1) ( + b) = b MATHÉMATIQUES 8E 141

4. LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE Voici d'utres exemples de l'ppliction de cette règle: 1) 4 (x + y) = 4 x + 4 y = 4x + 4y 2) ( 4) (x + y) = ( 4) x + ( 4) y = 4x 4y 3) ( + 3) = + 3 = 2 + 3 4) 5x 3 (2x 2 + x + 3) = 5x 3 2x 2 + 5x 3 x + 5x 3 3 = (5 2) (x 3 x 2 ) + 5 (x 3 x) + (5 3) x 3 = 10x 5 + 5x 4 + 15x 3. 2.5 LA RÉDUCTION Lorsqu'on une suite d'opértions, on essie de l'écrire le plus simplement possible. Le but est de remplcer si possible l suite donnée pr une utre, plus courte, qui lui soit égle. On dit lors qu'on réduit l suite d'opértions. ) Suites sns prenthèses Dns une suite d'dditions ou de soustrctions sns prenthèses, on réunit d'bord les monômes qui ont l même vrible u même degré. Ensuite on effectue les dditions ou les soustrctions des monômes qu'on réunis. Exemple 1 On veut réduire 2 + 3b + 5b On réunit d'bord les monômes en, et ceux en b: 2 + 3b + 5b = 2 + + 3b 5b puis on effectue les opértions: 2 + + 3b 5b = 3 2b L réduction que nous vons fite est donc: 2 + 3b + 5b = 3 2b. Exemple 2 Voici un second exemple: il s'git de réduire 4x 2 + 3 2x + 5x 2 4 + x. On réunit d'bord les monômes en x 2, ceux en x, et les nombres, puis on effectue les opértions; on trouve 4x 2 + 3 2x + 5x 2 4 + x = 4x 2 + 5x 2 2x + x + 3 4 = 9x 2 x 1. 142 MATHÉMATIQUES 8E

THÉORIE 4. LE CALCUL LITTÉRAL b) Suites vec prenthèses Dns une suite d'opértions comportnt des prenthèses, on commence pr ppliquer l distributivité pour supprimer les prenthèses. Puis on continue comme en (). Exemple 1 Réduisons 3 ( c 2 + 2c) + 5 (3c 2 4c). On pplique l règle de distributivité pour développer chcun des deux produits: 3 ( c 2 + 2c) = 3c 2 + 6c et 5 (3c 2 4c) = 15c 2 20c Donc, 3 ( c 2 + 2c) + 5 (3c 2 4c) = 3c 2 + 6c + 15c 2 20c et on réduit mintennt comme en (); on trouve: 3 ( c 2 + 2c) + 5 (3c 2 4c) = 12c 2 14c Exemple 2 Comme second exemple, réduisons 3x 2y 4 (x + y). On écrit puis pr distributivité, L réduction est donc: 3x 2y 4 (x + y) = 3x 2y + ( 4) (x + y) 3x 2y + ( 4) (x + y) = 3x 2y + ( 4) x + ( 4) y = 3x 2y 4x 4y 3x 2y 4 (x + y) = x 6y Remrque L'églité que nous venons d'obtenir, 3x 2y 4 (x + y) = x 6y, est vrie quelles que soient les vleurs qu'on donne ux vribles x et y. On dit que c'est une identité. MATHÉMATIQUES 8E 143

4. LE CALCUL LITTÉRAL THÉORIE 2.6 LA MISE EN ÉVIDENCE L mise en évidence est l'inverse de l distributivité (c'est-à-dire qu'elle "défit" ce qu'on obtenu pr ppliction de l règle de distributivité). Elle pour but de trnsformer une somme en un produit. Voici trois exemples de mise en évidence: 1) 2x + 2y = 2 (x+y) 2) 3 2 + 2 = (3 + 2) 3) 6x 2 15x = 3 (2x 2 5x). L'exemple (3) montre qu'il y prfois plusieurs possibilités de mise en évidence: on 6x 2 15x = 3 (2x 2 5x) = 3x (2x 5). En générl, on continuer jusqu'à obtenir une mise en évidence ussi complète que possible. 2.7 VÉRIFICATIONS NUMÉRIQUES Si, dns une identité, on remplce l vrible pr un nombre, on obtient une églité entre nombres. On peut ppliquer ce principe pour détecter certines erreurs dns des clculs littérux. Si on remplce l vrible pr un nombre dns un clcul littérl, et si l'églité qu'on obtient insi n'est ps vérifiée, c'est qu'on s'est trompé. Pr exemple, supposons qu'en fisnt une mise en évidence, on it trouvé le résultt: 7x 2 + 22x = 7x (x + 3) Fisons une vérifiction, en remplçnt x pr 1. On obtient c'est-à-dire 7 + 22 = 7 (1 + 3) 29 = 28, ce qui est fux. Cel nous indique que l mise en évidence étit fusse. Comment fut-il l corriger? 144 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4. LE CALCUL LITTÉRAL EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 452 Exprimer l longueur de chcune des lignes suivntes pr une formule : 1) 2) b b b b b 453 Exprimer le périmètre de chcune des figures suivntes pr une formule : 1) 3) 2) 4) MATHÉMATIQUES 8E 145

4. LE CALCUL LITTÉRAL EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 454 Exprimer le périmètre de chcune des figures suivntes pr une formule : 1) 3) x x 2) 4) x x 455 Exprimer l longueur de chcune des lignes polygonles suivntes pr une formule: 1) 2) 3 6 146 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4. LE CALCUL LITTÉRAL 456 Réduire les expressions suivntes : 1) + + 4) y + y + y + y + y 2) b + b + b + b 5) + + + 3) x + x 6) x + x + x + x + x + x + x 457 Réduire les expressions suivntes : 1) 7b + 4b 4) 8x + 15x 2) x + 6x 5) 7y + 9y 3) 5 + 2 6) 43 + 15 458 Réduire les expressions suivntes : 1) 4x + 3x + 5x 4) 8 + 3 + 12 2) 2 + + 4 5) 4x + 3x + 6x 3) 15b + 34b 6) 16 + 19 + 4 459 Réduire les expressions suivntes : 1) 4x + 15x + 7x 4) x + 41x + 9x 2) 8 + 29 + 5) 12b + 7b + 18b + 3b 3) 16y + 5y + 14y 6) 5 + 3 + 17 460 Réduire les expressions suivntes : 1) + 4) 2) b b 5) x x x 3) x + x + x x + x x 6) b + b b b + b 461 Réduire les expressions suivntes : 1) 4x 2x 4) 8x 8x 7) 15x 7x 10) x 4x 2) 12x 7x 5) 2b + 5b 8) 2 11) 7y 19y 3) 3 5 6) 7x + 3x 9) 7b + 9b 12) 3 + 3 462 Réduire les expressions suivntes : 1) 8 6 + 3 4) 15 + 3 + 5 3 2) 15x 9x 8x + x 5) 6x 14x + 3x 7x 3) 3y 8y 5y + 2y 6) 2 + 9 + 3 MATHÉMATIQUES 8E 147

4. LE CALCUL LITTÉRAL EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 463 Exprimer pr une formule l longueur de chcune des lignes suivntes : 1) 3) 4 3 2) 3 3 464 Exprimer le périmètre de chcune des figures suivntes pr une formule : 1) 3) 3 3 2) 4) 1 2 4 148 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4. LE CALCUL LITTÉRAL 465 Réduire les expressions suivntes : 1) + + 4 4) x + x + 6 + x + 3 2) 5 + x + x + 7 5) + 8 + 3) b + 7 + b + 3 + b 6) 9 + y + 13 + y + y 466 Réduire les expressions suivntes : 1) 2 + 6 + 3 4) 5y + 12 + 5y + 1 2) b + 8 + 17 + 6b 5) 2b + 4 + 7b + 8 3) 4x + 3x + 9 + 2 + x 6) 17x + 43 + 8x + 7 467 Réduire les expressions suivntes : 1) 4x + 3x + 7 + 2x + 12 4) 9 + 8 + 3 + 15 + 2) 14 + 3 + 12 + + 6 5) 17 + 4 + 19 + 8 + 13 3) 2b + 24 + 5b + 16 6) 8y + 18 + 7y + 21 + 4y + 28 468 Réduire les expressions suivntes : 1) 4 3 + 4) 8b 9 + 3b 2) 5b + 7 2b 5) + 12 3 + 4 3) 3x + x 4 6) 7x 19 13x + 24 469 Réduire les expressions suivntes : 1) 5x 12x + 4 7 + 15x 4) 12 4x + 7x 18 2) 6 + 3 4 5 + 21 5) 9 + 41 + 32 17 3) 3x 4 + 7x 9 6) y 6 + y 3 + y 14 470 Réduire les expressions suivntes : 1) 2x + 4 3x + 5 + x 4) 15x + 68 17x 39 11 2) 15 + 7 18 + 4 5) 5 13 + 41 19 + 29 3) 2y 6 5y + 3y + 2 + 4 6) b 8 + 3b 4 5b + 12 471 Réduire les expressions suivntes : 1) (4x 8) + (15 7x) 4) (7y 12) + (12 7y) 2) (3 + 2) + (5 9) 5) (24 31) + ( 36 + 17) 3) ( 3x + 8) + ( 15 x) 6) ( 2 4) + ( 5) MATHÉMATIQUES 8E 149

4. LE CALCUL LITTÉRAL EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 472 Réduire les expressions suivntes : 1) (x + 7) + (3 4x) + (2x 9) 2) ( 3y + 6) + (y 4) + (12 + 2y) 3) (6x + 8) + ( 3x + 9) + (x 15) 4) ( 5 + y) + (4y 5) + (13 3y) 5) (9 + 13) + (18 15) + (1 ) 6) (16 4x) + (8x + 3) + ( 19 4x) 473 Réduire les expressions suivntes : 1) (15 + 3) + ( 2 + 8) + ( 17) 2) (8x 4) + (4 8x) + (2 + 3x) 3) (2y + 18) + ( 29 7y) + (y 1) 4) (6x 7) + (8 7x) + (9x 8) 5) (12 + 15x) + (13x 20) + (14 + 6x) 6) (27 52) + ( 21 16) + (43 12) 474 Réduire les expressions suivntes : 1) ( + 3) + ( + 5) 4) (2b + 4) + (5 + b) 2) (4 + x) + (x + 19) 5) (6x + 3) + (4x + 9) 3) (b + 9) + (b + 3) + (b + 7) 6) (15 + 2) + (1 + 3) 475 Réduire les expressions suivntes : 1) (2x + 4) + (5x 6) 4) (7 x) + (x + 3) 2) (8 + y) + (y 8) 5) (13 45) + (12 4) 3) (4 11) + (2 6) 6) ( 8x + 3) + (11x 9) 476 Réduire les expressions suivntes : 1) (5x + 4) + (5 7x) 4) (6y + 9) + (9 6y) 2) (7x + 3) + ( 12x + 6) 5) (3c 14) + (14 3c) 3) (2 4) + (8 3) 6) ( 2x + 3) + (x 5) 150 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4. LE CALCUL LITTÉRAL 477 Exprimer pr une formule l longueur de chcune des lignes suivntes : 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 478 Exprimer le périmètre de chcune des figures suivntes pr une formule : 1) 2) b b 479 Clculer les produits suivnts : 1) 2 (3) 6) 8 (3x) 2) 5 (4x) 7) 9 (5) 3) 3 (7y) 8) 2 (7b) 4) 6 (5) 9) 4 (13x) 5) 4 (2b) 10) 6 (8) MATHÉMATIQUES 8E 151

4. LE CALCUL LITTÉRAL EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 480 Clculer les produits suivnts : 1) 10 (4b) 4) 11 (6y) 7) 5 (7) 9) 4 (6x) 2) 4 (9x) 5) 9 (8b) 8) 7 (9b) 10) 8 (7d) 3) 3 (5) 6) 7 (6x) 481 Clculer les produits suivnts : 1) (12x) 7 4) (12) 5 7) 7 (7b) 9) 12 (11x) 2) 4 (11y) 5) (11y) 11 8) (5d) 6 10) (6x) 13 3) 9 (13b) 6) 9 (11) 482 Exprimer pr une formule l longueur de chcune des lignes suivntes : 1) 2) 5 5 3) 4) 6 5 b 5) 6) x x 4 4 152 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 4. LE CALCUL LITTÉRAL 483 Développer chcun de ces produits en utilisnt l distributivité : 1) 2 (x + 3) 6) 8 (4 + x) 2) 4 (x + 6) 7) 4 (y + 3) 3) 3 (2 + 4) 8) 3 (2x + 5) 4) 5 (3x + 7) 9) 5 (6 + 3) 5) 8 (2b + 1) 10) 7 ( + 8) 484 Développer chcun de ces produits en utilisnt l distributivité : 1) 6 (4 + 3x) 6) 12 (2y + 9) 2) 7 (2y + 9) 7) 5 (12 + 7b) 3) 9 (11 + 4) 8) 9 (6 + 12) 4) 12 (2b + 3) 9) 10 (5x + 16) 5) 4 (5 + x) 10) 2 (8 + 3) 485 Développer chcun de ces produits en utilisnt l distributivité : 1) 5 (2x + 8) 6) 7 (3 + 8) 2) 11 (4 + 3) 7) 6 (7 + 6x) 3) 7 (15b + 9) 8) 8 (12b + 4) 4) 15 (6y + 2) 9) 13 (15 + 8y) 5) 20 (x + 7) 10) 4 (5x + 14) MATHÉMATIQUES 8E 153

EXERCICES ORAUX ET ÉCRITS 154 MATHÉMATIQUES 8E

LES ÉQUATIONS

THÉORIE 5. LES ÉQUATIONS THÉORIE 1. LES ÉQUATIONS Il est souvent utile d'employer le clcul littérl pour chercher l solution d'un problème comme le suivnt: Problème 1 Solution Nor et Adrien ont ensemble 69 billes. Nor en 7 de plus qu'adrien. Combien en ont-ils chcun? Appelons x le nombre de billes qu' Adrien. Nor lors x + 7 billes. Ensemble ils ont 69 billes, donc x + (x + 7) = 69. Cette églité n'est vérifiée que pour une seule vleur de x. Cette vleur est 31, cr si nous remplçons x pr 31 dns x + (x + 7) nous obtenons bien x + (x + 7) = 31 + (31 + 7) = 31 + 38 = 69. Nous vons donc trouvé l solution du problème: Adrien 31 billes et Nor en 38. Nous vons ppris en 7e qu'une églité comme x + (x + 7) = 69 s'ppelle une éqution. L lettre x employée dns cette éqution s'ppelle l'inconnue de l'éqution. Résoudre une éqution comme x + (x + 7) = 69, c'est chercher le nombre pr lequel il fut remplcer x dns l'éqution pour que l'églité soit vérifiée. Ce nombre s'ppelle l solution de l'éqution. L solution de l'éqution x + (x + 7) = 69 est 31. On écrit: x = 31. Une éqution comme x + (x + 7) = 69 comporte un membre de guche et un membre de droite, séprés pr un signe d églité: ( ) x + x + 7 KK K = K 69 membre de guche signe d églité membre de droite MATHÉMATIQUES 8E 157

5. LES ÉQUATIONS THÉORIE Pour résoudre une éqution comme x + (x + 7) = 69, nous ppliquerons les deux propriétés suivntes de l'églité: 1. Une églité reste vrie si on joute (ou si on soustrit) le même nombre à chque membre. Exemple 1 + 6 = 3 + 4 et (1 + 6) + 2 = (3 + 4) + 2 2. Une églité reste vrie si on multiplie (ou si on divise) chque membre pr le même nombre (différent de 0). Exemple 1 + 6 = 3 + 4 et (1 + 6) 5 = (3 + 4) 5 Nous llons ppliquer ces propriétés pour résoudre l'éqution Résolution x + (x + 7) = 69. EXPLICATIONS CALCULS l'éqution à résoudre est x + (x + 7) = 69 on réduit l suite d'opértions dns le membre de guche on soustrit 7 de chque membre, pour n'voir que l'inconnue x dns le membre de guche 2x + 7 = 69 (2x + 7 ) 7 = 69 7 on effectue les opértions 2x = 62 on divise chque membre de l'éqution pr 2, qui est le coefficient de l'inconnue x x = 31 31 est l solution de l'éqution x + (x + 7) = 69 Vérifiction Pour vérifier nos clculs, nous remplçons x pr 31 dns le membre de guche de l'éqution x + (x + 7) = 69, comme nous l'vons déjà fit à l pge précédente. 158 MATHÉMATIQUES 8E

THÉORIE 5. LES ÉQUATIONS 2. QUELQUES EXEMPLES Voici d'utres exemples qui illustrent cette méthode. Problème 2 Si on joute 12 à un nombre, on obtient 35. Quel est ce nombre? Mise en Désignons le nombre qu'on cherche pr x. éqution L'énoncé du problème nous dit lors que Résolution x + 12 = 35. I'éqution à résoudre est x + 12 = 35 on soustrit 12 de chque membre (x+ 12) 12 = 35 12 on effectue les opértions x = 23 23 est l solution de l'éqution x + 12 = 35 Réponse u problème: le nombre cherché est 23. Vérifiction Si on joute 12 à 23, on obtient 35, comme le problème l exige: x + 12 = 23 + 12 = 35 MATHÉMATIQUES 8E 159

5. LES ÉQUATIONS THÉORIE Problème 3 L'ire d'un tringle mesure 21 cm 2. S bse mesure 7 cm. Combien mesure l huteur qui correspond à cette bse? Rppel: I ire d'un tringle se clcule vec l formule: b h = A 2 où A désigne l'ire, b désigne l bse et h désigne l huteur correspondnte. Mise en éqution On v désigner pr x l mesure de l huteur cherchée. On exprimer cette mesure en centimètres. On lors, en employnt l formule qu'on vient de rppeler: 7 x 2 = 21 et c'est cette éqution qu'il fut résoudre. Résolution I'éqution à résoudre est 7 x 2 = 21 on multiplie les deux membres pr 2 7x = 42 on divise chque membre pr 7 x = 6 l solution de l'éqution est 6 Réponse u problème: l huteur cherchée mesure 6 cm. Vérifiction Si l bse d'un tringle mesure 7 cm, et si l huteur qui correspond à cette bse mesure 6 cm, lors l'ire de ce tringle est 7 6 2 = 7 3 = 21 cm 2 Vrinte L'éqution 7 x 2 = 21 peut ussi s'écrire: 7 x = 21 2 7 On divise lors chque membre pr. On obtient x = 21 : 7 = 6. 2 2 160 MATHÉMATIQUES 8E

THÉORIE 5. LES ÉQUATIONS Problème 4 Trouver un nombre dont le qudruple diminué de 7 est 11. Mise en éqution On utiliser l lettre x pour représenter le nombre qu on cherche. L'énoncé du problème nous dit lors que 4x 7 = 11 C'est cette éqution qu'il fut résoudre pour trouver le nombre cherché. Résolution I'éqution à résoudre est 4x 7 = 11 on dditionne 7 à chque membre (4x 7) + 7 = 11 + 7 on effectue les opértions 4x = 18 on divise chque membre pr 4 x = on simplifie l frction x = 9 l solution de l'éqution est 2 18 4 9 2 Réponse u problème: le nombre cherché est 9 2. Vérifiction 9 Si on clcule le qudruple de 2, diminué de 7, on trouve 4 9 2 7 = 18 7 = 11, comme le problème l exige. MATHÉMATIQUES 8E 161

EXERCICES ORAUX 5. LES ÉQUATIONS EXERCICES ORAUX Résoudre orlement les équtions suivntes (exercices 486 à 493) : 486 1) x + 4 = 7 4) x + 3 = 4 2) 3 + x = 9 5) 6 + x = 15 3) x + 8 = 12 6) 2 + x = 9 487 1) x + 9 = 14 4) x + 18 = 23 2) x + 8 = 23 5) 16 + x = 30 3) 5 + x = 17 6) 21 + x = 29 488 1) x + 14 = 21 4) 28 + x = 71 2) 8 + x = 32 5) x + 16 = 54 3) 17 + x = 40 6) 13 + x = 14 489 1) x + 3 = 19 4) x + 18 = 74 2) 16 + x = 24 5) 9 + x = 13 3) 31 + x = 47 6) x + 16 = 22 490 1) 3 x = 12 5) 4 x = 28 2) 5 x = 15 6) 9 x = 18 3) 7 x = 77 7) 5 x = 50 4) 2 x = 12 8) 3 x = 39 491 1) 8x = 8 5) 2x = 30 2) 7x = 35 6) 5x = 95 3) 2x = 18 7) 3x = 48 4) 6x = 48 8) 5x = 100 492 1) 12x = 36 5) 6x = 42 2) 4x = 68 6) 14x = 70 3) 13x = 26 7) 9x = 81 4) 5x = 115 8) 6x = 66 493 1) 7x = 91 5) 15x = 90 2) 3x = 60 6) 32x = 0 3) 5x = 55 7) 18x = 36 4) 4x = 140 8) 12x = 72 MATHÉMATIQUES 8E 163

5. LES ÉQUATIONS EXERCICES ORAUX 494 Soit x un nombre. Comment peut-on écrire? 1) le double de ce nombre 2) le triple de ce nombre 3) l moitié de ce nombre 4) le qurt de ce nombre 5) ce nombre ugmenté de 3 6) ce nombre ugmenté de 8 495 Soit y un nombre. Comment peut-on écrire? 1) ce nombre ugmenté de 7 2) le tiers de ce nombre 3) ce nombre ugmenté de lui-même 4) ce nombre ugmenté de son double 5) ce nombre ugmenté de s moitié 496 L lrgeur d'un rectngle est x. S longueur mesure trois fois s lrgeur. Comment peut-on écrire s longueur? Comment peut-on écrire son périmètre? 164 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES ÉCRITS 5. LES ÉQUATIONS EXERCICES ÉCRITS Résoudre pr écrit les équtions suivntes (exercices 497 à 500): 497 1) x + 165 = 394 4) x + 325 = 672 2) 48 + x = 176 5) 166 + x = 391 3) x + 67 = 91 6) 89 + x = 104 498 1) x + 3,4 = 7,5 4) 3,85 + x = 7,60 2) 6,2 + x = 9,5 5) 8,40 + x = 11,25 3) x + 17,50 = 23 6) x + 5,90 = 17,35 499 1) 6x = 288 4) 13x = 793 2) 4x = 368 5) 7x = 196 3) 14x = 728 6) 83x = 4316 500 1) 5x = 10,50 4) 2,6x = 20,80 2) 7x = 22,05 5) 8,5x = 102 3) 8x = 50,40 6) 3,4x = 54,40 501 Pierre vit 16,50 fr. Après plusieurs dépenses, il lui reste 1) 4,75 fr. 2) 2,30 fr. 3) 12,05 fr. 4) 7,95 fr. À combien s'élevient dns chque cs ses dépenses? 502 Pul dépensé 12,45 fr. Il remrque qu'il lui reste encore 1) 7,75 fr. 2) 15,40 fr. 3) 21 fr. 4) 17,95 fr. Combien d'rgent vit-il vnt ses dépenses? 503 Jen-Pierre 15,35 fr. de plus que Bétrice; Bétrice 21,40 fr. 1) Combien d rgent Jen-Pierre? 2) Combien d rgent ont-ils ensemble? 504 Le périmètre d'un rectngle est de 108 m. Clculer s lrgeur, si s longueur mesure 1) 35 m 2) 41 m 3) 50,2 m 4) 48,35 m MATHÉMATIQUES 8E 165

5. LES ÉQUATIONS EXERCICES ÉCRITS 505 L'ire d'un rectngle est de 112,32 cm 2. Clculer s longueur, si s lrgeur mesure 1) 6 cm 2) 4 cm 3) 7,2 cm 4) 3,9 cm 506 L'ire d'un prllélogrmme est de 602 m 2. Clculer s huteur, si s bse mesure 1) 21,5 m 2) 70 m 3) 4,3 m 4) 15,05 m 507 L'ire d'un tringle est de 50,4 cm 2. Clculer s bse, si s huteur mesure 1) 18 cm 2) 11,2 cm 3) 4,5 cm 4) 12,6 cm 508 L'ire d'un losnge est de 113,4 m 2. Clculer l longueur d'une digonle, si l'utre digonle mesure 1) 10,5 m 2) 13,5 m 3) 8,1 m 4) 14 m 509 Prtger 78 fr. entre deux personnes de telle sorte que l première reçoive 42 fr. de plus que l seconde. 510 Jen et Pul ont ensemble 50 billes. Pul en 12 de plus que Jen. Combien chcun -t-il de billes? 511 Mrc et Stéphnie ont ensemble 27 fr. Stéphnie 5,50 fr. de plus que Mrc. Combien chcun -t-il d'rgent? 512 Résoudre ces équtions : 1) x 16 = 40 4) x + 12,5 = 4,3 2) 13 + x = 2 5) x 7,3 = 9,8 3) x 4 = 12 6) 7 + x = 4,5 513 Résoudre ces équtions : 1) x + 83 = 73 4) 14 7x = 3 2) 5 x = 3 5) 8 x = 4 3) x = 15 6) 15 x = 2 2 166 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 5. LES ÉQUATIONS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 514 Résoudre les équtions suivntes : 1) 2x + 3 = 11 5) 2x 9 = 11 9) 3x + 64 = 70 2) 3x + 1 = 22 6) 2x 5 = 25 10) 9x 7 = 38 3) 2x 4 = 14 7) 2x + 5 = 26 11) 7x + 2 = 23 4) 3x 1 = 23 8) 8x 13 = 139 12) 3x 21 = 9 515 L longueur d'un rectngle est égle u quintuple de s lrgeur. Son périmètre est de 180 cm. Clculer ses dimensions. 516 Prtger 104 fr. entre trois personnes de telle sorte que l deuxième reçoive le double de l première et que l troisième reçoive 20 fr. de moins que l première. 517 Lors d'une vente de pâtisseries orgnisée pr l clsse, Pierre encissé 4 fr. de plus que Dniel. Ils ont vendu ensemble pour 28 fr. de gâteux à 0,80 fr. pièce. Combien de gâteux chcun -t-il vendus? 518 Pierre, Bernrd et Bétrice ont ensemble 20 disques. Bernrd deux fois utnt de disques que Pierre. Bétrice en 5 de plus que Bernrd. Combien chcun -t-il de disques? 519 Des livres mesurent 3 cm d'épisseur. Ils sont rngés en trois piles. L deuxième pile trois fois l huteur de l première. L troisième pile mesure 12 cm de moins que l deuxième. Il y en tout 17 livres. Combien y -t-il de livres dns chque pile? 520 Prtger 77 fr. entre trois personnes de telle sorte que l deuxième reçoive 15 fr. de plus que l première et que l troisième reçoive le double de ce que reçoit l deuxième. MATHÉMATIQUES 8E 167

5. LES ÉQUATIONS EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 521 Trois rivières A, B et C se rejoignent pour former le fleuve D. C D B A Il coule deux fois plus d'eu dns l rivière B que dns l rivière A. Le débit de l rivière C dépsse de 60 m 3 pr seconde le débit de l rivière B. On mesure un débit de 1135 m 3 pr seconde sur le fleuve D. Trouver le débit de chque rivière, en m 3 pr seconde. 522 Lors d'une élection, le cndidt le mieux plcé obtenu 1300 voix de plus que le deuxième, et le deuxième obtenu trois fois le nombre de voix du troisième. Il y eu 6900 votnts. Trouver le nombre de voix obtenues pr chque cndidt et déterminer si le premier cndidt tteint l mjorité bsolue (l moitié des voix plus une). 523 Une brrière rectiligne est formée d un treillis soutenu pr des piquets plntés tous les 2 m. Il y 8 piquets, qui ont coûté 4 fr. pièce. L brrière coûté en tout 74 fr. (piquets plus treillis). Quel est le prix d'un mètre de treillis? 524 x x x x 5 m 7 m Quel doit être x pour que ) le périmètre de cette figure soit de? 1) 64 m 2) 224 m 3) 100 m 4) 391 m b) l'ire de cette figure soit de? 1) 51 m 2 2) 163 m 2 3) 200 m 2 4) 391 m 2 168 MATHÉMATIQUES 8E

EXERCICES DE DÉVELOPPEMENT 5. LES ÉQUATIONS 525 x x x 3 m x 5 m Quel doit être x pour que le périmètre de cette figure soit de? 1) 40 m 2) 432 m 3) 100 m 4) 391 m MATHÉMATIQUES 8E 169